How to solve a first-order indefinite equation with the congruence formula (mod) in an instant.
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- เผยแพร่เมื่อ 8 ก.พ. 2025
- Many people have difficulty with linear indefinite equations in the area of integers in high school mathematics.
We hope you will find that you can comfortably solve them by using the congruence equation (mod)!
合同式の割り算は割る数と法が互いに素という点も忘れずに指摘しているのは素晴らしいですね
合同式学ならそれは当たり前でしょ
そう言うことを言ってるんじゃ無い
@@先生さいぱん当たり前のことを当たり前って言って何が楽しいの
@@KDDI931当たり前って言えるほど自信があるってことだからそれはそれでよしじゃないのですか
@@KDDI931楽しいとか楽しくないとかという問題ではないのです
ちょうど授業でここやっているんだけど、おすすめに出てきた…。おすすめ有能すぎる！！そしてわかりやすい解説をしてくださる河野さんにもありがとう！
一応青チャートに載っている事だけどこの人が「こっちの方が簡単」って言って口で説明してくれると嬉しいわ。
教科書読むのと人が解説するのとは理解度段チ
@@ニャン太郎-x3z それは理解してるつもりになってるだけなんだよ
@@いい-f4i なんかズレてて草
@@いい-f4i 何について言及してんのか訳わからん
@@いい-f4i 会ってもない人のこと理解してる気になってて草
7:24互いに素でないといけない証明
akx≡bk(modc)
と表せるとする。このとき
akx=cl+bk
から
ax=cl/k+b
より、
cl/k=ax-b(整数)…①
kとcが互いに素のとき
①式よりlがkの倍数(l=km)となるので
ax=cm+b
→ax≡b(modc)よって成立
kとcが互いに素でないときk=Kg,c=Cgとすると(gは最大公約数)
①式より、
Cgl/Kg=ax-b
Cl/K=ax-b
前述に帰着することで
ax≡b(modC)
ax≡Ct+b(modc)(0≦t
知ったかしないで🙂
xが抜けてたみたいなので訂正しました
より簡潔に証明出来るはずです。
ax≡bx (mod.n)
⇔x(a-b)≡0(mod.n)
⇔x(a-b)はnの倍数
︎ ︎ ︎ ︎xとnが互いに素なときはa-bがnの倍数となるので
⇔a≡b (mod.n)
@coll eague
ax≡bx の両辺がxで割れる ⇔ sx≡1 の同値変形が分からないので教えてもらえませんか？
やっぱ合同式は神。最近は合同式の扱い方を知らない人が多いからこういう動画本当に助かります。
お前も知らないんかいw他人事みたいにいうなや
サムネイルにもあった 35x+48y=3 で考えると、35と48が互いに素であることから
y の解が y=35k+ (特殊解）の形になることが割れてるので、
y を35で割った余りがそのまま特殊解になるから 35を法とした合同式が有効ってことですね。
この文で理解した
どゆこと？
@@sai-vj6xm 特殊解を(x,y)=(a,b)としてx,yに代入すると、35a+48b=3
これを35x+48y=3から引くと、
35(x-a)+48(y-b)=0
35(x-a)=-48(y-b)
35と48は互いに素だから、
y-bが35の倍数の時のみ成立すると考えると、kを整数として、
y-b=35k
y=35k+b
ということは、yを35で割ると、yの特殊解の分だけ余るんですよね
(確認は特にしてないので間違いがあったらすみません)
追記 1箇所表記ミスがあったので訂正しました
@@bocaasan
ありがとうございます！
わかりやすく説明してくれてありがとうございます！
@@bocaasan
最後のとこy＝-35k+bだと思うんですけどどうでしょう
