... А воткну-ка я им ещё пару квадратов, площадями 4 и 5. Чтобы "служба мёдом не казалась". И всё было бы - ничего. В этой задаче прекрасно всё, в том числе и специфический юмор автора, и совершенное непонимание им задачи в целом. В том виде, в каком она поставлена, эта задача может быть решена - как это демонстрируют комментарии - множеством способов: и индуктивным путем, и дедуктивным. А более конкретно и трилатераметрическим методом, и с применением тригонометрии. Однако движение от абстрактного к конкретному - в смысле методологии вообще, а скорости решения задачи, в особенности, - правильно и предпочтительно. Лучшего и желать невозможно. Действительно. Решив задачу в общем виде, для "всех треугольников", решать конкретную задачу - дело "пары пустяков". Были бы в наличии оперативные формулы высоты прямоугольного треугольника, равностороннего, равнобедренного и всякого иного. Но ... . Да. Есть одно но. Цимус данной задачи состоит как раз в вопросе: как умудрились натянуть сову на пень без искажения её фасада? Ведь пень-то не абы какой, а особенный! Он охватывает максимальную площадь квадратной формы от совы. Поэтому вся задача целиком имеет следующую формулировку: это - задача о вписании квадрата максимально возможной площади в произвольный треугольник и нахождении площади этого квадрата. Эта общая задача имеет и четыре особенных варианта решения: для прямоугольного треугольника, равностороннего, равнобедренного и любого другого.
Все белые треугольники подобны главному. Обозначим соответствующие коэффициенты подобия: k,k₂,k₃. На основание того же рисунка, имеем систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными: 1k₁ + √5k₂ = 1; √5k₁ = 2k₂.⇒k₁ + √5*(√5k₁/2) = 1 ⇒ k₁ = 2/7. k₂ = √5/7. Также и 1*k₃ = √5k₁ ⇒ k₃ = √5*2/7. Сторона желтого кв. d = √5*k₁ = 2√5/7. Также d = 2*k₂ = 2*(√5/7) = 2√5/7, и d = 1*k₃ = 2√5/7. *Sкв.* = d² = (2*√5/7)² = *20/49.*
Обозначим т. К квадратика на СМ . СК=x, КМ 1-x сторона квадратика=x*на ^из 5 .В тр. с диагональю КМ=1-x , (1-x)^ =5a^ , откуда 4а^=x^-2x+1/5=4x^-8x+4/5 =5x^ , откуда x=2:7 , 5x^=5*4/49=20/49.
Все белые(бежев.) тр-ки подобны(квадрат, вписанн. в прям-ный тр-ник) . Все катеты относятся 1:2. Сл-но, если сторона желтого \/х, то МД=2\/х+\/х+\/х/2=\/5 х=20/49.
Все треугольники внутри ДСМ подобны с катетами х ,2х. Гипотенуза ДМ делится на части х 2х 4х. х+2х+4х=√5 х=√5/7. Сторона квадрата 2*√5/7. Площадь равна квадрату стороны 20/49.
Ах, да. Мне тут подумалось, что будет не безынтересным иметь пример применения открытого закона к конкретному случаю. Так сказать, пример применения общего к уникальному: th-cam.com/video/1N-doa1KZeE/w-d-xo.html
@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо, Валерий, за приглашение. Я, правда, и без приглашения это делаю, насколько мне позволяет время. Да, я бы сказал в общем: в геометрии самой по себе, а именно, в системе геометрических свойств и пространственных отношений того мира, в котором мы живём, мира вечного, а потому и бесконечного, в целом, и пространственных его конечных, а потому и преходящих форм, в частности, нет ничего практически неинтересного. Более того. Если найти правильную точку зрения на геометрию, да, плюс к тому, правильный подход к ней, то можно будет обнаружить однажды, что она сама начинает диалог с таким исследователем, правда, на свойственном ей языке, в частности, загадывает загадки и вместе с тем даёт подсказки к ним (напр., адекватная природе реконструкция развёртки додекаэдра: vk.com/s/v1/doc/r1DHKMStwYncTGgAnrtAlg4ogiaIWpXN6R9I9Nq4Rcb_d3W_6_g ). И рассказывает она обычно в этом диалоге о себе то и такое, что и какое не расскажет ни один бюрократ-профэссор в мире, напр., какой-нибудь эйлер. Тут дело обстоит не иначе, чем так: "она мине диктует, я знай себе пишу!" 😜. В итоге оказывается, что автору изложения принадлежит только свойственная этому автору субъективная форма изложения, со всеми плюсами её и минусами, что, в общем и целом, свойственно любому переводу с одного языка на другой, в частности, переводу с геометрического языка на человеческий. Неинтересным в геометрии может быть только ... её изложение.
