J'ajouterai que montrer des planches abordables pour une école réputée inabordable est utile pour bâtir la confiance. Un provincial avec un bon niveau, qui n'a pas étudié à H4-LLG-Ginette peut se dire "pourquoi pas moi". Et même si en vrai c'est en général un poil plus dur et bien avec du travail et de la bonne volonté on a toujours des bonnes surprises.
Ça fait 2 ans que j'ai terminé la prépa mais je regarde vos vidéos car vos explications sont claires simples et efficaces (et de toute façon quelques exos de temps en temps ne font pas de mal mdr). Bonne continuation professeur.
Autre solution, à partir du moment où on a que A est symmétrique (et on y arrive assez vite en commençant par brute force le machin), on peut en déduire que A est diagonalisable. Comme on a que B est un polynome en A, on en déduit que les deux sont diagonalisables dans la même base et que pour toute valeur propre lambda de B il exise une valeur propre mu de A telle que P(mu) = lamba. On diagonalise B ce qui permet d'avoir la matrice de passage M et le spectre de B ({0, 2}) et on en déduit les quatre matrices Ds diagonales telles que P(D) = MBM^-1 (on a diag(0, 1), diag(0, -2), diag(-1, 1) et diag(-1, 2)). On fait rapidement le changement de base dans l'autre sens et on tombe sur les matrices solutions. La solution me parait correcte mais si j'avoue que ça "les deux sont diagonalisables dans la même base et que pour toute valeur propre lambda de B il exise une valeur propre mu de A telle que P(mu) = lamba" ne semble marcher que dans le cas où A est diagonalisable (ce qui est le cas ici) et la preuve doit être faite.
Merci pour ce travail soigné et très utile! Une astuce qui peut aussi aider: Si A est solution alors AJ=JA, ce qui donne avec A=[[x,z],[y,t]], x=t et y=z, donc A=xI+yJ, on termine comme fait dans la vidéo. Cette remarque aide plus si on diagonalise d'abord J (facile car rg(J)=1 donne 0 valeur propre, l'autre c'est la trace, les vecteurs propres sont [[1],[-1]] et [[1],[1]], D=[[0,0],[0,2]], B=P^{-1}AP, on a BD=DB, donc B=diag(x,y), ensuite x^2+x=0 et y^2+y=2...
C'est renversant de voir qu'une équation du 2nd degré a 4 solutions. Je me souviens d'une équation cubique, également sur M2(ℝ), qui possède 4 solutions (A³-3A²=-2J). Je me demande s'il y a une règle générale.
Tres bonne question. Je reponds birevement. 1/ C'est normal qu'on plus de 2 solutions, car nous cherchons une matrices 2x2, donc on a 4 inconnues, et si on examine tous les coefficients de l'équation matricielle, on a 4 equations de degré 2. Donc c'était pas gagné qu'on trouve 2 solutions 2/ J'ai un peu regardé le cas A^2+pA=M où M n'est pas scalaire. Par le meme argument que dans la video, on obtient comme CN que A=aM+bI_2 Puis quand on remet ca dans l'équation, c'est un peu calculatoire, mais on trouve 2 valeurs max pour a et 2 valeurs max pour b. J'ai pas fait tout dans le details, mais du coup grosso modo on trouve 2, 3 ou 4 solutions. Le plus souvent 4 (sinon c'est qu'on a des racines doubles dans des equations du 2nd degré en a ou en b) a ++ 🤗
Pour le premier exo, j'ai diagonalisé la matrice J, ce qui a créé une équation matricielle plus simple que j'ai résolu brut de force avec les coefficients pour retrouver les 4 solutions
C'est plus simple que ça en exploitant la première idée donnée par Cassou : J^2=2J donc (X^2+X)^2-2(X^2+X) = X(X+1)(X-1)(X+2) annule A qui est donc diagonalisable. L'équation fait qu'une base de diagonalisation de A est nécessairement une base de diagonalisation de J, donc à permutation/dilatation près c'est ((1,1),(1,-1)) et il n'y a pas quatre équations mais deux (déjà résolues lors de la factorisation du polynôme annulateur) qui donnent directement les 4 solutions.
pour le deuxieme exercice on juste ecrire an/bn = s + o(1) donc an -s*bn = o(bn) puis on applique le theoreme de sommation des relations de comparaisons cas divergent et on obtient le resultat ?
