Archimède était bien un génie ...voilà une démonstration brillante qui devrait obligatoirement être enseignée à l'école !! Il a effectivement eu l'intuition du calcul intégral !
C'est GENIAL. Le raisonnement d'Archimède était génial, votre présentation est géniale, vos explications sont géniales, votre méthode aussi. Je vous dis bravo ! J'ai beaucoup aimé. Dommage qu'il n'y a que le pouce pour exprimer ça. Je vous prie de nous faire plus de vidéos qui nous expliquent les raisonnement des grands génies de l'antiquité. J'ai l'impression qu'ils ont une façon de raisonner qui nous échappe.
Plusieurs commentaires minimisent le génie d'Archimède en disant qu'il n'a fait que calcul intégral. Come on!, cela se passait plus de 200 ans avant JC. Archimède était incroyablement en avance sur son temps. Son équivalence entre les tranches de volume d'un cylindre, un cône et une sphère était brillante. Merci pour cette vidéo.
Ce n'est pas minimiser le génie d'Archimède, c'est au contraire qu'il fait du calcul intégral dans le nommer, le terme n'existait pas. Mais c'est tout à fait le principe. Il "invente" peut être le calcul intégral, Non!
J'étais enseignant en collège. Une année où j'étais en avance sur mon programme, j'ai fait cette démonstration à mes élèves de 3ème. Ils ont été absolument émerveillés. Et quand je leur ai dit que cette idée ne serait reprise que 2000 ans plus tard (avec l'invention du calcul intégral), ils ont été encore plus admiratifs. Et l'un d'eux m'a dit : " Archi, c'était vraiment le boss ! "
C'est vraiment impressionnant. D'abord d'avoir vu la relation entre les tranches du cylindre, du double cône et la sphère. Puis de faire ce passage à la limite (À une époque où les grecs ne maîtrisaient pas cette notion) qui est du calcul intégral 2000 avant Newton et Leibniz. C'est effectivement ce que l'on peut appeler un génie.
Un génie, cet Archimède, et quelle élégance!!! Merci pour cette vidéo. Et son astuce ce sont les prémisses du calcul infinitésimal 2000 avant que ça s'avère. Quel génie!
C'est trop bon ! Je vais le ressortir à midi lors du repas de famille. C'est comme si, une qualité naturelle du génie d'Archimède, c'était de savoir zoomer. A l'inverse, avec le système solaire, est-ce qu'une qualité naturelle, n'est-elle pas de savoir dézoomer pour ne considérer les astres que comme des masses ponctuelles ? Savoir regarder différemment un objet et savoir le comparer à ce qu'on connait déjà, c'est peut-être cela le génie d'Archimède…
Bonjour, 3 bravos pour la clarté du propos, la précision, la progression pédagogique , peut être, quand c'est possible, un peu de "malice" Grand MERCI pour l'ensemble des vidéos
Très élégant effectivement. Cela dit, le traitement des erreurs sur le double-cône et la sphère qui est proposé ici n'est pas celui qu'Archimède a du faire, enfin je pense. Comme cela est dit, la tranche cylindrique faite sur le double-cône inférieur génère une erreur en ajoutant de la matière ; mais la tranche cylindrique faite sur le double-cône supérieur génère une erreur en enlevant de la matière. Ainsi, les erreurs ne se cumulent pas mais se compensent exactement. Donc pas d'erreur sur le double-cône et pas d'erreur non plus sur la sphère pour la même raison. J'ai bon ?
Oui, je suis d'accord: les troncs de sphère sous si fins que leurs courbures s'assimilent à un segment de droite et donc annulent parfaitement le surplus provoqué par la simplification des troncs de cônes.
Vous avez raison, ce n'est certainement pas le raisonnement d'Archimede car celui ci est faux. Le votre est effectivement correct (et non pas incorrect comme j’ai écrit précédemment). Les erreurs se compensent non pas entre cône et sphère mais séparément et indépendamment pour le cône seul et pour la sphère seule du fait de la symétrie plane horizontale de ces objets. En prenant erreur par défaut d'un côté du plan de symétrie et erreur par excès équivalente de l'autre côté du plan.
@@micheldeknyf6185Même en devenant très fin ça gardera une forme de triangle pour le double cône et ça ne s'annulera pas. Par contre sa surface sera de plus en plus insignifiante au regard de la surface du cône. Archimède a eu l'intuition du calcul infinitésimal et du calcul de limite car avec seulement la géométrie la formule est impossible à prouver
Non, vous n'avez pas bon 😉. La bonne solution est donnée plus bas par @lioneloddo et je pense moi, que que le traitement des erreurs par Archimède sur l'épaisseur de e sur le double-cône et la sphère est bien celui qui est exposé. Vu le niveau qu'Archimède montre ici, il lui était facile de démontrer que l'erreur pouvait être négligée quand le nombre de tranches était très grand. Le calcul est donné par @lioneloddo pour le cône.
le génie dans cette opération c'est de déterminer par la réflexion et l'intuition comment approcher la valeur recherchée (volume de la sphère) à l'aide des volumes de deux constructions qu'on sait déjà calculer (le tronçon de cylindre dans lequel s'inscrit exactement la sphère, et le ''sablier'' s'inscrivant exactement dans ledit cylindre); quand la valeur approximative est cernée, on réduit à volonté la part d'approximation par une trajectoire à la fois pratique et mathématique; rendre les tranches étudiées simultanément dans les 3 volumes de plus en plus fines et de plus en plus nombreuses..
Je disais à mes enfants: Vous devez rechercher comment le Génie a découvert sa Formule. Ici, Archimède a utilisé un Cylindre et un double Cône... sans connaître le calcul Integral J'ai juste envie de pleurer. Quelle beauté. Merci. PS: cette vidéo devrait être envoyée au Ministre de l'éducation.
Vous pouvez écrire : « il faut constater que les approximations sur le cône du bas … ». La « démonstration » de la vidéo est une fraude qui n’explique pas pourquoi l’ approximation est correcte. De plus elle est fausse au plan historique car ce n’est pas la méthode d’Archimede.
Belle démonstration bien illustrée et surtout claire. Juste une petite réflexion que je me suis faite. Dans ce cas précis, la marge d'erreur de volume s'annule si N est pair? la base de la partie croissante du cône et de la sphère est plus petite, ce qui est l'exact inverse dans la partie décroissante du cône et de la sphère.
