Интегралы Френеля через контурный интеграл в комплексной плоскости

แชร์
ฝัง
  • เผยแพร่เมื่อ 21 ต.ค. 2024
  • В этом видео будем находить известные несобственные интегралы Френеля от cos(x^2) и sin(x^2). Для их нахождения воспользуемся контурным интегралом в комплексной плоскости, вычисление которого неожиданным образом привет к нахождению исходных несобственных интегралов.
    видео про гамма-функцию, в котором найден интеграл от e^(-x^2): • Гамма-функция и бета-ф...
    также этот интеграл найдет отдельно в этом видео: • Интеграл Эйлера-Пуассо...
    В этом плейлисте есть еще другие примеры нахождения определенных и несобственных интегралов с помощью контурных интегралов от функций комплексной переменной: • ТФКП: комплексные числ...
    Если у вас есть возможность, поддержите канал:
    сбербанк: 4276160020048840
    тинькофф: 5536914075973911
    регулярная поддержка: boosty.to/hmath

ความคิดเห็น • 66

  • @AlexeyEvpalov
    @AlexeyEvpalov 9 หลายเดือนก่อน +6

    Понятное, подробное объяснение. Спасибо за интересное видео.

  • @gornshtadt4261
    @gornshtadt4261 ปีที่แล้ว +20

    Высокий класс! Был бы такой учитель лет шестьдесят пять назад, точно стал бы математиком. Вряд ли математика много приобрела бы от этого, но лично я прожил бы интереснее. Полный респект!

  • @stasessiya
    @stasessiya ปีที่แล้ว +2

    В одном видео вы радуете как тех, кто предпочитает комплЕксные числа, так и кОмплексные :)

    • @Hmath
      @Hmath  ปีที่แล้ว +4

      или же огорчаю и те и других :)

  • @СергейМухорьямов
    @СергейМухорьямов 2 ปีที่แล้ว +5

    Хорошее качество и видеоряда, и повествования. Спасибо за творчество.

  • @CthulhuYar
    @CthulhuYar 2 ปีที่แล้ว +12

    Очень красиво! Спасибо за ваши видео, так интересно смотреть их всегда. Продолжайте, пожалуйста!

  • @grosman4221
    @grosman4221 2 ปีที่แล้ว +1

    Браво. Впервые вижу все эти интегралы, но представление получил и меня затянуло. Буду развиваться в этом направлении

    • @Hmath
      @Hmath  2 ปีที่แล้ว

      заходите еще, будет больше :)

  • @VSU_vitebsk
    @VSU_vitebsk 2 ปีที่แล้ว +1

    Изящно и очень красиво! А, главное, без лишней воды!

  • @sofiaafanaseva2231
    @sofiaafanaseva2231 11 หลายเดือนก่อน

    Спасибо Вам за видео! Очень интересно и понятно🙇🏼‍♀️❤️

  • @NikitaBotnakov
    @NikitaBotnakov 2 ปีที่แล้ว +3

    Очень понятно и интересно, спасибо!

  • @nazimavaleeva3752
    @nazimavaleeva3752 2 ปีที่แล้ว +5

    Очень познавательно, объяснения понятны, тут много всего нужно знать, спасибо!

  • @dashersbeatz
    @dashersbeatz 2 ปีที่แล้ว +2

    Комплексные функции завораживают

  • @МатвейГерасимов-о9ж
    @МатвейГерасимов-о9ж 9 หลายเดือนก่อน +1

    Очень интересно получилось!

  • @КириллСмирнов-ч7г
    @КириллСмирнов-ч7г 2 ปีที่แล้ว +4

    Очень интересно получилось, так держать

  • @AS_tutor
    @AS_tutor ปีที่แล้ว +1

    Мега благодарен! Очень круто!!!

