Ой, нет, сегодня выйдет Финкельберг у нас. Видимо, ролик про эту задачку мой выйдет с большим запозданием :-)))) В описании тогда дадим ссылочку на этот, попрошу Егора - когда выйдет!
Пусть выполнены условия А*B = С^2 (1) и А + В = N*C (2), где А, B и С - натуральные числа. Пусть р - простой делитель числа А, тогда, как следует из соотношения (1), р является и делителем числа С. Но тогда из соотношения (2) следует, что р является и делителем числа В. Значит множества простых делителей чисел А, В и С совпадают. Пусть делитель р входит в разложение числа А со степенью к, в разложение числа В со степенью m, в разложение числа С со степенью n. Из соотношения (1) следует, что к + m = 2*n. Предположим, что к < m, тогда к < n < m. Это значит, что В и С делятся на p в степени n, а А не делится, что противоречит соотношению (2). Тогда к = n = m, а значит А = В = С!
@@trushinbv что за приложение используете? Сам часто использую, но пока ничего удобнее обычного приложения Заметки не было (хотя оно само по себе не очень)
11:28 Можно еще проще: В обведенном равенстве C^2 делится на А, иначе сумма не 0. Значит, первые 2 слагаемых делятся на А^2, значит С^2 тоже делится на А^2. Значит С делится на А. Но так как все симметрично относительно А, С, то и А делится на С. Значит А = С. Поэтому А = В = С
@@trushinbv Трушин, ты не прав! ....вот решение оригинала! F(a)×F(b)=-(a-b)^2=-(a-b)×(a-b) Oтсюда F(a)=-(a-b) и F(b)=(a-b) Отсюда F(a) + F(b)= -(a-b)+(а-b)=0 ЧТД. Спорить будем? .... А от ваших "багов" с Сааватев по задаче "голова кругом"!
Можно еще так 1. Найдем НОД(a, b) = d. Тогда a = td, b = sd и t, s - взаимно простые. 2. Из равенства ab = tsd^2=c^2 следует, что с^2 делится на d^2 и полученный результат тоже квадрат какого-то натурального числа. Обозначим это число m. Таким образом, c = md, ts=m^2. Заметим, что из последнего равенства и взаимной простоты t, s следует, что t и s это квадраты натуральных чисел, t = u^2, s = v^2, m = uv. Числа u, v тоже взаимно простые. 3. Так как a+b = Nc, то d(t+s) = Nmd. Отсюда u^2+v^2 = Nuv. 4. Последнее равенство, в силу взаимной простоты u, v, возможно только если u = 1, v = 1. Отсюда, t = s = 1 и a = b.
@@trushinbv ммм... Дайте подумать... Решение должно быть понятно человеку, знакомому со сложением, вычитанием, умножением, деленим, степенью и корнем n-ой степени.То есть, с арифметическими действиями. И арифметическими понятиями в виде простого\составного числа и т.п. Даже формулы сокращенного умножения - излишество.
@@mOarDoorа если челлендж будет включать неожиданные логические выводы, которые хотя и не являются математическими понятиями, будут кому-то известны, а кому-то - нет, и считать ли их усложнением или упрощением, будет субъективно. Если бы всё было так просто даже при казалось бы предельно ясных критерях. Для очерчивания понятия простоты пришлось бы очертить всю математику и оскорбить всех, кого только можно, утверждая, что тот или иной раздел в математике совсем несложный. И тогда уж это был бы челлендж не на простоту, а на решение с данными арифметическими действиями.
Привет, Борька !! У меня на канале скоро выйдет ролик - там более-менее это решение написано, это как раз от организаторов (они со мной связались сразу :-)). Или уже вышел, я не помню - надо Егора спросить или глянуть в Маткульт ко мне :-))). Суть такова: (А) Организаторы не ошиблись, в этом я неправ; (Б) Решение это, однако, без поллитра школьник не придумает! Ведь мы отсчитываем "простоту" задачи от общегно уровня олимпиады. Ты видел там третью задачу? Она решается в ОДНУ секунду. И вот это несоответствие сложностей задач и привлекло моё внимание :-))). Ведь формально и разбор Задачи-1988 не так уж сложен. Но поди догадайся до этих прыжков Виета!!!
