INTEGRATION durch SUBSTITUTION - Integral mit Wurzel berechnen, neue Grenzen
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- เผยแพร่เมื่อ 21 ก.ค. 2024
- Integration durch Substitution
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) die Integration durch Substitution. Wir berechnen das Integral einer Funktion mit Wurzel mit neuen Grenzen, indem wir substituieren (Substitutionsregel anwenden). Wir ersetzen den Teil, der uns bei der Wurzelfunktion stört, durch ein u und ersetzen auch die Grenzen. Dadurch lässt es sich leichter integrieren (Stammfunktion bilden) und am Schluss wird die Rücksubstitution durchgeführt. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Integration durch Substitution
0:18 Aufgabe zur Integration mit Substitution
9:10 Bis zum nächsten Video :)
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Wieso hast du hier die Substutition angewendet? Man braucht die hier doch garnicht
@Aljoscha Ja das stimmt, hier müsste man die Substitution nicht zwingend anwenden, aber ich wollte ein möglichst einfaches Beispiel haben, um das Prinzip der Substitution zu zeigen.
Wie genau kommt man auf du durch dx ? Also gibt es dazu eine Herleitung ?
Ich beschäftige mich seit sehr lange mit Mathematik nicht können Sie mir diese Aufgabe auch mit anderen zahlen berechnen integral 0 bis 1 Wurzel aus 1 minus x Quadrat vielen Dank
@@mariamrahimy8870 wenn man normal nach x ableitet (differenziert) steht da d/dx. Und da wir jetzt ux haben kommt das U dazu. Das war jetzt nicht sehr Mathematisch aber hoffe das reicht 😅
Immer wieder Klasse deine Videos! Studiere Maschinenbau, um einen Themenüberblick zu bekommen schaue ich immer deine und Mathe Peters Videos, Top!
Mathe 2 sagste hehe
Wo studierst du?
sie und mathepeter einfach beste
Für Studenten ist das hier viel besser als Daniel Jung, und bei dem Thema sind deine Videos sogar besser als die vom MathePeter (bzw. das hier sind halt genau die Aufgabentypen, die ich gebraucht habe) :)
Dankeschön! Freut mich sehr, dass ich dir helfen konnte! 😊
Der Unterschied zu mathepeter und Daniel Jung ist es das diese es inhaltlich erklären und es so an Aufgaben erklären. Hier haben wir direkt Aufgabe , die man meisten in den Klausuren hat.
Ja findes es ebenso besser als Daniel Jung und Mathe Peter da hier sehr genau und in die Tiefe eingegangen wird
Wow... kämpfe gerade an einer ähnlichen Aufgabe für die Uni und dann kommt dieses Video😊
Dankeschön♡
Ich studiere Maschinenbau. Zur Wiederholung schaue ich gerne deine Videos an. Lg
Deine Videos sind wirklich immer sehr hilfreich! Wenn ich etwas im Unterricht nicht verstanden habe, bist du immer die Lösung! Danke!
Es ist immer unglaublich, dass 9 min TH-cam mit mehr beibringen, als 1 1/2 Stunden Vorlesung.
Danke Dir!
Perfekt, freut mich sehr, dass ich dir weiterhelfen konnte!
Hey du bist echt ne Lebensretterin!!!
Wow, dankeschön für dein tolles Feedback! Dann wünsche ich dir ganz viel Erfolg bei der Klausur und du kannst ja danach berichten wie es gelaufen ist! :)
Hallo Marina. Wie ist das Bio Studium? Ich wollte vielleicht Biologie studieren und dann in Genetik vertiefen weil solche Themen wie Gentechnik und genetische Völker absolut mein Ding sind aber ich kann kein Blut sehen, also mir wird es schwindelig und sehr schlecht wenn ich an Blut denke. Wie ist es im Biologiestudium? Kann man das aushalten oder sollte ich doch lieber was anderes studieren?
Bei Dir versteht wirklich jeder Mathe! Danke für die Videos!
Sehr gerne! Freut mich sehr, dass ich dir helfen konnte! :)
Wow krass, da darf ich bei Integralen noch einiges lernen. Ich hab das Video zufällig entdeckt, ich hatte nämlich auch ein ähnliches Problem mit Integral einer Wurzel. Das hilft mir auf jeden Fall weiter! Danke dir!