  • @ЗахаровАндрей-ш7х
    @ЗахаровАндрей-ш7х 2 ปีที่แล้ว +4

    Спасибо за ваши видео! Расскажите как-нибудь про эллиптические функции Якоби, после видео про эллипс с эллиптическим интегралом очень хочется узнать про вывод их свойств и применение))

    • @Hmath
      @Hmath  2 ปีที่แล้ว +3

      это уже очень специфическая тема и там в коротких роликах ничего не рассказать, я думаю. А делать ролики на несколько часов, которые посмотрит потом 1.5 человека нет желания :) весь этот труд на ютьюбе ни кем ведь не оплачивается :)
      кстати, на русском вот есть канал, где рассказывал автор про эллиптические функции: th-cam.com/channels/m9ENftqo0CAPDG2bVQfhAA.htmlvideos
      у него там видео больше, чем на час получилось, и посмотрели его менее 500раз за год.

  • @fighter2.0.0
    @fighter2.0.0 8 หลายเดือนก่อน

    Для меня очень сложно, но интересно😊
    Спасибо!

  • @SHIZ584
    @SHIZ584 2 ปีที่แล้ว +1

    Спасибо!

  • @motviybletb
    @motviybletb 2 ปีที่แล้ว +2

    Замечательное решение!
    Есть только один единственный вопрос
    Почему мы выбираем именно такой контур OAB?
    У этого есть конкретные причины, или это так просто сверху спущено?

    • @Hmath
      @Hmath  2 ปีที่แล้ว +2

      тут принцип как и у любой замены в интеграле: если получается найти, значит так и нужно делать :)
      здесь функция e^(ix^2) в интеграле, а интеграл от e^(-x^2) знаем, вот и нужно придумать такой контур, чтобы от e^(ix^2) прийти к e^(-x^2)

  • @malikaabdurashidova-d3l
    @malikaabdurashidova-d3l 7 หลายเดือนก่อน

    Спасибо большое

  • @АртурРудаков-н4н
    @АртурРудаков-н4н ปีที่แล้ว

    Очень интересно! Спасибо большое. Только есть небольшой вопрос: с чем связан выбор контура интегрирования, не могу для себя это никак уяснить? Или же можно выбирать любой произвольный замкнутый контур?

    • @Hmath
      @Hmath  ปีที่แล้ว

      конечно, контур, как и функция, не могут быть любыми и выбираются так, чтобы в результате вычисления они:
      1) привели к исходному интегралу (здесь интеграл по отрезку ОА равен исходному интегралу),
      2) интеграл по контуру в итоге можно было легко вычислить.
      Здесь в плейлисте есть различные примеры:
      th-cam.com/play/PLK_CvALNo5MfgQb1MJ5RFJLgkb0WhmSP8.html
      каждый раз, это индивидуальный процесс. Как, в общем-то, и с любой заменой в интегралах

    • @АртурРудаков-н4н
      @АртурРудаков-н4н ปีที่แล้ว

      @@Hmath спасибо большое!)

  • @AliaksandraMakayeva
    @AliaksandraMakayeva ปีที่แล้ว

    Спасибо большое!

  • @sebastianholmes2391
    @sebastianholmes2391 2 ปีที่แล้ว

    Замечательный ролик, а в какой программе вы делаете такие презентации и насколько это удобно монтировать?

    • @Hmath
      @Hmath  2 ปีที่แล้ว +5

      все отдельно делаю: сначала слайды на весь ролик - 80-200 картинок в фотошопе (формулы отдельно набираю и вставляю), потом это все монтирую в видеоредакторе и записываю звук (я примитивным пользуюсь, но привык уже, советовать не буду :)) времени много уходит ~1 час работы на 1 минуту готового видео.

    • @sebastianholmes2391
      @sebastianholmes2391 2 ปีที่แล้ว +1

      @@Hmath понял, спасибо за ответ!

    • @dmxumrrk332
      @dmxumrrk332 ปีที่แล้ว

      @@Hmath прям по Маяковскому 😊.

  • @trolltrollskiy
    @trolltrollskiy 2 ปีที่แล้ว +3

    О, ну это пока ещё слишком глубоко для меня. Я только начал ангем изучать, какие ещё комплексные числа с интегралами

    • @brutal425
      @brutal425 2 ปีที่แล้ว

      Это из раздела математического анализа))

  • @ЯрославБеляев-т5к
    @ЯрославБеляев-т5к ปีที่แล้ว

    Эти интегралы мне встретились при нахождении интеграла порядка ½ от синуса.
    Там получалось нечто вроде
    2/√π * S[0, +oo) sin (x - t²)dt =
    2/√π * ½ * √(π/2) * (sin x - cos x) = sin(x - π/4)
    У вас случайно нет видео про дифференцирование и интегрирование дробного порядка?