今までじゃひたすら代入しないと求めれなかった問題の（3）を自力で解けるようになって気持ちいいです。本当に感謝です🙇♂️🙇♂️🙇♂️
ユークリッドの互除法が
これを求める一般的なやり方
です！
(3)くらい係数が大きい式にひたすら代入は草。さすがにネタコメやろ
@@ww濫用の凪子 俺だったら2で諦める
@@コフマコゾエ 括るやつの方が一般的やないか？
共テ模試にも出てきてこれのおかげで秒で解けました、、ありがとうございます！！！！
この動画本当に助かった！！
感謝しかない
「ここまでは難しくないですよね？」で心が折れた
このコメントめっちゃ好き
それな、もうやり方暗記しよう
ここまでくらいは頑張ろうや
それはもそも合同式頑張れ
mod4のもとで4y≡0なので
11x≡1だと思う
modがもっと好きになるぅぅ
😐
もっども〜っど
たけmod
@@Teu_Y もっど！！
みんな 余ーるく たけもっどピアノ♫
最近授業でこの方法を説明してたんですけど意味わからなかったので助かりました！🥺
こんにちは！中学生です！高校生になったらやるんですか？
@@hironnbeach 大学受験でいいところ行くなら必須普通科でもやらないところはやらない
代数を専攻していた者ですが、正直これ大丈夫か？っていう感想です。答えは合っていますが、
式を組み合わせる方法は「同値変形」ではないからかなり要注意です。（必要条件にすぎない）
例えば4:49の 2x ≡ -2 (mod 4) がもうやばいです。
この式の必要十分条件は x ≡ 1 (mod 2) つまり x ≡ 1,3 (mod 4) となって、解でない値も現れてしまっています。
これはその前の 3x ≡ 1 (mod 4) の必要条件であって十分条件でないからこういうことが起こります。
基本的には左辺か右辺の片方だけをいじって割っていく方法か演算表をおすすめします。
整数方程式ax+by=cはGCD(a,b)=1ならば0≦x≦b-1の範囲で整数解をもつという事実があるので、式変形をしていき x≡k(mod b) (0≦k≦b-1) という必要条件を導出できれば答えを求められます。
動画のようにx≡k(mod b)を求めても必要条件にすぎないため ak+by=1を満たす整数yが存在するかはわからないが、x≡kでないxは不適であることと0≦x≦b-1の範囲で解が存在するということからx=kが解(の一つ)になります。
たぶん
GCD(a,b)=1 の場合は x の整数解は mod b で必ず１つに定まります（整数解としては無限に存在）
だからふつうに同値変形すれば必要十分な解が得られるはずなんですが・・・
（河野さんは頭がいいから自分でフォローできてるだけで、やり方はよくないです）
GCD(a,b)=1 の場合は解が mod b で２つ以上存在することはありえないです
もちろん解が存在しないこともありえません
例）x ≡ 1 (mod 4) とする
x ≡ 1 (mod 4)
この２式を足して
2x ≡ 2 (mod 4)
これを解くと
x ≡ 1 (mod 2)
すなわち
x ≡ 1, 3 (mod 4)
あら不思議
※２式目⇒３式目が同値変形ではありません
@@ryomiyazawa822「これを解くと」の部分で何をしてるのか教えてください。動画ではmodが変わる部分がなかったので動画では行われてない操作をしたのだと思うのですが。
@@あんまめ-y7h 少々マニアックですが、mod ごと両辺を 2 で割っています。
もちろん基本的には河野さんのいうように、2 は mod の 4 と互いに素ではないため両辺を 2 で割ってはいけないという認識でいいですが、
mod ごと 2 で割ってしまうことで同値変形ができます。
2x ≡ 2 (mod 4)
⇔ 2x − 2 は 4 の倍数
⇔ x − 1 は 2 の倍数
⇔ x ≡ 1 (mod 2)
今年の共通、この考えかたがモロに有用でしたね
それな
モロ『やめてくれ。その攻撃は俺に効く。』
@@Bomb_Alice おもんな
@@Bomb_Alice 俺は結構好きやで
@@Bomb_Alice
ﾀﾀﾅｲ👎
来週テストで数Aまじで理解してなかったけどこれ見て自信わいてきた！
mod小さい方
割る数はmodの数と互いに素でないといけない
合同式を使って特殊解を求める
めちゃくちゃわかりやすいです！！
ありがとうございます🙇♂️
今年の共テがmod使うと便利って見て
