[UT#9] Liberté d'une famille d'endomorphismes (Exemple)

Dans cette émission, j'étudie la liberté d'une famille d'endomorphismes, et plus précisément de projecteurs. Je propose d'une part une démonstration où l'on raisonne sur des vecteurs, avec une interprétation utile d'une composée d'endomorphismes nulle, d'autre part une démonstration directement au niveau des endomorphismes, où l'on retrouve la notion de coup forçant.
✒️ Notions abordées: liberté d'une famille de vecteurs, projecteurs associés, image d'un projecteur.
🌞 Bonne écoute !
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[@oljenmaths]

Cher spectateur, salutations !
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Cette émission fait partie de mon défi personnel 100 jours, 100 émissions, entamé le 28 août 2017 [55/100]. Depuis, de l'eau a coulé sous les ponts et la qualité du contenu produit s'est considérablement améliorée. Ainsi, si tu viens d'arriver sur la chaîne, je te recommande le visionnage d'une de mes dernières émissions, qui te donnera une meilleure idée de ce que je produis, ainsi que de la vidéo d'introduction de la chaîne.
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[@mathematicien]

❤ endomorphisme

[@natsudragnir4131]

Bonsoir , Il y a t'il une manière de caractérisé (trouver une interprétation) intuitivement deux endomorphisme qui commute ?

[@oljenmaths]

Bonsoir,
Pas vraiment. L'ensemble des endomorphismes qui commutent avec un endomorphisme f est appelé "commutant" de l'endomorphisme f.
Il s'avère, par exemple, que tout polynôme en f commute avec f, mais en général, ces polynômes en f ne sont pas les seuls dans le commutant.
Maintenant, pour plusieurs familles d'endomorphismes particulières, on peut en dire un peu plus (endomorphismes cycliques, homothéties, etc.). Je vous recommande pour cela ce sujet d'E3A, par exemple. Vous trouverez le corrigé sur le même site.
www.maths-france.fr/MathSpe/Problemes/E3A/2002/E3A_2002_MP_Maths3_Enonce.pdf
En bref, à part dans des cas bien particuliers, je n'ai aucun moyen de caractériser aisément deux endomorphismes qui commutent.