Très belle démonstration 👍 Archimede a imaginer d'abord respectivement la somme des surfaces tronquées du plan du demi-cone et de la sphère qui était égale à la surface du cylindre, pour 1 cylindre de 2m de diamètre qui est égale à pi m2 qui est la somme du demi-cone soit pi/4 + la sphère soit 3pi/4 de la formule : pi = (pi/4)+ (3pi/4) d'où le rapport 1 = 1/4 +3/4. Et ce rapport ce vérifie à chaque étage de tronquage, des purs génie cet archimede et Pythagore.
Merci pour la démonstration qui nous donne une autre approche, je voudrais toutefois faire un remarques. Du point de vu finitésimal, la cône devrait pris comme un trapèze et non comme un rectangle. Je serai disponible pour proposer une approche plus géométriquement réaliste.
Avec tout le respect que je dois à tout ce qui a été dit (chapeau Monsieur !), pourquoi devrait on considérer qu’il y a une très petite erreur dans chaque section. Si l'on considère que Monsieur Archimède a pris deux cônes qui ont été placés l'un avec la base en bas et l'autre avec la base en haut, ces erreurs s'annulent dans l'addition, en prenant pour chaque tranche un rayon plus long dans la partie inférieure et un plus court dans la partie supérieure. Cela s'applique également aux tranches de la sphère. Dans ce cas, le nombre des tranches peut être un certain nombre N, assez grand, mais pas infini et la solution reste correcte.
c'est en effet une propriété interessante. 2 remarques. - si au lieu de faire des tranches de cone ou la frontière entre tranches est sur la droite représentant le bord du cone, on fait passer cette droite par le centre du segment de longueur e, il n'y a plus d'erreur car dans chaque tranche la petite surface "en plus" est la meme que celle "en moins". Ca ne marche évidement que si la courbe est une droite donc on ne peut pas faire de meme pour la sphere, ou c'est le grand nombre de tranche qui nous sauve. -si on considère que l'on utilise Pytagore et ce concept de sommation de petits elements, on a pas besoin de cette astuce, le calcul direct ne nécessite en plus que la formule de la somme des carres des n premiers nombres.
Il me semble que dans une autre vidéo, il y a l'explication pour laquelle la somme des petits triangles est négligeable. En raisonnant en 2D, l'aire d'un petit triangle, c'est (R/N*R/N)/2, Donc la somme de tous les triangles, c'est N*R²/(2*N²) soit R²/(2*N) et cette quantité tend vers 0 quand N tend vers l'infini.
Merci pour cette explication. J'étais resté sur ma fin parce que lui dit que quand N est grand, l'erreur devient négligeable. Oui sauf que "un petit nombre (négligeable) X un grand nombre" est une forme indéterminée. Je pense qu'Archimède, vu son niveau, a fait le calcul que vous avez exposé.
Merci MR une autre astuce est simple ( si la sphere es impermeable) ,remplir un cylindre avec un liquide ex eau ; reperer le niveau initial apres tremper completement la sphere puis reperer le niveau 2 alors vous aurier h2-h1= H donc le V= TT *R² *H ( applicable pour les petits volume de spheres que l'homme peut mesurer).
démonstration intéressante. néanmoins on ne comprend pas pourquoi il a opté pour le cylindre et le double cône en comparaison avec la sphère ...c'est loin d'être évident...
Parce que ces trois figures ont en commun d'avoir un cercle comme image de chaque section horizontale , ce qui fait une constante dans le calcul de la surface d'une tranche horizontale prise dans chacune des trois figures. En résumé, cylindre, double cône vus de dessus sont des cercles, pareil pour la sphère vue de n'importe quel côté. *πRR* formule identique, pour les trois, ya plus qu'à,si j'ose dire. Le coup de génie, pour un rayon identique aux 3 figures, c'est d'avoir vu que la *largeur* de chaque section de cylindre était la somme de la *largeur* de section du double cône et de la *largeur* de la section de sphère, toutes sections au même niveau. Reste plus que la soustraction à faire , puisque côté cylindre & côté double cône, les opérations sont simples, avec Pythagore, précisément.. L'animation qui simule le déplacement vertical d'une ligne horizontale qui traverse les trois figures met en évidence en coupe,au dessus, l'accroissement du cercle du double cône parallèlement à la décroissance du cercle de la sphère, & inversement. Incroyable ce que l'on doit à la puissance imaginative des Archimède, Pascal, Newton & autres Einstein, ya pas la place de les citer tous 😂😂😂 Par contre il est possible que je n'ai écrit que de la M.... N'hésitez pas à me le faire savoir 😂😂😂.
Ça aurait déterminé le volume d'une sphère particulière (sous réserve d'avoir de quoi mesurer ou peser très précisément le volume d'eau déplacé) mais ça n'aurait pas donné la formule qui permet de calculer le volume d'une sphère en général 😢
Superbe résonnement!! Dommage que parfois il y a trop de répétitions dans la présentation, ça semble long et a la fin, ça fini très vite. Beau travail de vulgarisation!!
@@PascalDebode Oupppsss, regardé tard et mettre un commentaire, pas toujours bon! Merci pour le pointage de la faute d'orthographe. Pour Notre Dame, les cloches n'étaient pas dans le clocher mais au sol ce WE.
Il s’est compliqué la vie Archimede, j’aurais fais plus simplement : En plongeant une sphère dans un bocal rempli à ras bord d’un litre d’eau, j’aurais eu le volume de la sphère qui est la quantité d’eau qui a débordée. Après comme on connaît le résultat final, et les autres chiffres connus eux aussi : rayon, diamètre et 3,14 de la sphère il suffisait avec quelques essais de calcul de trouver le chemin. Non ?
Génial ! Je suppose qu'on a plus de traces écrites de cette démonstration, mais j'aimerai bien voir à quoi ça aurait peu ressemebler. Peut-être avec une autre démonstration ? Je suppose que la notation mathématique de l'époque était vraiment différente. Utilisaient-ils des chiffres arabes ? Comme les Romains ne le faisaient pas, j'ai un doute.
