✓ Теорема Больцано - Вейерштрасса. Подпоследовательности | матан
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 24 ก.ค. 2019
- Математический анализ 012
Подпоследовательность
Частичный предел
Теорема Больцано - Вейерштрасса
Все выпуски матана: • Математический анализ ...
Мини-курс для старшеклассников и студентов "Предел последовательности": foxford.ru/courses/2811/landi...
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trushinbv
Регулярная помощь (TH-cam): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Кроме этого, можно купить мои прошлогодние курсы в записи:
Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
Подготовка к ЕГЭ. Задания 1-12: trushinbv.ru/ege11b
Подготовка к ЕГЭ. Задания 13 и 15: trushinbv.ru/ege1315
Подготовка к ЕГЭ. Задание 14: trushinbv.ru/ege14
Подготовка к ЕГЭ. Задание 16: trushinbv.ru/ege16
Подготовка к ЕГЭ. Задание 17: trushinbv.ru/ege17
Подготовка к ЕГЭ. Задание 18: trushinbv.ru/ege18
Подготовка к ЕГЭ. Задание 19: trushinbv.ru/ege19
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Личный сайт: TrushinBV.ru
Группа "Олимпиады, ЕГЭ и ОГЭ по математике": ege_trushin
Группа "TrushinBV.ru": trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа "TrushinBV.ru": / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
TH-cam-канал: / trushinbv
до экза 12 часов! спасибо вам, Борис Викторович! без вас давно бы уже потерял надежду
как успехи?
Поддерживаю идею о том, что неплохо было бы рассказать про пределы функции по Коши и Гейне. Просим Вас, Борис :)
Как же я обожаю эти фамилии в теоремах:D
бальзам Вейерштрасса
если кто-то пришел зубрить теорему Больцано - Вейерштрасса для завтрашнего экзамена начните с 15:30 лол 😂
спасибо
у меня 2 дня до экзамена)
Жиза
@@MarkMath как экзамен?)
Борис! Это лучший и лаконичный матан! Выделено главное и что поразительно с доказательствами. Обычно лекции по матану - лучшее средство от бессонницы. Но здесь все иначе - Даже спать не хочется! Очень жду новых выпусков!
"Но бывает и совсем плохо/Это немножко так пугает/СтраАшно бывает" - как же я люблю многообещающие начала.
А будут ли пределы функции по Коши и Гейне?
Очень классное видео, действительно всё понятно!!!
Здравствуйте Борис Викторович спасибо за видео! Также не могли бы вы рассказать о роли теорем Ферма, Ролля и Лагранжа
Борис, продолжайте в том же духе! Ждем следующих видео
Объясняете очень доходчиво)
Ну наконец то что то "щёлкнуло" в понимание ))) Борис Викторович спасибо большое!!!
Согласен, о бесконечности можно и нужно учиться думать. Представить её нельзя, а помыслить выходит не так уж и сложно. Спасибо!
Вы так шикарно объясняете,прямо обмазаться математикой хочется,спасибо!!
Спасибо большое!
БВ, ждём от вас ещё больше матана, для 1курсников самое то!!!)
Очень нравятся уроки, хотелось бы послушать геом. инверсию в вашем исполнении
Отличное видео!
Храни Вас господь 🙏🏽🙏🏽🙏🏽
Спасибо ❤️
Очень интересно
Очень ясное и понятное на пальцах обьяснение. Красота ! Спасибо
Большое человеческое спасибо!!!
Большое спасибо
Шикарное объяснение!Большинство преподавателей читает эти лекции ужасно.Большое спасибо!
Спасибо! что бы я без вас сделала!
Спасибо!
спасибо большое!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Пролайкал весь матан , жду новые выпуски
спасибо Борис Трушин я теперь готов к кр по матану
спасибо за видео
Ураааааа, новое видео🤗🤗
Что обычные люди делают на НГ: общаются с друзьями, закатывают вечеринки и т п
Чем занимаюсь я на НГ:
Ахах, с новым годом, Борис Трушин)
Очень понимаю 😅
Матан! о супер! Продолжайте пожалустай про высшую математику!