Hey Susanne ☺️ super Video!! Ich habe es jetzt kapiert. Ich mag es immer sehr an deinen Videos, dass du dir Zeit nimmst und die Aufhaben kleinschrittig rechnest 🤓👀, dann kann ich sehr gut folgen 😘😘 Herzlichen Dank dafür!!
Danke sehr für deine Videos. Deine Erklärung ist immer perfekt detailliert und hilft einem wirklich weiter
Ohne Videos wie dieses hätt ich im Studium keine Chance. Danke :))
Freut mich, dass ich helfen konnte! :) Was studierst du denn?
Vielen Dank, studiere Bauingenieurwesen und deine Videos haben mir enorm geholfen, da der Prof die Sachen unnötig kompliziert durchrattert und alles nur anreist ohne Erläuterung
Bin wirklich sehr beeindruckt von deinen Videos. Du erklärst alles seehr ausführlich und einfach, so dass die Themen für einen Laien wie mich auch verständlich sind. Selbst intuitive Zusammenhänge erklärst du nochmal in einfachen Worten. Vielen vielen Dank🌹✌🏽
Wow, Dankeschön für dein liebes Feedback!! 😍
nach langer verzweiflung hat mir das video sehr geholfen und ich habs endlich verstanden vielen dank dass du mich vor dem burnout gerettet hast!
du hast das echt wundervoll erklärt. DANKEEEE
Dankeschön, freut mich sehr! 🥰
tausend dank!!! ich schreibe in einer woche meine matheklausur an der uni und du hast mich gerettet! danke danke danke!☺️❤️❤️❤️❤️❤️
Finde deine Videos für Studenten sehr gut! Wesentlich besser als von der TH-cam Konkurrenz 😅
Dankeschön, das freut mich! 😊
Super erklärt, kurz vor der Klausur eine Rettung!! ❤
Ich danke Ihnen, dank ihren Videos habe ich endlich alles verstanden
Endlich Mal jemand der erklärt, warum man dx/du als Schreibweise verwendet! Schon so viele Erklärungen zur Substitution gesehen und nie verstanden, warum das gemacht wird. Jeder scheint es als selbstverständlich oder unwichtig
hinzunehmen.
Sehr sehr gut erklärt, vielen Dank
besser als das könnte man nicht erklären, vielen lieben Dank.
deine Videos sind einfach genial.
bitte mach immer solche Übungen und je schwerer umso besser bitte immer so Klausurrelevant.
ich habe viele klausuraufgaben die kann ich dir schicken
dankeschön liebe Susanne, das Video hat mir sehr geholfen :)))))
Ich schreibe sehr selten Kommentare aber seit zwei tagen versuche ich diese Methode zu lernen und habe nie etwas gefunden welches die mini Zwischenschritte eklärt vielen dank endlich du hast mir echt weitergeholfen ❤🎉
Liebe Susanne meine ich zuerst Wurzel als Hoch 1/2 umschreibt, und schaut man den Term zu ableiten hier ist -2, das heisst um innere Ableitung zu realisieren multipliziert man mit -2 und gleichzeitig mit Umkehrwert (-1/2) multipliziern dann ist ganz Normal integrieren mit Hochzahl+1 und durch neue Hochzahl dividieren kommt man auf gleiche Ergebniss
Vielen Dank für Ihre Mühe
Perfekt und tooool
danke, du erklärst sehr gut!!!:)
Dankeschön! 😍
Sehr gut erklärt, danke
Sehr gut erklärtes video! Rettest mein WIWI Studium! Vielen Dank.
Danke dir, das freut mich total! Dir viel Durchhaltevermögen in der Klausurphase!
Super hilfreiches Video ,danke dir ☺️
Super, freut mich, dass ich dir weiterhelfen konnte! :)
Hallo Susanne,
Vielen dank für die Erklärung. In der Schule konnten wir das Thema leider nicht bearbeiten, somit bin ich wortwörtlich auf deine Videos angewiesen da ich in zwei Wochen auch noch ins Studium starte.
Hoffentlich liest du die Nachricht
Lieber Maxi, dann wünsche ich dir ganz viel Erfolg bei deinem kommenden Studium! Was wirst du denn studieren? :)
@@MathemaTrick Guten Morgen Susanne,
vielen Dank, ich werde Wirtschaftsinformatik studieren in Pforzheim.