@elylo7815 Pas mal. En effet, il y a aussi le zéro du Rien qui n'est pas rien et est bien quelque chose ! Il faut remarquer et connaître ce que les antiques interdisent encore dans les écoles aux enfants : diviser par zéro donne toujours l'infini ! L'Infini est tabou pour les monothéistes car il est réellement tout-puissant, Lui ! L'équation mathématique fondamentale est bien que zéro fois l'infini est un nombre fini non nul indéterminé ! Bon travail !
Bonjour, Petite question: Le R reliant les deux cotés du triangle rectangle dans la sphère dont on a déterminé les deux cotés = rayon du cylindre, pourquoi? Il me manque un détail.
On ne peux pas considerer que les "erreurs" de volume des cones et les "erreurs" de volume de la sphére étant l'un positif et l'autre négatif s'annulent ?
@@sebastienb7223 Bah, depuis jeune je gardais "intégrale de Reimann" dans la tête, je dois me tromper mais osef, quoi qu'il en soit c'était pour répondre à la réflexion du début qui disait que ce n’était pas du calcul intégral, je trouve que ça s'en approche énormément.
J'ai beaucoup apprécié la vidéo, je dirai juste qu'il était possible de la faire deux fois plus courte, en évitant de répéter et d'insiter lourdement sur les parties évidentes...
On pourrait partir d'un cylindre de même rayon que la sphere et de 2 fois son rayon en hauteur, de le remplir d'eau, d'y plonger la sphere et d'en déduire un rapport entre le volume d'eau perdu et le volume de la sphere?
Je pense que ce qui a poussé Archimède à choisir ces deux objets géométriques (cylindre+ bicone) pour faire sa démonstration ce n'était pas seulement parce qu'il connaissait les volumes de ces 2 objets. Il devait en avoir eu l'intuition au préalable. Par ex. l'utilisation d'eau et expérience de remplissage. Ensuite la rigueur mathématique pour le démontrer.
Je partage cet avis, un heureux hasard que les volumes de ces deux figures se complètent en un cylindre, mais il a su en les observant s'en convaincre, rien que cela c'est du génie..
Je doute que les Egyptiens aient eu connaissance de cette formule pour la construction de leurs pyramides. En effet, à la naissance d'Archimède (-287) il y avait déja 1.238 ans que la dernière pyramide, celle d'Abydos, avait été construite par le roi Ahmose 1er. Pour fixer les idées, 2024-1238=786. C'est l'année (le 14 septembre) où Haround al-Rachid devient Calife de Bagdad. C'est celui-là même des Contes des Mile et Une Nuits. Il était contemporain de Charlemagne. C'est vraiment beaucoup même si les Egyptiens se sont montrés, eux aussi, de géniaux mathématiciens et architects.
Je ne connait pas les écrits originaux d'Archimède, mais si on soustrait une demi-épaisseut au rayon pour le calcul du volume de la tranche du cône et de la tranche de la sphère, l'erreur est largement atténuée (limitée à l'erreur due â la courbure de la sphère qui tant vers zéro quand la tranche est infiniment fine).
La naissance du calcul différentielle et intégrale (décomposer en éléments infiniment petits puis reconstituer après) doit être attribuer à ca grand génie de l'histoire Archimède et non pas à Newton et Leibniz.
Heureusement que Archimede n'a jamais connu Wantzel ..qui a demontré que l'usage de Pi en tant que nombre irrationnel (à nombre illimité de decimales ) ne permettait pas le tracé de la quadrature du cercle qui fait appel à la racine carée de Pi ..tout aussi irrationnelle , forcement !!! ...Donc , si on retient la demonstration de Wantzel ..cela signifie que Pi est tout aussi irrationnel pour tous usages ...et que tous les calculs d'Archimede , y compris la decouverte de 3,14 ...sont entâchés d'une erreur redhibitoire ...qui devrait nous interdire une tres grande partie de la geometrie et donc des mathématiques que nous apprenons et utilisons depuis l'enfance ...ce qui nous replonge ipso facto dans le plus lugubre et sordides des obscurantismes 😞 ON EST FOUTUS 😢 !!!!!
Pas faux de dire que, puisque l'on ne connaîtra jamais la valeur exacte de Pi, nous ne saurons pas davantage la circonférence exacte d'un cercle ni sa surface exacte. En suivant la même logique il est probable que quand j'écris "1" je désigne un absolu qui pourrait se signaler par 1,0000000.... et une infinité de zéro. Mais parce que l'infini nous est intellectuellement inaccessible : il est fort possible que pas loin avant l'infini (ce concept n'a pas beaucoup de sens mais mettons) il y ait un ptit kek chose genre ...0000000001000000... et que formellement ce "1" n'est pas tout à fait égal au "1" absolu (qui lui même n'est pas démontrable). Aussi je pourrais écrire que 1 1 car on ne connaîtra jamais les pouillèmes qui se baladent très loin derrière la virgule. 🙂
Ça me fascine... Quand Archimède assimile la tranche de cône, à une tranche de cylindre, l'erreur devenant négligeable, il est en train de fleurter avec l'intégrale de Riemman, la notion de limite... il y a toute la démarche, sauf le développement d'une théorie générale. Ces gens réglaient des problèmes pratiques avant tout.
Ce n’est pas du tout la méthode d’Archimede pour calculer le volume de la sphère. Cette méthode est exposée dans la proposition 36 du livre 1 de l’ouvrage « de la sphère et du cylindre ». C’est une méthode géométrique par l’absurde. Cela serait bien de ne pas propager des mythes et de respecter l’histoire des sciences. De plus cette vidéo élude le traitement des approximations ce qui enlève toute rigueur à la démonstration qui finalement ne démontre rien. Vidéo à éviter.
Non pas soporifique. Combien de temps a-t-il fallu à Archimède pour aboutir , alors que nous ,nous avons la chance d'être éclairé, car je ne suis pas une lumière, en moins de 30 mn, là où un génie a peut-être mis un mois ou une semaine. On ne connait pas toujours sin bonheur..😂😂
4/3 pi R3 c'est le volume. Le plus remarquable c'est que (pour les matheux) si on intègre 4/3 pi R3 on obtient 4pi R2 qui est la formule de la surface de la sphère.