@@ariannalover oui c'est ça pour les MP c'est du cours. Mais apparemment ce résultat n'est pas au programme de PC. Et la il s'agit d'un oral PC. Donc l'examinateur attendait de dégainer du epsilon et de refaire tout ceci à la main je pense.
Le théorème de Cayley Hamilton dit que la matrice A annule son polynome caracteristique, donc P(A) = 0, or en dimension 2 le polynome caracteristique est P(X)=X² -Tr (A).X + det(A).I . Donc il est egale a 0 quand X=A
@@galaxytab6y.b383 Le théorème de Cayley Hamilton dit P(A)= 0 soit P(A)=A² -Tr (A).A + det(A).I = 0 je suis d'accord, mais comment on en déduit A² = Tr (A).A - det(A).I = 0 ? C'est surtout le dernier (=0 à l'instant 3:28 ?)
c'est à dire ? ... j'essaie au plus souvent de dire un peu comment moi je trouve les choses. Mais certaines fois il faut surtout avoir déjà fait pas mal d'exercices de pratique
Très bon problème! Ex1: A^2 + A - J = 0 A = 1/2 (-I +- sqrt(I^2 + 4J)) A = {[1/2, 1/2 ; 1/2, 1/2], [-3/2, -1/2 ; -1/2, -3/2]} La difficulté est de trouver la racine du discriminant qui est [2, 1 ; 1, 2]
Je sais que I^2+4J est symétrique positive, mais a ce niveau, utiliser la racine carrée d'une matrice et des polynomes a coefficients matriciels me semble un peu cavalier :)
@@alipourzand6499 En fait sqrt(J + ¼I) admet quatre matrices possibles J+¼I est symétrique donc on peut diagonaliser cette matrice qu'on va appeler S S = PDP^-1 avec D = λ1 0 0 λ2 où λ1 = 9/4 et λ2 = 1/4 On peit exprimer de plus P : 1 1 1 -1 P est formée des vecteurs propres de S P^-1 = ½ P Les racines carrées R de S s'expriment R = PD' P^-1 où D' = μ1 0 0 μ2 où μ1 = ±3/2 μ2 = ±1/2 Il y a quatre possibilités pour D' Donc quatre possibilités pour R On a pour R ±½(Ι+J) et ±(J - ½I) A²+A = J (A-½I)² = J+¼I donc on a pour A -J, ½J, J-I, -½J-I il faudrait s'assurer qu'il y en a pas d'autres
Ma solution pour l'exercice 1 (méthode bien Bulldozer) : Analyse : Soit A une matrice de M2(R) telle que A² + A = J J a pour polynôme caractéristiqie X² - tr(J)X + det(J) = X² - 2X Donc J² - 2J = 0 (ou alors faire le calcul de J², élever une matrice pleine de 1 au carré revient à multiplicer cette matrice par sa taille J² = nJ) Ainsi (A² + A)² - 2(A² + A) = 0 A⁴ + 2A³ - A² - 2A = 0 A² et A commutent, donc on peut développer grâce au binôme de Newton. A est annulé par X⁴ + 2X³ - X² -2X = X(X+2)(X+1)(X-1) qui est scindé à racines simples. Donc A est diagonalisable A = PDP^-1 Même remarque pour J, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples, alors J est diagonalisable. Son spectre est l'ensemble {0 ; 2} J = Q diag(2, 0) Q^-1 Ainsi la relation A² + A = J devient P(D² + D)P^-1 = Qdiag(0,2)Q^-1 D² + D et diag(2,0) sont semblables donc D² + D et diag(2,0) ont le même spectre. Ainsi D²+D, qui est diagonale, est soit égale à diag(2,0) , soit à diag(0,2) (Le cas diag(0,2) se ramène au cas diag(2,0) grâce aux matrices de permutations) En posant R = Q^-1 P (dans le but de simplifier les Q) La relation se ramène à Rdiag(2,0)R^-1 = diag(2,0) ou encore à Rdiag(2,0) = diag(2,0)R Une marice qui commute avec une matrice diagonale à coefficients diagonaux distincts est elle même une matrice diagonale R = diag(a, d) (Ou poser R = a b c d on resoud un système , on obtient b = c = 0) On peut déterminer Q, Q est une matrice de passage contenant les vecteurs propres de J Q = 1 1 1 -1 Ainsi on peut déterminer