Professor, como você faria essa questão? Pergunta: o operador linear T : R 4 → R 4 definido por T(x, y, z, t) = (3x − 4z, 3y + 5z, −z, −t) ́e diagonaliz ́avel? Considere nesse exerc ́ıcio a base canˆonica de R 4. Use o teorema que relaciona a diagonaliza ̧c ̃ao de um operador com o polinˆomio minimal. Eu tentei fazer e travei kkkkk.
Professor, me tira essa dúvida. Na demonstração do exercício, em determinado momento, o senhor usou o argumento que o vetor genérico w1 era um autovetor associado a λ1. Mais precisamente no minuto 23:14 Como você poderia afirmar isso se nem todos os elementos do subespaço vetorial W1 são autovetores, uma vez que W1 é um subespaço, ele vai conter necessariamente o vetor nulo do espaço. E o vetor nulo não é um autovetor, pela definição de autovalor.
O vetor nulo é o único elemento de W1 que não é um autovetor associado à λ1. Aos 23:14, eu deveria ter frisado isso e ter feito a argumentação dividindo em dois casos: 1) caso w1 não fosse o vetor nulo (foi o que fiz na videoaula); 2) caso w1 fosse o vetor nulo. Para a argumentação 2), poderíamos perceber que w2 não seria o vetor nulo (pois se w1 e w2 fossem o vetor nulo, teríamos que v também seria o vetor nulo, mas isso não pode ocorrer já que supomos v não nulo aos 14:50). Isso tirou a sua dúvida? Comente aqui!
Professor uma funçao que associa o dominio ao contradominio é a mesma coisa que a lei de formação, aquela formulazinha matematica? ou tem difrença entre as duas coisas?
TODA função vai "associar o domínio ao contradomínio". A "lei de formação" (ou a "fórmula matemática") é a expressão que diz para gente EXATAMENTE COMO "associar o domínio ao contradomínio". Por exemplo, vamos considerar uma função f : A → B. Essa função f vai associar o domínio A ao contradomínio B. Suponha que essa função seja dada por f(x) = 2x + 1. A expressão 2x + 1 (ou essa "fórmula matemática") é o que nos diz EXATAMENTE como vamos associar um elemento x no domínio A com um elemento f(x) no contradomínio B. Ficou mais claro agora? Comente aqui! Obs.: no curso de Pré-cálculo eu abordei esse conteúdo. Veja a videoaula 42 desse curso. O link das aulas é este: th-cam.com/play/PLa_2246N48_rIbheR_al4oqeFCP8dHoQR.html
Note que NÃO falamos em "subespaço vetorial DOS autovetores". Nós falamos em "subespaço vetorial ASSOCIADO ao autovalor". É importante perceber essa diferença! Pegando o conjunto A formado por TODOS os autovetores para um determinado autovalor λ, esse conjunto A é tal que NÃO FORMARÁ um subespaço vetorial, pois como você notou o vetor nulo NÃO estaria nesse conjunto (pela própria definição de autovetor). Entretanto, se a gente pegar esse conjunto A e unir com o conjunto {0} (isto é, o conjunto unitário formado apenas pelo vetor nulo), nós teremos W = A∪{0}. Esse conjunto W é tal que FORMARÁ um subespaço vetorial. Conforme visto aos 4:00 da videoaula, podemos definir W como: W = {v ∈ V | T(v) = λv} Note que quando v for não nulo, esse v vai cair na definição de autovetor para o autovalor λ. Por outro lado, vamos analisar o que acontece quando v for nulo. Primeiro, vamos lembrar que TODA transformação linear é tal que T(0) = 0 (isto é, TODA transformação linear T leva o vetor nulo do domínio no vetor nulo do contradomínio). Além disso, vamos lembrar que λ0 = 0, para todo escalar λ. Usando essas duas informações, temos que: T(0) = 0 = λ0. Isso significa que T(0) = λ0 e portanto o vetor 0 atende a definição de W. Note como a definição de W é bem conveniente! Ela cria para a gente aquela união A∪{0} que comentamos acima. Ficou mais claro agora? Comente aqui!
@@LCMAquino Ficou sim professor, muito mais claro, muito obrigado mesmo. Meu professor já tinha me dado uma explicação mas não tinha feito o menor sentido, tu é demais, continue com esses vídeos de qualidade e essa sua didática ótima que você fará uma grande diferença na educação desse país.
Valorizo o profissional que você é e por compartilhar o seu talento conosco.
Valeu, professor! Você é show! Obrigado pelas playlists de qualidade.
Ótimo vídeo
Que bom que gostou!
Professor, como você faria essa questão?
