【あなたはできる!?】数学科のキムと東工大の作問サークルが作った劇的に煩雑な計算問題がこれでしたwww
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- เผยแพร่เมื่อ 11 ก.พ. 2024
- 過去1を争うくらい計算がだるかった説牛乳 でんキム
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作問者です。この問題は、よく出題されるx=e^{-t}\cos{t}, y=e^{-t}\sin{t}で表される曲線をアレンジしたいと思って作りました。少々計算が煩雑になるとは思いますが、楽しんでもらえて嬉しいです笑
これからも動画楽しみにしています！
hottyさんがTH-camチャンネル作ってぜひ作問された問題を解説尽きでみてみたいです！
@@user-kr2fk6vp3s
動画を作ることも検討しています！
思いつきさえすればすごくすっきりする類のいい問題だと感じました。
変換前後の面積が変わらないように注意しつつ、
u=(x+y)/√2, v=(x-y)/√2
とおいて変数変換をすれば、曲線Cは
v=u cos( ln(2 * u^2) ) (0
待ってました！！
キムさんが北海道で買ってもらったシャツを着てるのがなんか嬉しい！
(1)の解説で、初めて難問研究企画の中で全て理解出来る解説でめっちゃ嬉しい。(1)だけは簡単で良かった・・・
何言ってるか9割分からんのだけど、なんか見てしまう。2人が楽しそうに熱中して解いてのを見るのが好きです。
待ってました〜
このシリーズ見てたら忘れてた数学の解法とか知識とか思い出せるの良き
たまねぎおとこ懐かしすぎるw
あのイケボ頭の中で流れたw
でんがんさんの外側のx軸方向積分から内側のy軸方向積分引くのうまい
それでやろうとしたけど、意外とそれが遠回りな気がする。動画内でも言ってるけどキムさんのやり方はx軸方向積分でまとめられるからね。でんがんさんは見た目簡単だけど大きく二つ積分しないと行けない気がするぜ。
まだ解いてないけどパッと見、いつぞやの東大に類題があったような。あれに比べれば交差するかしないかの誘導があるだけ良心的ですな。
まあこのレベルの問題だともし誘導が無くても多分交わらないことを示さなくてもほぼ点数来そうですけどもね
東大2008
の6番
@@anasuit1111なんで知っとんねん笑笑笑笑
@@user-th9qb8xt9r
大体1980年以降の40年分は網羅してるから
高々１つって表現久しぶりに聞いて感動してます
面白そう😙
周りにたまねぎおとこ知ってる人いなくて泣いてたけど動画内で名前出てきてテンション爆上がりした
でんがんさんLOEWE着てるのお洒落！
キムさんとの差がすごい笑
Hotty君、良い感じに苦しめて動画映えする問題を作ってすごいね😂
キムマスラン評価がちょっと修正されて適正に近づいたのうれしい
東工大in早慶out
たまねぎおとこはマジで必見でした...
たまねぎおとこ懐かしすぎて泣いた
そっか、媒介変数曲線の面積は最終的に積分区間がくっつくんだった
いつも動画面白すぎて、来年大学に入学したら作問サークル入ろうか迷ってます笑😂😂😂
東工大で待ってます、一緒に作問しましょう！
古のパズドラネタ懐かしすぎんだろ
たまねぎおとこ懐かしいぃぃ！
たまたまねぎねぎおっとこ〜
破壊していきましょう
@@user-gt2qx6ky2f おとこびーーむ
S_1を求めるところで、極座標で考えられないかな？と思いましたが、
t = π/2のところで気持ち悪い感じになり、ちょっとわからないです。。。
ただ、積分計算は
exp( -2t ) sin 2t
だけになるのかな？と思います。
以下Z(t) = (cos t)^4 + (sin t)^4とおきます。
極座標上で
r( θ ) = sqrt(x^2 + y^2)
y = x tanθ
となるr(θ), θを考えると、
r( θ ) = exp( -t ) sqrt(Z( t )) ①
かつ
(cos t)^2 sinθ = (sin t)^2 cosθ ②
が成り立ちます
t = f( θ )
が②を満たすとすると
①は
r( θ ) =exp( -f(θ) ) sqrt(Z( f(θ) ))
となります（具体的ではないがこれが極方程式）。
ここで,
S(θ)
=(1/2) (r( θ )) ^ 2
