Exercícios resolvidos sobre Teoria de Grupos. EX 2.
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- เผยแพร่เมื่อ 5 ก.พ. 2025
- Resolução de exercícios sobre Teoria de Grupos (Álgebra Moderna/Estruturas Algébricas). Exercício 2 da página 156.
Dúvidas e sugestões podem ser colocadas nos comentários do vídeo. Tentarei responder a todos na medida do possível.
Mostre que |R dotado da operação * tal que x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3} é um grupo abeliano.
Grupo abeliano; Grupo comutativo; Grupo; Teoria de Grupo; Álgebra Moderna; Estruturas Algébricas.
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Matsolve com Prof. José Sérgio
Parabéns, sinceramente, isso sim que é professor!
Luís, muito obrigado pelo comentário! Todo o trabalho que a preparação dos vídeos demanda é recompensado ao saber que o material está ajudando! Abraço! 👨🏫🚀📚👏😉
Ótima aula Dr. José
Muito obrigado, meu caro! Continue acompanhando o canal! 👍📚👨🏫
Ótima explicação, como sempre, professor José Sérgio! Que saudade das suas aulas... :)
Oi Rosiana, que ótimo te rever por aqui! Obrigado pelo elogio, você é sempre muito gentil! Agora você pode ter acesso às aulas, pelo menos por aqui rsrsrs... Tudo de bom para você! 🎓📓👨🏫🚀😊
@@josesergiomatsolve Que oportunidade ímpar, professor! Tudo de bom para o senhor também! :)
@@rosianadeoliveirapedroso8489 muito obrigado, espero te encontrar sempre por aqui! Você é 🔟
Seus vídeos tão incríveis
Muito obrigado pelo elogio, é um prazer receber seu comentário! 👍📚👨🏫🚀😉
Excelente explicação, muito bom!
Muito obrigado pelo comentário, Marcos! 👨🏫🎓👏
Ótima aula.
Muito obrigado pelo comentário! É um prazer recebê-lo por aqui!
Muito bom!
Valeu João! 👏👏👏📔📐
em 2:11, por que o o *z virou +z?
Olá @jlacerd4 , obrigado pelo comentário!
Basta observar a operação definida para os elementos, que é *. Ela faz com que x*y seja a raiz cúbica da ADIÇÃO dos cubos de x e de y. Então, em x*y*z=(x*y)*z=(raizcubica(x^3+y^3))*z. Aí, observando que raizcubica(x^3+y^3) é um elemento de R, digamos raizcubica(x^3+y^3)=w, tem-se que:
(raizcubica(x^3+y^3))*z=w*z=raizcubica(w^3+z^3)
e é por isso que onde tinha *z aparece +z^3, pois é parte do que a operação * faz, ou seja, calcula a raiz cúbica da SOMA dos cubos dos elementos.
Espero ter ajudado! 👨🏫📚
@@josesergiomatsolve muito obrigado!
tenho uma duvida: o exercio nao fala que a operaçao é de adiçao, como vou saber que quando tenho o terceiro elemento "z" posso aplicar a adiçao?
Olá meu caro @marconeynunes6780 , pelo que entendi, você menciona a verificação feita no item iii., que se inicia em 1:32 do vídeo, aproximadamente. Na realidade, a operação que é feita é a de *, porém, da forma como essa operação foi definida, aparece a adição usual +.
De outra forma, a operação * é definida para quaisquer reais x e y como a raiz cúbica de (x^3+y^3). Então, ao se fazer (x*y)*z, o resultado do parênteses, (x*y) será a raiz cúbica de (x^3+y^3). Para facilitar (talvez, rsrsr...) considere que esse resultado é igual a um número real simbolizado por w. Então, w =raiz cúbica de (x^3+y^3).
Ao fazer isso, perceba que podemos escrever
(x*y)*z=w*z
e que, portanto, usando a forma como a operação * foi definida, segue que
(x*y)*z=w*z=raiz cúbica de (w^3+z^3)
Como o w já é uma raiz cúbica, aparece o resultado apresentado no exercício.
Então lembre-se, não é o uso da adição, mas sim, o uso da operação *, que, por definição, possui uma operação de + envolvida.
Espero ter ajudado!
Boa noite professor, boa suas explicações. Poderia me ajudar nessa questão ?
Sejam R o conjunto dos números reais e as operações x(Delta)y = raizTerça(x³ + y³) e x ∗ y = x + y − 3,
para quaisquer x, y ∈ R . Mostre que (R, Delta) e (R, ∗) são grupos abelianos.
Olá meu caro, obrigado pelo comentário!Com relação a (R, Delta) ser um grupo, a resolução desse exercício é exatamente o que foi dado no vídeo em que você fez esse comentário. A única diferença é que no vídeo eu indiquei a operação por * e na sua pergunta é com o símbolo Delta. Então, é só trocar * por Delta e a resolução é a mesma. Já para (R, *), a resolução está em outro vídeo. Um vídeo sobre anéis. Porém, parte da demonstração de que um conjunto com duas operações é um anel é mostrar que para a primeira operação ele é um grupo abeliano. No vídeo
th-cam.com/video/4GEdWpa3NvQA/w-d-xo.html
a primeira operação é x*y=x+y-3. Então, foi mostrado que para essa operação o conjunto Q é um grupo abeliano. Então, é só trocar Q por R, e fica tudo resolvido ok. Continue acompanhando o canal! 📓🎓👨🏫👍
Se eu excluisse o 0 (R*,•) ainda seria um grupo?
Oi Shelda, obrigado pelo comentário!
Sim! Na realidade, R com a multiplicação usual só será grupo se o 0 for excluído! Eu falo sobre isso no vídeo que está no link abaixo. Se for possível, dê uma passadinha por ele e poderá entender melhor ok.
th-cam.com/video/7cx5Aa3crt8/w-d-xo.html