P P = QR = a d a -d Nous savons que D² + D = diag(2,0) En posant D = diag(λ1, λ2) λ1² + λ1 = 2 et λ2² + λ2 = 0 λ1 est dans {-2 ; 1} λ2 est dans {-1 ; 0} Pour déterminer A, l'inconnue on utilise donc PDP^-1 et on traite quatre cas (1) : λ1 = -2 et λ2 = -1 (2) : λ1 = -2 et λ2 = 0 (3) : λ1 = 1 et λ2 = -1 (4) : λ1 = 1 et λ2 = 0 Dans les quatre cas les a et les d se simplifient et on obtient respectivement -½(2I + J), -J, J-I, ½J Synthèse : Ce sont bien des solutions (Utilisation du fait que J et I commutent et du fait que J² = 2J, pour faire les calculs
![La formule qui a radicalement transformé la finance mondiale [Black-Scholes]](http://i.ytimg.com/vi/XE7FKLfZzBA/mqdefault.jpg)
Un vrai plaisir de vous suivre, vous êtes aux maths ce que Philippe Etchebest est à la gastronomie. Merci pour ce ton si sympathique !
Content que ca te plaise Paolo et merci ! 🙏 😃On peut se tutoyer, ca désacralise les math et ca sort de la relation eleve /prof 😉
J'ajouterai que montrer des planches abordables pour une école réputée inabordable est utile pour bâtir la confiance. Un provincial avec un bon niveau, qui n'a pas étudié à H4-LLG-Ginette peut se dire "pourquoi pas moi". Et même si en vrai c'est en général un poil plus dur et bien avec du travail et de la bonne volonté on a toujours des bonnes surprises.
Ça fait 2 ans que j'ai terminé la prépa mais je regarde vos vidéos car vos explications sont claires simples et efficaces (et de toute façon quelques exos de temps en temps ne font pas de mal mdr).
Bonne continuation professeur.
Merci à toi 🙏 c'est super de continuer les même après la prépa 😃
Autre solution, à partir du moment où on a que A est symmétrique (et on y arrive assez vite en commençant par brute force le machin), on peut en déduire que A est diagonalisable. Comme on a que B est un polynome en A, on en déduit que les deux sont diagonalisables dans la même base et que pour toute valeur propre lambda de B il exise une valeur propre mu de A telle que P(mu) = lamba. On diagonalise B ce qui permet d'avoir la matrice de passage M et le spectre de B ({0, 2}) et on en déduit les quatre matrices Ds diagonales telles que P(D) = MBM^-1 (on a diag(0, 1), diag(0, -2), diag(-1, 1) et diag(-1, 2)). On fait rapidement le changement de base dans l'autre sens et on tombe sur les matrices solutions.
La solution me parait correcte mais si j'avoue que ça "les deux sont diagonalisables dans la même base et que pour toute valeur propre lambda de B il exise une valeur propre mu de A telle que P(mu) = lamba" ne semble marcher que dans le cas où A est diagonalisable (ce qui est le cas ici) et la preuve doit être faite.
Très clair. Je n'ai pas essayé la méthode bourrin. Pour cet exo, il faut quand même avoir en tête Cayley Hamilton
Merci pour ce travail soigné et très utile!
Une astuce qui peut aussi aider: Si A est solution alors AJ=JA, ce qui donne avec A=[[x,z],[y,t]], x=t et y=z, donc A=xI+yJ, on termine comme fait dans la vidéo.
Cette remarque aide plus si on diagonalise d'abord J (facile car rg(J)=1 donne 0 valeur propre, l'autre c'est la trace, les vecteurs propres sont [[1],[-1]] et [[1],[1]], D=[[0,0],[0,2]], B=P^{-1}AP, on a BD=DB, donc B=diag(x,y), ensuite x^2+x=0 et y^2+y=2...
@@mathematiquesbacplusdeux3518 😃 marrant cette idée. Merci !
@@CassouMathPrepa Pas plus que l'idée de créer cette chaine! Merci beaucoup!
