Огромное спасибо, тем кто мотивировал меня к съемке этого видео! Надеюсь, это доказательство вам понравится и восхитит, так же, как и меня, когда я его впервые увидел! Буду очень благодарен зрителям не математикам, которые не станут отписываться из-за этого видео, все-таки теорема Пифагора нам родная с детства! ;)
Это было что-то из функционального анализа? (Надеюсь приступить к изучению этой осенью) ...кстати, может быть, есть хорошая литература по функану на примете?
Может я не эксперт, но как ты можешь сокращать джи от альфа не исследовав её для конкретных альфа, вдруг для определённых альфа, джи равно ноль, тогда твоё сокращение будет невозможным. Мне этот метод кажется требующим доработки.
Сначала поставила лайк, а потом посмотрела видео))) Вспомнила физ.мат школу, учительница по мат.анализу что-то такое нам показывала, но тогда меня это не интересовало, а сегодня прям получила удовольствие.Спасибо!
Владимир, добрый вечер! Поясните, пожалуйста, на каком основании Вы использовали в формуле для S1 и S2 одну и ту же функцию g(α). Понятно, что угол α один и тот же. Хотелось бы увидеть строгое обоснование.
Спасибо за видео, Владимир! Отличный канал, спасибо за ваш труд. Имею косвенное отношение к математике, однако всегда смотрю ваши видео с большим интересом. Успехов!
Владимир, вопрос в том, почему функция g одна и таже для 3 треугольников? Очевидно, что эта функция выражается через sin и cos. Нам точно известно, что один из двух углов в прямоугольном треугольнике будет альфа. Получается нам не важно, какой это именно угол? Функция g(sin, cos) разве тогда не может перейти в g(cos, sin) став уже другой функцией при различном выборе альфа. Мне кажется нужно как-то зафиксировать альфа, например, брать его при гипотенузе и меньшем из катетов. Но всегда ли получится так, что среди всех 3 треугольников альфа будет именно углом между гипотенузой и меньшим катетом? Или же просто функция g должна обладать симметрией такой, что при замене sin(alpha) на cos(alpha) она не изменится?
+Михаил Иванов Нет, достаточно просто писать g(alf), т.к. не важно какой из углов Вы выберете, g - просто отображает зависимость от угла. И действительно, настоящая формула площади S=1/2*С^2*sin(alf)*cos(alf)=1/4*sin(2*alf) - имеет одинаковый результат, если подставить alf или 90-alf. ;))
На второй минуте: "Надеюсь, вам хорошо известно, что любой 3-угольник однозначно определяется одной из своих сторон и двумя углами". А я надеялся, что выпускнику мехмата МГУ, работающему в Оксфорде, должно быть известно, что это не так... А доказательство красивое. Мне, как бывшему физику, понравилось :)
У меня препод в школе, тоже с Мехмата, тоже вводил определение площади как функции и достаточно логично это обосновал, но скажем так нематематически. Это определение вводилось на Мехмате или вы его знали раньше? И где можно точнее точнее про это прочитать? Ps каналы на которых представлено подобного рода образовательные материалы, это круто, но их мало. Было бы здорово включить подобную рубрику на вашем канале. ( было бы интересно послушать например про задачи тысячелетия и какие нибудь интересные теоремы)
+Кирилл Мельников Это доказательство я узнал, когда учился в аспирантуре в Ирландии. Есть англоязычная статья где-то 1980-1984 года, когда теорема впервые была так доказана. Это очень молодое доказательство! Сейчас статью как ни старался найти не смог. Сожалею.
Извините! Но объясните мне такой феномен как "некое неизвестная формула". Это либо правило вычисления площадей, либо правила тригонометрии (о котором и говорит автор) соотношениях длин и углов в прямоугольном треугольнике... А то ведь получается такая картина. К каждой величине (то есть сторонам треугольника) а, в, с приписывается "некая неизвестная формула" которая по сути возвеличивает в квадрат каждую из этих величин. И всё! То есть суть сводится к тому что как написана формула, вот это и есть доказательство... Посмотрите в конце. Просто "некая неизвестная формула" убирается с промежутков и всё. Остаётся сама формула...
Это не просто "некая неизвестная формула", а функция, которая однозначно определяет треугольник по его гипотенузе и углу. Ничего она в квадрат не возводит, просто определяет угол. В явном виде ее задавать, в данном случае, смысла нет
Построим квадраты на сторонах и гипотенузе прямоугольного треугольника (для наглядности). Пусть сторона "b" уменьшается, будем следить как будут меняться квадраты: когда сторона "b" стремится к нулю, то и квадрат, построенный на стороне "b" будет стремиться к нулю. Тогда квадрат, построенный на гипотенузе будет равен квадрату, построенному на другой стороне -"а". Надеюсь понятно.
Практически полезное следствие: точно так соотносятся ЛЮБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ элементы этих трёх треугольников. Например по двум биссектрисам находим третью, или по двум периметрам находим третий и т.п. . С уважением, Лидий.
2:06 Оно то так, но нельзя так сразу взять и сказать что поскольку C измеряется в метрах а S в квадратных метрах, то f(c,a)=c^2g(a). Да, это верно только для подобных фигур, но это требует дополнительного доказательства или отсылки к соответствующим теоремам.
Да, вы правы треугольник задаёт сторона и два угла, но вот дословно это звучит" сторона и два прилежащих к ней угла". А вы взяли сторону C, угол ã и прямой ни как не стоящий со стороной C угол. Можете, пожалуйста, пояснить это ?
LeniviyRU скалярное произведение проходят где-то в районе 9 класса, значок нормы заменить на модуль и это доказательство в самый раз для школьника. Да и это вовсе не функциональный анализ, а геометрия)
Дмитрий Зырянов, ваше доказательство неявным образом использует теорему Пифагора. Если под скалярным произведением подразумевается его координатное представление x1*x2+y1*y2, то такое представление выводится с использованием теоремы Пифагора. Для бескоординатной формы дистрибутивность скалярного произведения а(b+c) = a*b+a*c получить так просто не выйдет. Придется использовать теорему косинусов, которая в свою очередь, в своем доказательстве использует теорему Пифагора. Таким образом, т. Пифагора является базовым утверждением, которое выводится из общих геометрических соображений...