Через А1 провела параллельную СВ, А1В1. АА1В1 подобен АВС. АВ1=корень из 5 -х. Составляю уравнение: (корень из 5 - х)/корень из 5 все в квадрате=х( корень из 5 -х)/2. Т.е. коэффициент подобия в квадрате равен отношению площадей. Ответ как у Вас.
ОПЯТЬ в лицей ? Я ничо не достраивал. Выкинул квадраты. Базовый треугольник -- 1-2-√5. Принимаем сторону квадратика за х. Составляем табличку 3х3 со сторонами треугольничков (от большего к меньшему): х 2х х√5 х/2 х ( х√5\)2 х/√5 2х/√5 х Примитивно суммируем площади трех треугольников и квадратика -- вся сумма равна единице
все забыл из школьной программы. сначала начертил и нашел графически, а уже потом дошло: почти все треугольники подобные. Нашел отношение катетов - 1 к 2. Посчитал длинну гипотенузы большого треугольника, и уже зная что гипотенуза 3,5 стороны квадрата нашел площадь. Примерно 0,40816. Задача как сейчас вижу простейшая, но сколько ж я думал...Спасибо, нравятся такие задачи.
вот правильно маэстро вначале сказал "я знаю, вы обожаете такие задачи") так и есть.... пришел с работы... думаю, дай гляну, че там у Казакова, потом поем... глянул - и бальзам на душу... потом поем) так... решаем... CD=2 MD=√5... значит CM=1... tgCDM=1/2... обозначим сторону маленького квадрата за х... тогда DM=2x+x+x/2=√5... x=2√5/7... x^2=20/49
Но ВЫ не поставили букв на жёлтом квадрате и на отдельном треуг. изменили название гипотенузы ДМ на АВ.. Называется дать буквы, чтоб мы могли прислать решение. Придётся описывать словами. Верхний правый треуг (меньший катет у, больший - сторона жёлтого квадрата х), подобен треуг ДСМ, отсюда у/х = 1/2, у = х/2. Нижний треугольник также подобен треуг ДСМ, откуда х/(\/5 - х - у) = х/(\/5 - 3х/2) = 1/2. х = 2/7 • \/5. Sж = х² = 20/49.. Два подобия и всё.
С утра в дороге, наконец, добрался. Задача простенькая, на ползуба для продвинутого восьмиклассника, однако, для среднестатистического - весьма и весьма полезна! Значится, так: если "раскатать" ("размазать") жёлтенький по гипотенузе, то можно "случайно" обнаружить, что она (гипотенуза) в 3,5 раза длиннее стороны квадрата, это явствует из подобия кучи тр-ков. Т. е. сторона квадрата = (√5)/3,5 = (2√5)/7. И вообще, сторона квадрата, вписанного на гипотенузу прямоугольного тр-ка с катетами a и b = [ab√((a² + b²)]/(a² + b² + ab). Например, сторона квадрата в Египте = 60/37.
Да, устно дейстительно можно проще решить через подобие отношений площадей треугольников и квадратов. Первый шаг останется, когда узнаем третию сторону 1, а дальше отношения площадей прилегающих квадратов: 4:1, 5:1 и 1:1, откуда сразу получаем сумма всех площадей внутреннтх треугольников и желтого квадрата в виде: 1 = x (квадрат) + x (больший треугольник) + x/4 + x/5 (оставшиеся 2 треугольника) = 49x/20, откуда сразу находим x=20/49
... А воткну-ка я им ещё пару квадратов, площадями 4 и 5. Чтобы "служба мёдом не казалась".
И всё было бы - ничего. В этой задаче прекрасно всё, в том числе и специфический юмор автора, и совершенное непонимание им задачи в целом.
В том виде, в каком она поставлена, эта задача может быть решена - как это демонстрируют комментарии - множеством способов: и индуктивным путем, и дедуктивным. А более конкретно и трилатераметрическим методом, и с применением тригонометрии. Однако движение от абстрактного к конкретному - в смысле методологии вообще, а скорости решения задачи, в особенности, - правильно и предпочтительно. Лучшего и желать невозможно. Действительно. Решив задачу в общем виде, для "всех треугольников", решать конкретную задачу - дело "пары пустяков". Были бы в наличии оперативные формулы высоты прямоугольного треугольника, равностороннего, равнобедренного и всякого иного.
Но ... . Да. Есть одно но. Цимус данной задачи состоит как раз в вопросе: как умудрились натянуть сову на пень без искажения её фасада? Ведь пень-то не абы какой, а особенный! Он охватывает максимальную площадь квадратной формы от совы.
