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動画と同じく次数下げを用いて解きました。(2)の因数分解はx^3+3x^2-1-(α^3+3α^2-1)と変形する方法もありますね。
確かに！その変形も良く使いますね。
コレって一般的に言えるんでしょうか？3次方程式の解の一つをαで表した時、残りの2解をαの2次以下の多項式で表す事が出来るのか？という話です。高万さんの所のコメントにあるように、ビエトの解で表せるような解の時のみ可能なんでしょうかね？
3次方程式の1つが実数、残りの2つが虚数である時点で実数解をαとすると、他の解をαの有理数係数多項式で表すのは無理があります。とは言え係数の範囲を複素数まで拡張すればたとえばx^3+x+u=0(u:定数)の解の1つをx=αとおくと、他の解は{-(α+1)±√(α+1)(1-3α)}/2となり、(α+1)(1-3α)+A(α-2p)(α^3+x+u)=A(α^2-pα+q)^2を満たす数A(≠0),p,qを求めるわけですが、これはα=-1,1/3,0を代入すれば求められることになりますね。
有理数係数で、ってことですよね。すごく気になりますよね！3つの異なる実数解のときも、πの有理数倍の三角関数で表せないと辛そうな気がします。4x³-3x=1/3みたいなパターンだと無理かも...？
@@p-1math38ご返信ありがとうございます。そうですね。そもそも、実数解αの多項式で虚数解は表せないので、「一般に」は無理ですね。でも、√を外すのは出来るって事ですね。ありがとうございました。あと、細かい事ですが、7行目のxは多分、αですね。
係数の範囲が限定されていなければ、それぞれの解は定数なので、そのままで多項式で、議論として無意味になるので、以下では、方程式の係数も、表す多項式の係数も有理数に限定します。※元の方程式を既約多項式の方程式とします。一般的には、表せません。この問題の場合、判別式の値が、８１という平方数であり、方程式のガロア群が、一般的な３次対称群(S₃)ではなく、３次の巡回群(A₃=C₃)に縮退しているので、問題のようなことが成り立ちます。判別式の値Ｄが平方数でないと、ある解を他の解の有理数係数多項式で表すことはできませんが、a+b√D(a,b有理数) という形の係数まで許せば、その係数の多項式で表せます。この √ をはずすことはできませんよ～(^^)。私のコメントの解き方との関連でいうと、(ビエトの解というのがどこまでをいうのかわかりませんが) 、三角関数の対象を複素数まで広げれば、平行移動と定数倍を組み合わせることによって、既約三次方程式の解を一般的に、kcos(±θ)+l, kcos(±θ+2π/3)+l, kcos(±θ+4π/3)+l という形で表せますが、鉄騎農法さんのコメントにあるように、θ の整数倍が 2π/3+2nπ にならないと多倍角の公式が使えないことになります。方程式のガロア理論に直結する問題で、大学入試でも素材として時々使われるようです。例えば、神戸大の 2009 年度の理系３番などに出題例があります。
@@mathkaleidoscope 解は確かに定数ですが、3次方程式の解をx=α,β,γとおいたとき、これがf(α),f(β),f(γ)と一致する多項式f(x)が存在するかすなわちαの多項式が他の解になるということがαを他の解に置き換えても成り立つかということですね。
鉄緑会で扱われたのと同じ問題ですね。参考にしているのでしょうか
そうなんですね！情報ありがとうございます。問題チョイスに自信がつきました。
サムネの二次の項の符号が違ってますよ。誘導を無視すると、y=x+1 とおけば、y³-3y+1=0。さらに、y=2cosθ と変換すると、cos3θ=-1/2。これから、元の三次方程式の３解は、2cos(±2π/9)-1, 2cos(±4π/9)-1, 2cos(±8π/9)-1。cos(2*(±8π/9))=2cos(±2π/9) であることと、2cos2θ=(2cosθ)²-2 を用いれば、ひとつの解を α とすると、残りのふたつの解は、(α+1)²-2-1=α²+2α-2 と、(α²+2α-2+1)²-2-1=(α+1)(α³+3α²-1)-α²-3α-1=-α²-3α-1 と表せる。
取り急ぎ修正しました！ご指摘感謝です。
別解はビエトの解ですね！ありがとうございます。誘導なしで出せるんですね。
予備校のテキストでこの問題を解説されたとき、講師が「これは(1)があるからめちゃくちゃ簡単」みたいなことを言ってたんですが、(1)の誘導なしに解くことは可能なのかと、ふと思いました……
気になりますよね！その先生のおっしゃる通りだと思います。x=2cosθ-1みたいに置くと解がcosで表せて何とかなるんですが、3次方程式のマニアックな部分なのでなかなか...