Хмм... и вправду достойное доказательство, но если составлять топ на доказательство этой теоремы, то на первом месте у меня по прежнему было бы доказательство, используя равенство Птолемея для прямоугольника. )) а так лайк, заслуженно ))
Интересно, спасибо за видео. То, что оно только для математиков ты по-моему преувеличил, если взять Пи-теорему как должное, то доказательство воспринимается вполне легко и без математической подготовки. На 4 минуте я уже подумал, что доказательство будет в бесконечном построении высот и зацикливании, где в итоге сведется к a^2+b^2 =) p.s. Инетересен твой взгляд, как прогрессивного человека от науки, на экономическое образование без особого упора на математику: общая экономическая теория и всякие схожие дисциплины. Как сделать такое образование более весомым?(учусь на 2 курсе из 4)
+MurtagBY Спасибо. Особо его не сделать весомым. Это образование сравнимо философии. Можно политиков идти консультировать или книги писать про мироустройство.
Ошибка на ошибке... Вот, к примеру, есть 2 угла: 30 и 90 градусов, есть сторона 10. По этим данным можно построить 3 разных треугольника. (Первый случай - это когда 10 - длина гипотенузы, во втором и третьем случаях 10 - это длина большего и меньшего катета соответственно.) Сторона и 2 угла не определяют треугольник однозначно. Сторона и 2 ПРИЛЕЖАЩИХ К НЕЙ угла определяют треугольник однозначно.
Далее про анализ размерностей. Это вообще-то не аксиома и не теорема в математическом смысле. Может, этот анализ размерностей (как метод) и уместен в физике, экономике или других прикладных науках, но в математике он не имеет должного обоснования (поэтому не может применяться для строгого доказательства каких-либо теорем, и, в частности, для доказательства теоремы Пифагора). Если кто-то думает иначе, то давайте сформулируем теорему по типу: "Пусть а, б, в, г. Тогда д, е, ж, з."
Оксфордский Университет - OxfordInside.com, вот вам пример из математики, где анализ размерностей не работает. L = alpha * R. Это длина дуги окружности, alpha в радианах. То есть по размерности не сходится: метр = радиан * метр.
Вам будет полезно более детально разобраться с понятием "радиан" и тогда у Вас не возникнет противоречий в данном примере. Радиан - величина безразмерная
@@yakovlichevau Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении - величина безразмерная.
На время ушел от твоих видео (из-за удаления канала) и других проблем. Но смотрю ты растешь и делаешь все лучше и лучше. Молодец! Успехов тебе! Подписываюсь и смотрю твои видео. Жаль только народ не хочет просвещаться и у тебя мало из-за этого просмотров, но рекомендую купить рекламу у Дмитрия Ларина, много людей придет думаю.
+Оксфордский Университет - OxfordInside.com ну думаю более-менее нормальная. Приятно, что ты многого добился в жизни и стараешься отвечать всем даже сейчас. Очень уважаю тебя. Ты настоящий и вот такие люди должны быть мейнстримом, а не всякие там... Извини не следил долго за тобой. Ты кем работаешь сейчас и где живешь?
Очень годное (не тривиальное) доказательство, спасибо автору. Вот только не хватает объяснения одного момента - а почему в каждом случае одна и та же функция g(\alpha) для каждой из площайдей. P.S. Я имею ввиду не хватает для строгости, так - то, разумеется, это очевидный момент.
Богдан! Как ты видишь мы построили высоту из угла А и эта высота делит площадь нашего треугольник на два треугольника . Оба эти треугольника подобны заданному (при гипотенузе имеется угол альфа , и угол между катетами равен девяносто градусов , ну и получается , что раз треугольники подобны значит и формула одна и та же.
Первый курс университета, не очень грамотный я, сижу на мат. анализе, на первой парте и вижу, вот точно, такую же f - функция. И думаю, что это блин за боинг нарисован...во имя всех стесняющихся спросить, дабы не прослыть "тупицей" перед классом, буква f должна быть похожа на f, но не на "в" xD А теорема действительно элегантна, спасибо за ролик =)
+Оксфордский Университет - OxfordInside.com Может не по теме влезу, но ужасно хочется хоть кого то спросить. У нас в группе на (X,Y) англо говорящие одногрупники, да и Китайские профессора произносят как (икс, вай), хотя я знаю что это латыть (икс, игрик). Я как то пыталась с умной рожей их поправит, что привело к большим дебатам и меня поддержали только франко говорящие, их учили так же. Понимаю, что это не пренципиально как произносить, но хочется знать я права????
Я понял само доказательство , действительно очень элегантно! Но я поискал по сайтам и так и не смог найти формулу с теоремы пи которую вывели вы , не могли бы вы объяснить как это получается ( с2 x g(a)) или дать мне ссылочку чтобы я мог подробнее все сам разобрать ?
+Chekhov v Энштейн - физик, а не математик. Если уж приводить такую аналогию, то уж с Джоном Нэшом, например. Хоть и Владимир, насколько я понимаю, далёк от области исследований Нэша, они всё равно оба математики.
@@misana77 Ну, Эйнштейну принадлежит один из множества способов доказательства теоремы Пифагора. Это как бы не физика))) И нашёл он этот способ когда ему было, кажется, 11 лет. Правда до него этот же способ находили другие математики, но факт что он нашёл его сам, независимо от других. К тому же Яблочный Император говорить об "УРОВНЕ Эйнштейна". Я бы не придирался тут.
Оксфордский Университет - OxfordInside.com прошу прощения но почему??) Я читал про это, но в другом ракурсе )), относительно математического моделирования , хотелось бы узнать больше ..)) Благодарен за Ваш ответ!!!
Здесь просто доказательство теоремы Пифагора заменяется доказательством теоремы из теории размерностей (или ссылкой на эту теорему). Хотя сравнение площадей 3-х получившихся подобных треугольников сразу позволяет доказать теорему с помощью того, что вследствие подобия площадь меньшего треугольника равна площади исходного, умноженной на квадрат отношения гипотенузы меньшего треугольника к гипотенузе исходного.