Toutes les polémiques sur l'erreur d'approximation des volumes , en particulier en cas de non-parité du nombre de tranches constatées montre que la plus solide résolution de ce problème passe par le calcul intégral. Merci aux mathématiciens modernes d'avoir éclairci cette démonstration un peu empirique. Reste à savoir s'il faut attribuer réellement tout cela à Archimède, c'est un peu loin trop loin dans le passé pour en être sûr.
-- Avant ton archimed il y a quatre personnes qui ont expliqué ces calculs -- mais dommage ont les cite pas tout simplement par ce qu'ils sont des arabes ?
Faux … les grecs n’avaient pas de chiffres numériques, ils ne savaient donc ni faire des additions ni soustractions encore moins des multiplications et des divisions … c’est les arabes qui ont inventé les chiffres et qui faisaient de l’algèbre et de la géométrie
Archimède s'écrit avec un "s" , c'est Ary Hamed (7amed) us, le maitre Hamed et "us" pour le respect, comme Aristotes Ary Istot "us", le maitre du pillier, il était lui aussi barbare de cartagène de tunisie. (aristotes barbare de Syrie).
Je me disais qu'en remplissant ces volumes dont on parle, d'eau, nous permettrait de les comparer et de savoir de quel ordre est l'incertitude... Qu'en pensez vous ? Amicalement, Magid
Pas sur qu'Archimède (a-t-il existé?) Ait inventé le calcul différentiel. Pour le volume d'une sphère on la trempé dans un bocal rempli d'eau et on mesure le volume d'eau déplacé après on passe quelques mois pour trouver une formule qui fasse la relation entre le rayon de la sphère et PI...
Comment ca Bah (!!!!) On parle de plius de 200 ans avant JC. Archimède était immensément en avance de ses compatriotes. De plus, la relation entre une sphère, deux cones et un cylindre était géniale.
@@ecoleducourtil7712 Peut-être, mais pourquoi le Bah? Définition du Petit Robert: Exclamation exprimant l'insouciance, l'indifférence. Bah ! j'en ai vu bien d'autres.
On aurait pu plonger la Sphère dans le cylindre de même diamètre rempli d'eau, retirer la sphère et calculer le volume d'eau restant dans le cylindre ...mais ça n'aurait pas donné de formule de calcul 😂😂😂
Rien n'est vraie dans tout ça. Archimède aimait se baigner. Il a dû mettre sa sphère de dimensions connues dans un vase rempli à ras et récupérer l'eau débordée dans un récipient cylindrique gradué de même diamètre que la sphère. Il mesure la hauteur de l'eau et déduit le rapport entre cylindre et sphère. C'est plus pratique. Pas besoin d'introduire ou faire mêler son rivale Pythagore dans ses affaires. Question de droits d'auteur oblige...
Surtout pas. Cette vidéo est fausse du point de vue historique (ce n’est pas la méthode d’Archimede) et manque totalement de rigueur en éludant le traitement des approximations sans lequel la démonstration ne vaut rien.
Vidéo précieuse et passionnante! Merci!!!!
Les animations et schémas sont d'une qualité pédagogique optimale, bravo pour ce travail que j'ai suivi avec un grand intérêt, merci!
Archimède était bien un génie ...voilà une démonstration brillante qui devrait obligatoirement être enseignée à l'école !! Il a effectivement eu l'intuition du calcul intégral !
C'est GENIAL.
Le raisonnement d'Archimède était génial, votre présentation est géniale, vos explications sont géniales, votre méthode aussi.
Je vous dis bravo ! J'ai beaucoup aimé. Dommage qu'il n'y a que le pouce pour exprimer ça.
Je vous prie de nous faire plus de vidéos qui nous expliquent les raisonnement des grands génies de l'antiquité. J'ai l'impression qu'ils ont une façon de raisonner qui nous échappe.
Je plussoie , le seul truc qui m'a choqué au début , c'est le tutoiement.
Merci pour cette démonstration fascinante ! Bravo pour cette vidéo, c'était un pur plaisir à regarder !
Plusieurs commentaires minimisent le génie d'Archimède en disant qu'il n'a fait que calcul intégral. Come on!, cela se passait plus de 200 ans avant JC. Archimède était incroyablement en avance sur son temps. Son équivalence entre les tranches de volume d'un cylindre, un cône et une sphère était brillante.
Merci pour cette vidéo.
Ce n'est pas minimiser le génie d'Archimède, c'est au contraire qu'il fait du calcul intégral dans le nommer, le terme n'existait pas. Mais c'est tout à fait le principe. Il "invente" peut être le calcul intégral, Non!
Merci pour vos explications
J'étais enseignant en collège. Une année où j'étais en avance sur mon programme, j'ai fait cette démonstration à mes élèves de 3ème.
Ils ont été absolument émerveillés. Et quand je leur ai dit que cette idée ne serait reprise que 2000 ans plus tard (avec l'invention du calcul intégral), ils ont été encore plus admiratifs. Et l'un d'eux m'a dit : " Archi, c'était vraiment le boss ! "
C'était super bien expliqué.
3 siecle avant jc. Sans notre formalisme. Sans nos intégrale, sans nos limites. C'est beau.
Génial cet exposé, merci 🙏
Il y a le génie d'Archimède. Mais il y a aussi le génie du prof vulgarisateur. Merci.
C'est vraiment impressionnant. D'abord d'avoir vu la relation entre les tranches du cylindre, du double cône et la sphère. Puis de faire ce passage à la limite (À une époque où les grecs ne maîtrisaient pas cette notion) qui est du calcul intégral 2000 avant Newton et Leibniz. C'est effectivement ce que l'on peut appeler un génie.
Un génie, cet Archimède, et quelle élégance!!! Merci pour cette vidéo. Et son astuce ce sont les prémisses du calcul infinitésimal 2000 avant que ça s'avère. Quel génie!
C'est trop bon ! Je vais le ressortir à midi lors du repas de famille. C'est comme si, une qualité naturelle du génie d'Archimède, c'était de savoir zoomer. A l'inverse, avec le système solaire, est-ce qu'une qualité naturelle, n'est-elle pas de savoir dézoomer pour ne considérer les astres que comme des masses ponctuelles ? Savoir regarder différemment un objet et savoir le comparer à ce qu'on connait déjà, c'est peut-être cela le génie d'Archimède…
Superbe explication !! Merci.