=(1/2) exp( -2f(θ) ) Z(f(θ))
=(1/2) exp( -2t ) Z( t )
です。
また、
②の両辺を微分して
dθ/ (cosθ)^2 = (2 tan t / (cos t)^2 ) dt
(1 + (tan θ)^2) dθ = (2 sin t / (cos t)^3 ) dt
(1 + (tan t)^4)dθ = (2 sin t / (cos t)^3 ) dt
Z( t ) / (cos t)^4 dθ = (2 sin t / (cos t)^3 ) dt
dθ= sin 2t / Z( t ) dt
となります。
よって、
S(θ)dθ
=(1/2) (r( θ )) ^ 2 dθ
=(1/2) exp( -2t ) Z( t ) sin 2t / Z( t ) dt
=(1/2) exp( -2t ) sin 2t dt
求める面積S_1は、
S_1
= ∫[θ = 0 to π] S(θ) dθ
= ∫[t = 0 to π] ((1/2) exp( -2t ) Z( t )) ( sin 2t / Z( t )) dt
= ∫[t = 0 to π] ((1/2) exp( -2t ) sin 2t dt
=(1 - exp(-2π)) / 8
となります。
キムも言ってたけど、正の面積負の面積みたいな考え方すれば最初っから積分区間が繋がることがわかるはずなんよね。そういうところでショートカットしたり記述を削減したりすればワンちゃん間に合うのかもしれんな。
キムさんと同じ方法で積分しました。1/8になりました。当たり前のことですが、すべて具体求値するのではなくsin0=0やe^(-∞)=0を踏まえると計算の時短になりますね。
(2)俺もキムと同じ方針で計算して同じ答えになったから計算ミスじゃなくておそらく方針が間違ってるんじゃないかなって気がするけど何が間違ってるか分からん
キムさん本当にTH-camrとして活躍している、社会人なのに。
ちなみに、たまねぎおとこは「おまとも」ってチャンネルで顔出しで一時期復帰してたよ
ちなみにですが、曲線が交差しない場合、囲まれる面積を求めるだけなら、x座標の増減やグラフの折り返し関係なく、
∫｜y dx/dt ｜ dt
の積分を始点のt(今回はnπ)から終点のt(今回は0)までで行えば求まります。折り返し地点の座標やtを求める必要はありません。
※ただし、記述の時は折り返し地点のtをαなどでおいて上が成り立つことを示す必要があります。
北海道を応援する雪ミクキムかわいいよ
Cとx軸に囲まれる部分sₖのk=1からk=n個目までの面積の総和Snに対し
Cとy軸に囲まれる部分tₖのk=1からk=n個目までの面積の総和をTnとおくと
lim(n→∞)Sn とlim(n→∞)Tnの和が動画の10:41における全体の面積に一致する
またsₖとtₖの相似比は1:e^(-π/2)より
面積比は1:e^(-π)となるので
lim(n→∞)Sn+Tn
=(1+e^(-π))lim(n→∞)Sn
=全体の面積
として求めました
ｙ軸と平行に切ったらわりかしきれいになるな
問題パッと見てGeoGebraでグラフ描いたらとんでもないことになってびっくりした
tを負の値にするとすごい拡大していきます
破壊していきましょう（イケボ）
(1)でx+yが単調減少なことから, 基底ベクトルを X=x+y, Y=y にとりなおすと扱いやすいことが予想できる.
変数変換すると, X=exp(-t), Y=exp(-t)*sin(t)^2 で媒介変数表示された曲線を X∈(0, 1] で広義積分する問題に帰着できて, これを計算すると, ∫ Y dX = ∫ exp(-t)*sin(t)^2 dX/dt dt = -∫ exp(-2t)*sin(t)^2 dt = (1/2)∫ exp(-2t)*cos(2t) dt + (1/4)exp(-2t).
このとき ∫ exp(-2t)*cos(2t) dt = (1/4)exp(-2t)*{sin(2t)-cos(2t)} + C より, F(t) = ∫ Y dX = (1/8)exp(-2t)*{sin(2t)-cos(2t)+2} + C.
よって最終的に求める値は lim(t→∞) F(0)-F(t) = (1/8)exp(0)*{sin(0)-cos(0)+2} = 1/8.
最終的にlimをとるのだから各nごとに積分区間を分ける必要ないと思ったのだけれどどうだろう.