Вот во втором решении там, где получили (A-B)^2=C^2(N^2-4) и делаем как бы очевидный вывод, что N^2-4 должен быть полным квадратом мы же неявно используем либо ОТА откуда это прямо следует, либо же мы можем сказать, что N^2-4 целый квадрат рационального числа, но если это рациональное число не целое, то и его квадрат не целый( а это тоже надо доказывать по хорошему и это следует из мультипликативного свойства НОД, а именно если (p,q)=1, то (p^2,q^2)=1, что в свою очередь доказывается с помощью алгоритма Евклида) а следовательно оно должно быть целым и соотвественно N^2-4 полный квадрат )))) Т.е. если совсем буквоедством заниматься, то это «очевидное» соображение требует доказательства методами не входящими в школьную программу. А вот другие решения действительно можно считать полностью школьными
@@trushinbv можно и так, но этот факт опять же надо доказать)) Он следует из упомянутого свойства мультипликативности НОД, а именно если предположить, что sqrt(n)=p/q, (p,q)=1, и q>1, то получим, что p^2/q^2=n, и следовательно (p^2,q^2)=q^2>1, а с другой по этому свойству должно быть (p^2,q^2)=1. Так что да, школьный он только в кавычках, хотя это все конечно буквоедство...
@@andreybyl Теорема Пифагора изучается в школе. Тут же в догон рассказывают о пифагоровых тройках и формулах Эвклида для их нахождения (как минимум на факультативе). Этих формул достаточно для доказательства.
Пусть x - остаток от деления a на с. Тогда а = kc+x, а так как a+b кратно c, то b можно представить в виде b=nс-x. Тогда ab=(kc+x)(nс-x)=кnс^2+ncx-kcx-x^2. И если x 0, то ab не делится на c, а по условию ab=c^2. При x = 0, получаем что ab=knc^2 => kn=1 => a=b=c. А вы в дискриминанты и ноды лезете) 5й класс решить может)
Я придумал еще одно решение с теоремой Виета. Пусть A и B корни приведенного квадратного уравнения. Тогда его коэффициенты: a = 1, b = -KC, с = C². Считаем дискриминант D = K²C² - 4C² = C²(K² - 4). Из него должен извлекаться целый корень (т. к. (-b + √D) / 2 - корень исходного уравнения => целое число), т. е. С√(K² - 4) - целое число. И тут опять получаем, что K² - 4 может быть равным только нулю. Значит D = 0, а значит корни совпадают, т. е. A = B.
Педлагаю без рассуждений и очевидности-невероятности, по типу "квадрат редко отличается.." Математика -- точная наука. А вот упрощение, сделанное Борисом, просто офигеть. Итак: 2:10 Есть натуральные числа А В С АВ=С^2 (или С=√(АВ)) А+В=NC, где N -- так же натуральное число. доказать, что А=В. Рассмотрим три случая: 1) N=1 тогда А+В=С; или (А+В)^2=C^2; (А+В)^2=AB; (A+B)*(A+B)=A*B А+В > A , A+B > B , так как числа натуральные. Значит (А+В)^2=AB не верно. N не равно 1. 2) N=2 тогда А+В=2С; (А+В)^2=4C^2; (A+B)^2=4AB; A^2+2AB+B^2=4AB; A^2-2AB+B^2=0; (A-B)^2=0; A-B=0; A=B доказано при N=2 3) N>=3 A+B >= 3C; (A+B)^2 >=9C^2; A^2+2AB+B^2 >= 9AB; A^2-2AB+B^2 >= 5AB; (A-B)^2 >=5AB; (А-В) < A, (A-B) < B. так как числа натуральные. Значит (A-B)^2 >=5AB не верно для N>=3. Ну примерно так. ЗЫ и ещё нашли N=2. Других N нет.
6:13 В школе когда я к этому пришел сам, я думал, что на пути открытия новой формулы)) Типа как узнать квадратный корень числа используя только простые математические действия?! корень из А = (В-А-1)/2 где А и В соседние квадраты. Например (49-36-1)/2=6. Беда только в том, как узнать В имея на руках только А?)
Не знаю зачем, но пусть будет. Док-во факта что только два квадрата отличаются на 4 в одном случае. Рассмотрим k-ый и (k+b)-ый квадраты, где b>0. Они отличаются на n=2bk+b^2. Предположим n равно 4 ,тогда 4 делиться на b т.е b=1; 2; 4. Сделав быстрый перебор убеждаемся что это возможно только при k=0 и b=2, то есть подходят только квадраты 0 и 4. Чтд. ?