Bonjour, 3 bravos pour la clarté du propos, la précision, la progression pédagogique , peut être, quand c'est possible, un peu de "malice" Grand MERCI pour l'ensemble des vidéos
Sublime sublime démonstration
Archimède était un génie et tu zs génial tes vidéos sont au top 👌
Très élégant effectivement. Cela dit, le traitement des erreurs sur le double-cône et la sphère qui est proposé ici n'est pas celui qu'Archimède a du faire, enfin je pense. Comme cela est dit, la tranche cylindrique faite sur le double-cône inférieur génère une erreur en ajoutant de la matière ; mais la tranche cylindrique faite sur le double-cône supérieur génère une erreur en enlevant de la matière. Ainsi, les erreurs ne se cumulent pas mais se compensent exactement. Donc pas d'erreur sur le double-cône et pas d'erreur non plus sur la sphère pour la même raison. J'ai bon ?
Non... Allez réfléchi ! 😅
Oui, je suis d'accord: les troncs de sphère sous si fins que leurs courbures s'assimilent à un segment de droite et donc annulent parfaitement le surplus provoqué par la simplification des troncs de cônes.
Vous avez raison, ce n'est certainement pas le raisonnement d'Archimede car celui ci est faux. Le votre est effectivement correct (et non pas incorrect comme j’ai écrit précédemment). Les erreurs se compensent non pas entre cône et sphère mais séparément et indépendamment pour le cône seul et pour la sphère seule du fait de la symétrie plane horizontale de ces objets. En prenant erreur par défaut d'un côté du plan de symétrie et erreur par excès équivalente de l'autre côté du plan.
@@micheldeknyf6185Même en devenant très fin ça gardera une forme de triangle pour le double cône et ça ne s'annulera pas. Par contre sa surface sera de plus en plus insignifiante au regard de la surface du cône. Archimède a eu l'intuition du calcul infinitésimal et du calcul de limite car avec seulement la géométrie la formule est impossible à prouver
Non, vous n'avez pas bon 😉. La bonne solution est donnée plus bas par @lioneloddo et je pense moi, que que le traitement des erreurs par Archimède sur l'épaisseur de e sur le double-cône et la sphère est bien celui qui est exposé. Vu le niveau qu'Archimède montre ici, il lui était facile de démontrer que l'erreur pouvait être négligée quand le nombre de tranches était très grand. Le calcul est donné par @lioneloddo pour le cône.
le génie dans cette opération c'est de déterminer par la réflexion et l'intuition comment approcher la valeur recherchée (volume de la sphère) à l'aide des volumes de deux constructions qu'on sait déjà calculer (le tronçon de cylindre dans lequel s'inscrit exactement la sphère, et le ''sablier'' s'inscrivant exactement dans ledit cylindre); quand la valeur approximative est cernée, on réduit à volonté la part d'approximation par une trajectoire à la fois pratique et mathématique; rendre les tranches étudiées simultanément dans les 3 volumes de plus en plus fines et de plus en plus nombreuses..
Bravo et merci pour cette excellente vidéo ! Et pour le génie d'Archimède ! Vive Clipédia !
Je disais à mes enfants: Vous devez rechercher comment le Génie a découvert sa Formule. Ici, Archimède a utilisé un Cylindre et un double Cône... sans connaître le calcul Integral J'ai juste envie de pleurer. Quelle beauté.
Merci.
PS: cette vidéo devrait être envoyée au Ministre de l'éducation.
Brillamment pensé et non moins brillamment exposé.
Un grand Bravo à vous 2 et un saut vertigineux de la Grèce antique à nos jours.
Superbe et Merci
Merci beaucoup pour l'explication
C est ingénieux c est magnifique
Archimède et Marc : deux génies. Merci.
On pourrait aussi considérer que les petites erreurs sur le cône du bas sont compensées sur cône du haut. Pareil pour la sphère.
Vous pouvez écrire : « il faut constater que les approximations sur le cône du bas … ». La « démonstration » de la vidéo est une fraude qui n’explique pas pourquoi l’ approximation est correcte. De plus elle est fausse au plan historique car ce n’est pas la méthode d’Archimede.
Vraiment élégant et GENIAL ! EUREKA !!!
Belle démonstration bien illustrée et surtout claire. Juste une petite réflexion que je me suis faite. Dans ce cas précis, la marge d'erreur de volume s'annule si N est pair? la base de la partie croissante du cône et de la sphère est plus petite, ce qui est l'exact inverse dans la partie décroissante du cône et de la sphère.
Merci pour ces merveilles : c'est absolument magique!
Très belle démonstration 👍 Archimede a imaginer d'abord respectivement la somme des surfaces tronquées du plan du demi-cone et de la sphère qui était égale à la surface du cylindre, pour 1 cylindre de 2m de diamètre qui est égale à pi m2 qui est la somme du demi-cone soit pi/4 + la sphère soit 3pi/4 de la formule :
pi = (pi/4)+ (3pi/4)
d'où le rapport 1 = 1/4 +3/4.
Et ce rapport ce vérifie à chaque étage de tronquage, des purs génie cet archimede et Pythagore.
Super ! je partage avec ma sœur et mon frère qui contrairement à ma pomme, n'étaient pas des buses en maths !
Génial
Merci 🙏
Génial !!!!
Merci pour la démonstration qui nous donne une autre approche, je voudrais toutefois faire un remarques. Du point de vu finitésimal, la cône devrait pris comme un trapèze et non comme un rectangle. Je serai disponible pour proposer une approche plus géométriquement réaliste.
Merci beaucoup
Je ne pense pas que même Archimede aurait pu l’expliquer avec autant d’élégance. Merci.
Avec tout le respect que je dois à tout ce qui a été dit (chapeau Monsieur !), pourquoi devrait on considérer qu’il y a une très petite erreur dans chaque section. Si l'on considère que Monsieur Archimède a pris deux cônes qui ont été placés l'un avec la base en bas et l'autre avec la base en haut, ces erreurs s'annulent dans l'addition, en prenant pour chaque tranche un rayon plus long dans la partie inférieure et un plus court dans la partie supérieure. Cela s'applique également aux tranches de la sphère. Dans ce cas, le nombre des tranches peut être un certain nombre N, assez grand, mais pas infini et la solution reste correcte.
