【計算の鬼】阪大作問サークルの作った簡単そうで煩雑な問題がヤバすぎたwww
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- เผยแพร่เมื่อ 18 มี.ค. 2024
- 確率漸化式は何かと便利ですね。僕の元相方は確率漸化式が嫌いだったそうですが、、、
てか作問サークルってすごい集団やねんな。 でんがん
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楽しみにしてたから嬉しい！
待ってました！
きたー！！
答えがシンプルになるのも実際の入試の美しさだなあ
計算えぐー
塾講師をしているのですが、この問題は自塾の教材に載せています。
東北？間違っていたらすいませんが3人ジャンケンのパターンを出題していましたね。
1回目に人が減るor2回目に人が減るor....
全て排反なのでΣで足し合わせるという、東北が好きそうな問題ですよね。
俺らがいつもしてるじゃんけんって，こんなに複雑な確率が絡んでるんか...
こういうのって不思議ですよね
ただ前提として、出す手(すなわちグー、チョキ、パー)は同様に確からしく出されるという前提があるんですよね
でんがん、計算めっちゃしたんや。じゃんけんも問題はむずいぞ。
全く同じ問題を半年前に自作してました😮
(私が着想を得たのは2004年東北大前期)
よくある題材ながら設定を少し拡張すると途端に計算地獄になりますね､､､
私も本問の模範解答側と似たような数え上げ式の計算方法を採用していました
でんがんさんの考え方もとても参考になります！
脱落する時点でやばさ満点すぎる
コロナ禍で無能ガイド霊達により経済的どん底や毒親増やして有名人や若者や女性の自殺増えてそこから不登校や成功者になってメンタル強くなったらモテ期のウイルスによりモテ期の人達増やしてツインレイ会いやすくさせて自己中モラハラ男性が離婚してる。執着現象のあとにランナーとチェイサー 不登校中3無勉強より
どん底のあとにツインレイ
賢いやつは筆圧が強い！！
最初は漸化式でやってたけど計算できず、Σに方針を変えたけど立式した時点で絶望しました。
これは計算が鬼すぎるｗ
多分だけど3元3項間漸化式を行列に変換して、対角化してやれば良さそうだけどどうなんだろう？
対角化できない（ジョルダン標準形で止まる）のでそこまで単純ではないですね
4人で脱落あるのは吐きそう
確率漸化式(n回ジャンケンした後に4,3,2,1人残っているという立式)の方法で解いてみましたが、
２人残ってる時の一般項がキモすぎましたねw
経験的に、確率漸化式って定数から等比数列を足し引きするものだと思ってたので、まさかnの一次関数的な項が出てくるとは思ってませんでした(しかもそれがnの指数関数で割られてる)
暗算が苦手なもので、面倒くさくなったら全部係数比較で解く癖があるんですが、係数比較したら1/3^nの項が解なしになってしまって、数回立式を見直しましたね笑
自分でも解いてみたんですが、11:46 の不等式を 1≦k≦l-1, 2≦l≦n の形でとっていたため(等差)×(等比)を偶然回避していました
あいこがなきゃ楽なんですけどね～。
簡単なトーナメントだと思ってたら、あいこがあるからこうなるんですね。
何年か前に同じ問題を自分で作って解いたのですが、
4時間ぐらいかかりました。
5人でもやったのですが、20時間以上かかりました。
ポリアの壺の問題みたいに、n+1回目に決着することを考える時にn回目にどうなってるかじゃなくて1回目どうなるかを考えると、かなり漸化式簡単に立てられて少なめ(n回目どうなるかに比べて)の機械計算をするだけになります(もしかしたら答え間違えてるかもですが……)
まず2人でじゃんけんをしてn回目に決着がつく確率をp_nとおく.するとこれはすぐp_n=2/(3^n)と分かる.
次に3人でじゃんけんをしてn回目に決着がつく確率をq_nとおく.この時q_1=1/3となる.ここで(n+1)回目に決着がつく時を考える.もし1回目で3人があいこになった場合(この確率は1/3),そのn回後に決着が付けばいい.残っているのは3人なのでその確率はq_nとなる.また1回目で1人だけ脱落した場合(この確率も1/3),同様にn回後に決着が付けばいいが,残っているのは二人なのでその確率はp_nとなる.この2つは排反事象であり,これ以外に(n+1)回目に決着をつける方法はないので,ここからq_nの漸化式
q_(n+1)=p_n/3+q_n/3
を立てられて,p_n=2/(3^n)を代入して漸化式を解くと簡単にq_n=(2n-1)/(3^n)と求められる.