C'est renversant de voir qu'une équation du 2nd degré a 4 solutions. Je me souviens d'une équation cubique, également sur M2(ℝ), qui possède 4 solutions (A³-3A²=-2J). Je me demande s'il y a une règle générale.
Tres bonne question. Je reponds birevement.
1/ C'est normal qu'on plus de 2 solutions, car nous cherchons une matrices 2x2, donc on a 4 inconnues, et si on examine tous les coefficients de l'équation matricielle, on a 4 equations de degré 2. Donc c'était pas gagné qu'on trouve 2 solutions
2/ J'ai un peu regardé le cas A^2+pA=M où M n'est pas scalaire.
Par le meme argument que dans la video, on obtient comme CN que A=aM+bI_2
Puis quand on remet ca dans l'équation, c'est un peu calculatoire, mais on trouve 2 valeurs max pour a et 2 valeurs max pour b. J'ai pas fait tout dans le details, mais du coup grosso modo on trouve 2, 3 ou 4 solutions. Le plus souvent 4 (sinon c'est qu'on a des racines doubles dans des equations du 2nd degré en a ou en b)
a ++
🤗
Pour le premier exo, j'ai diagonalisé la matrice J, ce qui a créé une équation matricielle plus simple que j'ai résolu brut de force avec les coefficients pour retrouver les 4 solutions
Wesh, mais meme avec une matrice diagonale ca fait 4 equations pas glop non ?
@@CassouMathPrepa Le fait qu'il y ait beaucoup de zéros dans la matrice diagonale fait que c'est très rapide.
C'est plus simple que ça en exploitant la première idée donnée par Cassou : J^2=2J donc (X^2+X)^2-2(X^2+X) = X(X+1)(X-1)(X+2) annule A qui est donc diagonalisable. L'équation fait qu'une base de diagonalisation de A est nécessairement une base de diagonalisation de J, donc à permutation/dilatation près c'est ((1,1),(1,-1)) et il n'y a pas quatre équations mais deux (déjà résolues lors de la factorisation du polynôme annulateur) qui donnent directement les 4 solutions.
@@CassouMathPrepa Bonjour. Pourquoi utilisez-vous un langage pour abrutis ?
pour le deuxieme exercice on juste ecrire an/bn = s + o(1) donc an -s*bn = o(bn) puis on applique le theoreme de sommation des relations de comparaisons cas divergent et on obtient le resultat ?
@@ariannalover oui c'est ça pour les MP c'est du cours. Mais apparemment ce résultat n'est pas au programme de PC. Et la il s'agit d'un oral PC. Donc l'examinateur attendait de dégainer du epsilon et de refaire tout ceci à la main je pense.
J'ai un peu de mal a comprendre à l'instant 3:29 pourquoi c'est égale à zéro ?...
Le théorème de Cayley Hamilton dit que la matrice A annule son polynome caracteristique, donc P(A) = 0, or en dimension 2 le polynome caracteristique est P(X)=X² -Tr (A).X + det(A).I . Donc il est egale a 0 quand X=A
C'est un résultat du cours de prepa 😉
@@galaxytab6y.b383 Le théorème de Cayley Hamilton dit P(A)= 0 soit P(A)=A² -Tr (A).A + det(A).I = 0 je suis d'accord, mais comment on en déduit A² = Tr (A).A - det(A).I = 0 ? C'est surtout le dernier (=0 à l'instant 3:28 ?)
Aaaah je vois de quoi tu parle. C'est juste une erreure d'inattention j'imagine ça ne vaut pas 0.
@@galaxytab6y.b383 Ok merci pour ta réponse et ta disponibilité, c'est super !...
Bien content de ne plus etre en prema mais tjr nostalgique
Pouvez-vous nous donner des trucs de raisonnement dans les exos nécessitant une forte intuition ?
c'est à dire ? ... j'essaie au plus souvent de dire un peu comment moi je trouve les choses. Mais certaines fois il faut surtout avoir déjà fait pas mal d'exercices de pratique
Oh Je l’ai eu en kholle
Punaise ! ENS en colle !! 🤪
Comme quoi c'est pas non plus infaisable 😁
Très bon problème!