    • @Hmath
      @Hmath  ปีที่แล้ว

      нет

  • @alexandergretskiy5595
    @alexandergretskiy5595 ปีที่แล้ว

    Равенство двух искомых интегралов очевидно, причем на любом интервале, кратном 2π. Или не совсем очевидно. Вроде x*x=2πk подходит.

  • @ВладиславБабеков-ж2е
    @ВладиславБабеков-ж2е 2 ปีที่แล้ว +2

    интересно, кстати, что если такой интеграл решать другим способом: свести к реальной/мнимой части экспоненты(например, cosx^2=Re(e^(-i*x^2)) , и затем вычислять через первообразную, то если корень из мнимой единицы определить как (1+i)/sqrt2, ответ(используем Пуассоновский интенрал) получается тот же. но это уже замена, сопряженная с... многозначной функцией, корнем, потому что выбери я (-1+i)/sqrt2, ответ был бы с другим знаком. я выбирал, уже зная ответ, а вот было бы интересно узнать, как с такими заменами все таки работают по-честному. хотя вы, возможно, можете даже не быть в курсе, не знаю, насколько это глубокая и нужная тема.

    • @Hmath
      @Hmath  2 ปีที่แล้ว

      посмотрите внимательно на этот способ: это на самом деле то же самое, что я и рассказываю в видео :) при замене вы получите фактически контурный интеграл (т.к переменная - комплексное число) по такой же наклонной прямой, как у меня было в видео и вы приравниваете его к интегралу по действительной оси, а это как раз возможно при условии, что интеграл по куску кривой, соединяющей горизонтальную прямую и наклонную равен нулю (в моем случае это интеграл по вертикальному отрезку, но можно и по дуге окружности сделать - в этом случае только сложнее доказать). С этим и будет связан тот факт, что вы при замене в итоге взяли корень (1+i)/sqrt2.
      Как лучше объяснить здесь в комментариях, я не знаю :)

  • @gerpol1005
    @gerpol1005 ปีที่แล้ว

    Мне кажется, что интеграл в правом верхнем углу видео, который вы искали, можно было найти гораздо проще. Числитель и знаменатель показателя у e домножим на i. Сделаем замену и напишем гауссов интеграл(который вы в конце использовали). Выделим реальную часть и всё, ответ.

    • @Hmath
      @Hmath  ปีที่แล้ว +2

      тут уже в комментарии ниже это же предлагали и я там отвечал.
      фактические вы делаете замену и получаете в интеграле не действительную, а комплексную переменную и хотите к нему применить результат полученный для интеграла с действительной переменной. Этот интеграл, кстати, получится не просто от 0 до бесконечности, а будет как раз контурный интеграл по наклонному лучу на комплексной плоскости. И он получается равен интегралу по действительной оси как раз по той причине, что интеграл по вертикальному участку контура стремиться к нулю.
      В общем-то об этом и есть всё видео :) я его просто еще раз пересказываю фактически.
      Т.е в вашем способе просто по умолчанию подразумевается, что интеграл по вертикальному отрезку стремиться к нулю, а это не всегда так :) Видимо уже нужно будет как-нибудь сделать видео, в котором как раз продемонстрировать это факт :)

    • @gerpol1005
      @gerpol1005 ปีที่แล้ว +1

      @@Hmath понял, спасибо. Я просто ещё не слишком знаком с функциями от комплексных переменных, школьник все-таки)

  • @notaslave9628
    @notaslave9628 2 ปีที่แล้ว

    Здравствуйте Алексей, не могли бы вы подсказать мне учебник по интегральному и диф.исчеслению ,но только хороший (на ваш взгляд ).

