Здравствуйте! Видео как всегда на высшем уровне. Но можно было решить гораздо проще. По определению, тор - это поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси. Так почему бы не развернуть его в цилиндр? Площадь будет pi*r^2, а высота R внешний - R внутренний= 2pi r0. И объем тогда будет 2pi^2r^2r0. Все сошлось :)
уже писали это в комментарии, и я там отвечал :) у вас получается: как бы мы ни изгибали цилиндр - объем всегда будет один и тот же? :) И видео не о том, как просто найти объем тора, а как можно это сделать для любого тела вращения (а тор просто в качестве примера)
@@Hmath тор - не "как попало изгибаем цилиндр", и "изгибаем всегда на одинаковую кривизну". А значит можно порезать на дольки ортогонально оси цилиндра, а дольки потом через одну повернуть на 180, компенсируя избытки-недостатки
А почему вы не сказали, что есть общая формула объёма для тел вращения: V = 2*п*r * S, где r - радиус вращения (расстояние от оси вращения до центра тяжести вращаемой фигуры) S - площадь вращаемой фигуры. Для тора: V = 2*п*r * (п*а²) = 2*п² * a² * r. Кольцо с квадратным сечением: V = 2*п*r * a². Конус - вращаем прямоугольный треугольник с основанием R и высотой H: V = 2*п*r * (½*R*H), где r = ⅓*R V = ⅓*п*R² * H. Просто нужно знать или вычислить положение центра тяжести вращаемой фигуры.
Добрый день! Не знал, что на русскоязычном сегменте есть такой контент (обычно смотрю англоговорящих блогеров). Спасибо за контент. Думаю, вам стоит создать паблик ВК, чтобы иметь связь с аудиторией и увеличивать ее. Если решите его сделать, пришлите ссылку -- я вступлю:)
рад, что понравилось! :) группа в контактиках была, но толку от нее никакого совсем, за год со стартовых 100 человек осталось 98. Куча усилий в пустоту - еще хуже, чем на ютьюбчике :)
Я тоже смотрю обычно на английском: на русском по математике либо егэшечки, либо пустое словоблудие с летающими фракталами (в лучшем случае), либо 3 часовые лекции в каком-нибудь вузе, снятые в темноте, дрожащими руками.
@@alx1984 Да, к сожалению у нас такого материала пока нет. Единственное -- Wild Mathing довольно близко подошел к похожему стилю изложения, к тому же его видео сделаны при помощи Manim (скорее всего) -- того самого, которым Грант с 3b1b делает свои знаменитые ролики.
А можно просто сказать, что мы по всей длине окружности радиусом r, т. е. 2πr, описываем окружности радиусом a, тогда площадь одной такой окружности будет равен πа², тогда: 2πr*πa²=2π²ra²
Для практики лучше запомнить что объём равен 1,2337dA^2 (d и A - диаметры отверстия и тора) с точностью 0,47ppm, что для практики более чем достаточно.
интерграл - хорошо, но можно проделать нестрого, на интуиции, как в древности Пифагор считал площадь круга, разбивая его на треугольники, а те складывая в полоски и получая в пределе прямоугольник со сторонами R и Пи*R. Так и тут: режем тор мелко-мелко плоскостями, проходящими через главную ось, каждая долька - почти цилиндрик радиусом r, только основания чуть-чуть непараллельны, причем чем мельче режем - тем меньше непараллельность. А теперь каждый второй цилиндрик поворачиваем вокруг его оси на 180, так, чтобы его толстый край лег на тонкие края соседей, получаем в сумме чуть-чуть извилистый цилиндр с сечением Пи*r^2 и высотой 2*Пи*R. Для запоминания и понимания вполне достаточно.
Есть третий вариант - взять сечение тора - окружность , и взять угол df при вращение вокруг оси y, тогда объем цилиндра, срезанного под углами будет a^2 pi df r , ( можно нарисовать и увидеть, что срезаемые под углом части цилиндра, которые стоят дальше от центра тора можно переложить на части ближе и получиться цилиндр с ровными срезами) тогда df интегрируется и переходит в 2 pi и конечная формула 2 pi^2 a^2 r
Для практики лучше запомнить что объём равен 1,2337dA^2 (d и A - диаметры отверстия и тора) с точностью 0,47ppm, что для практики более чем достаточно.
Круто. А если взять окружность, повернуть её в сферических координатах на угол df, вычислить элементарный объём непонятно как называемой фигуры, а потом просто проинтегрировать от 0 до 2pi? Тут, как я понимаю, сложность будет вычислить объём фигуры, получающейся из поворота окружности на малый угол?
