How to derive the sum-product formula “in an instant” is explained from scratch.
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- เผยแพร่เมื่อ 7 ก.พ. 2025
- This time we dealt with the sum-product formula, which many people have difficulty with in mathematics and trigonometric functions.
If you are trying to memorize this formula, you are surely studying mathematics in the wrong way, so please take this video as an opportunity to correct your course!
![[Background] An easy way to shift the contents of trigonometric functions.](http://i.ytimg.com/vi/WsqtlQqtQ3A/mqdefault.jpg)
![[Background] An easy way to shift the contents of trigonometric functions.](/img/tr.png)
丸覚えじゃなくて理解できるようになると数学は楽しくなります！
他に「ややこしいから解説してー！」っていう範囲あったらぜひ教えてくださいー！
徹底基礎講座も開講中なので気になる方は概要欄からチェックしてね！
理解じゃないとムリ
質問です
基本的な問題を15問するのと難しい応用的な問題を6問やるのならどちらを優先にすべきですか
点と線の距離公式も覚えにくいので何か方法があれば教えて欲しいです…
追記 河野さん出してくれてありがとう…！
絶対値が入った不等式のグラフお願いします
数3 微積お願いしたいです
思い出しにきた人向け
2:33 前置き
2:33
7:20 積和変換
7:20
15:03 和積変換
15:03
"いつでも導けるようにした上で"、暗記すれば最強な気がする
・師は信仰 (sin和sincos)
・師引越し(sin引cossin)
・子は孝行(cos和coscos)
・子引く負け獅子(cos引 -sinsin)
こういう語呂考えるの好き（もちろん理解した上で）
ありがとう(もちろん導ける前提で)
これマジで有能
この和積公式がんばって何回も覚えても
忘れてしまってたから
こういう導き方の解説はとてもありがたい！
和積公式、積和公式は確かに覚えるものじゃなくその場で導いて使うものだ、というのはどの先生も言うことだよね。
某ドラゴン先生をタイトルから皮肉っててて大好き
河野さんの動画はある程度知識を得てから見たら凄いと感動するようになるよね。 今その状態ですっごく数学楽しくなった！！
この前の細井先生に対抗してる感じまじでおもろい笑やっぱ覚えやんでいいよな笑
どの動画？
@@crusher-fr8xc 森鉄のマネーの虎
覚えようとしなくても勉強してる人なら何回もやるうちに覚えてしまうような公式だから覚えてない時点で勉強不足って意味なんじゃないかな？
@@tktkz 自分の数学の先生でも覚えてない人いるのでそういう訳でもないと思います
あの緊張した場面でいきなり聞かれたらテンパりますよね、、
三角関数は加法定理と相互関係だけ覚えとけばほとんど導出できるから、導出の仕方だけ覚えとけば大丈夫。そして何度も導出してうちに覚える。
何度も導く練習してると覚えてくるよね
東大「加法定理を証明せよ」
@@のなめ-o4o 旧帝レベルでもその証明は出るだろうな 余弦定理やベクトルでも導けるの面白いよね
@@ドゥラメンテ-u7p 何も面白くなくて草
@@ドゥラメンテ-u7p 無理せんでいいんやで
数IIIで積和の方は結構使うから覚えてるけど、和積は全然使わなくて覚えてないからいちいち導出してる。
河野さんは本当にエッセンスを抽出して言語化する能力が高い。導出を言語に直すと普通は正確性から一瞥では理解しにくい文章にまとまるが、河野さんは限りなく必要な一文句だけで表すから頭に残りやすい。流石神脳。
3行目、なんと読むんですか？