    • @Hmath
      @Hmath  2 ปีที่แล้ว +3

      На вкус и цвет все фломастеры разные :)
      Фихтенгольц Г.М (3 тома), Курант Р. (2 тома), Смирнов В.И. (тут вообще 7 книг с кучей разделов)

  • @Українець-й4ы
    @Українець-й4ы ปีที่แล้ว

    А почему когда получился интеграл от фукции e^i(x^2) нельзя было сделать замену t=x*(1+i)/√2 , тогда производная t будет (1+і)/√2 что просто вынести за интеграл , а в степени заранее упростив будет -t^2 , интеграл от фукции (√π)/2 и надо просто помножить на (1+і)/√2 , что будет тем же самым ответом что и в конце видео

    • @Hmath
      @Hmath  ปีที่แล้ว

      я уже здесь же отвечал на такой же вопрос ниже в комментарии.

  • @nazimavaleeva3752
    @nazimavaleeva3752 2 ปีที่แล้ว

    Это может быть часть курсовой на мат факе

  • @megistone
    @megistone 3 หลายเดือนก่อน

    Почему именно равнобедренний прямоугольний треугольник? почему именно такие направления?

    • @Hmath
      @Hmath  3 หลายเดือนก่อน

      чтобы получилось найти

    • @megistone
      @megistone 3 หลายเดือนก่อน

      @@Hmath Не, єто понятно. Но почему именно такой. Почему не с углами 30 60 90, почему не квадрат и тп. Как понять что нужен именно такой) Спасибо.

    • @Hmath
      @Hmath  3 หลายเดือนก่อน +1

      цель ведь была изначально свести интеграл к тому, что известно: интеграл от e^(-x^2) по действительной оси - значит как-то в контуре должна была фигурировать действительная ось от 0 до бесконечности. Дальше нужно, чтобы как-то получались и те интегралы, которые нужно найти (с cos(x^2) и sin(x^2)). По ходу решения видно, что этого можно добиться взяв в контур наклонную прямую с углом 45 градусов. Дальше соединил это в замкнутый контур вертикальной прямой и доказал, что интеграл по вертикальной стремится к нулю. Можно было соединить и не вертикальной, а, например, частью окружности и тоже доказывать, что этот интеграл будет стремиться к нулю, если радиус окружности стремится к бесконечности (мне с вертикальной прямой показалось значительно проще, чем с окружностью)
      Универсального рецепта, подходящего к любому интегралу, нет :)

    • @megistone
      @megistone 3 หลายเดือนก่อน

      @@Hmath А, теперь понял. Спасибо!)

  • @AlbertvonBolsdädt
    @AlbertvonBolsdädt 2 ปีที่แล้ว

    Непонятен конец. Почему мнимая и действительная части равны? Мы же умножаем корень из пи пополам на (1+i)/sqrt(2). В мнимой части так и будет i*().

    • @Hmath
      @Hmath  2 ปีที่แล้ว

      если z=a+bi, то действительная часть Rez = a, мнимая часть Imz = b. По определению.

  • @trappist707
    @trappist707 2 ปีที่แล้ว

    Класс! А зачем ставить огонь 🔥 на ответы)

    • @Hmath
      @Hmath  2 ปีที่แล้ว +1

      не во всех видео 🔥, только в некоторых, где ответ огненный :)

  • @MercuriusCh
    @MercuriusCh 2 ปีที่แล้ว

    Ну начало видел не совсем правдиво, если говорить про интеграл Лебега, то изменение подинтегральной функции на множестве меры ноль вообще не меняет интеграл)

    • @Hmath
      @Hmath  2 ปีที่แล้ว +1

      тяжело вам будет смотреть видосики с моими постоянными упрощениями :)

  • @Max-ko2ce
    @Max-ko2ce 2 ปีที่แล้ว

    Ролик хороший, интересный, только где в жизни мы эти знания можем применить?

    • @Hmath
      @Hmath  2 ปีที่แล้ว +7

      универсальный комментарий, можно его оставлять под любым видео на ютьюбе!

    • @НовокузнецкиеСомелье
      @НовокузнецкиеСомелье 2 ปีที่แล้ว +1

      Это вам нужно такой раздел физики ,как оптика изучить, тогда вопросов не будет ,где это знание может пригодиться

  • @OrgStinx
    @OrgStinx ปีที่แล้ว

    Вот вам и гамма функция

  • @barackobama2910
    @barackobama2910 2 ปีที่แล้ว

    тут бы сходимость доказать...

  • @Kapibara3217
    @Kapibara3217 3 หลายเดือนก่อน

    Людишки зашли реально далеко