первое, что сразу же пришло в голову: объём тора - это количество площадей круга, которое поместится в этом торе. Отсюда же сразу следует: площадь круга нужно взять L-раз, где L - это длина тора, т.е. необходимо найти длину окружности. Умножаем длину окружности 2*pi*R на площадь круга pi*r^2 и получаем объем тора: 2 * pi^2 * R * r^2. Т.е. суть рассуждений можно сравнить с объемом, например, цилиндра: сколько площадей окружности поместится в фигуре, если её высота h: h * pi * r^2 = V
А у меня возникло другое ви́дение решения. Рассекаем эту кольцевидную колбасу на микродольки, складываем на 180°. Получается цилиндр со средним числом между внутренней и внешней окружностью, площадь на высоту и voilá! Что скажете, где "косяк" и велика ли погрешность?
о, это я в уме могу)) площадь сечения по формуле pi*R², умножить на сумму L окружностей пончика и дырки в пончике, и всё делим на 2, верно?😁 UPD: я шёл третьим путём) представил, что тор - это завёрнутая колбаска, которую нужно нарезать круглешками к столу) эти кусочки колбаски похожы на приплюснутый цилиндр, но у которого с одной стороны высота больше, чем с другой) но я могу каждый второй кусочек развернуть на 180 градусов и всё это выложить в башню, получив при этом цилиндр) высота этого цилиндра будет равна площади основания умноженной на среднее арифметическое суммы длин внешней и внутренней окружностей) например, радиус внутренней был 3, радиус внешней 5, тогда объём будет pi(5-3)²*(2pi3+2pi5)/2=2pi²*4*4=32pi²
Выходит, если довольно длинный цилиндр радиусом _а_ и высотой _h_ свернуть в кольцо и торцы склеить, то объём получившегося тора будет равен объёму исходного цилиндра? В самом деле, *V_цилиндра=πг²h,* но, свернув цилиндр в кольцо, высота цилиндра _h_ превращается в _2πг_ тора. Отсюда объём тора *V_тора=2π²ra².*
именно так! Представьте, что у вас тор был мелко-мелко порезан как колбаса на кружочки, а теперь возьмем и повернем каждый второй кружочек на 180, так что на место толстого края ляжет тонкий. Получится цилиндр того же объема (естественно, в пределе)
@@MichailLLevin Очень доходчиво, когда про колбасу! Я тоже мысленно сворачивал цилиндр в тор, но разворачивать кусочки на 180° не догадался. А как это красиво! *Спасибо!*
Осмелюсь сказать свое мнение, что способы не имеют существенной разницы между собой. Или я что-то не уловил... Что в 1-ом, что во 2-ом суммируем объем цилиндра с удаленным внутри него также цилиндром.
Скажите пожалуйста а объёмы и поверхности многомерных сфер, гиперсфер считать через двойной интеграл вида корень ( р2-х2-у2-итд) dxdy Или там надо только через якобиан. И откуда там Г функция возникает. Запилите пол это ролик
да, это же как пример, по такому же принципу можно с любой другой функцией (главное, чтобы функция интегрируемой была :) сделаю еще когда-нибудь другие примеры.
@@Hmath у меня был способ сложнее. Я думал это представить в виде тела вращения. Берём круг, поворачиваем его на очень маленький градус, потом вычисляем площадь поверхности этого бесконечно малого поворота. И так далее, потом суммируем. Как круг поворачиваем, но только по окружности, а не вокруг своей оси. Ваши способы гораздо проще моего)
это ж не мои способы, люди же веками разрабатывают разные методы. Так что каждый раз прежде, чем изобретать какое-нибудь колесо, нужно проверить, может быть его уже кто-нибудь изобрел лучше :)
Круто! Анимации все лучше и интуитивнее, так держать. Скажите, пожалуйста, почему же там пи в квадрате? Как это объяснить кроме как "на одну дырку больше - вот еще одно пи"? И как это коррелирует со степенями пи в формулах объемов n-мерных сфер? Спасибо
Я не знаю другого объяснения, чем: "так получается из вычислений". Ну или можно сказать, что тор "со всех сторон круглый" - такое вот интуитивное объяснение :) Может кто-нибудь придумает лучше. Так же и с n-мерными шарами: почему для 2 и 3х измерений - пи в первой степени, а для 4 и 5 - во 2ой и т.д? В моем варианте объяснения: "так получается из вычислений" :)
@@airatvaliullin8420 в шаре, цилиндре и конусе одна окружность, поэтому там pi в первой степени. А тор - это по сути декартово произведение двух окружностей -- в центре одной находится "дырка", а другая непосредственно представляет из себя "толщу" тора.