相似比が1:e^-πなら面積はe^-2π倍じゃね？
コメントしようとしたら既にあった
最近の問題のサムネで見た中では、一番とっつきやすそうとおもって
計算し始めて、、、すぐにだまされたと気づきました。
問題の感じ的に、別解があると思います。（あってほしい）
極座標で積分すれば出来そう
いいなぁ 雪ミクちゃん！ 北海道行きたい‼️
？？？「はぁ〜い、おとこでぇ〜す」
難問は問いて正解するとは、でんがん君とキム君はすごいやん。東工大の模試サークルの問題を解くとはすごいやん。
減衰関数は無限等比数列になることおおいな
いっっっちばん数学が苦手なのに見てしまう
いつもよりでんがんとキムの解き方の違いが出てる気がする。でんがんは工学的な思考(具体的な情報から問題をシンプルに捉えて解く)、キムは数学的な思考(抽象的なまま数学的な条件で狭めていって解を求める)って感じ。
たまねぎおとこさんは積分サークル入部テストの解説動画の冒頭で知った笑
パズドラ全盛期懐かしいな
軸45度傾けたら割と簡単か
これって極座標として考えて面積求めるのはダメなんでしょうか
数学強者の方教えて下さいm(_ _)m
文系だからよくわからないけど多分いいと思う
同じことを思いました
コメントしてみましたけど、ちょっとあやしいところあり自信ないです
時間ができたので、完全回答してみた。所要時間は、５分～１０分程度。表記の都合上、a=e^(-nπ) としておく。
曲線 C を xy 両方向に √2 倍に拡大して、45度右回りに回転させた曲線の媒介変数表示は
X=x+y=e^(-t), Y=y-x=-e^(-t)*cos2t …☆。
また、x 軸は 45度右回りに回転すると、Y=-X の直線となる。
t が０から無限大に動くとき、☆の X は、１から０へと単調に減少する(ので、曲線は自己交差しない)。また、-1≦-cos2t であるので、☆においては、Y≧-X であり、曲線は常に、直線 Y=-X より上側にある。従って、X,Y を☆におけるものとして
(√2)²Sₙ=∫ₐ¹(Y-(-X))dX=(1-a²)/2+∫ₐ¹YdX。
∴ Sₙ=(1-a²)/4+(∫ₐ¹YdX)/2。
X=e^(-t) と置換すると、dX=-e^(-t)dt であるので
∫YdX=∫e^(-2t)*cos2tdt=(1/4)e^(-2t)(sin2t-cos2t)+C。
代入計算すると、∫ₐ¹YdX=-(1-a²)/4。
以上から、Sₙ=(1-a²)/8。∴ lim(n->∞)Sₙ=1/8。
筋良いですねぇ 惚れ惚れとします
たまねぎおとこ「は〜い男で〜す」
タマネギ男好きだったから、やめちゃったの残念だった
たまねぎおとこはちがうなまえでようつべ復活してるらしいですよ
たまたまねぎねぎおっとっこーちゃんねる消えてるの？！？！？！？！
ちょうど「キムってなんでいつもボウリングのプロみたいなシャツ着てんだろ？」
と思ってたから、謎が解けた。
S1って媒介変数のままできないんか？
e^-xが単調減少であることは、一応書いておいた方がいいとは思ったけど、別にいらないか
どうなんやろ
(1)について
x+y=e^-t
なので、グラフの各点で
y=-xからの距離がe^-tとなる。
e^-tは単調減少な関数であるから、グラフは交わらない。
これからみるけど、流石に1時間半くらいで終わるんやろな。
この作問サークルの問題河野玄斗に解いて欲しいな
はぁ〜い！おとこでーす！！！
キムの前髪バグすぎて草
は〜いおとこでぇ〜す
アノ公式使えそう
類題： y = e^(-x) × sinx , y = ( 1 / √2 ) × e^( - π / 4 ) , y軸 で囲まれた部分を
y軸を中心に回転させて出来る立体の体積を求めてください。
-45°回転させた座標系で考えれば簡単では？。
パチンコおじさんsasuke、パズドラをやらないか？
関数が斜体できもい
たまねぎおとこさんはおまともって名前で別チャンネル開設しましたが、全然更新ありませんw
th-cam.com/video/PGliw0gqJOM/w-d-xo.htmlsi=BxUwABfXoUPS1qTA
釣りだと思ったら本物のおとこさんだった！本当にありがとう！