Дано: ab = c² (усл. 1) (a + b) ⋮ с (усл. 2) a, b, c ∈ N (усл. 3) Доказать: a = b Решение: По (усл. 1) и (усл. 3) понятно, что a и b ⋮ с, т. к. произв. a и b ⋮ c, т.е. одно из чисел ⋮ c, тогда чтобы сумма была ⋮ с, оба числа должны быть ⋮ c. Тогда a и b можно записать как: a = xc; b = yc, где x, y ∈ N. Тогда: xcyc = c² xyc² = c² xy = 1, обозначим это как (усл. 4). Тогда понятно из (усл. 3) и (усл. 4), что x = 1 = y, т.е a = b = с. ЧТД.
Если школьник знает, что для полинома Р число Р(х)-Р(у) делится на х-у, то он знает, что у полинома с целыми коэффициентами x^2 - kx + 1 рациональные корни могут быть только 1 и -1 (при этом одинаковые), а его корни a/c и -b/c, по Виету (k = (a-b) / c)
@@IgorGusev28 на мой взгляд решение через НОД -- выжимка из самого естественного решения. Если разложить А, В и С на простые множители, то все получается довольно просто. Длиннее, чем эти решения, но не нужно ни до чего догадываться (возводить что-то в квадрат). Решение само плывет в руки
Разложи правое выражение и левое на просты множители и обнаружить что квадрат числа можно выразить только детерменированными простыми множителями а значит и а и б это просто эти множители.
в интернете! кто-то не прав? это нонсенс. в интернете все правы! универсальный метод - соотнести каждую конкретную правоту с истиной) все, что не совпало - в пропасть!!! (в Спарте - бросали в пропасть вместе с автором, уменьшая таким образом уровень спама в сообществе)
А нельзя ли было на моменте появления квадратного уравнения, потребовать единственность решения, еще до того как мы записали явный вид решения? Мол A и B это некоторые конкретные числа, а значит и их отношение тоже
8:26 обязательно ли, что если число является квадратом, то если при его разложении на множители появился квадрат какого-то числа, то и произведение оставшихся множителей будет квадратом какого-то числа?
Математики дерутся, но каждый Математик знает только свое решение. Итог Решение одинаково Вывод Как могу так и решают Вывод 2 Не ебпть мозги друг другу))) Респект АССАМ Математики 🤝🤝🤝 Вы все молодцы, на вас вся молодёжь держится, учите думать братцы! По РАЗНОМУ!
Разделим a, b, с на их НОД, получим взаимно-простые (не попарно) A, B, C, для которых выполнены те же условия: AB=C^2 (1) , A + B = kC (2). Пусть p - простой делитель A, тогда из (1) следует, что он делитель C, а из (2) - что он делитель и B, т.е. он делитель всех трех чисел - противоречие. Значит, А = 1, и аналогично B = 1, отсюда а = b.
Наткнулся на видео с решением, и я вижу сильно проще, может кто-то уже написал раньше, не знаю..... Раз а-b делится на с, значит у a и b одинаковые остатки при делении на с. А у ab остаток ноль. Значит а делится на с и b делится на с (если остатки одинаковы). Тогда из аb = -c квадрат следует, что а = с, а b = -c или наоборот.
У A и B разный знак, при A>C>0 будет 0>B>-С, а для условия кратности это не подходит, значит, они с точностью до знака равны C. Вы осознаёте, что вы - психи?
Может я конечно и глупость сейчас напишу, но если А-В=0 и значит А=В, то А*В=С™ получается А*А=С™ или А™=С™ ну и соответственно А=С а все остальные сложные рассуждения просто переливают из пустого в порожнее :-/
Елки иголки на 5 минуте СВОЙСТВА множества рациональных чисел ПРИПЛЕЛИ! ... Попробуйте порассуждать - ну просто безупречное матеиатическое доказательство! Это из какого учебника?
Вот вам без.... всяких там... ... Если а×в=-с^2, то а/с=-с/b, в то же время если а+b=0, то а=-b, отсюда а/с=-с/-a, очевидно что данное равенство верно тогда и только тогда когда а = c и cooтветственно равно b по модулю. Предположим что а не равно b по модулю , отсюда а/с=-с/b=n, следовательно а=сn, -c=nb отсюда с^2=(nb)^2=(n^2×b)×b, то есть а=-n^2×b, cледовательно справедливо равество (а-b)/с=-(n^2×b+b)/-nb=(n^2+1)/n=n+1/n Очевидно, что n+1/n всегда дробное , кроме значений n=1 и n=-1, дробное же значение не соответствует требованию о делимости, отсюда а=-b и соответственно равно с по модулю. .... А вот ваше меняние знаков (по усматрению), и свои интерпретации Дано задачи - это ваабще диз. жестачайший.