Deine Videos helfen so ungemein, weil du von Anfang an mit der Erklärung einsteigst und jeden Rechenschritt rechnest und nicht iwas dann voraus setzt. Bitte mach weiter so :)
Immer schön, mit Dir Mathematik zu betreiben. ich habe (1-2x)=u² definiert. Dann wäre dx (-2)=2udu, daraus folgt: dx=-udu, Also Integral: u*(-u)du = -u² du = -u³/3 ergibt: (u³/3) von a=0 (anstatt -1) zu b=(-1) so kann man sich von dem Minus zeichen loslösen, Integral=(1-2x)^(3/2) zwischen a=0 und b= -1, das Ergebnis wäre (1/3)(√27-1)= (1/3)(3√3-1)= √3-(1/3) oder auch (3√3-1)/3 = 1,3987 🌷
super hilfreich, Dankeschön
Das freut mich! :)
Viiiiielen Dank, das Video hat mir sehr weitergeholfen!
Das freut mich total! So spät noch am Hausaufgaben machen? 🙈
@@MathemaTrick Puh, ja, Studium lässt mir kaum Ruhe. Nett dass du mir einen Kommentar schreibst. Deine Mathevideos suchen auf TH-cam ihresgleichen!
Oh ja, so ein Studium ist was anderes als das Abi 😆
vielen lieben dank es ist super verständlich
Super, freut mich sehr! :)
Danke dir!^^
Tausend Dank
Super und charmant erklärt, macht Spaß! Welche Videosoftware setzen Sie ein, damit das Whiteboard und nur ihr Gesicht ohne Hintergrund erscheinen?
Dankeschön! Schau mal in die Videobeschreibung, da habe ich alles verlinkt was ich benutze! :)
toll erklärt, danke!
Freut mich, dass ich helfen konnte! 🤗
Vielen Dank
Deine Videos sind echt perfekt
Das freut mich riesig zu hören, danke dir!
@@MathemaTrick mich freut es durch dich Hoffnung auf dir klausur zu haben 😁
Dankeschön 💜
Sehr gut erklärt. Bei mir ist das Thema ja schon über 35 Jahre her aber so kann ich es auch meiner Tochter wieder erklären.
Danke !!! die Im studium haben nicht all zu viel bock das richtig zu erklären
super, danke :)
Für die Schüler sollte man erwähnen, dass der Differentialquotient du/dx korrekterweise gesprochen wird als „d u nach d x“. Diese Notation und Aussprache geht auf Leibniz zurück und würde in der Langaussprache (der Anweisung / Operation) folgendermaßen lauten: (d)ifferenziere die Funktion u nach (d)er Variablen x.
Eigentlich ist das für die Schüler scheiß egal, weil sie nicht wissen, was es überhaupt bedeutet und das ist gar nicht schlimm.
Wie mache ich das denn bei x+1/Wurzel5+4x+x^2 ? Ist mein "u" dann in dem Fall auch wieder 5+4x+x^2
Danke Susi ❤️
super
danke
Wenn ich den zu integrierenden Term umschreiben zu (1-2x)^0,5 kann ich doch ganz normal integrieren, indem ich den exponent um 1 erhöhe und dann mit 1/neuer Exponent und 1/innere Ableitung multipliziere. So komme ich direkt auf das Ergebnis nach der Rücksubstitution oder sehe ich da irgendwas falsch?
morgen mathe abi rettest mich wie immer kussi
Wünsche dir ganz viel Erfolg für morgen!!!
eywa pusht ihn alle
Super Video! 🤔😛
Danke👍
Dir einen schönen Samstag! 😊
Hallo Susanne, super Video. Allerdings ist mir was unklar: du/dx ist doch eine Anweisung bzw. ein Operator. Wieso kann man da einfach mal dx machen so wie wenn es ein Bruch wäre? Gibt es da irgendeine Matheregel die hinter der Notation steckt? Danke.
Hallo Susanne,
Du sagst am Anfang, das man hier etwas besonderes zum Integrieren braucht (hier also Subs.). Geht das nicht auch einfacher über die normalen Regeln, so wie Du es auch schon in deinem Video (NTEGRIEREN Klammer - Stammfunktion bilden Klammer, Integral berechnen) gezeigt hast? Also dass man die Wurzel einfach umschreibt in (1-2x)^0,5?