Поэтому вся задача целиком имеет следующую формулировку: это - задача о вписании квадрата максимально возможной площади в произвольный треугольник и нахождении площади этого квадрата. Эта общая задача имеет и четыре особенных варианта решения: для прямоугольного треугольника, равностороннего, равнобедренного и любого другого.
Все белые треугольники подобны главному. Обозначим соответствующие коэффициенты подобия: k,k₂,k₃. На основание того же рисунка, имеем систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными:
1k₁ + √5k₂ = 1; √5k₁ = 2k₂.⇒k₁ + √5*(√5k₁/2) = 1 ⇒ k₁ = 2/7. k₂ = √5/7.
Также и 1*k₃ = √5k₁ ⇒ k₃ = √5*2/7.
Сторона желтого кв. d = √5*k₁ = 2√5/7. Также d = 2*k₂ = 2*(√5/7) = 2√5/7, и d = 1*k₃ = 2√5/7.
*Sкв.* = d² = (2*√5/7)² = *20/49.*
Спасибо.
Ну Валерий Вы и хитрец однако!))) я думаю - чё за ересь у меня получается. А оказывается правильно!!!!!😂
Да, я такой!
Из подобия треугольников, отношения катетов 2/1, тогда гипотенуза это сумма отрезков 2a+a+1/2a=√5, откуда a=2√5/7, a площадь S=20/49.
ОТлично!
Ага. Я тоже так решал. Коменты почил, так все решали 😁
Симпатичной пионэркой заманиваете?😂
Так точно!
Обозначим т. К квадратика на СМ . СК=x, КМ 1-x сторона квадратика=x*на ^из 5 .В тр. с диагональю КМ=1-x , (1-x)^ =5a^ , откуда 4а^=x^-2x+1/5=4x^-8x+4/5 =5x^ , откуда x=2:7 , 5x^=5*4/49=20/49.
Супер!
Все белые(бежев.) тр-ки подобны(квадрат, вписанн. в прям-ный тр-ник) . Все катеты относятся 1:2. Сл-но, если сторона желтого \/х, то МД=2\/х+\/х+\/х/2=\/5 х=20/49.
Отлично.
Дорисовала штаны Пифагору увидим что катеты 1:2. Обозначим сторону жёлтого как х. 2х+х+0,5х=3,5х=✓5 Площадь 5/(3,5^2)=1/2,45
Замечательно!
Эх. Ловушка. Я пришёл √5/3.5х Получил х= 0.40816...
Да, замануха!
Все треугольники внутри ДСМ подобны с катетами х ,2х. Гипотенуза ДМ делится на части х 2х 4х. х+2х+4х=√5 х=√5/7. Сторона квадрата 2*√5/7. Площадь равна квадрату стороны 20/49.
Для экзамена - самый короткий путь без заморочек из подобия. Но В.Казаков показал общий подход, что очень интересно.
Спасибо.
Ах, да. Мне тут подумалось, что будет не безынтересным иметь пример применения открытого закона к конкретному случаю. Так сказать, пример применения общего к уникальному: th-cam.com/video/1N-doa1KZeE/w-d-xo.html
Да, я вас там где-то цитировал уже. Смотрите наши ранние ролики, там много интересного.
@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо, Валерий, за приглашение. Я, правда, и без приглашения это делаю, насколько мне позволяет время.
Да, я бы сказал в общем: в геометрии самой по себе, а именно, в системе геометрических свойств и пространственных отношений того мира, в котором мы живём, мира вечного, а потому и бесконечного, в целом, и пространственных его конечных, а потому и преходящих форм, в частности, нет ничего практически неинтересного. Более того. Если найти правильную точку зрения на геометрию, да, плюс к тому, правильный подход к ней, то можно будет обнаружить однажды, что она сама начинает диалог с таким исследователем, правда, на свойственном ей языке, в частности, загадывает загадки и вместе с тем даёт подсказки к ним (напр., адекватная природе реконструкция развёртки додекаэдра: vk.com/s/v1/doc/r1DHKMStwYncTGgAnrtAlg4ogiaIWpXN6R9I9Nq4Rcb_d3W_6_g ). И рассказывает она обычно в этом диалоге о себе то и такое, что и какое не расскажет ни один бюрократ-профэссор в мире, напр., какой-нибудь эйлер. Тут дело обстоит не иначе, чем так: "она мине диктует, я знай себе пишу!" 😜. В итоге оказывается, что автору изложения принадлежит только свойственная этому автору субъективная форма изложения, со всеми плюсами её и минусами, что, в общем и целом, свойственно любому переводу с одного языка на другой, в частности, переводу с геометрического языка на человеческий. Неинтересным в геометрии может быть только ... её изложение.