Думаю, наиболее просто это можно объяснить тем, что разрезая тор как тортик, на кусочки, вращениями этих кусочков тор переходит в цилиндр и одно пи идëт из площади основания, а второе из длины цилиндра, равной длине окружности
А как это можно объяснить исходя из теории информации? Как одни формулы переходят в другие? Например точка в линию, линия в круг, круг в цилиндр или сферу и всё это замыкается на себя в том? А если дальше продолжить, вращать тор вокруг некоторой удалённой точки? Что получится?
а это как раз по сути и есть "2ой способ" в этом видео :) просто я в терминах этой теоремы не стал здесь рассказывать. Есть идея когда-нибудь позже сделать более интересные примеры и там про эту теорему упомянуть.
Когда на второй минуте автор спросил про степень π, первое, что пришло в голову: (почему то подумалось, что объём будем искать, разрезав и выпрямив "колбаску") площадь " колбаски" в разрезе содержит π в степени один. Длину " колбаски" получаем из кольца, где π тоже в первой степени. Итог-π - должно быть "в квадрате"... Но решение полилось по " другому руслу".... А что, нельзя объём тора получить, если превратить его в цилиндр?? Площадь основания= π(а^2) Высота цилиндра=2πr Объём цилиндра=2π^2×r×а^2 Или что-то не так???
@@Hmath Потому и спрашиваю "чего здесь "не так"? Я на бумаге, (в смысле- на чертеже) разрезал колбаску, выпрямил.... " Разрезал"мысленно вдоль. Получилась трапеция. Ну и что? Площадь трапеции мы ведь ищем по средней линии... А средняя линия здесь=r. Если я неправ, то где????
я же не говорю, что у вас там неправильный ответ где-то получится. я из этого описания даже не очень представляю, что там куда разрезается и выпрямляется. Я слово "выпрямление" представляю, как "искажение" исходного тела. Почему вы уверены, что при таком "искажении" не меняется исходный объем?
@@Hmath Ну представьте себе колечко "краковской колбасы". (кончики, которые завязанные, обрезаем и замыкаем её, т.е. превращает в ТОР. Кто нам мешает эту колбаску сначала разрезать, потом выпрямить, т.е. превратить в цилиндр. Объем её поменялся? Нет. Цилиндр получился, конечно, не совсем красивый. Не геометрический. Ну и что? Основание и направляющая не перпендикулярны. Сверху и снизу- одинаково, симметрично не перпендикулярны. Потому, что внутренний диаметр колбаски(когда она была ещё в виде тора) и внешний не равны. Один. r-a. другой. r+a Отрезаем снизу ровненько так кусок колбаски и переносим его вверх. Ориентируем.... Все! Получился идеально- геометрический цилиндр. Основание- πа^2 Высота- 2πr... Как то так....
я же не запрещаю вам разрезать "колбаски". В первом же сообщение написал: "можно". Кроме того, вы бы почитали комментарии здесь, уже кучу раз тут "колбаски" обсуждали :)
Здравствуйте, правильно ли я понимаю что горизонтальный интеграл это что-то рядом с интегралом Лебега? И я заметил что обьем тора будто равен произведению площади одной окркжности на длину второй (2*pi*h)*(pi*r^2), возможна ли такая интерпретация, Будто это вытянутый цилиндр с длинной h?
Я почитал комментарии, оказывается эта аналогия с цилиндром действительно верна, но насчёт горизонтального интеграла никто ничего не писал. Я заострил на этом внимание, тк это не стандартная интерпретация для интеграла. А вот например интегралом лабега легко интегрировать кусочно-заданные функции именно горизонтальной разбивкой
нет, это точно такой же интеграл Римана, как и "вертикальный", просто другая переменная интегрирования. От того, что переменную обозначили буквой y, а не буквой х - ничего не поменялось.