Борис! Ты не прав! Вы напрасно не упомянули то, что перефомулировали задачу, перейдя от полиномов к их значениям, тем самым перейдя от мозголомной формулировки к школьной. На этом фоне сами решения блекнут. Да и методически было бы лучше показать, как переформулировка задачи может кардинально изменить подходы к ее решению. В данном случае скромность проявлять не надо. ))
@@trushinbv Не согласен. Он остановился на формулировке: a(a+qc)=kc^2. Доказать.что a=mc. Он решал в лоб. Если решать от противного (amc), то это сделает и школьник без выкладок - парой предложений. Левая часть на c не делится - противоречие. Значит a делится на c. Вы же избавились от полиномов добавлением условия делимости разности, что очень сильно упростило восприятие задачи. В этом ценность.
В интернете опять кто-то не делает ролики по матану!
Извините (
@@trushinbv нет прощения смертным грехам
Лайк)
А что Вас интересует по матану?
@@shpigelmaned, видео
Наконец-то продолжение моего любимого сериала. Жду появление персонажа Рыбникова т. к. он был в комиксе.
Грешно смеяться над убогими!
@@dmitrypetrov8491 а кто убогий?
@@Sunny-ch3cx Ты
не будет больше рыбникова
@@leroybrown9407 ты ещё скажи, что Ефремов человека сбил 😡
Круто! Особенно с НОД очень понравилось, - самое изящное решение (я-то решил, примерно, как в том первом ролике), - спасибо Борис! Ты ПРАВ. ))
Да, с НОДом она совсем по-детски выглядит
Ой, нет, сегодня выйдет Финкельберг у нас. Видимо, ролик про эту задачку мой выйдет с большим запозданием :-)))) В описании тогда дадим ссылочку на этот, попрошу Егора - когда выйдет!
Пусть выполнены условия А*B = С^2 (1) и А + В = N*C (2), где А, B и С - натуральные числа.
Пусть р - простой делитель числа А, тогда, как следует из соотношения (1), р является и делителем числа С. Но тогда из соотношения (2) следует, что р является и делителем числа В. Значит множества простых делителей чисел А, В и С совпадают. Пусть делитель р входит в разложение числа А со степенью к, в разложение числа В со степенью m, в разложение числа С со степенью n. Из соотношения (1) следует, что
к + m = 2*n. Предположим, что к < m, тогда к < n < m. Это значит, что В и С делятся на p в степени n, а
А не делится, что противоречит соотношению (2). Тогда к = n = m, а значит А = В = С!
Тёмную доску в массы!
Забавно то, что в этот раз это случилось случайно )
Записывал поздно вечером и приложение автоматически предложило "темную тему"
@@trushinbv Визуально смотрится лучше, чем белая
@@trushinbv что за приложение используете? Сам часто использую, но пока ничего удобнее обычного приложения Заметки не было (хотя оно само по себе не очень)
@@RDimon2912 goodnotes 5 норм вещь
А мне белая доска нравится больше
11:28
Можно еще проще:
В обведенном равенстве C^2 делится на А, иначе сумма не 0. Значит, первые 2 слагаемых делятся на А^2, значит С^2 тоже делится на А^2. Значит С делится на А. Но так как все симметрично относительно А, С, то и А делится на С. Значит А = С. Поэтому А = В = С
Опять два математика сцепились по задаче. Каждый выпуск одно и то же.
Этот можете не смотреть )
но решения-то разные:)
@@trushinbv это он не в претензию Вам)
Просто мем такой "опять дед с батей сцепились по пьяне. Каждый день одно и то же"
Ну может в один момент они подерутся? Как говориться всё ради контента. Хотя конечно люди вроде интеллигентные...
@@trushinbv Трушин, ты не прав!
....вот решение оригинала!
F(a)×F(b)=-(a-b)^2=-(a-b)×(a-b)
Oтсюда
F(a)=-(a-b) и F(b)=(a-b)
Отсюда
F(a) + F(b)= -(a-b)+(а-b)=0
ЧТД.
Спорить будем?
....
А от ваших "багов" с Сааватев по задаче "голова кругом"!