Хоть это доказательство очень короткое, но для полного понимания оно требует предварительного знания нетривиальной теоремы Бакингема, с которой многие слушатели не знакомы (даже понятие функции не всем школьникам знакомо). Между тем есть очень элегантное доказательство через простой рисунок (там надо только сравнить два квадрата, в которых по-разному раположены прямоугольные треугольники). А доказательство -- еще короче: оно сводится к одному слову "Смотри".
Полагаю, Вы называете Пи-теорему некорректно исторически. Бакингем ее "открыл" спустя годы после других исследователей. Возможно Вы обучались в Британии и Вас так научили ее называть. Но Ваше название нечестное с научной точки зрения, даже в британцы ее называют Buckingham π theorem. π theorem!
@@harvardoxford Да, Вы правы в отношении Пи-теоремы. Но не это моя главная мысль. Она заключается в том, что Ваше короткое доказательство основано на предварительном нетривиальном знании, которое незнакомо большинству слушателей (и которое приводится без доказательства). Приведенный же мной пример еще более короткого и (также как и Ваш пример) элегантного доказательства будет понятен даже ученикам младших классов, незнакомых с понятием функции.
Постройте стороны прямоугольного треугольника из размерных точек и поймете, что теорема Пифагора-теорема приближенная и совсем непригодная для микромира когда стороны треугольника состоят из малого числа точек.Абстрактная математика с безразмерной точкой есть иллюзия,т.к. координата всегда имеет точность,а это значит, что точка и в абстрактной математике имеет размер.Это положения новой физически адекватной междисциплинарной математики...
@@harvardoxford Но она пытается описывать и макро и микромир.Речь же идет об основах математики и от этого зависит насколько адекватно она описывает мир. В данном случае вопрос стоит о точке и отрезке. Если отрезок состоит из точек, то они должны иметь размер.Попробуйте построить треугольник со сторонами состоящими из точек и Вы увидите проблемы с доказательством теоремы Пифагора и соответственно многих других
ФКИ 4 курс: Если вам известно, что сумма углов треугольника равна 180, то должны сообразить, что слово "прилежащие" -- лишнее (т.е. углы могут быть произвольными).
+Davo Ozm Это одна функция, которая для всех треугольников с такой-то гипотенузой и с таким-то углом определяет площадь. Взяли 3 треугольника и применили эту конкретную одну функцию к ним для нахождения площади.
Не, ребят, так не пойдёт. Вся соль доказательства - в приравнивании функции f(c,α) к другой функции c^2g(α). И вы не говорите почему анализ размерностей диктует нам такое и только такое преобразование. Понятно, что если ударится в обширное объяснение можно раздуть хронометраж, но хотя бы намекнуть на причины, не ссылаясь на гугл))
Кое-что не понял: 1) Почему прилегающий к стороне a угол назван альфой?! Разве не должен быть противоположный от неё так называться? 2) Чем обусловлена равенство угла большого и малого треугольников?! Что-то данных для этого вывода я не заметил. Сумма углов - это одно, но углы, дающие её, могут быть разные.
Углы можно назвать как угодно. В классических учебниках по геометрии (Погорелов, Атанасян) принято обозначать угол против стороны а буквой альфа из методических соображений (то есть чтобы ученикам было легче понимать). Можно этого правила и не придерживаться.
Я, кажется, по нему и учился. Возможно, даже математичка что-то подобное как обязательный момент давала. Поэтому сразу и отреагировал. Помню я вообще альфу и a путал, из-за их визуальной схожести, до первого ответа у доски, когда мне все мои заблуждения по полочкам разложили.
Видимо, в видео я этот момент пропустил. Благодарю! Надо будет пересмотреть повнимательнее, будет третьей в моей коллекции. Два других из моего школьного учебника и школьного учебника, по которому учились после меня. Удивлён, что там были разные. Добавлено на следующий день: Ну, не как до утки, на третьи сутки, но всё же дошло, что к чему, даже без пересмотра. Видно башка загружена была сильно, что не понял.
А если есть еще более элегантное доказательство и реально в одну строчку, то значит о нем не знают в оксфорде? Денежных призов за доказательство теоремы пифагора нет случайно, как например за теорему Билла или Ферма?
Доказательство из серии "Докажи теорему Пифагора" - "Мамой клянусь!" Притягивать высший математический аппарат к доказательству этой теоремы - все равно что вспахивать поле "Боингом-787". Громоздко, неудобно, и ненужно. Существует масса гораздо более простых и несравненно более элегантных способов доказательства этой теоремы. Лично мне пока что самым элегантным представляется следующее доказательство: Создаем 3 треугольника. Первый масштабируем из исходного (со сторонами a, b, c) коэффициентом а, второй b, третий c Замечаем, что у всех этих треугольников есть попарно равные грани: ac и bc. Складываем получившиеся треугольники так, чтобы получился прямоугольник. Длинные грани его равны и составляют: с одной стороны aa+bb, с другой cc. Теорема доказана.
Mais Quliyev, углы можно обозначать как угодно. Просто в учебниках авторы для простоты угол напротив стороны а обозначают альфа, напротив в - беттой. Это делается из методических и педагогических соображений. Математически абсолютно правильно называть угол любой буквой.
А как ты тогда докажешь, если не через подобие, что функция g(a), используемая для определения S, идентична функции g1(a), используемой для определения S1 ? Ты просто написал в формуле для S1 функцию g(a), никак не доказав, что g идентично g1
Любой прямоугольный треугольник однозначно определяется "с" и "а". Смотри, мы исходим из того, что есть некая формула площади прямоугольного треугонька с*с*g(a). Эта формула и функция "g" определяет площадь ЛЮБОГО треугольника. "g" - это функция имеющая определенное значение для каждого "а". Никакой отличной от "g" функции "g1" не существует! Иначе для одного треугольника было бы 2 разных значения площади.
Доказательство интересное, но, как автор уже сказал, не очевидно, что площадь от гипотенузы зависит как её квадрат умножить на ещё что-то. Упомянутая "пи теорема" это конечно хорошо, но школьнику, проходящему теорему Пифагора в школке о ней вообще ничего не известно, так что это не аргумент.
Вторая альфа не равна первои альфе. Вторая альфа вообще-то равна 45 градусов, в то время как первая альфа может быть равна чему угодно. А стало быть не понятно, можно ли g(a) и g(45) сократить. Математически может быть и все правильно, но логически, как доказательство, такое объяснение требует доработки.
