Heute wollen wir den Höhensatz und den Kathentensatz kennenlernen und direkt beweisen. Das besondere dabei: Alles nur mit dem Satz des Pythagoras, denn der hat Power!
Der einfachste Beweis läuft über Seitenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken: a : b : c = p : h : a = h : q : b Daraus folgt: a : c = h : b ⇒ h = ab/c b : c = h : a ⇒ h = ab/c p : h = h : q ⇒ pq = h² (Höhensatz) a : c = p : a ⇒ a² = pc (Kathetensatz I) b : c = q : b ⇒ b² = qc (Kathetensatz II) Und daraus lässt sich dann auch der Satz des Pythagoras beweisen: a² + b² = pc + qc = (p + q)c = c² Und damit hat man alle Flächensätze des rechtwinkligen Dreiecks hergeleitet.
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Super erklärt
Der einfachste Beweis läuft über Seitenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken:
a : b : c = p : h : a = h : q : b
Daraus folgt:
a : c = h : b ⇒ h = ab/c
b : c = h : a ⇒ h = ab/c
p : h = h : q ⇒ pq = h² (Höhensatz)
a : c = p : a ⇒ a² = pc (Kathetensatz I)
b : c = q : b ⇒ b² = qc (Kathetensatz II)
Und daraus lässt sich dann auch der Satz des Pythagoras beweisen:
a² + b² = pc + qc = (p + q)c = c²
Und damit hat man alle Flächensätze des rechtwinkligen Dreiecks hergeleitet.