学校でmod教えてくれなかったので助かります🙇
本質は同じですが、11x+4y= -x+4(y-3x)として、係数を小さくしている操作をしているようです
互いに素じゃないといけないなら法にするのは素数のほうが良さそうですね😃
この系統は初手ユークリッド安定だけど計算ミス怖いから助かった
今ちょうど数Aの整数の分野やってるんでめっちゃ助かります✨
ちょうど今授業で一時不定やってたんでめっちゃ助かりました
ありがとうございます
あした整数が範囲の定期試験あるから助かりした！ありがとう河野さん！！！
めっちゃ良かったね
ベストタイミング！
ベストではないと思う。これはあくまで受け身ではあって修得はしてなさそう。キツいと思うがこの人次第。
@@まる助楓 たしかに
@@まる助楓 この程度がキツいと思うなら合同式の勉強し直した方がいいですよ、、、
ちょうど範囲で助かる。すぐ学生助けちゃうんだから♡
別海法 途中までは同じ、大きな二等辺三角形の低角は７５度、よって求める面積の底辺を６√２とした場合、低角は７５－４５＝３０度と、正方形の対角線でできる４５度の錯角４５となる。高さをｈと置くと、√３ｈ＋ｈ＝６√２となり、面積は６√２＊ｈ／２＝１８√３-18となる。
ずっとまってたぞこれ！！！
解き方は間違っていませんが，結果は減点でしょう。
例えば(1)はその書き方であればx＝y＝3でも良いのか(代入すれば方程式が成立しない)と言うことになりかねませんし，解き方より方程式に合うように元に戻すことが肝です。
以下，解答の一例(いずれもnは整数，小問毎に同一とする)：
(1) (x, y)＝(4n-1, 3-11n)
(2) (x, y)＝(48n-15, 11-35n)
(3) (x, y)＝(1001n-99, 10-101n)
二元の一次不等式ですし，ある一つの文字が不定なだけの解が出なければなりません。
この動画は特殊解を見つけることに重きを置いてるのでそこは省略しているだけです
バカ晒してて草
x≡aになったときaが解の一つなのが謎
コメント欄の人たちほんとに理解できてるのか
理解できた気になってるのかどっちなんだろう
x≡a(mod b)のときx=bn+aと表せれるのか
そういうこと？どういうこと？
俺も同じこと思った
大変今更だと思うけど
x≡a(mod b)はx=bn+aと表せられるで合ってる
動画の最初に
11x+4y≡1(mod4) を
11x≡1(mod4) に変形してるのと同じ
というか逆のことをしてるだけ
未だにノリでしか解けないけどそれでいいんかな～っていつも思う。合同式も分かるけどひっぱり出すより自分は楽。
(2)48-35は13 あと10の差かー
あ 35の倍は70、7*7=49 じゃん
490なら480引けば10だな
よっしゃ式作って片々引いたろ
-15、11 ！みたいな
ちなみに(1)は3*4=12、ラッキー
(3) は1001と10倍の1010の差は9か
9 作れんなら90作れんじゃん
1つ増やせば101と90で11つくれるねー、みたいなノリ
げんとさんいつもありがとう😊
共テ前直前だけど、見てよかった
もっとはやくしりたかった
modはまじで便利だから使った方がいいよね。
合同式ほんとに便利
これは凄いわ
x求めたあとy求める時一の位揃えるだけでいいからややこしい計算とかで計算ミスせずにすむ。
なんでここにいるの笑
凄い！！最初あんま期待せずに見始めたけど感動しました！
modは使うことによって得れる情報はあまりで場合分けした時よりも少ない時もあるけど、やっぱり便利
このことがわかっていて合同式使ってる人は大体の問題解ける
ずっと待ってた！
ひたすら感動しながら観せてもらいました。
ありがたいです
うわこれ神動画やなあ
応用効きまくりだと思います
今気づけてよかった！
この方法で第4問の[タチツ]解きましたー！時間ギリギリすぎて、脳死でできるこのやり方サンクス
今回は誘導なしだったんで、ほんとに助かりました
超わかりやすかった！今までずっとユークリッド使ってたけど断然こっちの方がいいわ！
エウクレイデス
modは分からずに使っている受験生がたくさんいるってなんかの参考書に書いてあったけど、コメ欄でそれがよく分かった
今年もやっぱり出ましたね。
数学できる人間はこれでやったら便利やなぁ。