Красиво! Спасти!
Спасибо за лекцию.
Единственное - тема неограниченных последовательностей не раскрыта.
Спасибо
Вы лучший ! ^_^
11:05 потому что если взять частичный предел отличный от основного, то мы можем просто взять 2 не пересекающиеся эпсилон окрестности этих пределов и получится что в основной лежит бесконечное число членов (начиная с некоторого номера), а в частичной некоторая часть от всего остального (конечного!) числа номеров, а так как это число конечно, то второй предел (подпредел) не предел
Я уж начал думать по мере изучения матана, я тупой, но нет, ещё не все потеряно! Есть нормальный лектор, чей материал я понял почти с первого раза😅
Охх уж это начало)
Здравствуйте, Борис, никак не могу понять предел функции по базе (базис фильтра). Очень на вас надеюсь!
Спасибо колокольчику😎
5:30
Если частичная последовательность стремится А, то "полная" последовательность стремиться к А не обязана. Пример (-1)^n. Подпоследовательность можно взять из одних единиц или минус единиц. (В рамках данного изложения)
Лучший.
спасибо вам большое за плейлист! благодаря вам сдала на хор 7
Коллоквиум на Физтехе?
@@trushinbv ага, фопф
@@user-xw4yj9st2v а кто семинарист, и кому сдавили? )
@@trushinbv семинарист Николаенко, а кому сдавала не знаю(
Когда вы доказываете эквивалентность определений частичных пределов, во втором случае обязательно, чтобы n1
Нет, потому что члены последовательности вообще могут быть не упорядочены никак, относительно их значений.
15:30 Теорема Больцано-Вейерштрасса
11:05 а как же последовательность 1,2,1,3,1,4,1,5,1 она не сходится но имеет частичный предел 1
Ой (
Надо было сказать либо про ограниченность последовательности, либо про, то что мы рассматриваем частичные пределы в "эр-с-чертой".
БВ, а Вы планируете выпускать видео по линейной алгебре? Аналитической геометрии?
Я вообще не очень что-то планирую. О чем захотелось, то и рассказал.
Но, что-то когда-то точно будет )
Геееений!!!!!
Можете пожалуйста привести пример расходящийся последовательности у которой есть частичный предел.
3:47 круто!
20:51
Найденные ошибки:
11:05 Надо было сказать либо про ограниченность последовательности, либо про, то что мы рассматриваем частичные пределы в "эр-с-чертой". Иначе есть контрпример: 1,2,1,3,1,4,1,5,1,... она не сходится но имеет частичный предел 1
(спасибо Семену: th-cam.com/video/HNSjOIGiUxQ/w-d-xo.html&lc=z22uytyqkovpcbjlaacdp434zv24pl015qnhiok5i4lw03c010c )
Что значит "эр-с-чертой"?
@@psychSage, это когда пределом может быть не только число, но и плюс/минус бесконечность.
@@trushinbv перелом это, извините, как?
@@psychSage R - это действительные числа. Если нарисовать сверху черту, будет R с чертой - это все числа плюс бесконечности. В прошлых видосах по матану вроде это объяснялось
@@mathphys685 спасибо 😂
Борис, чем отличается предельная точка последовательности от предела последовательности? Является ли частичный предел предельной точкой в терминах в этом видео?
Предельная точка последовательности - это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. В видео мы доказали, что это бывает тогда и только тогда, когда эта точка - ЧАСТИЧНЫЙ предел исходной последовательности. Поэтому очевидно, что это не одно и то же
Больше матана, больше!
Здравствуйте, а существует ли последовательность, имеющая, к примеру, хотя бы одну подпоследовательность, элементы которой принадлежат к некоторому множеству, к которому не принадлежат элементы последовательности, не входящие в подпоследовательность?
(-1)^n. Подпоследовательность из единиц принадлежит мн-ву {1} . Эл-ты, не входящие в подпосл-ть из единиц - это минус единицы, и они соотв. не принадлежат мн-ву {1}.