Как раз наоборот: доказать элементарный факт с помощью высшей математики -- совсем не круто. Это как почесать левое ухо правой рукой. Или стрелять из пушки по воробьям.
Есть доказательства без очевидных предположений? Самое сложное иногда доказать очевидное но строго ничего не предполагая. Доказаиельства построенные на очевидностью лишь показывают на связь..между очевидным и неочень
это самый простой интеграл [(x-1)(x+1)]^2=(x^2-1)^2= x^4-2x^2+1 потом интеграл= х^5/5-2/3*х^3+х+С и всё.здесь нет сложность. с удоволствем учитель из Баку
когда ты настолько любишь преподавать, что отсутствие учеников в классе тебя не останавливает. таким, наверное, и должен быть классный препод
100к учеников, мне кажется, вполне достаточно для мотивации
Огромное спасибо, тем кто мотивировал меня к съемке этого видео! Надеюсь, это доказательство вам понравится и восхитит, так же, как и меня, когда я его впервые увидел!
Буду очень благодарен зрителям не математикам, которые не станут отписываться из-за этого видео, все-таки теорема Пифагора нам родная с детства! ;)
Артур Новиков Я в Ирландии узнал от русского коллеги.
А коллега с какого универа?
Это было что-то из функционального анализа? (Надеюсь приступить к изучению этой осенью) ...кстати, может быть, есть хорошая литература по функану на примете?
@@brattri3 так размерность это и доказывает
0:23 блин хотел поспать а меня пересадили(((
одна из самых выводящих из зоны комфорта фраз)
И правда, самое лучшее, что я видел. Спасибо Вам, за новые видео!
Не только доказательство прекрасно, но и то как автор канала подает материал )
Как всегда отличное видео. Как я уже говорил ранее, я не силен в математике, но все равно интересно смотреть, как вы все рассказываете.
Прошу прощения, что вы не видите моих ответов на вопросы, youtube их почти все автоматически удаляет, я не знаю, как это исправить.
Оксфордский Университет - OxfordInside.com, это всё санкции)))
Может я не эксперт, но как ты можешь сокращать джи от альфа не исследовав её для конкретных альфа, вдруг для определённых альфа, джи равно ноль, тогда твоё сокращение будет невозможным. Мне этот метод кажется требующим доработки.
Если g(a) равно нулю, то и площадь равна нулю, следовательно, треугольника нет
Сначала поставила лайк, а потом посмотрела видео))) Вспомнила физ.мат школу, учительница по мат.анализу что-то такое нам показывала, но тогда меня это не интересовало, а сегодня прям получила удовольствие.Спасибо!
+Anna Vorontsova Спасибо. Так и надо поступать :)
В школьный период половое созревание мешало сконцентрироваться на понимании красоты.
Владимир, добрый вечер! Поясните, пожалуйста, на каком основании Вы использовали в формуле для S1 и S2 одну и ту же функцию g(α). Понятно, что угол α один и тот же. Хотелось бы увидеть строгое обоснование.
Такой вопрос показывет, что у Вас нет понимания термина функция в математике. Вам нужно с этим разобраться, это важно, без этого в математике никак.
Действительно очень элегантно и легко запоминается. И съемка хороша. Спасибо за видео!
Крутое доказательство. Я кайфанул.
P.S. Выкладывай еще необычные доказательства если будут
Очень интересно на такие знакомые вещи смотреть под новым ракурсом. Побольше бы таких видео
Какой же ты молодец! Все так понятно объясняешь. Спасибо! 😃😃😃
Спасибо за видео, Владимир! Отличный канал, спасибо за ваш труд. Имею косвенное отношение к математике, однако всегда смотрю ваши видео с большим интересом. Успехов!
+Инна Бибик Спасибо!
Я думал тяжелее будет, а все так просто. Взяли и сократили.
+Aleksandr В этом вся ее красота!
Владимир, вопрос в том, почему функция g одна и таже для 3 треугольников? Очевидно, что эта функция выражается через sin и cos. Нам точно известно, что один из двух углов в прямоугольном треугольнике будет альфа. Получается нам не важно, какой это именно угол? Функция g(sin, cos) разве тогда не может перейти в g(cos, sin) став уже другой функцией при различном выборе альфа. Мне кажется нужно как-то зафиксировать альфа, например, брать его при гипотенузе и меньшем из катетов. Но всегда ли получится так, что среди всех 3 треугольников альфа будет именно углом между гипотенузой и меньшим катетом? Или же просто функция g должна обладать симметрией такой, что при замене sin(alpha) на cos(alpha) она не изменится?
+Михаил Иванов Да, функция g - это просто функция определяющая площадь.
+Михаил Иванов Нет, достаточно просто писать g(alf), т.к. не важно какой из углов Вы выберете, g - просто отображает зависимость от угла. И действительно, настоящая формула площади S=1/2*С^2*sin(alf)*cos(alf)=1/4*sin(2*alf) - имеет одинаковый результат, если подставить alf или 90-alf. ;))
Очень интересно для не математика и не едущего за границу учится . Больше таких видео .
Спасибо за поддержку!
На второй минуте: "Надеюсь, вам хорошо известно, что любой 3-угольник однозначно определяется одной из своих сторон и двумя углами". А я надеялся, что выпускнику мехмата МГУ, работающему в Оксфорде, должно быть известно, что это не так...
А доказательство красивое. Мне, как бывшему физику, понравилось :)
Это про Евклидову геометрию.
@@harvardoxford Конечно про евклидову))))
У меня препод в школе, тоже с Мехмата, тоже вводил определение площади как функции и достаточно логично это обосновал, но скажем так нематематически. Это определение вводилось на Мехмате или вы его знали раньше? И где можно точнее точнее про это прочитать? Ps каналы на которых представлено подобного рода образовательные материалы, это круто, но их мало. Было бы здорово включить подобную рубрику на вашем канале. ( было бы интересно послушать например про задачи тысячелетия и какие нибудь интересные теоремы)
+Кирилл Мельников Это доказательство я узнал, когда учился в аспирантуре в Ирландии. Есть англоязычная статья где-то 1980-1984 года, когда теорема впервые была так доказана. Это очень молодое доказательство! Сейчас статью как ни старался найти не смог. Сожалею.