合同式って数学苦手な人にとっては意味不明だから、万人に教えるのには向かなそう。
塾講やってますが、賢い生徒が来たらこれ教えたい。
現役のときこれ苦戦してたー
あの時から河野先生の動画が見られていれば…
中3の初めに学校でやった合同式の素晴らしさに4か月前に気付いた受験生。
これすごく便利
ちょうど習ったから運命だと思ってる
残念ながらmodより楽の方法があるのに。例えば11x +4y= 1だったら、小さい数字の方でくくる。4(y +2x)＋3x=1となり、y+2xをzに置きかえて、4z＋3x= 1にすれば、解がz= 1、x= − 1みたいに簡単に出てきて、yも出てくるので、多分こっちのが簡単
正直にいうと慣れ。modで極めた奴は(2)の計算レベルなら5秒でxの値出せる(実際mod使い続けてたら直感でパッパ出てくる)
傘形の堀削式互助法も十分使い勝手いいけど汎用性が高いって意味ではmodを使うんがベストだと思う(河野玄斗さんはこの動画で一次不定方程式の他にも便利なことを示唆してる)
これは競技プログラマの間で拡張ユークリッドの互除法と言われているものです。おそらく正式な専門用語ではないので、「拡張されたユークリッドの互除法」と呼ぶべきでしょうけど。でも裏技とはギリ呼んでいいとも思います。
そうなの？
あれと同じなのこれ？
byプログラマー
ありがとうありがとうありがとうありがとうありがとうありがとうありがとう
テスト前日になんとなくみてたら完璧に仕上がってしまった。明日のテスト楽しみ過ぎる
知らない間に18分経ってました…なんて分かりやすいんだ…
与式(1)を直線y=f(x)とおくと傾きf'(x)=11/4は単純増加だから分子の4に着目し11=2*4+3などよりx≡3(mod4)。図にする方が説明は楽？ 式が与えられているなら値は線上にあればいい。互いに素とまでいう必要はないからね。
わかりやすい
これのおかげで共テ耐えた
ほんとに助けられた。
a,b,n∈Z；「a=b ⇒ a≡ｂ (modｎ)」つまり 必要条件ですね 十分性のチェックをしないといけないのでは？
定期考査でこの解き方したらはねられた
計算式も答えも合ってたのに、、
⑴3x≡1の両辺に4をかけると
12x≡4≡0となり、
その式から11x≡1の辺々引いて、
x≡-1≡3とするのかなと思った。
すべて求めよとか、整数解が沢山ある場合も教えて欲しい
I日後の方に乗っけておきました
これユークリッドの互除法使って解いたな
あれめちゃくちゃ面倒くさいですよね。
けど絶対に解ける
マイナスを含む方程式の場合の解き方がイマイチ分からないのですが、そのときはユークリッドの互除法を使ったほうがいいですかね？
⑵の最後の質問で、なんでy≡-24って答えでたのに、さらに35-24≡11の計算するんですか？
誰か教えてくださいお願いします🙇
まじありがとうございます
参考になりました!!
河野さん「整数の全パターン網羅！」
みたいな動画出して欲しいです！🙏
4:08 11xを4で割った余りが1の時、3xを4で割った余りが1 ←わからん
助けてくれｗ
合同式はmodの数の倍数で両辺足したり引いたりできるから、式をより簡単にするために11x−8xしてる。
@@user-ut4nc4ls5q
ありがとうございます！そもそも合同式の理解が間違ってましたｗ
もう理解されたなら余計かもしれませんが、11x = (3+8)x = 3x+8x となり、これを4で割ると 8x だけが消えて、3x が残ります。
@@user-ut4nc4ls5q 横から失礼マジ感謝
一時不定方程式ってめちゃくちゃめんどくさいかった記憶あるからこれはスゲ～ってなった。
学生の時に合同式を習わなかったのもあるが、(2)は35x+48yについて(x,y)=(2,-1)代入で22が、(3,-2)代入で9が得られることから(6,-4)で18が得られることがわかり、(-4,3)で4が得られることがわかる。よって(-8,6)で8が得られ、(11,-8)で1が得られることがわかる。この1が得られれば後は楽勝で(33,-24)で3になるとわかる。やってることはユークリッドのショートカットなんやろけど、うだうだやらずに常にx・yに何入れたら幾らになるかを考えることが出来るので良いから楽な気が…
ノリで小さくしていくってのはかなり共感！
結局如何にして寄せて行くかなんでね…
3元一次不定方程式もお願いします!