Denke ich auch. Verstehe nicht warum man das hier so kompliziert macht
Liebe Susanne, eine Frage. Du hattest gesagt, das dx ist dazu da um das Integral abzuschließen, eine schließende Klammer sozusagen. In 4:40 bist du davon zur Multiplikation übergegangen, d.h. wenn wir früher das dx einfach ignoriert haben, dann multiplizieren wir unser Integral mit (-1/2). Kannst du nochmal kurz darauf eingehen? Vielen Dank.
sehr gute Videos👍😊
Dankeschön! 🥰
Liebe Susanne ganz toll
Dankeschön! Und sehr schön, dass du meinen Kanal entdeckt hast! 😊
Bei ihr macht Mathe das erste mal spaß
;)
Ja ist echt richtig cool ;)
Super, freut mich riesig!
Hey, wohin verschwindet das du beim Aufleiten? MfG
Darf ich fragen warum die neue hochzahl von u hoch 1/2 im integral 1 + 1/2 ist.
Vielen Dank.
Weil nur so die Ableitung der Stammfunktion f(x) ergibt.
Vielen Dank,
Ich habe eine kurze Frage. In meine Tafelwerk steht dx=u'*du. Sollte das nicht dx=du/u' sein?
Hey, könntest du vielleicht ein Video zum Thema Projektionen machen?
Ich habe eine Frage. Hier muss man nicht unbedingt Substitution durchführen. Man kann doch einfach die Regel für lineares Integrieren anwenden, weil die innere Funktion eine lineare Funktion ist, oder?
Ja hier wäre die Substitution nicht unbedingt notwendig gewesen, wollte nur das Grundprinzip an einer möglichst einfachen Funktion zeigen. Das kannst du dann auch mit deiner genannten Regel lösen. 😊
Alles klar.
Danke für die Antwort.👍
Spitze !
Wann weiß ich, dass ich die Grenzen ändern muss ? Vielen Dank im Voraus
Die Liste der Mathe "TH-camr" füllt sich langsam immer mehr. Von Simpleclub zu Daniel Jung über Mathe Peter bis in zur lieben Susanne. Und trotzdem weiß ich bis heute nicht, wie ich mit 4,0 durch die Prüfung kommen soll xD
Das mit dem dx und du umstellen ist ja ne tolle Merkhilfe, aber mein Analysis Professor würde mich aus dem Hörsaal jagen, wenn ich es so mache🤣
Hahaha geil mit dem U87 als Mikro
Hehe, gut erkannt! ;-)
Wie substituiert man die 1,4 in die ursprüngliche funktion mit x zurück? oder geht das garnicht?
bin auch verloren
@@fabiantrslmnn 😂😂😂😂
Grenzen umrechen oder am Ende wieder rücksubstituieren: Beides geht und ich mache auch beides, je nach Laune. Vieleicht wäre es eine gute Idee (zumindest an die untere Grenze) u=... oder x=... zu schreiben. Man muß die Grenzen bei der Berechnung von bestimmten Integralen ja eine Weile mitschleppen und es ist zumindest intransparent (für mich, vielleicht auch für den, der die Aufgabe korrigieren muß). Ist die Notation u=... korrekt, wie gehen Ana1 Vorlesungen damit um? Auch für Mehrfachintegrale könnte diese Notation helfen.
Kommt natürlich immer drauf an wer korrigiert. Du kannst aber im Allg. einfach als Grenzen u_1 und u_2 schreiben, was du vorher ja als x_1 und x_2 schreiben könntest.
DANKE! :D
Gerne! 🥰
wie funktioniert die Substitution wenn vor der Wurzel ebenfalls ein x steht?
Hallo Susanne. Kannst du bitte ein Video über dieses Integral machen: 1/(1+x²)² . Vielen Dank.
wie würde ich es lösen, wenn mein u immernoch ein x^2 enthält und somit u´ ebenso ein x enthält?
Wie heißt die Funktion denn, die du integrieren sollst?
Hi Susanne, gerade wieder aus den Semesterferien, komplett eingerostet...
Wenn meine Ableitung u'(x) zum Beispiel 8x ist, dann hole ich mir doch wieder ein "x" in mein "U-Integral". Zudem, wenn meine x Grenzen -1 bis 1 sind, dann werden meine U-Grenzen 5 bis 5, macht das dann noch Sinn mit den Grenzen?