Борис, запилите какое нибудь классное видео с Wild Mathing, это будет здорово
Если честно, я не вижу в этом смысла
Мне кажется, у нас слишком разный формат. Его основная фишка -- динамичность. Его ролик про ТБВ был бы на 30 секунд )
Да и впринципе он снимает контент от первого лица, а БВ от "третьего", так что это будет сложно оформить.
@@animaaad, с порошком я бы что-нибудь придумал...
done
Ставки в начале лучшие!
RYTP про матан!
То чувство, когда прослушал и сдал курсы Матана и Фана, а последовательности все еще могут удивлять и играть новыми красками.
Фан -- фукциональный анализ?
Очень прошу снять ролики про матан побольше
👋 если возьмём ограниченную последовательность (-1)^n 1,-1,1,-1,1,-1..., То из нее не извлекается сходящиеся подпоследовательность?
Да, есть 2 подпоследовательности. Если индексы чётные, то x_k_n = - 1, x_k_n -> -1. Аналогично, при нечётных индексах подпоследовательность сходится к 1
Рассмотрим sin(nx). Представить, что можно найти сходящуюся подпоследовательность крайне не просто. Но это факт.
Это хорошая тема для видео )
Стоит поговорить о том, почему {sin nx} всюду плотен на [-1; 1]
@@trushinbv подпоследовательность - это обычная выборка, и все эти фокусы оттого, что любой объект можно пронумировать как угодно, и не только пронумеровать, но и назвать, только все это уже другие случаи, другой порядок оценки.
Я не очень понял, почему последовательность, что имеет один частичный предел, обязательно должна сходиться. Ну возьмём, к примеру, такую:
xn={1, 2, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 11, ... , 1, pk}, где pk - k-ое простое число. Наша последовательность имеет ровно 1 частичный предел, и он равен 1. Но предел всей последовательности уж никак не равен 1, ведь его не существует.🤷 Буду благодарен за пояснение.
См. закрепленный комментарий )
@@trushinbv понял, спасибо)
Если мы говорим, что несчётное более счётного на том основании, что в любом несчётном можно выбрать счётное, но не наоборот, то мы задаём некое отношение порядка. Но тогда возникает странный на первый взгляд вопрос: а есть ли такие множества, которые, не являясь счётными, тем не менее, меньше в указанном выше смысле несчётных и в указанном же выше смысле больше счётных??
Почитайте про континуум-гипотезу: ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%83%D0%BC-%D0%B3%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%B7%D0%B0
Несчетное множество по определению это такое, что оно бесконечно и не является счетным. Тогда по определению не может быть множеств «между» счетными и несчетными.
Но есть множества, которые «меньше» *некоторых* несчетных, но сами тоже несчетные.
Простой пример, множество вещественных чисел (несчетное) меньше, чем множество вещественных функций (несчетное).
Если говорить о конкретных примерах, таких как натуральные числа (счётные) и действительные числа (несчётные), то и правда существование/несуществование «промежуточных» множеств доказать нельзя (в классической теории ZFC).
@@fullfungo Неверно, что множество вещественных чисел "меньше", чем множество вещественных функций. Это просто неверное утверждение.
@@MarkBoldyrev ну как же?
Рассмотрим все функции R->{0,1}.
Каждая такая функция соответствует подмножеству R (например для f(x) возьмём множество всех x, что f(x)=1).
Очевидно, что множество всех вещественных функций не меньше множества всех функций R->{0,1}. А так как последнее соответствует множеству всех подмножеств, то по теореме Кантора оно больше, чем R.
Так что это вы неправы; множество вещественных функций больше множества вещественных чисел.
А Вы обратите внимание на то, как именно доказывается теорема Кантора. Там делается одно очень важное допущение: что всегда существует множество B, состоящее из всех элементов A, не принадлежащих своим образам при отображении... а это, простите... попробуйте доказать. Вот никак не "очевидно".