そして4人でじゃんけんをしてn回目に決着がつく確率をr_nとおく.3人の時と同様に1回目のじゃんけんで4人残る場合(確率は13/27),3人残る場合(確率は4/27),2人残る場合(確率は6/27)で考えると,r_nの漸化式は
r_(n+1)=6p_n/27+4q_n/27+13r_n/27
=13r_n/27+8(n+1)/(3^(n+3))
となる.R_n:=(3^n)r_nとおけばR_nはnの一次式がくっついたパターンの漸化式になるので後は機械計算(R'_n=R_n+2n+13/2に置き換えるとR'_nは等比数列,もしくはS_n=R_'(n+1)-R'_nを考えるとS_nは隣接二項間漸化式,詳しくは青チャートとか参照)で解けて,最終的に
r_n=(161/26)(13/27)^n-(4n+13)/(2·3^n)
と求められる.
計算グロ中尉
(II)(ii)の途中式2(2/3)^nは2(1/3)^nのような…
これ以上の計算はエグいのでやりませんが(III)(i)はX(n)と置けば、これは1人だけ負けぬける確率も同じなので(III)(ii)に使い回せそう
数え上げが地道だけど、確率漸化式の方思いつくのは頭いいなと思った。結果から見れば計算地獄避けれるし
確率漸化式を用いて解いてみました(答え合ってるかわかりませんが)
方針は基本的にでんがんさんと同じです
A_n:ちょうど1人が残る確率, B_n:ちょうど2人, C_n:3人, D_n:4人とすると
A_{n+1} = 2/3B_n + 1/3C_n + 4/27D_n
B_{n+1} = 1/3B_n + 1/3C_n + 2/9D_n
C_{n+1} = 1/3C_n + 4/27D_n
D_{n+1} = 13/27D_n
A_0=B_0=C_0=0, D_0=1
が成り立つ
(初期の方針として漸化式を行列表現にして、係数行列のn乗を計算しようとしましたが、対角化ができずめんどくさそうだったので順に求めていくことにしました)
D_n=(13/27)^n, C_n=(13/27)^n - (1/3)^nは簡単にもとまり、
B_nについての漸化式を解くとき、
X_{n+1}=1/3X_n - 1/3(1/3)^n と Y_{n+1}=1/3Y_n + 5/9(13/27)^n
に分けて解いてB_n=X_n + Y_nとして求める(X_0 + Y_0 = 0)
するとB_n = -(n+15/4)(1/3)^n + 15/4(13/27)^n
つまり、A_{n+1} = (-2/3n - 17/6)(1/3)^n + 161/54(13/27)^n (n≥0)となり
A_n = (-2n - 13/2)(1/3)^n + 161/26(13/27)^n (n≥1)
となる
ジョルダン標準形に持ち込むのとどちらが楽かって感じですね。
問題を簡単に「2人でk回目に優勝者が決まる確率p(2,k)」から順に解いていったから、自然とA(n,k)を再利用しつつ4人目が計算出来た〜
ただ、4人目はいい感じに等比数列の部分がうまく消えなくて地獄だったーーー😢
何人でのあいこの確率、何人中何人が脱落する確率を出して、
樹形図で人数のパターンを網羅したら求められそう。
その代わりに組み合わせの式がわかるかどうか。
国立二次受かってました！ここからが人生の始まりだと思うのででんがんさんのように自分で何か社会に還元できるような大人になろうと思います！
おめでとーーー🎉
頑張れよ💪
おめでとー。すごい頑張ったな！
いい大学生活にしてね😊
おめでとうございます。
今後のご活躍をお祈りしています。
ちんぷんかんぷん過ぎて筆圧強いところに目が行く、
考え方説明してくれるのってすごくうれしいよな
作問サークルと同じ方針で解きましたが(161/26)*(13/27)^n-(2n-13/2)*(1/3)^nになりました。
嬉しいことにこの表式はn≧3の場合に限らず、n=1,2の場合の結果とも一致しています。
例えば16:00あたりの(III)の(ii)のB(n-k)を掛けている部分ですが、4人でじゃんけんをしているのに3人の結果を適用しても正しい結論は得られないと思います。
答えがグロすぎる
まるで灘高の入試みたい
悪問退散！！！！！！
残り人数4,3,2,1,0の状態遷移図を作成し、
それぞれの状態への遷移確率をまとめて
n回で開始ノード4から終端ノード0にたどり着く全経路の
確率を合計すればいいな！ ・・・エグ杉内？
0だと誰もいなくなってますね。。。
@@user-xf8iq8ev7e
そうですね。状態遷移は
4,3,2,1の4つで終端が1っすね
なんでシャーペンじゃなくてインクのペン使って計算してるんですか
シャーペンだと芯折れたりとか補充したりがめんどいからじゃないっすか？特にこんなに計算量多いと
数学は何故かボールペンとかインクのペンで書きたくなる
絶句
杜甫
いち！