Возвращение Trushin lite 🌸🌸🌸
Просто вчера у меня был выходной и я два ролика дома записал )
Спасибо большое, за видео, лайк однозначно
Можно гораздо проще: "очевидно, что..."
Попался, составитель решу егэ
Борис, спасибо. Формат видео отличный.
Вся ясно, вчера и сегодня ,спасибо!
Мне понравилось это видео!
видос огонь🔥🔥🔥
спасибо. очень хороший пример для "продвидутых" школьников - получат заряд подрости и оптимизма.
Можно еще так
1. Найдем НОД(a, b) = d. Тогда a = td, b = sd и t, s - взаимно простые.
2. Из равенства ab = tsd^2=c^2 следует, что с^2 делится на d^2 и полученный результат тоже квадрат какого-то натурального числа. Обозначим это число m. Таким образом, c = md, ts=m^2. Заметим, что из последнего равенства и взаимной простоты t, s следует, что t и s это квадраты натуральных чисел, t = u^2, s = v^2, m = uv. Числа u, v тоже взаимно простые.
3. Так как a+b = Nc, то d(t+s) = Nmd. Отсюда u^2+v^2 = Nuv.
4. Последнее равенство, в силу взаимной простоты u, v, возможно только если u = 1, v = 1. Отсюда, t = s = 1 и a = b.
Да, так тоже можно )
У меня предложение. Создать челленж, на котором будут разные решения. И победителем будет тот, кто сумеет проще всего решить
Простота - очень относительное понятие (
@@trushinbv ммм... Дайте подумать... Решение должно быть понятно человеку, знакомому со сложением, вычитанием, умножением, деленим, степенью и корнем n-ой степени.То есть, с арифметическими действиями. И арифметическими понятиями в виде простого\составного числа и т.п. Даже формулы сокращенного умножения - излишество.
@@trushinbv Кстати, многому у вас учусь, как преподаватель. Рекоммендую ваш канал
@@trushinbv "у каждой задачи есть простое, легкое для понимания неверное решение"
@@mOarDoorа если челлендж будет включать неожиданные логические выводы, которые хотя и не являются математическими понятиями, будут кому-то известны, а кому-то - нет, и считать ли их усложнением или упрощением, будет субъективно. Если бы всё было так просто даже при казалось бы предельно ясных критерях. Для очерчивания понятия простоты пришлось бы очертить всю математику и оскорбить всех, кого только можно, утверждая, что тот или иной раздел в математике совсем несложный. И тогда уж это был бы челлендж не на простоту, а на решение с данными арифметическими действиями.
Привет, Борька !! У меня на канале скоро выйдет ролик - там более-менее это решение написано, это как раз от организаторов (они со мной связались сразу :-)). Или уже вышел, я не помню - надо Егора спросить или глянуть в Маткульт ко мне :-))). Суть такова: (А) Организаторы не ошиблись, в этом я неправ; (Б) Решение это, однако, без поллитра школьник не придумает! Ведь мы отсчитываем "простоту" задачи от общегно уровня олимпиады. Ты видел там третью задачу? Она решается в ОДНУ секунду. И вот это несоответствие сложностей задач и привлекло моё внимание :-))). Ведь формально и разбор Задачи-1988 не так уж сложен. Но поди догадайся до этих прыжков Виета!!!
В чом заключались прижки Виета?
А я люблю сложные решения за катарсис в конце)
Кок
Я тож
Вот во втором решении там, где получили (A-B)^2=C^2(N^2-4) и делаем как бы очевидный вывод, что N^2-4 должен быть полным квадратом мы же неявно используем либо ОТА откуда это прямо следует, либо же мы можем сказать, что N^2-4 целый квадрат рационального числа, но если это рациональное число не целое, то и его квадрат не целый( а это тоже надо доказывать по хорошему и это следует из мультипликативного свойства НОД, а именно если (p,q)=1, то (p^2,q^2)=1, что в свою очередь доказывается с помощью алгоритма Евклида) а следовательно оно должно быть целым и соотвественно N^2-4 полный квадрат )))) Т.е. если совсем буквоедством заниматься, то это «очевидное» соображение требует доказательства методами не входящими в школьную программу. А вот другие решения действительно можно считать полностью школьными
Мы пользуемся «школьным фактом», что корень из натурального - либо натурален, либо иррационален )
@@trushinbv можно и так, но этот факт опять же надо доказать)) Он следует из упомянутого свойства мультипликативности НОД, а именно если предположить, что sqrt(n)=p/q, (p,q)=1, и q>1, то получим, что p^2/q^2=n, и следовательно (p^2,q^2)=q^2>1, а с другой по этому свойству должно быть (p^2,q^2)=1. Так что да, школьный он только в кавычках, хотя это все конечно буквоедство...