一番初めです（僕の端末では少なくとも）
@@チンギスハン-v6w 「いちべつ」やで。
なんか偉人集まってるから便乗しとこ
@@fake_akitakejo ワロタ
最初は本当に分からなかったのですが、動画を見てだんだん理解できるようになってきました。
解くスピードはまだまだ遅いけどもっと演習頑張って速くなります！
河野さん、本当にありがとうございます！🙇
加法定理マジでめちゃくちゃ使えるので「加法定理は小林幸子で覚えろ」と教えてくれた先生に感謝
俺は逆張って輿水幸子で覚えちゃったけど（変わらない）
追記：プラスマイナスの向きは
sin(α+β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
cos(α+β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
と並べた時にそれぞれの右辺でプラスマイナスの向きがちょうど｢幸｣の字っぽくなり覚えやすいので、覚え方としてはこちらをオススメします
デレステPさんですかっ？！？！
@@user-gi9pm2hw4e ですです～
触って擦って擦って触って
@@isikazu0131
勉強系のTH-camのコメ欄でPさんに会えるってなんか感慨深いです笑
担当は誰です〜？？
@@user-gi9pm2hw4e まぁ最近はあまりやってないんですけどね...笑
アナスタシア、輿水幸子、遊佐こずえ、早坂美玲、神谷奈緒です
3倍角も含め加法定理から導けると分かっていれば何回も演習を積んでいつのまにか覚えてた、ってなるのが理想ですかね
河野さんがいる時代に生まれて良かった、革命や
テスト前日に出してくれるのは流石に神です
ちょうど和積のところで悩んでいたのでとても助かりました！
一回一回sinxcosy=1/2[sin(x+y)+sin(x-y)]を変形して導出してましたが、動画のような導出の方が断然早くて革命が起きました！ありがとうございます😊
天才すぎて惚れた
来週の中間テストの範囲がここで困ってたんですよ😭本当にありがとうございます🙇♂️
細井先生のやつだ笑笑
河野さんが見てたと思うと面白い笑
河野さんは紛れもない天才（もちろん努力家でもあり天才の一言で片づけるのは失礼であるのはご海容いただきたい）。
天才にも自分が分かってても人に教えるのが全くダメの人も多い（一般人が何が分かってないのかを分かろうとしないため）。
しかし、河野さんは一般人が何が分かってないか上で、おさえておくべきポイントが何なのかを提示している。だから視聴者も増える。
再生回数伸ばすだけの金儲け主義動画とは違う。。わからない側の視点に立ってこの動画は作られている金儲け主義ではないのがいい
秀才と呼ぶのが正解
天才とも秀才とも形容できなかったから、神脳っていう形容詞が生まれたんだよ
結局覚えておくかつ導けるようにしておくのが最強と今さらながらに分かった。
タイミング良すぎです
やばい、解った､､
？？)高3の夏の時期で積和、和積の公式が秒速で言えないようじゃちょっと困っちゃうかなぁ、とは思っちゃうんですが、、
細なんちゃら先生ですね(白目)
@@gan356xs7 名前に龍が付きそうだなぁ……
細いドラゴン
すっげぇ！！！
やっぱ数学面白い！
これは神授業だ😳
やっぱ数学力とか推し量れるっすもんね
草
やべぇ...説明聞いてたらなんか頭よくなった気がした！（気がしただけでした）
けどすっごいわかりやすくて面白かった！
これを毎授業やってくれたり、自分でyoutubeに動画アップしてた数学の先生、ほんとに数学好きだったんだろうなあ…
うん
三角関数と数列、ベクトルは慣れるとゲラゲラ笑いながら解けるからたのすぃ
三角関数いつも単位円で考えていたので公式出してもらえるのはありがたいです。
今高1で、三角比の余弦定理とかですら暗記してやってたからほんとに数学は暗記じゃダメなんだって再確認した。こうやって柔軟に考えられるように意識して勉強しようかなって思う
イメージを大切にしてげんげんの徹底基礎講座使って頑張る❤️🔥
余弦定理は暗記でいいと思うよ。三平方の定理の拡張っていうイメージも大切やけど。定理使うときはその証明ができるか自問自答すれば忘れない！
がんばれー
@@あいう-u7j ありがとうごさいます！
ベクトル習えば余弦定理は暗記しなくていい
@@ria4635 これ
暗記で覚えていたのですが、理解し!て導くとわかりやすい！
明後日の試験、ここ範囲なのでめっちゃ助かりました!