Поэтому пока что - мимо. Либо Вам надо оговорить, что всё, что Вы написали верно, если... например, верно некое утверждение. Какое?
Ни на какие "очевидности" ссылаться при этом никак нельзя. Я знаю массу контрочевидных утверждений, которые следуют прямо из вполне "очевидных" допущений. Например, теорема Хаусдорфа-Банаха-Тарского прямо следует из... "очевидной" аксиомы выбора, при том, что утверждение теоремы, ну вот, никак "очевидным" не назовёшь.
а я подумал ,а когда еще, кроме R^n, компакт=> секвенциальный компакт?
Борис, здравствуйте. Будут ли видео о теоремах Ферма,Ролля,Лагранжа,Коши,Дарбу?
Точно будут
@@trushinbv надеюсь они появятся завтра, потому что уже в пятницу экзамен по этим темам)))
За какое время в универе проходят материал этих 25 роликов?
Могу сказать, что в нгу на фите до 10 октября на проходят все темы до теоремы Больцана Вейерштрасса
Даже название теоремы не могу прочитать с первого раза, не то чтобы сразу понять🤣
Здравствуйте БВ)
Ответьте на вопрос пожалуйста
Знакомы ли вы с творчеством(если так можно назвать математику) Андрея Гордиена(вроде бы так)
И если да, что можете сказать по этому поводу?
Нет. Впервые слышу это имя )
Для тех кто запутался уже на моменте с Xn и Nk
Xn= n²( 1,4,9,16,25,36...)
Nk= 2n(2, 4,6,8,10...)
K - 1,2,3,4...
И по итогу
Берëм k=1 {3}
Тогда N= 2 {6}
Тогда Xn=4( второй член последовательности) {36}
Я поражаюсь тому, как же математика в этот момент похожа на прогромирование( только без ограничения {оно в теории есть, но мы не тратим мощности что бы до него дойти}, и не просчитывая каждую операцию, а делая всë в общем виде)
Интегралы вообще вещь
Прежде чем программирование появилось в текущем виде, сначала математики доказали что оно возможно. Не удивительно, что программирование являясь частью математики унаследовало многое от прорадительницы
Борис Викторович, спасибо за видео! Меня мучает вопрос: в определении предела говорится "начиная с некоторого номера N", то есть при n >= N, но в некоторых источниках записывают строгое неравенство. Где правду мне найти или это не имеет принципиального значения?
Разницы никакой нет. Просто у одних номер, с которого все начинается обозначен N, у других N+1 )
В видео не упоминались следующие факты по частичным пределам:
1. Множество частичных пределов последовательности: P({xn}) - замкнутое, имеет min и max, всегда не пустое.
2. inf xn
Здравствуйте,не могу решить задачу:1997×1977+100-надо доказать что это число составное
1997 × 1977 + 100 = (1987 + 10)(1987 - 10) + 100 = (1987^2 - 10^2) + 100 = 1987^2
@@trushinbv Большое спасибо)
Если последовательность ограничена на отрезке, то количество ее членов тоже конечное???? как это бесконечно много???
Ограничена в смысле того, что множество значений этой посл-ти ограничено
Есть ещё теорема Больцано-Вейершстрасса про множества
Это которая?
@@trushinbv Любое ограниченное бесконечное подмножество действительных чисел имеет предельную точку
@@altfq5237
А, ну это простое следствие доказанной теоремы
@@trushinbv Или наоборот
А будут ли критерии Коши?
Будет. Я даже записал в прошлый четверг, но там случайно криво записался звук. Пришлось все выкинуть (
как докть то чтоесли а - единственая предельная точка у ограниченной последовательности то у нее предел это а я пробовал от противного предположив что пусть а не предел но противоречие могло бы возникнуть из зато го что предела просто нету тогда мы не можем сказать что последовательность сходится к а
11:00 а если взять посл-ть 0,1,0,2,0,3,.... 0,n то ведь у нее будет один частичный предел, но она не сходится
После 15-й минуты об этом говорится. Вторым частичным пределом является бесконечность.