По классической формуле для вычисления объёма тела вращения (лаконичной) примерно такие же вычислительные трудозатраты (сечение только расположено на оси OY): c.radikal.ru/c13/2011/50/dd134edd18fe.jpg
А объём не полного тора, слабо? ))) Это когда сечение пересекает само себя или задевает. В вырожденном случае такой тор превращается в шар. Я как-то находил такой объём. Для механики надо было. По-хорошему там две формулы для объёма тора - первая классическая и вторая для неполного тора
Зачем всё так сложно? Площадь круга pi×a^2. Длина окружности с радиусом r = 2×pi×r. Площадь круга умножаем на длину тора и получаем то же самое. 2×pi^2×a^2×r
@@Hmathну короче Вы обиделись, что показали долгий способ, а зачем именно его/их - объяснить не можете. Речь про поверхности вращения? Общий способ - найти площадь сечения и умножить на длину окружности, получающейся при вращении. Можете привести пример, где этот метод не будет работать?
в первую минуту говорится: "показать на простом примере, как находить объем тела вращения." Вы сейчас говорите: "общий способ...." - откуда вы его взяли? просто так решили и все? и я должен его опровергать? :) а почему я должен его опровергать, а не вы доказывать, что он работает? Кроме того, что за "длина окружности"? длина какой окружности? их можно бесконечно много нарисовать и у них у всех будет разная длина. Да тут уже куча раз это все ниже в комментариях писали, можете не утруждаться повторять. Я же не спорю с тем, что какой-то метод работает. вы же не с этого начали. Вы написали: "зачем так сложно"? Чтобы было еще менее сложно, можно просто нагуглить формулу готовую для тора и всё - ничего не нужно будет находить.
@@Hmath ну Вы же тоже как-то пришли к тому, что нужно окружность вращать вокруг оси Оy ) аналогично в каждом случае становится понятно, какая именно окружность вращения нужна)
так какая нужна окружность? можно нагуглить и узнать, что та, которая через центр масс сечения проходит. Но почему именно так? Вы же просто фактически взяли уже полученную формулу и говорите: смотрите можно просто подставить в нее числа :) очевидно, что так проще, когда это уже получено кем-то и доказано, что работает.
Нельзя так просто разрезать Тор и превратить его в цилиндр. Это тоже самое, что и цилиндр превратить в прямоугольный параллелепипед. Длина поверхности на внутренней части отличается от таковой на внешней. Если ты так преобразовываешь фигуры, то нужно доказать, что они получатся эквивалентного объема.
тогда мб можно взять длинну оси образованной движением центра окружности во время формирования тора типо 2*3,14...*(r+a) и уже использовать её. *хотя хз, правильно ли я сейчпс думаю, пишу это в 6 утра и ночь не спал
кста, если развернуть тор то выйдет что-то на подобие стопки дисковидных клиньев их можно "дополнить" такой же "стопкой" и тогда выйдет цилиндр как в изначальном комментарии, но объем тора будет в 2 раза меньше
@@hilight3rдлины внутренней поверхности и внешней поверхности нивелируются, превращаясь в среднюю поверхность, которая соответствует поверхности цилиндра. И это не то же самое. В результате вращения прямоугольного параллелепипеда мы получим цилиндр, а в результате вращения цилиндра мы не получим тор.
Спосіб N3: Перемножити площу поперечного перерізу тора, тобто кола радіусом "а" на довжину дуги тора радіусом "r". Звідси і константа Пі буде піднесена до другої степені. __________________ Спосіб звісно хлопський, але він має під собою логічне підгрунтя, оскільки диференціал об'єму буде ідентичний диференціалу об'єму циліндра висотою "2Пі*r"
@@Hmath ведущий один на ютубе. Его шутки, скажем так, не всем понятны. Но не переживайте, у умных людей своеобразное чувство юмора. Я это связываю с тем, что вам просто некогда заниматься ерундой. Еще раз спасибо за ваши труды по образованию таких неучей как я.
Как всегда на высшем уровне 👍
Как сказал тинькофф - я уважаю что вы делаете
Большое спасибо за понятное и подробное объяснение.
Не понимаю, почему у этого шедевра так мало просмотров!
спасибо за отзыв! Вы, я думаю, знаете, что в ютьюбе так происходит постоянно ;)
@@Hmath Знаю, конечно) У меня у самого канал по математике, и почти все мои видео до сих пор остаются без внимания
я смотрел ваш видосик, где вы про это рассказывали ;) во многом согласен.
Мало просмотров - потому что рассчитано на узкий круг понимающих. И, даже просмотрев его до конца, все равно не понял.
@@dima_mathха ха ха, а вы думали вы поразите людей своим гением??😂😂😂 да вам лечится надо. От мании величия.
Офигенный пример - само определение интеграла (предел интегр сумм при стрнмлении диаметра разбиения к 0)
Третий способ - как в видео про площадь и объём фигуры от пересечения цилиндров.