Очень круто! Всегда забываю классическое доказательство, но это намного проще и логичнее! Я заценил, хоть в школе и был 10 лет назад xD
Пожалуйста, побольше видео с математикой!
Извините! Но объясните мне такой феномен как "некое неизвестная формула". Это либо правило вычисления площадей, либо правила тригонометрии (о котором и говорит автор) соотношениях длин и углов в прямоугольном треугольнике... А то ведь получается такая картина. К каждой величине (то есть сторонам треугольника) а, в, с приписывается "некая неизвестная формула" которая по сути возвеличивает в квадрат каждую из этих величин. И всё! То есть суть сводится к тому что как написана формула, вот это и есть доказательство... Посмотрите в конце. Просто "некая неизвестная формула" убирается с промежутков и всё. Остаётся сама формула...
Это не просто "некая неизвестная формула", а функция, которая однозначно определяет треугольник по его гипотенузе и углу. Ничего она в квадрат не возводит, просто определяет угол. В явном виде ее задавать, в данном случае, смысла нет
Построим квадраты на сторонах и гипотенузе прямоугольного треугольника (для наглядности). Пусть сторона "b" уменьшается, будем следить как будут меняться квадраты: когда сторона "b" стремится к нулю, то и квадрат, построенный на стороне "b" будет стремиться к нулю. Тогда квадрат, построенный на гипотенузе будет равен квадрату, построенному на другой стороне -"а". Надеюсь понятно.
Практически полезное следствие: точно так соотносятся ЛЮБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ элементы этих трёх треугольников. Например по двум биссектрисам находим третью, или по двум периметрам находим третий и т.п. . С уважением, Лидий.
2:06 Оно то так, но нельзя так сразу взять и сказать что поскольку C измеряется в метрах а S в квадратных метрах, то f(c,a)=c^2g(a). Да, это верно только для подобных фигур, но это требует дополнительного доказательства или отсылки к соответствующим теоремам.
Попробуйте посмотреть видео внимательнее, там именно идет отсылка к теореме. Никаких других отсылок больше не требуется.
Да, вы правы треугольник задаёт сторона и два угла, но вот дословно это звучит" сторона и два прилежащих к ней угла". А вы взяли сторону C, угол ã и прямой ни как не стоящий со стороной C угол. Можете, пожалуйста, пояснить это ?
огромное спасибо.хоть я и неразбираюсь в математике ну суть понял.всё кратко,быстро и главное понятно.
Какой трек в конце?
На мой взгляд, самое простое док-во такое: ||c||^2 = (a - b, a - b) = (a,a) - 2(a,b) + (b,b) = ||a||^2 + ||b||^2.
Доказывать школьную теорему с помощью понятий функционального анализа -- это ведь так просто, не правда ли? ;)
LeniviyRU скалярное произведение проходят где-то в районе 9 класса, значок нормы заменить на модуль и это доказательство в самый раз для школьника. Да и это вовсе не функциональный анализ, а геометрия)
Ты бы ещё через интеграл доказал, умник
Тут нехилый пласт требуется с нормами и прочее... Уже почти забыл сии красоты.
Дмитрий Зырянов, ваше доказательство неявным образом использует теорему Пифагора. Если под скалярным произведением подразумевается его координатное представление x1*x2+y1*y2, то такое представление выводится с использованием теоремы Пифагора. Для бескоординатной формы дистрибутивность скалярного произведения а(b+c) = a*b+a*c получить так просто не выйдет. Придется использовать теорему косинусов, которая в свою очередь, в своем доказательстве использует теорему Пифагора. Таким образом, т. Пифагора является базовым утверждением, которое выводится из общих геометрических соображений...
Хмм... и вправду достойное доказательство, но если составлять топ на доказательство этой теоремы, то на первом месте у меня по прежнему было бы доказательство, используя равенство Птолемея для прямоугольника. )) а так лайк, заслуженно ))
Да, действительно, самое красивое доказательство.
Красота! Получила удовольствие)
Очень классно! Спасибо тебе ! Я очень люблю альтернативные методы.
+Alexaasha Matveev Спасибо!
Интересно, спасибо за видео. То, что оно только для математиков ты по-моему преувеличил, если взять Пи-теорему как должное, то доказательство воспринимается вполне легко и без математической подготовки.
На 4 минуте я уже подумал, что доказательство будет в бесконечном построении высот и зацикливании, где в итоге сведется к a^2+b^2 =)
p.s. Инетересен твой взгляд, как прогрессивного человека от науки, на экономическое образование без особого упора на математику: общая экономическая теория и всякие схожие дисциплины. Как сделать такое образование более весомым?(учусь на 2 курсе из 4)
+MurtagBY Спасибо. Особо его не сделать весомым. Это образование сравнимо философии. Можно политиков идти консультировать или книги писать про мироустройство.
Оксфордский Университет - OxfordInside.com Я аж взгрустнул, спасибо за ответ)
Смотрите видео Как поступить в Гарвард - Вопросы и Ответы: th-cam.com/video/HDEY9NbmzE0/w-d-xo.html
как поступить в Оксфорде кий университет?
Теперь я знаю 6 доказательств теоремы Пифагора:)
pitreason в целом больше 100 разных докозательств
Ahmet Movlamov и?
pitreason 6 из 100 не впечатлил
Ahmet Movlamov и? почему я должен впечатлить какого-то левого мне человека?
а для чего ты писал этот коммент, если не хотел никого впечатлить?
Ошибка на ошибке... Вот, к примеру, есть 2 угла: 30 и 90 градусов, есть сторона 10. По этим данным можно построить 3 разных треугольника. (Первый случай - это когда 10 - длина гипотенузы, во втором и третьем случаях 10 - это длина большего и меньшего катета соответственно.)
Сторона и 2 угла не определяют треугольник однозначно. Сторона и 2 ПРИЛЕЖАЩИХ К НЕЙ угла определяют треугольник однозначно.