Archimède a dû bien inspirer Leibniz et Newton...Quel génie !
Et même plus : l'idée principale, c'est Archimède, me semble-t-il.
c'est en effet une propriété interessante.
2 remarques.
- si au lieu de faire des tranches de cone ou la frontière entre tranches est sur la droite représentant le bord du cone, on fait passer cette droite par le centre du segment de longueur e, il n'y a plus d'erreur car dans chaque tranche la petite surface "en plus" est la meme que celle "en moins". Ca ne marche évidement que si la courbe est une droite donc on ne peut pas faire de meme pour la sphere, ou c'est le grand nombre de tranche qui nous sauve.
-si on considère que l'on utilise Pytagore et ce concept de sommation de petits elements, on a pas besoin de cette astuce, le calcul direct ne nécessite en plus que la formule de la somme des carres des n premiers nombres.
Y a pas a dire, il etait doué le gars 😍
Merci !! et la surface de la sphere ?
Il me semble que dans une autre vidéo, il y a l'explication pour laquelle la somme des petits triangles est négligeable. En raisonnant en 2D, l'aire d'un petit triangle, c'est (R/N*R/N)/2, Donc la somme de tous les triangles, c'est N*R²/(2*N²) soit R²/(2*N) et cette quantité tend vers 0 quand N tend vers l'infini.
c'est effectivement un complément indispensable.
Merci pour cette explication. J'étais resté sur ma fin parce que lui dit que quand N est grand, l'erreur devient négligeable. Oui sauf que "un petit nombre (négligeable) X un grand nombre" est une forme indéterminée. Je pense qu'Archimède, vu son niveau, a fait le calcul que vous avez exposé.
il est un grand maître ce Archimède.
excellent
Prendre des éléments de hauteur les multiplier par la surface et faire la somme c'est le calcul infinitésimal.
Merci MR
une autre astuce est simple ( si la sphere es impermeable) ,remplir un cylindre avec un liquide ex eau ; reperer le niveau initial apres tremper completement la sphere puis reperer le niveau 2
alors vous aurier h2-h1= H donc le V= TT *R² *H ( applicable pour les petits volume de spheres que l'homme peut mesurer).
démonstration intéressante.
néanmoins on ne comprend pas pourquoi il a opté pour le cylindre et le double cône en comparaison avec la sphère ...c'est loin d'être évident...
Parce que ces trois figures ont en commun d'avoir un cercle comme image de chaque section horizontale , ce qui fait une constante dans le calcul de la surface d'une tranche horizontale prise dans chacune des trois figures.
En résumé, cylindre, double cône vus de dessus sont des cercles, pareil pour la sphère vue de n'importe quel côté.
*πRR* formule identique, pour les trois, ya plus qu'à,si j'ose dire.
Le coup de génie, pour un rayon identique aux 3 figures, c'est d'avoir vu que la *largeur* de chaque section de cylindre était la somme de la *largeur* de section du double cône et de la *largeur* de la section de sphère, toutes sections au même niveau. Reste plus que la soustraction à faire , puisque côté cylindre & côté double cône, les opérations sont simples, avec Pythagore, précisément..
L'animation qui simule le déplacement vertical d'une ligne horizontale qui traverse les trois figures met en évidence en coupe,au dessus, l'accroissement du cercle du double cône parallèlement à la décroissance du cercle de la sphère, & inversement.
Incroyable ce que l'on doit à la puissance imaginative des Archimède, Pascal, Newton & autres Einstein, ya pas la place de les citer tous
😂😂😂
Par contre il est possible que je n'ai écrit que de la M....
N'hésitez pas à me le faire savoir
😂😂😂.
c'est ce qui fait la différence entre un génie et un simple mortel comme nous...
@@rodolphebobby4537 j'aime bien la dernière phrase, je la note pour la glisser dans certains de mes commentaires :)
trooop leeeent
Archimède qui aimait bien plonger des objets dans l'eau aurait aussi pu déterminer le volume de la sphère expérimentalement 😄
😂😂😂
Il ne s'est peut-être pas gêné pour vérifier sa formule, juste pour le plaisir..
Ça aurait déterminé le volume d'une sphère particulière (sous réserve d'avoir de quoi mesurer ou peser très précisément le volume d'eau déplacé) mais ça n'aurait pas donné la formule qui permet de calculer le volume d'une sphère en général 😢
@@p.g.pg38 Tout à fait. Mon commentaire se voulait humoristique ...
Ça sert à quoi de connaître le volume d ' une sphère ???????
Tu fais un trou dans ta sphére ....et tu verses autant de litre qu ''il en rentre ...........
Superbe résonnement!! Dommage que parfois il y a trop de répétitions dans la présentation, ça semble long et a la fin, ça fini très vite. Beau travail de vulgarisation!!
Résonnent??? Comme les cloches de Notre Dame ?
@@PascalDebode Oupppsss, regardé tard et mettre un commentaire, pas toujours bon! Merci pour le pointage de la faute d'orthographe.
Pour Notre Dame, les cloches n'étaient pas dans le clocher mais au sol ce WE.
Il s’est compliqué la vie Archimede, j’aurais fais plus simplement : En plongeant une sphère dans un bocal rempli à ras bord d’un litre d’eau, j’aurais eu le volume de la sphère qui est la quantité d’eau qui a débordée. Après comme on connaît le résultat final, et les autres chiffres connus eux aussi : rayon, diamètre et 3,14 de la sphère il suffisait avec quelques essais de calcul de trouver le chemin. Non ?
en la plongeant dans un reservoir rempli d'eau pour avoir le volume.
ensuite tu fais les rapports de dimension pour trouver 4/3.
Génial ! Je suppose qu'on a plus de traces écrites de cette démonstration, mais j'aimerai bien voir à quoi ça aurait peu ressemebler.
Peut-être avec une autre démonstration ? Je suppose que la notation mathématique de l'époque était vraiment différente.
Utilisaient-ils des chiffres arabes ? Comme les Romains ne le faisaient pas, j'ai un doute.
