Algebraische und geometrische Vielfachheit?
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- เผยแพร่เมื่อ 9 ก.พ. 2025
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Hier erzähle ich etwas über algebraische Vielfachheiten und geometrischen Vielfachheiten von Eigenwerten einer Matrix, Diagonalisierbarkeit, Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix und rechne ein Beispiel in kompletten Umfang vor.
(Aufgabe passt zur Vorlesungen wie Mathematik für Ingenieure, Mathematik für Physiker, Mathematik für Naturwissenschaftler, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler und natürlich auch für Mathematik-Vorlesungen für Mathematiker)
Nach 6 Jahren immer noch die beste Erklärung zum Thema. Du bist klasse!
Klasse! Das mit Abstand beste Video, das ich zur algebr. und geom. Vielfachheit gesehen habe! Danke.
Wow, danke für das Lob. Es freut mich sehr, dass ich dir helfen konnte.
"Und ich hoffe, das hat etwas geholfen." - Yeah, man! Es hat! :D
Yeah man mir hat das auch weiter geholfen
Jetzt muss ich mich aber auch mal bedanken, das hat das Thema um einiges klarer gemacht!
Gerne!
Super Erklärung! Das Beispiel hilft unglaublich !!
Wer kein like zu diesem tollen Video und dieser tollen Erklärung gibt, würde nirgendwo ein Like geben.
Herzlichen Dank🙏
Super Video, vielen Dank für die Mühe :)
Sehr gerne :)
Einfach danke
Gerne :)
Du rettest mir die Prüfung!
Danke sehr :) ,es hat mir viel geholfen, dies gut zu verstehen
Super! Das Video hat mir echt geholfen. Danke! 🤗👍👍👍
Super erklärt!!!
Super Video. Gerne hätte ich noch ein Beispiel gesehen, wie denn ein Eigenraum mit geom. VF 2 oder mehr aussehen würde. Kenne das bisher gar nicht
Super Video, super erklärt, Top, Danke !
Gut, dass jemand auch mal erwähnt warum es geom.V. genannt wird. - Falls du an Verbesserungspotential interessiert bist? Ich hätte die erste Matrix komplett MIT dem charak.Poly. eingefügt; die Berechnung lenkt die Konzentration vom Knackpunkt weg, macht dein Video zusätzlich 3-4 min kürzer - du bist ruckzuck beim Punkt des Videos. Leider kann man nur einen Daumen nach oben geben ! Thanxxx für dein Engagement und deine Uploads. (nebenbei: den gelben Hintergrund find ich super gewählt ;)
Danke! Ich werde natürlich weiterhin versuchen, die Videos kürzer zu halten. Es ist leider nicht immer ganz einfach, den richtigen Mittelweg zwischen "zu schnell" und "zu langsam" zu finden.
Mir sind gerade genug Glühbirnen aufgegangen um halb Deutschland mit Licht zu versorgen. Vielen Dank für das Video
Haha, sehr gut :D
Gutes Video, vielen Dank für die Erklärung! :)
super erklärt! danke
Gerne! Und danke für den Support!
Stabiles Video 😊
Ja, nach Jahren immer noch stabil :)
Hat sehr geholfen. Vielen Dank !
Du kannst echt richtig gut erklären!
mi fokin padre, un capo este tipo, gracias bro sos un genio
Prima, vielen vielen Dank!
omg,finally. Danke!
Wow um ehrlich zu sein ich hab sogar einen Extra Mathe plus Kurs in der Uni und nicht mal die haben das so klar erklärt was damit gemeint ist und haben immer nur Definitionen aufgeschrieben ja Wow richtig toll dieses System. Aber Danke für dieses Video💁🏻♀️💛
Ich hoffe ich kriege noch eine Antwort nach all der Zeit :D, aber wollte zum Verständnis fragen: Muss man nicht um den Kern zu berechnen die NZSF der Matrix bilden? Ich war etwas verwirrt denn bei unserem Eigenwert= -1 war eines unserer Pivotelemente eine 3 und bei unserem Eigenwert= 2 hatten wir unsere NSZF so wie ich es kenne also reicht auch nur die ZSF? War ein sehr hilfreiches Video war sehr super!
Zeilenstufenform reicht doch schon vollkommen, um den Kern hinzuschreiben. :)
@@brightsideofmaths Vielen Dank für die Antwort! Sei also beides möglich?
@@LongChicken Wenn du diese Frage stellst, dann solltest du auf meine Website gehen und in der Suche "Calculating the kernel of a matrix" eingeben.
Ich habe auch ein Community Forum für mehr Fragen :)
An was erkennt man jetzt ob es 1 oder 2 dimensional ist? Anzahl der Vektoren? Oder hat es was mit den Komponenten zu tun?