Далее про анализ размерностей. Это вообще-то не аксиома и не теорема в математическом смысле. Может, этот анализ размерностей (как метод) и уместен в физике, экономике или других прикладных науках, но в математике он не имеет должного обоснования (поэтому не может применяться для строгого доказательства каких-либо теорем, и, в частности, для доказательства теоремы Пифагора). Если кто-то думает иначе, то давайте сформулируем теорему по типу: "Пусть а, б, в, г. Тогда д, е, ж, з."
Вы просто, к сожалению, не поняли доказательство.
Оксфордский Университет - OxfordInside.com, вот вам пример из математики, где анализ размерностей не работает. L = alpha * R. Это длина дуги окружности, alpha в радианах. То есть по размерности не сходится: метр = радиан * метр.
Вам будет полезно более детально разобраться с понятием "радиан" и тогда у Вас не возникнет противоречий в данном примере. Радиан - величина безразмерная
@@yakovlichevau Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении - величина безразмерная.
Что сказать? Здорово, спасибо за видео!
Действительно, очень элегантно.
хотел оставить один ком.,но почитал коменты,и как строитель,оставлю два: ВЕЩЬ!,СПАСИБКИ!
Как все просто! Этому вы учите своих студентов в Оксфорде?
На время ушел от твоих видео (из-за удаления канала) и других проблем. Но смотрю ты растешь и делаешь все лучше и лучше. Молодец! Успехов тебе! Подписываюсь и смотрю твои видео. Жаль только народ не хочет просвещаться и у тебя мало из-за этого просмотров, но рекомендую купить рекламу у Дмитрия Ларина, много людей придет думаю.
+Подписчик Спасибо, стараюсь развивать канал. Агенту Ларина писал - нет ответа. Но в любом случае отдача там будет не очень большая.
+Оксфордский Университет - OxfordInside.com ну думаю более-менее нормальная. Приятно, что ты многого добился в жизни и стараешься отвечать всем даже сейчас. Очень уважаю тебя. Ты настоящий и вот такие люди должны быть мейнстримом, а не всякие там... Извини не следил долго за тобой. Ты кем работаешь сейчас и где живешь?
Подписчик Всё есть на канале ;)
Очень годное (не тривиальное) доказательство, спасибо автору.
Вот только не хватает объяснения одного момента - а почему в каждом случае одна и та же функция g(\alpha) для каждой из площайдей.
P.S. Я имею ввиду не хватает для строгости, так - то, разумеется, это очевидный момент.
Богдан! Как ты видишь мы построили высоту из угла А и эта высота делит площадь нашего треугольник на два треугольника . Оба эти треугольника подобны заданному (при гипотенузе имеется угол альфа , и угол между катетами равен девяносто градусов , ну и получается , что раз треугольники подобны значит и формула одна и та же.
Треугольники подобны
Это очевидно, но:
1. упущено;
2. уже не одна строчка.
Иван Воронин очевидно, когда знаешь окончание теоремы
Подобие в доказательстве не обсуждалось и не нужно. Вы путаете Богдана.
ОООчень круто! Делай побольше подобных видео :)
Первый курс университета, не очень грамотный я, сижу на мат. анализе, на первой парте и вижу, вот точно, такую же f - функция. И думаю, что это блин за боинг нарисован...во имя всех стесняющихся спросить, дабы не прослыть "тупицей" перед классом, буква f должна быть похожа на f, но не на "в" xD
А теорема действительно элегантна, спасибо за ролик =)
+Павел Семёнов Это прописная буква f, а Вы печатную любите - вопрос вкуса ;)
+Оксфордский Университет - OxfordInside.com Может не по теме влезу, но ужасно хочется хоть кого то спросить. У нас в группе на (X,Y) англо говорящие одногрупники, да и Китайские профессора произносят как (икс, вай), хотя я знаю что это латыть (икс, игрик). Я как то пыталась с умной рожей их поправит, что привело к большим дебатам и меня поддержали только франко говорящие, их учили так же. Понимаю, что это не пренципиально как произносить, но хочется знать я права????
Irada Dawe На Британских островах называют Экс и Уай.
так как правельно???? или это ни имеет ни какого значения???
Irada Dawe правильно так, как Вас понимает слушатель, хоть крестом и рогаткой величайте ;)
Такие видео очень интересны!)
Очень полезное и информативное видео.
Я понял само доказательство , действительно очень элегантно! Но я поискал по сайтам и так и не смог найти формулу с теоремы пи которую вывели вы , не могли бы вы объяснить как это получается ( с2 x g(a)) или дать мне ссылочку чтобы я мог подробнее все сам разобрать ?
g(a) = S/c^2 = sin(2a)/4
коэффициент пропорциональности g(a) зависит только от угла, а поскольку треугольники подобные то коэффициенты равны
смотрите не теорему пи, а "Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики." Бутузов, Кадомцев, Позняк ФИЗМАТЛИТ
Отличное видео. А название у видео правильное? Если человек загуглит "доказательство теоремы Пифагора в одну строчку" ему оно вылетит?
+Лев Жегалин Никто не знает. Там алгоритмы засекречены. Чтобы быть в топе надо будеть хотябы 10к просмотров набрать.
Спасибо. Вспомнил университетские годы.
идеально:)
спасибо
Спасииибо!!! Ты Лучший Математик, это точно. Жду когда твоё имя будет стоять на одном уровне с Энштейном!
+Chekhov v Энштейн - физик, а не математик. Если уж приводить такую аналогию, то уж с Джоном Нэшом, например. Хоть и Владимир, насколько я понимаю, далёк от области исследований Нэша, они всё равно оба математики.
+Chekhov v Крутоватые выводы из демострации не моего доказательства теоремы Пифагора. Но спасибо! Буду стараться ;))
@@misana77 Ну, Эйнштейну принадлежит один из множества способов доказательства теоремы Пифагора. Это как бы не физика))) И нашёл он этот способ когда ему было, кажется, 11 лет. Правда до него этот же способ находили другие математики, но факт что он нашёл его сам, независимо от других. К тому же Яблочный Император говорить об "УРОВНЕ Эйнштейна". Я бы не придирался тут.
Спасибо, побольше бы таких видео.
Наконец-то, я рад 👆🏻💪🏻
)) спасибо освежил память!
буду очень сильно благодарен если вы снимите ролик про теорема Пи !!
+sino sqa.paishanbiev Пи-теорема, переставлять нельзя ;)
Оксфордский Университет - OxfordInside.com прошу прощения но почему??)