Incroyable cette façon de parler math sans prononcer le mot infini qui est le nombre math par excellence
@elylo7815 Pas mal. En effet, il y a aussi le zéro du Rien qui n'est pas rien et est bien quelque chose ! Il faut remarquer et connaître ce que les antiques interdisent encore dans les écoles aux enfants : diviser par zéro donne toujours l'infini ! L'Infini est tabou pour les monothéistes car il est réellement tout-puissant, Lui ! L'équation mathématique fondamentale est bien que zéro fois l'infini est un nombre fini non nul indéterminé ! Bon travail !
Bonjour,
Petite question: Le R reliant les deux cotés du triangle rectangle dans la sphère dont on a déterminé les deux cotés = rayon du cylindre, pourquoi? Il me manque un détail.
Très bien mais fait plus court car c chiant de répéter 4 fois la même chose
On ne peux pas considerer que les "erreurs" de volume des cones et les "erreurs" de volume de la sphére étant l'un positif et l'autre négatif s'annulent ?
En fait, c'est bien du Riemann avant l'heure non ?
Merci.
non. c'est du calcul intégral. Riemann ne travaille pas sur les volumes mais sur la topologie.
@@sebastienb7223 Bah, depuis jeune je gardais "intégrale de Reimann" dans la tête, je dois me tromper mais osef, quoi qu'il en soit c'était pour répondre à la réflexion du début qui disait que ce n’était pas du calcul intégral, je trouve que ça s'en approche énormément.
J'ai beaucoup apprécié la vidéo, je dirai juste qu'il était possible de la faire deux fois plus courte, en évitant de répéter et d'insiter lourdement sur les parties évidentes...
Lassant, pénible les explications auraient put être réduites à cinq minutes et être complète, perso à 12 minutes j'ai arrêté de suivre.
On pourrait partir d'un cylindre de même rayon que la sphere et de 2 fois son rayon en hauteur, de le remplir d'eau, d'y plonger la sphere et d'en déduire un rapport entre le volume d'eau perdu et le volume de la sphere?
Comment demontre-t-on le volume d’un cône sans passer par les intégrales, qui n’étaient pas encore découvertes du temps d’Archimede ?
Une bonne expérience à tenter ...
Excellente question.
@@alvinfloodbanded4388 bah si, il a fait une intégrale sans définit une intégrale. D'où le génie..
@@ecoleducourtil7712 pour la sphère, oui. Mais la demo demande d’admettre le volume du cône comme connu
@elylo7815 déjà fait.....en vain.
remarque : si rD est mesuré à partir du centre, les valeurs vC, vD, vS correspondent à la moitié des volumes de chaque objet.
Je pense que ce qui a poussé Archimède à choisir ces deux objets géométriques (cylindre+ bicone) pour faire sa démonstration ce n'était pas seulement parce qu'il connaissait les volumes de ces 2 objets. Il devait en avoir eu l'intuition au préalable. Par ex. l'utilisation d'eau et expérience de remplissage. Ensuite la rigueur mathématique pour le démontrer.
Archimède a eu du nez pour choisir le double-cone, ensuite il n'a eu qu'à vérifier par le calcul (infinitesimal avant l'heure).
Je partage cet avis, un heureux hasard que les volumes de ces deux figures se complètent en un cylindre, mais il a su en les observant s'en convaincre, rien que cela c'est du génie..
Archimède, ce génie.... Il a eu l'intuition du calcul infinitésimal des siècles avant que celui-ci ne soit formalisé par Newton et Leibnitz.
Je doute que les Egyptiens aient eu connaissance de cette formule pour la construction de leurs pyramides. En effet, à la naissance d'Archimède (-287) il y avait déja 1.238 ans que la dernière pyramide, celle d'Abydos, avait été construite par le roi Ahmose 1er. Pour fixer les idées, 2024-1238=786. C'est l'année (le 14 septembre) où Haround al-Rachid devient Calife de Bagdad. C'est celui-là même des Contes des Mile et Une Nuits. Il était contemporain de Charlemagne. C'est vraiment beaucoup même si les Egyptiens se sont montrés, eux aussi, de géniaux mathématiciens et architects.
Je ne connait pas les écrits originaux d'Archimède, mais si on soustrait une demi-épaisseut au rayon pour le calcul du volume de la tranche du cône et de la tranche de la sphère, l'erreur est largement atténuée (limitée à l'erreur due â la courbure de la sphère qui tant vers zéro quand la tranche est infiniment fine).
La naissance du calcul différentielle et intégrale (décomposer en éléments infiniment petits puis reconstituer après) doit être attribuer à ca grand génie de l'histoire Archimède et non pas à Newton et Leibniz.
Heureusement que Archimede n'a jamais connu Wantzel ..qui a demontré que l'usage de Pi en tant que nombre irrationnel (à nombre illimité de decimales ) ne permettait pas le tracé de la quadrature du cercle qui fait appel à la racine carée de Pi ..tout aussi irrationnelle , forcement !!!
...Donc , si on retient la demonstration de Wantzel ..cela signifie que Pi est tout aussi irrationnel pour tous usages ...et que tous les calculs d'Archimede , y compris la decouverte de 3,14 ...sont entâchés d'une erreur redhibitoire ...qui devrait nous interdire une tres grande partie de la geometrie et donc des mathématiques que nous apprenons et utilisons depuis l'enfance ...ce qui nous replonge ipso facto dans le plus lugubre et sordides des obscurantismes 😞
ON EST FOUTUS 😢 !!!!!
😂😂😂😂😂😂
Dommage que ça fonctionne pour les calculs, c'est bien le hasard !!!
Pas faux de dire que, puisque l'on ne connaîtra jamais la valeur exacte de Pi, nous ne saurons pas davantage la circonférence exacte d'un cercle ni sa surface exacte.
En suivant la même logique il est probable que quand j'écris "1" je désigne un absolu qui pourrait se signaler par 1,0000000.... et une infinité de zéro. Mais parce que l'infini nous est intellectuellement inaccessible : il est fort possible que pas loin avant l'infini (ce concept n'a pas beaucoup de sens mais mettons) il y ait un ptit kek chose genre ...0000000001000000... et que formellement ce "1" n'est pas tout à fait égal au "1" absolu (qui lui même n'est pas démontrable).