Pergunta: o operador linear T : R
4 → R
4 definido por T(x, y, z, t) =
(3x − 4z, 3y + 5z, −z, −t) ́e diagonaliz ́avel? Considere nesse exerc ́ıcio a base canˆonica de R
4.
Use o teorema que relaciona a diagonaliza ̧c ̃ao de um operador com o polinˆomio minimal.
Eu tentei fazer e travei kkkkk.
Até que parte você conseguiu fazer? Você já conseguiu determinar o polinômio minimal?
Professor, me tira essa dúvida.
Na demonstração do exercício, em determinado momento, o senhor usou o argumento que o vetor genérico w1 era um autovetor associado a λ1. Mais precisamente no minuto 23:14
Como você poderia afirmar isso se nem todos os elementos do subespaço vetorial W1 são autovetores, uma vez que W1 é um subespaço, ele vai conter necessariamente o vetor nulo do espaço. E o vetor nulo não é um autovetor, pela definição de autovalor.
O vetor nulo é o único elemento de W1 que não é um autovetor associado à λ1. Aos 23:14, eu deveria ter frisado isso e ter feito a argumentação dividindo em dois casos: 1) caso w1 não fosse o vetor nulo (foi o que fiz na videoaula); 2) caso w1 fosse o vetor nulo. Para a argumentação 2), poderíamos perceber que w2 não seria o vetor nulo (pois se w1 e w2 fossem o vetor nulo, teríamos que v também seria o vetor nulo, mas isso não pode ocorrer já que supomos v não nulo aos 14:50).
Isso tirou a sua dúvida? Comente aqui!
Professor uma funçao que associa o dominio ao contradominio é a mesma coisa que a lei de formação, aquela formulazinha matematica? ou tem difrença entre as duas coisas?
TODA função vai "associar o domínio ao contradomínio". A "lei de formação" (ou a "fórmula matemática") é a expressão que diz para gente EXATAMENTE COMO "associar o domínio ao contradomínio".
Por exemplo, vamos considerar uma função f : A → B. Essa função f vai associar o domínio A ao contradomínio B. Suponha que essa função seja dada por f(x) = 2x + 1. A expressão 2x + 1 (ou essa "fórmula matemática") é o que nos diz EXATAMENTE como vamos associar um elemento x no domínio A com um elemento f(x) no contradomínio B.
Ficou mais claro agora? Comente aqui!
Obs.: no curso de Pré-cálculo eu abordei esse conteúdo. Veja a videoaula 42 desse curso. O link das aulas é este: th-cam.com/play/PLa_2246N48_rIbheR_al4oqeFCP8dHoQR.html
@@LCMAquino Muito obrigado professor!
Professor não entendi porque o vetor nulo consta no subespaço dos autovetores associados ao autovalor lambda se ele não é um autovetor.
Note que NÃO falamos em "subespaço vetorial DOS autovetores". Nós falamos em "subespaço vetorial ASSOCIADO ao autovalor". É importante perceber essa diferença!
Pegando o conjunto A formado por TODOS os autovetores para um determinado autovalor λ, esse conjunto A é tal que NÃO FORMARÁ um subespaço vetorial, pois como você notou o vetor nulo NÃO estaria nesse conjunto (pela própria definição de autovetor). Entretanto, se a gente pegar esse conjunto A e unir com o conjunto {0} (isto é, o conjunto unitário formado apenas pelo vetor nulo), nós teremos W = A∪{0}. Esse conjunto W é tal que FORMARÁ um subespaço vetorial.
Conforme visto aos 4:00 da videoaula, podemos definir W como:
W = {v ∈ V | T(v) = λv}
Note que quando v for não nulo, esse v vai cair na definição de autovetor para o autovalor λ. Por outro lado, vamos analisar o que acontece quando v for nulo.
Primeiro, vamos lembrar que TODA transformação linear é tal que T(0) = 0 (isto é, TODA transformação linear T leva o vetor nulo do domínio no vetor nulo do contradomínio). Além disso, vamos lembrar que λ0 = 0, para todo escalar λ. Usando essas duas informações, temos que: T(0) = 0 = λ0. Isso significa que T(0) = λ0 e portanto o vetor 0 atende a definição de W.
Note como a definição de W é bem conveniente! Ela cria para a gente aquela união A∪{0} que comentamos acima.
Ficou mais claro agora? Comente aqui!
@@LCMAquino Ficou sim professor, muito mais claro, muito obrigado mesmo. Meu professor já tinha me dado uma explicação mas não tinha feito o menor sentido, tu é demais, continue com esses vídeos de qualidade e essa sua didática ótima que você fará uma grande diferença na educação desse país.