Я читал про это, но в другом ракурсе )), относительно математического моделирования , хотелось бы узнать больше ..))
Благодарен за Ваш ответ!!!
У меня совсем не математический склад ума, но круто!!!
Здесь просто доказательство теоремы Пифагора заменяется доказательством теоремы из теории размерностей (или ссылкой на эту теорему). Хотя сравнение площадей 3-х получившихся подобных треугольников сразу позволяет доказать теорему с помощью того, что вследствие подобия площадь меньшего треугольника равна площади исходного, умноженной на квадрат отношения гипотенузы меньшего треугольника к гипотенузе исходного.
не просто
Можно доказать через основное тригонометрическое тождество,правда так тривиально получается,но все же,можно тоже уместить в одну строчку
Все до предела понятно)
отлично
А g(a) = sin(a) *cos(a)/2
но это совсем не важно для теоремы ;)
Кстати очень даже важно:)
Денис Пархоменко нет
Хоть это доказательство очень короткое, но для полного понимания оно требует предварительного знания нетривиальной теоремы Бакингема, с которой многие слушатели не знакомы (даже понятие функции не всем школьникам знакомо). Между тем есть очень элегантное доказательство через простой рисунок (там надо только сравнить два квадрата, в которых по-разному раположены прямоугольные треугольники). А доказательство -- еще короче: оно сводится к одному слову "Смотри".
Полагаю, Вы называете Пи-теорему некорректно исторически. Бакингем ее "открыл" спустя годы после других исследователей. Возможно Вы обучались в Британии и Вас так научили ее называть. Но Ваше название нечестное с научной точки зрения, даже в британцы ее называют Buckingham π theorem. π theorem!
@@harvardoxford Да, Вы правы в отношении Пи-теоремы. Но не это моя главная мысль. Она заключается в том, что Ваше короткое доказательство основано на предварительном нетривиальном знании, которое незнакомо большинству слушателей (и которое приводится без доказательства). Приведенный же мной пример еще более короткого и (также как и Ваш пример) элегантного доказательства будет понятен даже ученикам младших классов, незнакомых с понятием функции.
Не математик, но видео с удовольствием посмотрела :)
Это просто супер! :)
3:05 это по какой теореме? Я ток 8 класс
Меня немного доперло, но хочу четкое объяснение
Постройте стороны прямоугольного треугольника из размерных точек и поймете, что теорема Пифагора-теорема приближенная и совсем непригодная для микромира когда стороны треугольника состоят из малого числа точек.Абстрактная математика с безразмерной точкой есть иллюзия,т.к. координата всегда имеет точность,а это значит, что точка и в абстрактной математике имеет размер.Это положения новой физически адекватной междисциплинарной математики...
В математике нет никакого микромира, не стоит путать эту идеальную науку с физикой :)
@@harvardoxford Но она пытается описывать и макро и микромир.Речь же идет об основах математики и от этого зависит насколько адекватно она описывает мир. В данном случае вопрос стоит о точке и отрезке. Если отрезок состоит из точек, то они должны иметь размер.Попробуйте построить треугольник со сторонами состоящими из точек и Вы увидите проблемы с доказательством теоремы Пифагора и соответственно многих других
Добрый день, Владимир, треугольник определяется сторой и прилежащими к ней углами или произвольными углами этого треугольника?
ФКИ 4 курс: Если вам известно, что сумма углов треугольника равна 180, то должны сообразить, что слово "прилежащие" -- лишнее (т.е. углы могут быть произвольными).
Такое ощущение, что математика нужна для того, чтобы все время что то сокращать
Такой вопрос, почему в трех случаях у нас будут Одинаковые функции g(альфа)?
+Davo Ozm Это одна функция, которая для всех треугольников с такой-то гипотенузой и с таким-то углом определяет площадь. Взяли 3 треугольника и применили эту конкретную одну функцию к ним для нахождения площади.
Оксфордский Университет - OxfordInside.com а можете это доказать, пожалуйста?
Вам просто надо разобраться с понятием Функция, и понять, что это такое.
Это взрыв мозга! Вау! Я снова начала любить геометрию! ///>
Не, ребят, так не пойдёт. Вся соль доказательства - в приравнивании функции f(c,α) к другой функции c^2g(α). И вы не говорите почему анализ размерностей диктует нам такое и только такое преобразование. Понятно, что если ударится в обширное объяснение можно раздуть хронометраж, но хотя бы намекнуть на причины, не ссылаясь на гугл))
посмотрите видео внимательнее, намек там есть
класс!
Кое-что не понял:
1) Почему прилегающий к стороне a угол назван альфой?! Разве не должен быть противоположный от неё так называться?
2) Чем обусловлена равенство угла большого и малого треугольников?! Что-то данных для этого вывода я не заметил. Сумма углов - это одно, но углы, дающие её, могут быть разные.
Углы можно назвать как угодно. В классических учебниках по геометрии (Погорелов, Атанасян) принято обозначать угол против стороны а буквой альфа из методических соображений (то есть чтобы ученикам было легче понимать). Можно этого правила и не придерживаться.
Про углы в большом и малом треугольнике. Если х+а=90 и у+а=90, то х=у.
Я, кажется, по нему и учился. Возможно, даже математичка что-то подобное как обязательный момент давала. Поэтому сразу и отреагировал. Помню я вообще альфу и a путал, из-за их визуальной схожести, до первого ответа у доски, когда мне все мои заблуждения по полочкам разложили.
Видимо, в видео я этот момент пропустил. Благодарю!
Надо будет пересмотреть повнимательнее, будет третьей в моей коллекции. Два других из моего школьного учебника и школьного учебника, по которому учились после меня. Удивлён, что там были разные.
Добавлено на следующий день:
Ну, не как до утки, на третьи сутки, но всё же дошло, что к чему, даже без пересмотра. Видно башка загружена была сильно, что не понял.
а нужно ли ее доказывать?
это ведь просто выражение метрики и это аксиома R^2 = X^2 + Y^2
Вас обманули, это теорема.
А если есть еще более элегантное доказательство и реально в одну строчку, то значит о нем не знают в оксфорде? Денежных призов за доказательство теоремы пифагора нет случайно, как например за теорему Билла или Ферма?