Aussi je pourrais écrire que 1 1 car on ne connaîtra jamais les pouillèmes qui se baladent très loin derrière la virgule. 🙂
1 = 0,999…
1/3 =0,333…
3 x 1/3 =1
Donc 3 x 0,333… = 0,999… = 1
Ça me fascine... Quand Archimède assimile la tranche de cône, à une tranche de cylindre, l'erreur devenant négligeable, il est en train de fleurter avec l'intégrale de Riemman, la notion de limite... il y a toute la démarche, sauf le développement d'une théorie générale.
Ces gens réglaient des problèmes pratiques avant tout.
Pas dure on met la spere dans un volume d eau et on cal ule le volume d eau deplacée
La mathématique dans l'esprit des monothéistes devient les mathématiques où l'infini est tabou !
Ce n’est pas du tout la méthode d’Archimede pour calculer le volume de la sphère. Cette méthode est exposée dans la proposition 36 du livre 1 de l’ouvrage « de la sphère et du cylindre ». C’est une méthode géométrique par l’absurde. Cela serait bien de ne pas propager des mythes et de respecter l’histoire des sciences. De plus cette vidéo élude le traitement des approximations ce qui enlève toute rigueur à la démonstration qui finalement ne démontre rien. Vidéo à éviter.
Tiens, cette tête me dit quelque chose. Post doc a l'ULB il y a plus de 20 ans 🙂
soporifique, j'ai pas tenu jusqu'au bout. Je mourrai idiot. Le son n'aide pas. Il parle au fond d'un tonneau ? (V=πL(d/2+2/3(D/2−d/2))²)
Non pas soporifique. Combien de temps a-t-il fallu à Archimède pour aboutir , alors que nous ,nous avons la chance d'être éclairé, car je ne suis pas une lumière, en moins de 30 mn, là où un génie a peut-être mis un mois ou une semaine.
On ne connait pas toujours sin bonheur..😂😂
On peut dire plus simplement que le volume d'une sphère est égale au volume du cube circonscrit multiplié par le sixième de pi, soit : ( d³ . π/6 )
4/3 pi R3 c'est le volume. Le plus remarquable c'est que (pour les matheux) si on intègre 4/3 pi R3 on obtient 4pi R2 qui est la formule de la surface de la sphère.
Mais alors c'est lui l'inventeur du calcul infinitésimal ?
Toutes les polémiques sur l'erreur d'approximation des volumes , en particulier en cas de non-parité du nombre de tranches constatées montre que la plus solide résolution de ce problème passe par le calcul intégral. Merci aux mathématiciens modernes d'avoir éclairci cette démonstration un peu empirique. Reste à savoir s'il faut attribuer réellement tout cela à Archimède, c'est un peu loin trop loin dans le passé pour en être sûr.
-- Avant ton archimed il y a quatre personnes qui ont expliqué ces calculs
-- mais dommage ont les cite pas tout simplement par ce qu'ils sont des arabes ?
Faux … les grecs n’avaient pas de chiffres numériques, ils ne savaient donc ni faire des additions ni soustractions encore moins des multiplications et des divisions … c’est les arabes qui ont inventé les chiffres et qui faisaient de l’algèbre et de la géométrie
Archimède s'écrit avec un "s" , c'est Ary Hamed (7amed) us, le maitre Hamed et "us" pour le respect, comme Aristotes Ary Istot "us", le maitre du pillier, il était lui aussi barbare de cartagène de tunisie. (aristotes barbare de Syrie).
Le volume du cylindre est trivial, par contre le cone a 2/3pir^3 les grecs le savait comment ?
Je me disais qu'en remplissant ces volumes dont on parle, d'eau, nous permettrait de les comparer et de savoir de quel ordre est l'incertitude...
Qu'en pensez vous ?
Amicalement, Magid
en, simplement, plongeant une sphère dans une bassine d'eau !!!
Pas sur qu'Archimède (a-t-il existé?) Ait inventé le calcul différentiel. Pour le volume d'une sphère on la trempé dans un bocal rempli d'eau et on mesure le volume d'eau déplacé après on passe quelques mois pour trouver une formule qui fasse la relation entre le rayon de la sphère et PI...
Joli exposé. Vous devriez rappelé pour les étudiant(e)s que la dérivée de la Sphère est égale à la surface de cette dernière.
Bah en fait, C'EST du calcul intégral (la découpe en décomposition infinitésimale, la somme sur toute la hauteur)
Comment ca Bah (!!!!) On parle de plius de 200 ans avant JC. Archimède était immensément en avance de ses compatriotes. De plus, la relation entre une sphère, deux cones et un cylindre était géniale.
@@HenriLaporte-kv6qq c'est ce que j'ai dit.
@@ecoleducourtil7712 Peut-être, mais pourquoi le Bah? Définition du Petit Robert: Exclamation exprimant l'insouciance, l'indifférence. Bah ! j'en ai vu bien d'autres.
sauf que, tu baisses l'égo du monde et tu sauras qu'il y a une pensée, voir, des pensées qui ont la connaissance que l'espèce humaine n'a pas !
On aurait pu plonger la Sphère dans le cylindre de même diamètre rempli d'eau, retirer la sphère et calculer le volume d'eau restant dans le cylindre
...mais ça n'aurait pas donné de formule de calcul 😂😂😂
N=infini
Rien n'est vraie dans tout ça. Archimède aimait se baigner. Il a dû mettre sa sphère de dimensions connues dans un vase rempli à ras et récupérer l'eau débordée dans un récipient cylindrique gradué de même diamètre que la sphère. Il mesure la hauteur de l'eau et déduit le rapport entre cylindre et sphère. C'est plus pratique. Pas besoin d'introduire ou faire mêler son rivale Pythagore dans ses affaires. Question de droits d'auteur oblige...
Trop long, trop long....
Belle démonstration à refaire pour des élèves, pour qui la géométrie c’est du Chinois…
Surtout pas. Cette vidéo est fausse du point de vue historique (ce n’est pas la méthode d’Archimede) et manque totalement de rigueur en éludant le traitement des approximations sans lequel la démonstration ne vaut rien.
C’est long mais lon..........
CE SONT LES CHINOIS QUI ETUDIEZ L HISTOIRE
Belle démonstration mais que le discours est long 😂....