Höhensatz von Euklid - Herleitung

Heute leiten wir uns den Höhensatz von Euklid, mithilfe eines rechtwinkliges Dreiecks und dem Satz des Pythagoras, her!
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#Höhensatz
#HöhensatzHerleitung
#RechtwinkligesDreieck

[@innif2-mn3yo]

👍Gut erklärt

[@debugger3368]

Toll und gut nachvollziehbar erklärt. 👍

[@murdock5537]

Souverän erklärt, vielen Dank! 🙂

[@jochenselich374]

Super erklärt!

[@aAilasso]

Danke hast mir wirklich geholfen :)

[@SprachederZahlen]

Das freut mich!

[@Nikioko]

Den Höhensatz bekommt man über ähnliche Dreiecke:
h : p = q : h
h² : p = q
h² = pq
Entsprechend funktioniert die Herleitung des Kathetensatzes:
a : c = q : a
a² : c = q
a² = qc
b : c = p : b
b² : c = p
b² = pc
a² + b² = qc + pc
a²+ b² = (q + p)c
a² + b² = c²

[@sagibo60]

Ich finde den Beweis etwas zu kompliziert. Einfacher: Die Teildreiecke sind ähnlich. Begründung: Der Winkel bei A und der Winkel zwischen h und a bei C sind gleich , da die Schenkel jeweils senkrecht zu einander sind. Außerdem enthalten beide Teildreiecke einen rechten Winkel, damit stimmen sie in allen drei Winkeln überein (Winkelsumme). Sie sind daher ähnlich und stimmen in allen Seitenverhältnissen überein. Dann gilt h/q=p/h . Dann gilt sofort: h*h=p*q. Fertig.
Umsonst bekommt man noch, dass das geometrische Mittel aus p und q (Wurzel(p*q) immer kleiner als das arithmetische Mittel 0,5*(p+q) ist, denn 0,5*(p+q) ist der Radius des Thaleskreises und die h

[@SprachederZahlen]

Ja, das ist ein schöner und eleganter Beweis!
Ich habe mich hier erst einmal für eine Variante entschieden, die sehr wenig Vorwissen benötigt. Alles was wir hier brauchen ist der Pythagoras.