書いといてくれる名大ありがてぇ
導出を問題を通して繰り返してれば自然に覚えられる
”意味を理解せずただ公式を丸暗記するやつは理系に来るな”
これは物理の教師に言われた言葉です。当時はこの強い言葉に衝撃を受けましたが、全くもってその通りだと今なら言えます。
やまぐちやん
こりゃすげーわ。資格試験でこんなん覚えてるかーおもたら、これあれば詰まらんかった。
覚えるのが苦手だったので
覚えずにその場で公式を導いてから問題を解いてました。😅
たしかに加法定理の引き算をテスト始まったときに計算用紙に書いてそれみながらテスト解いてくのはいいかもしれない
数3でつまずいた部分を自分で導けるようになって助かりました！
三角関数の積分ですかね
数3でも使うけどこれが出てくるのって数2じゃね
@@5g529 計算の最後に綺麗な形にするのに使うことがあると思います
@@GachiYamaTaro いや初めて習うのが数2って言ってるだけで数3で使わんとは言ってないやん
@@user-kt2xe7bk3f やってない
ここ苦手だったところだー来週が入学試験なので復習して頑張ってきます！！！！
がんばれ！
あんなに覚えれなかったものが証明するだけでスッと入った
すごい！！！！！！！！！！！！！
???「和積積和の公式で数学の力って推し量れるもんなんですよ」
覚えられる余裕のある人は覚えればいいと思うけどこれ覚えるくらいなら化学反応式やら1個でも多く覚えた方がためになる
※ 和 差
sin 2SC 2CS
cos 2CC -2SS
って覚えました。導出より速いのでおすすめです
自分は、加法定理の公式に結びつけて覚えました！
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBっていう、sin→cos→cos→sinの順番に出てくるので、それを
sinA+sinBとsinA-sinBの公式の順番にリンクさせました！
同様にcosも、cos(A+B)の加法定理で出てくるのと同じ順番なので（個人的には）結構楽です！cosA-cosBが-2になるのだけは注意するように覚えましたが
加法定理すら覚えてなかったので、この動画で覚えられました
数学公式定理の導出とか証明の大事さは勉強進むにつれてかなり大きくなってくる
積分とか特に
ほんとうにすごすぎる。
うわぁめっちゃ解きやすくなった
貴方は神です
今三角関数やってたので大変勉強になりました。
す、すげぇ頑張って名大入れるように頑張ろう。
数Ⅲの積分でめっちゃ出てきてすぐ出す方法ないかなって漁ってたらやっぱあなたが1番やった
説明が分かりやすい。
これ欲しかった！ありがとうございます！
流石に神
こういう動画まじでありがとうございます。
受験こわい
神すぎて泣いてる
覚えてるけど一応加法定理で導出してしまう公式ランキング第1位
ありがとうございました！
自分用まとめ
和積公式は暗記せずに、同類の加法定理(+,−分けて)を足し引きすることで左辺に三角関数の和を右辺に積を作ることができる。縦で式を並べるところが数列の和っぽいな。問題を解くときは、その導出する形にA(x+y).B(x-y)を代入してどのようにすれば三角関数の和or積の形に持っていけるかを考える。
加法定理を変形する！
Vietnam is also studying sin cos tan cot like your country. I am in 10th grade, you teach very well. I support you
😀
解ける！ありがとうございます
分かりやすすぎる！！
テスト直前に見つけれてよかった
非常に分かりやすかったです。大変助かりました！
他の単元も見させていただきます。
数学のトリセツ？の迫田先生の動画で見たことあったけど導き方忘れてました､､ありがたすぎます🤦♀️
まだ習ってないけど予習として見ておこうと思います
わかりやすすぎ
回帰分析、単回帰分析、重回帰分析の解説して欲しいです！今大学でやってるのですがさっぱりです🙇♂️
マジでわかりやすい
お〜速い速い！やっとできたー！
どちらの加法定理か、が解れば自明だね、凄い。頭良い。
お陰でわかりました！共通で使わなかったので二次で活用できるよう頑張ります
分かりやすい説明、いつもありがとう😆💕✨ございます。
ところで、今やっていることを現実の世界に落としこむとどの辺を表しているのですか？
凄すぎて途中から笑い止まらなかった
和積積和完全理解！ あざざます！
めっちゃわかった。ありがとう河野
明後日のテスト範囲なので助かります
受験生直前期になるとずっと使ってるから自然と覚えるよね
こわいねえーーーー
この分かりやすさ
倍角と半角とかも最初ほんとにどっちがどっちかわかんなかったけど、加法定理のβをαに代入して…とか考えたら忘れなくなったから絶対にそうしたほうがいい
さすがです
覚える必要はないが、瞬時に導出する訓練を繰り返すことで面接の緊張感の中でも即座に暗算で導出する冷静さと頭の回転の速さが求められていたんだと思う。
あ、例の話です。
これで令和の虎で導けます
分かりやす！
天才すぎた
加法定理から導き出せるというのを、丸暗記する前に知れてよかったです！
まじでありがたいです。暗記するのは数学の本質ではないですからね！
生粋の文系で
なんや数学！！って思ってたけど
すんごい面白い、、。なるほどこうなってたんか、、。
となりました。ありがとうございます！
自分は単位ベクトルで図形的に導くの好きだな。
そんなこと出来るんですか！？
今回テスト範囲なので助かります！
確率漸化式について教えて欲しいです🙇♂️🙇♂️
nのときの状況を排反に分ける。それだけ。
難問はもう少し工夫が必要だけど。
前日に絶望しながら解説動画求めこの動画に行き着いて救われました。ほんとにありがとうございます、、、🙏🏻
むっちゃいい！
質問です！
修学旅行の時も勉強してましたか。
そんな時まで勉強するなら普段もっと勉強すればいいんですよ。
ガチ感動
sin A sin B = (1/2)[cos(A - B) - cos(A + B)]
すごい