Ex1:
A^2 + A - J = 0
A = 1/2 (-I +- sqrt(I^2 + 4J))
A = {[1/2, 1/2 ; 1/2, 1/2], [-3/2, -1/2 ; -1/2, -3/2]}
La difficulté est de trouver la racine du discriminant qui est
[2, 1 ; 1, 2]
Je sais que I^2+4J est symétrique positive, mais a ce niveau, utiliser la racine carrée d'une matrice et des polynomes a coefficients matriciels me semble un peu cavalier :)
@@CassouMathPrepa je suis d'accord, mais c'était la première idée qui m'est venu et quand j'ai vu que les soluitions marchaient, j'étais content☺
@@alipourzand6499
En fait sqrt(J + ¼I) admet quatre matrices possibles
J+¼I est symétrique donc
on peut diagonaliser cette matrice qu'on va appeler S
S = PDP^-1
avec D =
λ1 0
0 λ2
où λ1 = 9/4 et λ2 = 1/4
On peit exprimer de plus P :
1 1
1 -1
P est formée des vecteurs propres de S
P^-1 = ½ P
Les racines carrées R de S s'expriment
R = PD' P^-1
où D' =
μ1 0
0 μ2
où μ1 = ±3/2
μ2 = ±1/2
Il y a quatre possibilités pour D'
Donc quatre possibilités pour R
On a pour R ±½(Ι+J) et ±(J - ½I)
A²+A = J
(A-½I)² = J+¼I
donc on a pour A -J, ½J, J-I, -½J-I
il faudrait s'assurer qu'il y en a pas d'autres
Ma solution pour l'exercice 1 (méthode bien Bulldozer) :
Analyse :
Soit A une matrice de M2(R) telle que A² + A = J
J a pour polynôme caractéristiqie X² - tr(J)X + det(J) = X² - 2X
Donc J² - 2J = 0
(ou alors faire le calcul de J², élever une matrice pleine de 1 au carré revient à multiplicer cette matrice par sa taille J² = nJ)
Ainsi (A² + A)² - 2(A² + A) = 0
A⁴ + 2A³ - A² - 2A = 0
A² et A commutent, donc on peut développer grâce au binôme de Newton.
A est annulé par X⁴ + 2X³ - X² -2X = X(X+2)(X+1)(X-1) qui est scindé à racines simples.
Donc A est diagonalisable
A = PDP^-1
Même remarque pour J, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples, alors J est diagonalisable. Son spectre est l'ensemble {0 ; 2}
J = Q diag(2, 0) Q^-1
Ainsi la relation A² + A = J
devient P(D² + D)P^-1 = Qdiag(0,2)Q^-1
D² + D et diag(2,0) sont semblables donc D² + D et diag(2,0) ont le même spectre. Ainsi D²+D, qui est diagonale, est soit égale à diag(2,0) , soit à diag(0,2)
(Le cas diag(0,2) se ramène au cas diag(2,0) grâce aux matrices de permutations)
En posant R = Q^-1 P (dans le but de simplifier les Q)
La relation se ramène à
Rdiag(2,0)R^-1 = diag(2,0)
ou encore à Rdiag(2,0) = diag(2,0)R
Une marice qui commute avec une matrice diagonale à coefficients diagonaux distincts est elle même une matrice diagonale
R = diag(a, d)
(Ou poser R =
a b
c d
on resoud un système , on obtient b = c = 0)
On peut déterminer Q, Q est une matrice de passage contenant les vecteurs propres de J
Q =
1 1
1 -1
Ainsi on peut déterminer P
P = QR =
a d
a -d
Nous savons que D² + D = diag(2,0)
En posant D = diag(λ1, λ2)
λ1² + λ1 = 2 et λ2² + λ2 = 0
λ1 est dans {-2 ; 1}
λ2 est dans {-1 ; 0}
Pour déterminer A, l'inconnue
on utilise donc PDP^-1
et on traite quatre cas
(1) : λ1 = -2 et λ2 = -1
(2) : λ1 = -2 et λ2 = 0
(3) : λ1 = 1 et λ2 = -1
(4) : λ1 = 1 et λ2 = 0
Dans les quatre cas les a et les d se simplifient et on obtient respectivement
-½(2I + J), -J, J-I, ½J
Synthèse :
Ce sont bien des solutions
(Utilisation du fait que J et I commutent et du fait que J² = 2J, pour faire les calculs
@@undecorateur wouah, le guerrier 🔥⚔️🪓