@@andreybyl Теорема Пифагора изучается в школе. Тут же в догон рассказывают о пифагоровых тройках и формулах Эвклида для их нахождения (как минимум на факультативе). Этих формул достаточно для доказательства.
Пусть x - остаток от деления a на с. Тогда а = kc+x, а так как a+b кратно c, то b можно представить в виде b=nс-x. Тогда ab=(kc+x)(nс-x)=кnс^2+ncx-kcx-x^2. И если x 0, то ab не делится на c, а по условию ab=c^2. При x = 0, получаем что ab=knc^2 => kn=1 => a=b=c.
А вы в дискриминанты и ноды лезете) 5й класс решить может)
Отличное решение!
Самая короткая дорога это та которую знаешь.
11:25 N=±2
это проще?!!!
Я придумал еще одно решение с теоремой Виета.
Пусть A и B корни приведенного квадратного уравнения. Тогда его коэффициенты: a = 1, b = -KC, с = C². Считаем дискриминант D = K²C² - 4C² = C²(K² - 4). Из него должен извлекаться целый корень (т. к. (-b + √D) / 2 - корень исходного уравнения => целое число), т. е. С√(K² - 4) - целое число. И тут опять получаем, что K² - 4 может быть равным только нулю. Значит D = 0, а значит корни совпадают, т. е. A = B.
Отличное решение!
Педлагаю без рассуждений и очевидности-невероятности, по типу "квадрат редко отличается.."
Математика -- точная наука.
А вот упрощение, сделанное Борисом, просто офигеть.
Итак:
2:10 Есть натуральные числа А В С
АВ=С^2 (или С=√(АВ))
А+В=NC, где N -- так же натуральное число.
доказать, что А=В.
Рассмотрим три случая:
1) N=1
тогда А+В=С; или (А+В)^2=C^2; (А+В)^2=AB; (A+B)*(A+B)=A*B
А+В > A , A+B > B , так как числа натуральные. Значит (А+В)^2=AB не верно. N не равно 1.
2) N=2
тогда А+В=2С; (А+В)^2=4C^2; (A+B)^2=4AB; A^2+2AB+B^2=4AB; A^2-2AB+B^2=0; (A-B)^2=0; A-B=0; A=B
доказано при N=2
3) N>=3
A+B >= 3C;
(A+B)^2 >=9C^2;
A^2+2AB+B^2 >= 9AB;
A^2-2AB+B^2 >= 5AB;
(A-B)^2 >=5AB; (А-В) < A, (A-B) < B. так как числа натуральные. Значит (A-B)^2 >=5AB не верно для N>=3.
Ну примерно так.
ЗЫ и ещё нашли N=2. Других N нет.
A = 8, B = 1. B = 1 < A - B = 7 < A = 8
A = 101, B = 1, (A - B)^2 = 10 000 > 505.
@@RuslanShanin ну да, не только Трушин не прав, но и я.
тёмная тема, каеф
6:13 В школе когда я к этому пришел сам, я думал, что на пути открытия новой формулы)) Типа как узнать квадратный корень числа используя только простые математические действия?! корень из А = (В-А-1)/2 где А и В соседние квадраты. Например (49-36-1)/2=6. Беда только в том, как узнать В имея на руках только А?)
Формула бесполезна, ведь каким образом ты узнаешь квадрат соседнего числа?
Не знаю зачем, но пусть будет. Док-во факта что только два квадрата отличаются на 4 в одном случае.
Рассмотрим k-ый и (k+b)-ый квадраты, где b>0. Они отличаются на n=2bk+b^2. Предположим n равно 4 ,тогда 4 делиться на b т.е b=1; 2; 4.
Сделав быстрый перебор убеждаемся что это возможно только при k=0 и b=2, то есть подходят только квадраты 0 и 4. Чтд. ?
В 1 примере не n2c2, а (nc) 2
Дано:
ab = c² (усл. 1)
(a + b) ⋮ с (усл. 2)
a, b, c ∈ N (усл. 3)
Доказать:
a = b
Решение:
По (усл. 1) и (усл. 3) понятно, что a и b ⋮ с, т. к. произв. a и b ⋮ c, т.е. одно из чисел ⋮ c, тогда чтобы сумма была ⋮ с, оба числа должны быть ⋮ c.