очень прикольно, приятно знать, что, занимаясь сутками анализом продаж, ты все еще помнишь и понимаешь такие вещи)
:)
Доказательство из серии "Докажи теорему Пифагора" - "Мамой клянусь!"
Притягивать высший математический аппарат к доказательству этой теоремы - все равно что вспахивать поле "Боингом-787". Громоздко, неудобно, и ненужно.
Существует масса гораздо более простых и несравненно более элегантных способов доказательства этой теоремы.
Лично мне пока что самым элегантным представляется следующее доказательство:
Создаем 3 треугольника. Первый масштабируем из исходного (со сторонами a, b, c) коэффициентом а, второй b, третий c
Замечаем, что у всех этих треугольников есть попарно равные грани: ac и bc. Складываем получившиеся треугольники так, чтобы получился прямоугольник. Длинные грани его равны и составляют: с одной стороны aa+bb, с другой cc. Теорема доказана.
Чем развитее инструмент - тем проще им работать :)
перед катетом b- всегда является уголь бетта , а не альфа.но доказательство теорема Пифагора не плохо
спасибо за ролик
Mais Quliyev, углы можно обозначать как угодно. Просто в учебниках авторы для простоты угол напротив стороны а обозначают альфа, напротив в - беттой. Это делается из методических и педагогических соображений. Математически абсолютно правильно называть угол любой буквой.
РазмерностЕй - это Вы с таким ударением предпочитаете произносить или так по-русски правильно?
как меня на мех-мате учили, так и говорю.
Просто любопытно было) Спасибо)
Отличное видео! А почему функции от альфа одни и те же?
а почему им быть разными?
А вот это g(альфа) что означает? S = f(c, альфа) такая формула правда существует, а то если это вымышленная формула, то как ты доказал?
Всё здорово👍Не понимаю ? Почему КВАДРАТ ГИПОТИНУЗЫ ??? ПОЧЕМУ ОН В КВАДРАТЕ ???
С тем же успехом можно доказывать через теорему косинусов, подставив в формулу угол 90 градусов, и получится еще короче. Так что не знаю
минуте на 4ой мозг вскипел ) но потом принципе понял, действительно элегантно
Все таки, для большей строгости стоило упомянуть, что все три треугольника подобны, по этому и функция g(a) для них одинакова
в доказательстве не нужно и не используется слово подобие
А как ты тогда докажешь, если не через подобие, что функция g(a), используемая для определения S, идентична функции g1(a), используемой для определения S1 ? Ты просто написал в формуле для S1 функцию g(a), никак не доказав, что g идентично g1
Любой прямоугольный треугольник однозначно определяется "с" и "а". Смотри, мы исходим из того, что есть некая формула площади прямоугольного треугонька с*с*g(a). Эта формула и функция "g" определяет площадь ЛЮБОГО треугольника. "g" - это функция имеющая определенное значение для каждого "а". Никакой отличной от "g" функции "g1" не существует! Иначе для одного треугольника было бы 2 разных значения площади.
@@harvardoxford, спасибо)
Доказательство интересное, но, как автор уже сказал, не очевидно, что площадь от гипотенузы зависит как её квадрат умножить на ещё что-то. Упомянутая "пи теорема" это конечно хорошо, но школьнику, проходящему теорему Пифагора в школке о ней вообще ничего не известно, так что это не аргумент.
теперь известно
почему не может быть множителя по типу ln((с+1)/(c+2))- тоже не имеющего размерности?
если вы подставите "с" не в метарах, а в мм, то убедитесь, что Ваша формула зависит от размерности, т.е. ее брать нельзя.
Молодец!
+OXy Player :)
доказал училке теорему на 5+ спасибо ))
Отлично! Следующий шаг - доказать теорему профессору из Оксфорда или Гарварда, чтобы тебя зачислили ;)
если бы все так просто было
Даниил Дорошенко Это не так сложно, как кажется ;) Учись и всё получится!
побольше таких видео
мне кажется для наглядности лучше всё-таки делить на функцию, а не умножать
Это не ко мне, а к автору доказательства вопросы ;))) Но мне нравится именно эта версия!
Красотаааааа *_________*
+Дарья Минеева :)
+Дарья Минеева Теорема не может быть некрасивой :)
Вторая альфа не равна первои альфе. Вторая альфа вообще-то равна 45 градусов, в то время как первая альфа может быть равна чему угодно. А стало быть не понятно, можно ли g(a) и g(45) сократить. Математически может быть и все правильно, но логически, как доказательство, такое объяснение требует доработки.
советую еще раз посмотреть доказательство
Когда ты учишься на 2 курсе и ничего не понял...
Буква g ничего не значит, ни в геометрии, ни в математике.
Доказать теорему из элементарной геометрии с помощью высшей математики в две строчки. Круто! Лайк однозначно
Где ты тут высшую математику нашёл?))
Как раз наоборот: доказать элементарный факт с помощью высшей математики -- совсем не круто. Это как почесать левое ухо правой рукой. Или стрелять из пушки по воробьям.
Есть доказательства без очевидных предположений?
Самое сложное иногда доказать очевидное но строго ничего не предполагая.
Доказаиельства построенные на очевидностью лишь показывают на связь..между очевидным и неочень
Вот теорема дополняющая теорему Пифагора th-cam.com/video/w99I0Chdk_A/w-d-xo.html
Блин, как найти интеграл функции f (x) = (x-1)^2 (x^2 + 2x + 1). Вторую неделю не могу решить :)
Это часть моей подготовки к магистратуре на мехмат.
раскрой скобки, получи полином и проинтегрируй "интеграл суммы есть сумма интегралов"
+Саша Виноградов там была дробь 1/ f (x), но она удалилась, умным телефоном ))
Ищи "интеграл рациональной функции".
+Rembo Coder Да, спасибо, я разобрался с ним. Теперь учусь исследовать интегралы на сходимость.
это самый простой интеграл
[(x-1)(x+1)]^2=(x^2-1)^2=
x^4-2x^2+1
потом интеграл=
х^5/5-2/3*х^3+х+С и всё.здесь нет сложность. с удоволствем учитель из Баку
это доказательство похоже на доказательство через подобные треугольники
Груз знаний давит?