В начале видео подумал, что именно так будет решаться
Здравствуйте! Видео как всегда на высшем уровне. Но можно было решить гораздо проще. По определению, тор - это поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси. Так почему бы не развернуть его в цилиндр? Площадь будет pi*r^2, а высота R внешний - R внутренний= 2pi r0. И объем тогда будет 2pi^2r^2r0. Все сошлось :)
уже писали это в комментарии, и я там отвечал :) у вас получается: как бы мы ни изгибали цилиндр - объем всегда будет один и тот же? :)
И видео не о том, как просто найти объем тора, а как можно это сделать для любого тела вращения (а тор просто в качестве примера)
@@Hmath тор - не "как попало изгибаем цилиндр", и "изгибаем всегда на одинаковую кривизну". А значит можно порезать на дольки ортогонально оси цилиндра, а дольки потом через одну повернуть на 180, компенсируя избытки-недостатки
А почему вы не сказали, что есть общая формула объёма для тел вращения:
V = 2*п*r * S, где
r - радиус вращения (расстояние от оси вращения до центра тяжести вращаемой фигуры)
S - площадь вращаемой фигуры.
Для тора: V = 2*п*r * (п*а²) = 2*п² * a² * r.
Кольцо с квадратным сечением:
V = 2*п*r * a².
Конус - вращаем прямоугольный треугольник с основанием R и высотой H:
V = 2*п*r * (½*R*H), где r = ⅓*R
V = ⅓*п*R² * H.
Просто нужно знать или вычислить положение центра тяжести вращаемой фигуры.
Это уже можно вывести из данных рассуждений. Тут общий подход показан
все понятно и доступно
Спасибо большое, вы просто супер
Добрый день! Не знал, что на русскоязычном сегменте есть такой контент (обычно смотрю англоговорящих блогеров). Спасибо за контент. Думаю, вам стоит создать паблик ВК, чтобы иметь связь с аудиторией и увеличивать ее. Если решите его сделать, пришлите ссылку -- я вступлю:)
рад, что понравилось! :) группа в контактиках была, но толку от нее никакого совсем, за год со стартовых 100 человек осталось 98. Куча усилий в пустоту - еще хуже, чем на ютьюбчике :)
@@Hmath Там аудитория сможет с вами больше общаться) Для того, чтобы развиваться дальше, все равно придется делать
Я тоже смотрю обычно на английском: на русском по математике либо егэшечки, либо пустое словоблудие с летающими фракталами (в лучшем случае), либо 3 часовые лекции в каком-нибудь вузе, снятые в темноте, дрожащими руками.
хаха, а я как раз думал сделать что-нибудь с "летающими фракталами" :)
@@alx1984 Да, к сожалению у нас такого материала пока нет. Единственное -- Wild Mathing довольно близко подошел к похожему стилю изложения, к тому же его видео сделаны при помощи Manim (скорее всего) -- того самого, которым Грант с 3b1b делает свои знаменитые ролики.
А можно просто сказать, что мы по всей длине окружности радиусом r, т. е. 2πr, описываем окружности радиусом a, тогда площадь одной такой окружности будет равен πа², тогда:
2πr*πa²=2π²ra²
Для практики лучше запомнить что объём равен 1,2337dA^2 (d и A - диаметры отверстия и тора) с точностью 0,47ppm, что для практики более чем достаточно.
@@floks700 да что вы говорите?! на самом деле не 1,2337, а 1,2337704187263623...
@@Sergey-Primak да то и говорю, что ты не понимаешь🤣 практическая точность 0,47ппм тебе о чём то говорит? Похоже как первый раз слышишь.
Очень круто!!!!!!!!!!!
Площадь поворачиваемой фигуры умножить на длину траектории)))
интерграл - хорошо, но можно проделать нестрого, на интуиции, как в древности Пифагор считал площадь круга, разбивая его на треугольники, а те складывая в полоски и получая в пределе прямоугольник со сторонами R и Пи*R.
Так и тут: режем тор мелко-мелко плоскостями, проходящими через главную ось, каждая долька - почти цилиндрик радиусом r, только основания чуть-чуть непараллельны, причем чем мельче режем - тем меньше непараллельность. А теперь каждый второй цилиндрик поворачиваем вокруг его оси на 180, так, чтобы его толстый край лег на тонкие края соседей, получаем в сумме чуть-чуть извилистый цилиндр с сечением Пи*r^2 и высотой 2*Пи*R.