Тогда a и b можно записать как:
a = xc;
b = yc, где x, y ∈ N.
Тогда:
xcyc = c²
xyc² = c²
xy = 1, обозначим это как (усл. 4).
Тогда понятно из (усл. 3) и (усл. 4), что x = 1 = y, т.е a = b = с.
ЧТД.
Из того, что 4•9=6^2 не следует, что один из множителей делится на 6
@@trushinbv Спасибо, заметил)
Гораздо легче есть решение без рассуждений.
Если школьник знает, что для полинома Р число Р(х)-Р(у) делится на х-у, то он знает, что у полинома с целыми коэффициентами x^2 - kx + 1 рациональные корни могут быть только 1 и -1 (при этом одинаковые), а его корни a/c и -b/c, по Виету (k = (a-b) / c)
очев с помощью леммы об уточнении показателя решать
блин, ну если решение трушина сложное... то я не знаю, что тогда просто
да и некоторые решения в видосе явно сложнее
Ну, последнее в этом ролике (через НОД), по-моему хорошее. То бишь, догадаться до него, может, и не так просто, но само решение простое и изящное.
@@IgorGusev28 на мой взгляд решение через НОД -- выжимка из самого естественного решения. Если разложить А, В и С на простые множители, то все получается довольно просто. Длиннее, чем эти решения, но не нужно ни до чего догадываться (возводить что-то в квадрат). Решение само плывет в руки
@@murmol444
Ну, может быть..
Разложи правое выражение и левое на просты множители и обнаружить что квадрат числа можно выразить только детерменированными простыми множителями а значит и а и б это просто эти множители.
Где ссылка на видео Савватеева?
а как такое решение (не знаю проще или сложнее оно остальных или его уже приводили):
ab=c^2, a+b:c
пусть a
Непонятно, почему x < a ?
@@shpigelmaned да, похоже погорячился :( во всяком случае сейчас, на ночь глядя, не вижу явных причин для такого предположения
@@ИванИванович-л4з Утро вечера мудренее! Удачи!
И все же, объясните, как из исходного условия мы приходим к тому, что пишет Борис!
Переобозначь b=-B
в интернете! кто-то не прав?
это нонсенс. в интернете все правы! универсальный метод - соотнести каждую конкретную правоту с истиной) все, что не совпало - в пропасть!!! (в Спарте - бросали в пропасть вместе с автором, уменьшая таким образом уровень спама в сообществе)
А нельзя ли было на моменте появления квадратного уравнения, потребовать единственность решения, еще до того как мы записали явный вид решения? Мол A и B это некоторые конкретные числа, а значит и их отношение тоже
Если бы такое было возможно, то решения было бы два - А/В и В/А
@@trushinbv не совсем уловил, у вас же уравнение как раз относительно A/B получается. Там единственность и потребовать
а можно пример полинома-удовлетворяющего условию при неравных a, b ?
8:26 обязательно ли, что если число является квадратом, то если при его разложении на множители появился квадрат какого-то числа, то и произведение оставшихся множителей будет квадратом какого-то числа?
m^2 = k^2*q
q = m^2/k^2
q = (m/k)^2
Как по мне, 1 доказательство более длинное и некрасивое, чем в прошлом видео. А вот 2 уже мне нравится
Математики дерутся, но каждый Математик знает только свое решение. Итог
Решение одинаково
Вывод
Как могу так и решают
Вывод 2
Не ебпть мозги друг другу)))
Респект АССАМ Математики 🤝🤝🤝 Вы все молодцы, на вас вся молодёжь держится, учите думать братцы! По РАЗНОМУ!
Хочу еще! кто еще не прав:)
Разделим a, b, с на их НОД, получим взаимно-простые (не попарно) A, B, C, для которых выполнены те же условия: AB=C^2 (1) , A + B = kC (2). Пусть p - простой делитель A, тогда из (1) следует, что он делитель C, а из (2) - что он делитель и B, т.е. он делитель всех трех чисел - противоречие. Значит, А = 1, и аналогично B = 1, отсюда а = b.
P=Q+2x-a-b, где полином Q имеет корни a и b
Логически-первый вопрос должен быть о наличии таких P, иначе рассуждаем о круглых пирамидах Хеопса........