Danke!
Groooooooosartig! das hatte ich gebraucht. Super video! Jetzt verstehe, hoffentlich. wenn ich ein eigenwert lambda 1, von position a11, falls algebrische vielfachheit ist eins, subtrahiere bekomme dadurch a11 als null wert, ist logisch, und dadurch, das diese zeile nicht mehr unabhaengig, ein vektor zum kern, mit a11=1 ist und alle andere koeffiziente =0, das eigenvektor.Damit bekomme ,wenn ich mit allem eigenvert das durchführe,die basis, eigenraum. Danke!!!!!!!!!!!!!!!!!
Wir definieren bei uns das char. Polynom andersherum: det(lambd I - A). Warum ist das nicht einheitlich? haben beide Varianten vor- und nachteile?
Wenn es um die Nullstellen geht, sind beide Versionen gleich gut :)
Die Anzahl der Eigenvektoren ist also gleich die geometrische Vielfachheit? Also wenn ich den ersten Eigenwert habe und daraus nur ein Eigenvektor ableitbar ist sind Valg und Vgeo gleich oder? Wäre schön wenn es so wäre, denn dann hätte ich endlich mal etwas verstanden...
Danke 👍👍👍👍👍👍👍
Danke!!
tolle Erklärung, aber an der Stelle 8:50 geht es mir zu schnell. Wie kommst du darauf dass deiser vektor t * (0 0 1) ist?
th-cam.com/video/s2zjGB3ITlE/w-d-xo.html
oda mus der nur ortogonal sain?
@@tonikaiser2823 Orthogonal zu was?
@@brightsideofmaths zu 3 0 0 und 0 1 0
Hey hätte eine Frage, wenn die 1 anstatt in der ersten Zeile und zweiten Spalte in der zweiten Zeile und dritten Spalte wäre, wäre dies dann diagonalisierbar und wenn ja warum.
Gute Frage! Was ist das charakteristische Polynomial in dem Fall?
@@brightsideofmaths Wenn man ja dann den Eigenraum zum λ₂ = 2 macht bekommt man beim Kern zwei Nullspalten und damit wäre dann doch die geometrische Vielfachheit 2 oder?
dass die alg. multiplizitäten summiert immer n sind liegt aber daran, dass wir in C sind und da alles immer in lin.faktoren zerfällt oder?
Super Video, aber ich habe eine Frage. Kann man die 1 in der 1. Zeile und 2. Spalte nicht schon beim Gauß´n mit der 2. Zeile eliminieren? .... Dann wäre die geometrische Vielfachheit der algebraischen und somit A diagonalisierbar.
Klar, wenn du eine andere Matrix als A betrachten willst, geht das natürlich. Es ist halt nicht mehr die Matrix A dann.
@@brightsideofmaths Ich hatte einen Denkfehler und die Matrix im Kopf gleich Null gesetzt. Vielen lieben Dank für deine schnelle und gute Antwort!
Kannst du das Video zu der Umformung des Kernes hier mal verlinken? Wäre lieb 😊
perfekt
Der 0 vektor wird dann nicht mit gerechnet bei der geometrischen vielfachheit oder?
Der Nullraum hat Dimension 0 :)
@@brightsideofmaths oh ja klar macht Sinn. Vielen Dank ❤️
mega danke
You are welcome!
ist der Kern auch als Eigenvektor zu verstehen?
Eigenraum, zum Eigenwert 0, wenn ich das richtig verstehe. Kann ja mehrdimensional sein.
Wenn ich bei dieser Beispielmatrix aber die 1. Zeile minus 0,5*2. Zeile rechne, dann komme ich doch auf
2 0 0
0 2 0
0 0 -1
Ist das jetzt keine Diagonalmatrix? Oder darf ich diesen Schritt gar nicht machen? und wenn nein, warum nicht? Und wenn doch: Wie kann es sein dass sich eine nicht diagonalisierbare Matrix in eine Diagonalmatrix umändern lässt?
"Gauß-Algorithmus" ungleich "Diagonalisieren". Das sind zwei unterschiedliche Dinge :)
Wie weißt man das die Dimension 1 ist? Weil ich nur einen unabhängigen Vektor habe? Und die geom VFH = der Dimension dann oder ?? Danke für das Videos :/
Geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums, genau!
wenn es im Eigenraum 2 Eigenvektoren gegeben hätte, wäre es die geometrische Vielfachheit von 2 oder, oder wenn es 3 gegeben hätte, wäre es die Vielfachheit von 3 oder?