何その凄そうなやつ
本当にありがとうございます！ 昨日のテストまでに見たかった！！ハハッ、、、
買った人に質問なんですけど徹底基礎講座ってどんな感じでしたか？目に見えて結果が出るレベルのものだったら購入考えてます。
共通テストこの方法で解きました！
なに言ってるのかあんま分からんけどなんか凄そう
教えてあげようか
yの係数が負だった時は同じことをしてもいいんですか？
ちょうど今やってるところだから助かるかりゅ
合同式の割り算で法の値と割る数が互いに素であることは記述の時は示した方がいいのでしょうか？
互いに素だからって書けばあとは自明だとおもう
この方法を初めて知ったとき衝撃的でした。
為になる〜
これ教科書でもろくに載ってないから、これ見といてよかった〜！
質問です。ｘ≡〇（mod△）とできた後に、
ｘ=△ｋ+○としてもう一方も求めるという方法でもいけますか？
いけるけどめんどくね？
整数解ならそれでいけますよ
@@insider0.8 言うて一瞬やで
合同式の利点が全くなくなるけどね
そんなんk=0ぶちこめや
筆算でユークリッド書いてから、連分数展開する方法が個人的に1番楽かも
48x ✖︎35y =3で質問なのですが、
y=-24まで求められました。しかし、mod35において-24に+35をした11という答えが意味わかりません。なぜ35を足すのでしょうか。
modはあまりだけに着目してるから35で割る数に35をいくら足しても余りは変わらないよね。
-24と11は35で割った"余り"が同じという意味。
すごー！
有識者さんに質問です
例えば1番の11x+4y=1 で解説にあるように解いていくと
x≡3≡-1 (mod 4) となりますよね
仮に問題が全ての正数解を求めよ。だった場合、
x=4k+3とx=4k-1 の２つが出てきますよね？
この場合どちらが正しいのでしょうか？
プラチカの44番でこのような場面にあって困っています
どちらでも大丈夫です
正の数の解(自然数)ならばkの範囲に注意ですが、整数解ならどちらでもOKです
凄すぎる。ユーグリットの互除法なんて使う必要ないじゃん
13x+5y＝1の時のやり方を教えてください！
2年前ですが一応答えときますw
mod5のもとで
13x≡1(mod5) 13÷5=2...3なので、
3x≡1(mod5) 右辺に5をたして、
3x≡6(mod5)両辺を3で割り、(3と5は互いに素)
x≡2(mod5)となり、
x=2、y=-5と求められます。
整数しか考えないから割り算して分数にするの禁止で、代わりにかけ算してあまり取るのはオッケーというルールをいつもイメージして、余りをとって１にできるかをこの手の問題に対するひとつの戦法としてますね。
もっとはやく見つければよかった〜〜
89x+70y=3 の式だとどうしてもできないんですが…
答えはx=-11、y=14 です
合同式 割る 互いに素（メモ）
別に終始何言ってるか分かんないんだけど見てしまう
笑えるほど便利で終始笑ってた。
ユーグリッドの互除法を使ってたのが効率悪い気がしてきた
本来合同式は高校で習わない応用のものだったからね、、、
整数問題で合同式強すぎる笑笑
互除法で良いんですよ。時間がかかるっちゃかかるけど、たいしてかかるわけでもないし。modは落とし穴が存外ある。
大学の先生が合同式ですぐ解ける問題なんて避けるからね。
それより原理に基づいて互除法を使う方が未来があるぞ。
ユーグリットの互除法は
a=bx+cのaとbのGCNがbとcのGCNが等しいことが大本になってるから
ユーグリットを使う問題は大抵が
互いに素な数が用いられて右辺が1のパターンが多い。つまり原理に基づいたら一つの解は絶対出てくるわけだから
おしゃれに解く必要はない
@@ドルブ-j3o動画の趣旨はオシャレに解くことではなく時短を目的にしてるんだから別にいいだろ
@@0320-h3g
まぁ、共通テストで時間が足りない人にはいいでしょうね。
そもそも、共通テストで時間が足りない人は小技を覚える前にやることがある気がしますが
@@0320-h3g まぁそうひねくれなさんな。
一浪京大生って名前を見て思ったけど京大に限らず、modって条件が決まってるから記述で使うにはグレーなところもあるのよ。
アホな採点管が模試でノリで○しても2次では実際×くらったりね。
この人の動画では難関題志望者も多いからその危惧を示唆するものとして原理に基づくユークリッドの安全性を示してくれてるのにすぎん。
でもまぁmodの危険性を味わった事ないならそう思うのも自然やし、自分の範疇外だったらなんもコメントしない方がいい気がするなぁ
この問題に他の条件が無いのであれば(例えば係数の絶対値が最小とか)
x,yの組は無数にあるので
(1) x = 4n + 3, y = -11n - 8
(2) x = 48n + 33, y = -35n - 24
(3) x = 1001n + 902, y = -101n - 91
[ただしnは整数]
としないと部分点しか貰えないんじゃないかなと思う今日この頃
よくわからんけど合同式の時点でそれを満たす全ての整数表しとんじゃないかな？
この方法は特殊解を見つけるだけであって、そこからは普通に解くんじゃないかな？
やり方知らんかった時xとＹの係数差をどんどん倍にして感覚でなんやかんやしてたわ。
わかる人いるかな
なぜ教科書にはユークリッドしか載ってないんだろう。
これ連立でも使えますか？