Наткнулся на видео с решением, и я вижу сильно проще, может кто-то уже написал раньше, не знаю..... Раз а-b делится на с, значит у a и b одинаковые остатки при делении на с. А у ab остаток ноль. Значит а делится на с и b делится на с (если остатки одинаковы). Тогда из аb = -c квадрат следует, что а = с, а b = -c или наоборот.
Йоу
ХАЙПППП
когда в одной формуле есть n и N, то как то их различайте в речи. Просто сказать "эн" недостаточно
Трушин, ты не прав, когда пишешь в заголовке, что ты не прав ))) но означает ли это, что Трушин прав? ☺
А где можно посмотреть видео савватеева?
Ой, в описании вчерашнего ролика она была
У A и B разный знак, при A>C>0 будет 0>B>-С, а для условия кратности это не подходит, значит, они с точностью до знака равны C. Вы осознаёте, что вы - психи?
Это какая-то новая программа?
Та же, только фон темный )
@@trushinbv как программа называется?
@@the.artik.channel Explain Everything вроде бы
@@caftanfire7597 ок спасибо
согласен. Трушин не прав.
Какое кликбейтное начало))
Может я конечно и глупость сейчас напишу, но если А-В=0 и значит А=В, то А*В=С™ получается А*А=С™ или А™=С™ ну и соответственно А=С а все остальные сложные рассуждения просто переливают из пустого в порожнее :-/
где матан (((
У Савватеева проще:
C = ()*p^k, A = ()*p^(k+t), B = ()*p^(k-t)
()*p^(k+t) + ()*p^(k-t) = ()*p^k --> t=0
Ой бред!!!! Так НАТУРАЛЬНЫЕ или ЦЕЛЫЕ?
...
Звуком в ролике о о множестве Z, текстом в описалке о множестве N!
...
Вы уж там как то определитесь!
Елки иголки на 5 минуте СВОЙСТВА множества рациональных чисел ПРИПЛЕЛИ!
...
Попробуйте порассуждать - ну просто безупречное матеиатическое доказательство!
Это из какого учебника?
Вот вам без.... всяких там...
...
Если а×в=-с^2, то а/с=-с/b, в то же время если а+b=0, то а=-b, отсюда а/с=-с/-a, очевидно что данное равенство верно тогда и только тогда когда а = c и cooтветственно равно b по модулю.
Предположим что а не равно b по модулю , отсюда а/с=-с/b=n, следовательно а=сn, -c=nb отсюда с^2=(nb)^2=(n^2×b)×b, то есть а=-n^2×b, cледовательно справедливо равество (а-b)/с=-(n^2×b+b)/-nb=(n^2+1)/n=n+1/n
Очевидно, что n+1/n всегда дробное , кроме значений n=1 и n=-1, дробное же значение не соответствует требованию о делимости, отсюда а=-b и соответственно равно с по модулю.
....
А вот ваше меняние знаков (по усматрению), и свои интерпретации Дано задачи - это ваабще диз. жестачайший.
Борис! Ты не прав!
Вы напрасно не упомянули то, что перефомулировали задачу, перейдя от полиномов к их значениям, тем самым перейдя от
мозголомной формулировки к школьной. На этом фоне сами решения блекнут. Да и методически было бы лучше показать, как переформулировка задачи может кардинально изменить подходы к ее решению.
В данном случае скромность проявлять не надо. ))
Суть именно в том, что Савватеев легко избавился от многочленов и остановился именно на задаче с этой формулировкой
@@trushinbv Не согласен. Он остановился на формулировке:
a(a+qc)=kc^2. Доказать.что a=mc.
Он решал в лоб. Если решать от противного (amc), то это сделает и школьник без выкладок - парой предложений.
Левая часть на c не делится - противоречие. Значит a делится на c.
Вы же избавились от полиномов добавлением условия делимости разности, что очень сильно упростило восприятие задачи. В этом ценность.
Ты не прав, дядя
Борис, ты не прав писать "Трушин, ты не прав!" в заголовке видео.
Прекратите буллить савватеева
школьники 7 класса не знают дискриминанта и квадратных уравненимй
Не прав - раздельно
Трушин опять хайпит, задолбал, давай матан и отстань от Савватеева
Что ж там Савватеев мог возразить? Вроде не на что возражать было. Смотреть принципиально не буду, не люблю, может кто кратко опишет?
Там ничего интересного )
@@trushinbv очень кратко и максимально информативно. спасибо! (без сарказма)