Beste Grüße!
was meinst du mit korrekturhochzahl? 6:27
Wow danke danke danke
Sehr gerne! :)
Ich hätte da eine Frage was macht man, wenn unter der Wurzel 1-x^2 steht? Kann man dann überhaupt die Substitution verwenden? Es würde ja dann -1/2x als Faktor rauskommen dann hat man ja u und x...
wie sieht es denn aus, wenn man unter der wurzel zb ein x^2 hat? dann wird -du- ja ein Ausdruck mit x.
wie geht man da dann vor?
Die Wurzel aus x^2 ist abs(x)
Was ist eigentlich, wenn es doppelt verschachtelt ist, also z.B ((zeug)Wurzel davon) alles hoch 2? Ersetzt man dann gleich alles in der Klammer mit der Variable?
Oder noch mehr verschachtelt, zB. (Wurzel von( cos(sin((wurzel(polynom))))))hoch 2 ?
6:40: Wieso hast du das Du da einfach weg gemacht? Gibt es da eine regel für?
Eine Frage bitte, warum wird die hochzahl von u erhöht zu 3/2?
Wenn man die Stammfunktion bildet, wird die Hochzahl ja um 1 erhöht. Wenn die Hochzahl vorher also 1/2 war, rechnet man 1/2 + 1 und kommt damit auf die 3/2. Hilft dir das? 😊
Kann ich das nicht linear integrieren also ohne Substitution (2x-2)^(1/2)
Hallo Susanne,
meine Funktion lautet fast wie bei Dir: Wurzel(1-x^2). Dann hab ich nach der Substitution aber noch ein ungeliebtes x was ich nirgends wegkürzen kann.
Wie würde ich hier am besten vorgehen?
Gruß Stephan
Kann man -1/2 nicht auch vor das Integral ziehen?
Und wenn bei der Ableitung von u noch ein x stehen bleibt?
Susanne, ich liebe dich
Tja, leider steht bei meiner funktion sqrt(t^2+(at^2)^2)... Wenn ich das ableite, ist das immernoch von t abhängig... was mache ich dann?
Wir behandeln dieses Thema momentan, jedoch passt unser Lehrer die Grenzen nicht an, sondern löst die Substitutionsgleichung nach x auf, ich habs probiert mit dem anpassen der Grenzen aber es funktioniert nicht…
Aufgabe: Integral (5+x)/5-x)
Integralgrenzen -1;1
Substitution: 5-x
9:00 müsste man nicht die ursprünglichen Grenzen wieder hinschreiben?
falsch
Mathe hin oder her.. Aber wie smooth die geschweifte Klammer gezogen wird.. Traum
Hallo:) Bei folgender Gleichung komme ich beim substituieren auf du/2x=dx und wollte nun wissen wie ich das im weiteren Verlauf handhaben würde. Die Gleichung: x/x²-4 dx (obere Grenze:6; untere Grenze: 3)
Das sieht schon mal sehr gut aus, was du gemacht hast. Ich nehme mal an, dass du u = x²-4 gesetzt hast.
Dann kannst du jetzt alles im Integral ersetzen (auch die Grenzen):
Integral von 5 bis 32 über
x/u • du/2x
So kann man es erstmal aufschreiben und dann kannst du das x kürzen und etwas umstellen, dass da steht:
Integral 1/2 • 1/u du
Kannst du das nachvollziehen?
@@MathemaTrick Hallo, was ist wenn man kein x sondern eine 1 oben hat? Ich weiß nicht genau, wie kürzen soll. Meine Aufgabe ist 1/√(4+x²)
was wenn in der 1. Ableitung immernoch ein x ist? dann hab ich ja x und u zusammen in der Gleichung
Liese sich nicht -1/2 aus dem Integral ganz rausziehen?
❤️❤️❤️
Ok ich habe nun bereits länger nach einer guten Erklärung für die Substitution 2. Art, also trigonometrische und spezielle Substitutionen gesucht bin aber nicht fündig geworden. Gibt es hierzu ein Video auf diesem kanal? Kann mir jemand evtl. auch von einem anderen Kanal ein video empfehelen, das die Methode vollständig, lückenlos und verständlich Schritt für Schritt in etwa wie z.B die andere Methode hier in diesem Video erklärt wird?