Wenn meine Eigenwerte komplex sind, kann ich dann daraus schon schlussfolgern das meine Matrix nicht über R diagonalisierbar ist? Eigentlich schon oder? Steht nur grad auf dem Schlauch... Ob sie dann auf C diagonalisierbar ist muss man dann noch ausrechnen natürlich
Wenn die nicht alle Eigenwerte reell sind, dann kann die Matrix (mit nur reellen Einträgen) nicht diagonalisierbar über R sein. Es gibt dann einfach zu wenige Eigenvektoren.
@@brightsideofmaths ok vielen dank
Danke du hast mir echt den Arsch gerettet.
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danke!
Wo zu skaliert man die werte auf 1?
Welche Werte?
@@brightsideofmaths 8:18 , 11:53
@@nicolasp8pl Ich finde, mit Einsen lässt sich leichter rechnen.
@@brightsideofmaths 12:50 ist links die Kern und Rechts die Basis der Kern (tut mir leid für die Fragen, ich habe das Stoff in der Vorlesung nicht wirklich verstanden :()
Müssen wir hier noch ausschließen, dass t = 0 ? Also müsste dann da stehen, t aus C\{0} ?
Nein, der Eigenraum ist der ganze Kern und deswegen INKLUSIVE dem Nullvektor. Allerdings bezeichnen wir Null nicht als einen "Eigenvektor". Das bedeutet: Wenn ich die "Menge aller Eigenvektoren" aufschreiben, dann steht das gleiche wie oben dort, aber diesmal mit t aus C\{0}.
stimmt! danke für die Antwort!
kann man sagen, dass die geometrische VF die anzahl der nullzeilen ist?
Das kann man sagen, aber es wäre falsch ;)
Im Ernst: Versuche es mal genauer zu formulieren, was du meinst.
ja mathematisch ausgedrückt wäre es ja die dimension des eigenraums. (das wäre ja die mächtigkeit/ anzahl der eigenvektoren im eigenraum), oder?
mir ist aber unklar wie ich auf die anzahl bei einer beispielmatrixe komme?
Thx
Die Äquivalenz am Anfang des Videos stimmt nicht ganz. Es fehlt, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfallen muss.
Was jedes Polynom über C auch tut :)
@@brightsideofmaths Ach ja richtig, wir sind in C :D C ist algebraisch abgeschlossen
Ich liebe dich
Wieso ist die geometrische Vielfachheit kleiner-gleich der algebraischen Vielfachheit?
Das ist eine gute Übungsaufgabe. Dafür musst du nur verwenden, was die geometrische und algebraische Vielfachheit jeweils bedeutet und einen passenden Basiswechsel durchführen. Probiere es ruhig mal!
Danke echt super Video
Ich hätte noch eine Frage, bei der 3kreuz3 Matrix die du als Beispiel hattest. Gibt es zu der Matrix dann nur 2 linear unabhängige EV oder muss es eine 3te geben ?
Also jeder Eigenraum ist 1-dimensional. Das heißt, man wird keine 3 linear unbhängige Eigenvektoren finden können.
Man sieht die Anzahl der freien Variablen aber nicht an der Anzahl der Nullzeilen, sondern der Nullspalten!!! Eine Nullzeile hat gar keine Aussage
Allgemein hast du natürlich recht, aber hier haben wir ja quadratische Matrizen. Da sind Nullzeilen genauso gut wie Nullspalten.
@@brightsideofmaths Aber warum? Die Nullzeilen sagen doch nichts aus, während die Nullspalten Doch sagen wie viele Variablen ich frei wählen kann. Die Nullspalten sagen doch nur, dass sowohl x, y als auch z alle Werte annehmen können.
@@hundhund489 Ich will dich nicht weiter verwirren, denn deine Denkweise ist natürlich völlig korrekt. Allerdings gilt allgemein Spaltenrang = Zeilenrang und wenn du das mit der Dimensionsformel verbindest, dann siehst du, dass Nullzeilen und Nullspalten für quadratische Matrizen das gleiche bedeuten.
Wenn ich das Video heute wieder machen würde, würde ich aber darauf genauer eingehen.
@@brightsideofmaths Alles klar, vielen Dank für die Erklärung! :)
besser erklart dann mein Professor in zwei stunden
This looks good. Have you thought about translating your subtitles into English?
Thank you. I have a few English videos: th-cam.com/video/ZvAkIf7oBHw/w-d-xo.html
In future, I want to produce more English videos but first of all I have to reach the 1000 subscribers.
I've been using "SubtitleEdit", a free download tool, to convert my subtitles into the languages of countries where I am getting some views. Maybe this helps you reach a wider audience?
Thank you very much for the advice. I will check if this works for me. Thanks!
ehrenmann
Ehrenmann ich küsse dein auge
Einfach nur epic! Wanna marry me ?