15:27 нужна 10-часовая версия того, как Борис говорит это имя :)
И да, когда уже бином ньютона?
Maxim Maltsev ))))
Правда что любая последовательность является собственной подпоследовательностью?
конечно
@@trushinbv Спасибо
@@trushinbv 11:15 тогда у любой последовательности есть один частичный предел и он равен её пределу(если предел есть)
Alt
Да, если предел есть, то есть только один частичный предел, и он совпадает с пределом.
Я правильно понимаю, что любое всюду плотное множество (в качестве последовательности) будет иметь в множестве частичных пределов все пространство?
По крайне мере так кажется из-за примера с рациональными числами
Все от пространства зависит. Для произвольного метрического это не так.
число "п" не попадет
@@cav4906 почему? Попадет.
Если А всюду плотно, это подразумевает, что в любой окрестности лежит хотя бы одна точка из А, т.е. это не гарантирует, что в любой окрестности будет бесконечно много точек из А (как в примере с рациональными числами). Да и мн-во А по идее должно быть не более чем счетным, иначе непонятно, как его элементы рассматривать в кач-ве посл-ти.
1:51 Почему nk это последовательность чётных чисел, ведь в более строгом определении подпоследовательности говорилось, что nk это строго возрастающая последовательность натуральных чисел?
Но впрочем это сути не меняет, если из последовательности чётных чисел взять каждый второй член, то все равно получим подпоследовательность чётных чисел.
Но впрочем это сути не меняет, если из последовательности чётных чисел взять каждый второй член, то все равно получим подпоследовательность чётных чисел.
это просто пример такой
Мне кажется или он загорел?
Нашествие )
Интересно что у нас на лекции, ее назвали теорема о нолях функции. А теоремой вейерштрасса:функция ф от икс непрерывная на отрезке принимает наибольшее или наименьшее значение.
Даже правило правой руки по разному используется, у нас ладошка и большой палец, а в Москве 3 пальца.
Ну это Москва и Питер , разные способы.
Даже в художку когда ходил там были различия как рисовать.такое чувство будто есть 3 страны Москва и Питер а остальное мордор.
Я не понял, теорема о двух миллиционерах так и называется? Разве не двусторонний предел? Или разницы нет?
Она называется либо "теорема о двух милиционерах", либо "теорема о трех последовательностях".
В разных странах эта теорема называется по-разному. Теорема сжатия, теорема о промежуточной функции, теорема о двух карабинерах, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%85#%D0%9D%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8_%D0%B7%D0%B0%D1%80%D1%83%D0%B1%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F
@@trushinbv спасибо
Наверно слишком поздно но у меня серьёзное замечание. Во первых с определением что-то не так. Контрпример: убывающая последовательность (например линейная у=-х). В ней мы выбираем какую либо точку в пределах от -1 до +1. Затем мы ищем в пределах от -0.5 до +0.5 то, чего нет.
Какая именно у вас последовательность? Можете первые несколько членов написать?
Случайно поставил дизлайк, а потом лайк поставил извините.
2:50 - БТ говорит, что частичный предел существует независимо от того, существует ли предел у последовательности.
10:42 - БТ говорит, что частичный предел может существовать тогда и только тогда, когда существует предел у последовательности и наоборот
Пацанва, помогите найти истинну
на 10:42 речь про то, когда у ограниченной последовательность есть РОВНО ОДИН частичный предел
@@trushinbv я понял, спасибо)
@@trushinbv объясните, как быть с последовательностью n^((-1)^n)? Она не сходится, и у неё одна предельная точка.
@@fedor5063 посмотрите закреплённый комментарий )
@@trushinbv ага, спасибо. Не прочитал.
Посмотрел один раз - ничего не понял
Посмотрел второй раз - ничего не понял
Посмотрел третий раз - ВСЕ РАВНО НИЧЕГО НЕ ПОНЯЛ
У меня мозг плавится при попытке вникнуть в это 🥺
ne poymu chto takoe n2>n1
Слабенький в математике