解けました〜😊素直な良い問題だと思いました。解説ありがとうございました！
難しい内容をうまく誘導で落とし込んだ良い問題ですよね！
@@tekkinoho さん背景の「循環する解をもつ方程式」のことはすっかり忘れておりました〜😅
![【個別に求めると爆発】1964一橋大 数学 [1]【3つの文字の方程式】](http://i.ytimg.com/vi/Pw7j-XOZYUo/mqdefault.jpg)
![【個別に求めると爆発】1964一橋大 数学 [1]【3つの文字の方程式】](/img/tr.png)
![[Background] An easy way to shift the contents of trigonometric functions.](http://i.ytimg.com/vi/WsqtlQqtQ3A/mqdefault.jpg)
動画と同じく次数下げを用いて解きました。
(2)の因数分解はx^3+3x^2-1-(α^3+3α^2-1)と変形する方法もありますね。
確かに！その変形も良く使いますね。
コレって一般的に言えるんでしょうか？
3次方程式の解の一つをαで表した時、残りの2解をαの2次以下の多項式で表す事が出来るのか？という話です。
高万さんの所のコメントにあるように、ビエトの解で表せるような解の時のみ可能なんでしょうかね？
3次方程式の1つが実数、残りの2つが虚数である時点で実数解をαとすると、他の解をαの有理数係数多項式で表すのは無理があります。
とは言え係数の範囲を複素数まで拡張すればたとえば
x^3+x+u=0(u:定数)の解の1つをx=αとおくと、他の解は
{-(α+1)±√(α+1)(1-3α)}/2
となり、
(α+1)(1-3α)+A(α-2p)(α^3+x+u)
=A(α^2-pα+q)^2
を満たす数A(≠0),p,qを求めるわけですが、これはα=-1,1/3,0を代入すれば求められることになりますね。
有理数係数で、ってことですよね。すごく気になりますよね！
3つの異なる実数解のときも、πの有理数倍の三角関数で表せないと辛そうな気がします。
4x³-3x=1/3みたいなパターンだと無理かも...？
@@p-1math38ご返信ありがとうございます。
そうですね。そもそも、実数解αの多項式で虚数解は表せないので、「一般に」は無理ですね。
でも、√を外すのは出来るって事ですね。
ありがとうございました。
あと、細かい事ですが、7行目のxは多分、αですね。
係数の範囲が限定されていなければ、それぞれの解は定数なので、そのままで多項式で、議論として無意味になるので、以下では、方程式の係数も、表す多項式の係数も有理数に限定します。※元の方程式を既約多項式の方程式とします。
一般的には、表せません。この問題の場合、判別式の値が、８１という平方数であり、方程式のガロア群が、一般的な３次対称群(S₃)ではなく、３次の巡回群(A₃=C₃)に縮退しているので、問題のようなことが成り立ちます。判別式の値Ｄが平方数でないと、ある解を他の解の有理数係数多項式で表すことはできませんが、a+b√D(a,b有理数) という形の係数まで許せば、その係数の多項式で表せます。この √ をはずすことはできませんよ～(^^)。
私のコメントの解き方との関連でいうと、(ビエトの解というのがどこまでをいうのかわかりませんが) 、三角関数の対象を複素数まで広げれば、平行移動と定数倍を組み合わせることによって、既約三次方程式の解を一般的に、kcos(±θ)+l, kcos(±θ+2π/3)+l, kcos(±θ+4π/3)+l という形で表せますが、鉄騎農法さんのコメントにあるように、θ の整数倍が 2π/3+2nπ にならないと多倍角の公式が使えないことになります。
方程式のガロア理論に直結する問題で、大学入試でも素材として時々使われるようです。例えば、神戸大の 2009 年度の理系３番などに出題例があります。
@@mathkaleidoscope
解は確かに定数ですが、3次方程式の解をx=α,β,γとおいたとき、これがf(α),f(β),f(γ)と一致する多項式f(x)が存在するかすなわちαの多項式が他の解になるということがαを他の解に置き換えても成り立つかということですね。
鉄緑会で扱われたのと同じ問題ですね。参考にしているのでしょうか
そうなんですね！情報ありがとうございます。
問題チョイスに自信がつきました。
サムネの二次の項の符号が違ってますよ。
誘導を無視すると、y=x+1 とおけば、y³-3y+1=0。さらに、y=2cosθ と変換すると、cos3θ=-1/2。これから、元の三次方程式の３解は、2cos(±2π/9)-1, 2cos(±4π/9)-1, 2cos(±8π/9)-1。cos(2*(±8π/9))=2cos(±2π/9) であることと、2cos2θ=(2cosθ)²-2 を用いれば、ひとつの解を α とすると、残りのふたつの解は、(α+1)²-2-1=α²+2α-2 と、(α²+2α-2+1)²-2-1=(α+1)(α³+3α²-1)-α²-3α-1=-α²-3α-1 と表せる。
取り急ぎ修正しました！ご指摘感謝です。
別解はビエトの解ですね！ありがとうございます。
誘導なしで出せるんですね。
予備校のテキストでこの問題を解説されたとき、講師が「これは(1)があるからめちゃくちゃ簡単」みたいなことを言ってたんですが、(1)の誘導なしに解くことは可能なのかと、ふと思いました……
気になりますよね！その先生のおっしゃる通りだと思います。
x=2cosθ-1みたいに置くと解がcosで表せて何とかなるんですが、3次方程式のマニアックな部分なのでなかなか...
解けました〜😊
素直な良い問題だと思いました。
解説ありがとうございました！
難しい内容をうまく誘導で落とし込んだ良い問題ですよね！
@@tekkinoho さん
背景の「循環する解をもつ方程式」のことはすっかり忘れておりました〜😅