Через А1 провела параллельную СВ, А1В1. АА1В1 подобен АВС. АВ1=корень из 5 -х. Составляю уравнение: (корень из 5 - х)/корень из 5 все в квадрате=х( корень из 5 -х)/2. Т.е. коэффициент подобия в квадрате равен отношению площадей. Ответ как у Вас.
Отлично!
Спасибо!
ОПЯТЬ в лицей ?
Я ничо не достраивал.
Выкинул квадраты. Базовый треугольник -- 1-2-√5. Принимаем сторону квадратика за х. Составляем табличку 3х3 со сторонами треугольничков (от большего к меньшему):
х 2х х√5
х/2 х ( х√5\)2
х/√5 2х/√5 х
Примитивно суммируем площади трех треугольников и квадратика -- вся сумма равна единице
Отлично. Кто вас всех научил так стремно решать?
@@GeometriaValeriyKazakov
Меня -- нестандартный образ мышления. Цепочки в головном мозге -- неправильные
все забыл из школьной программы. сначала начертил и нашел графически, а уже потом дошло: почти все треугольники подобные. Нашел отношение катетов - 1 к 2. Посчитал длинну гипотенузы большого треугольника, и уже зная что гипотенуза 3,5 стороны квадрата нашел площадь. Примерно 0,40816. Задача как сейчас вижу простейшая, но сколько ж я думал...Спасибо, нравятся такие задачи.
вот правильно маэстро вначале сказал "я знаю, вы обожаете такие задачи") так и есть.... пришел с работы... думаю, дай гляну, че там у Казакова, потом поем... глянул - и бальзам на душу... потом поем) так... решаем... CD=2 MD=√5... значит CM=1... tgCDM=1/2... обозначим сторону маленького квадрата за х... тогда DM=2x+x+x/2=√5... x=2√5/7... x^2=20/49
Отлично!
Но ВЫ не поставили букв на жёлтом квадрате и на отдельном треуг. изменили название гипотенузы ДМ на АВ.. Называется дать буквы, чтоб мы могли прислать решение. Придётся описывать словами. Верхний правый треуг (меньший катет у, больший - сторона жёлтого квадрата х), подобен треуг ДСМ, отсюда у/х = 1/2, у = х/2. Нижний треугольник также подобен треуг ДСМ, откуда х/(\/5 - х - у) = х/(\/5 - 3х/2) = 1/2. х = 2/7 • \/5. Sж = х² = 20/49.. Два подобия и всё.
Спасибо.
В последнем ролике поставил все БУКВЫ!
С утра в дороге, наконец, добрался. Задача простенькая, на ползуба для продвинутого
восьмиклассника, однако, для среднестатистического - весьма и весьма полезна!
Значится, так: если "раскатать" ("размазать") жёлтенький по гипотенузе, то можно
"случайно" обнаружить, что она (гипотенуза) в 3,5 раза длиннее стороны квадрата,
это явствует из подобия кучи тр-ков. Т. е. сторона квадрата = (√5)/3,5 = (2√5)/7.
И вообще, сторона квадрата, вписанного на гипотенузу прямоугольного тр-ка
с катетами a и b = [ab√((a² + b²)]/(a² + b² + ab).
Например, сторона квадрата в Египте = 60/37.
Во как! Интресно. Правда, запомнить эту формулу очень трудно и я учу олимпиадников той, что вывел
x= ch|(c+h). Она верна для любого тр-ка.
@@GeometriaValeriyKazakov Согласен. Правильно учите,
я ведь уже давно никого не учу
Быстро решил задачу с конкретными данными, но в общем виде решение очень полезно.
Согласен.
Зажачникт классные! Купила на Вальдберрис
СУПЕР!
Через подобие задача решается устно
Отличный ответ! Думаю, поставят 100 баллов!
Спасибо Вам. Книги буду искать!!!❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
Вы один из лучших зрителей!
Да, устно дейстительно можно проще решить через подобие отношений площадей треугольников и квадратов. Первый шаг останется, когда узнаем третию сторону 1, а дальше отношения площадей прилегающих квадратов: 4:1, 5:1 и 1:1, откуда сразу получаем сумма всех площадей внутреннтх треугольников и желтого квадрата в виде:
1 = x (квадрат) + x (больший треугольник) + x/4 + x/5 (оставшиеся 2 треугольника) = 49x/20, откуда сразу находим x=20/49
Для наглядности можно дорисовать третий верхний квадрат 1×1
Спасибо. Это не проще, а другой способ.