Для запоминания и понимания вполне достаточно.
ох уж эти древне-античные определения интеграла :)
Спасибо вам! 😊
Спасибо большое
Есть третий вариант - взять сечение тора - окружность , и взять угол df при вращение вокруг оси y, тогда объем цилиндра, срезанного под углами будет a^2 pi df r , ( можно нарисовать и увидеть, что срезаемые под углом части цилиндра, которые стоят дальше от центра тора можно переложить на части ближе и получиться цилиндр с ровными срезами) тогда df интегрируется и переходит в 2 pi и конечная формула 2 pi^2 a^2 r
Для практики лучше запомнить что объём равен 1,2337dA^2 (d и A - диаметры отверстия и тора) с точностью 0,47ppm, что для практики более чем достаточно.
Круто. А если взять окружность, повернуть её в сферических координатах на угол df, вычислить элементарный объём непонятно как называемой фигуры, а потом просто проинтегрировать от 0 до 2pi? Тут, как я понимаю, сложность будет вычислить объём фигуры, получающейся из поворота окружности на малый угол?
первое, что сразу же пришло в голову: объём тора - это количество площадей круга, которое поместится в этом торе. Отсюда же сразу следует: площадь круга нужно взять L-раз, где L - это длина тора, т.е. необходимо найти длину окружности. Умножаем длину окружности 2*pi*R на площадь круга pi*r^2 и получаем объем тора: 2 * pi^2 * R * r^2.
Т.е. суть рассуждений можно сравнить с объемом, например, цилиндра: сколько площадей окружности поместится в фигуре, если её высота h: h * pi * r^2 = V
Нет!
интересно, а есть лии способ развернуть тор в скошенный цилиндр и найти его обьем?
А что если тело гомеморфное тору с n-м количестыом дырок, будет имметь в своей формуле π в (n+1)-й степени🤔
По теореме 1 и 2 Гульдена и поверхность и объем ещё можно)
А у меня возникло другое ви́дение решения. Рассекаем эту кольцевидную колбасу на микродольки, складываем на 180°. Получается цилиндр со средним числом между внутренней и внешней окружностью, площадь на высоту и voilá! Что скажете, где "косяк" и велика ли погрешность?
А (а) - это центр плоскости и длина окружности по центру?
К чему все это, если найти объем тора довольно просто если следовать тем же способом, каким Архимед находил площадь круга?
о, это я в уме могу)) площадь сечения по формуле pi*R², умножить на сумму L окружностей пончика и дырки в пончике, и всё делим на 2, верно?😁
UPD: я шёл третьим путём) представил, что тор - это завёрнутая колбаска, которую нужно нарезать круглешками к столу) эти кусочки колбаски похожы на приплюснутый цилиндр, но у которого с одной стороны высота больше, чем с другой) но я могу каждый второй кусочек развернуть на 180 градусов и всё это выложить в башню, получив при этом цилиндр) высота этого цилиндра будет равна площади основания умноженной на среднее арифметическое суммы длин внешней и внутренней окружностей) например, радиус внутренней был 3, радиус внешней 5, тогда объём будет pi(5-3)²*(2pi3+2pi5)/2=2pi²*4*4=32pi²
Еще есть вариант. Взять площадь круга, и на отдалении "а", от оси вращения, провоащать его
Выходит, если довольно длинный цилиндр радиусом _а_ и высотой _h_ свернуть в кольцо и торцы склеить, то объём получившегося тора будет равен объёму исходного цилиндра? В самом деле, *V_цилиндра=πг²h,* но, свернув цилиндр в кольцо, высота цилиндра _h_ превращается в _2πг_ тора. Отсюда объём тора *V_тора=2π²ra².*
именно так! Представьте, что у вас тор был мелко-мелко порезан как колбаса на кружочки, а теперь возьмем и повернем каждый второй кружочек на 180, так что на место толстого края ляжет тонкий. Получится цилиндр того же объема (естественно, в пределе)
@@MichailLLevin Очень доходчиво, когда про колбасу! Я тоже мысленно сворачивал цилиндр в тор, но разворачивать кусочки на 180° не догадался. А как это красиво! *Спасибо!*
Балдеж
Осмелюсь сказать свое мнение, что способы не имеют существенной разницы между собой. Или я что-то не уловил... Что в 1-ом, что во 2-ом суммируем объем цилиндра с удаленным внутри него также цилиндром.
Так и есть, разные пределы интегрирования.
Скажите пожалуйста а объёмы и поверхности многомерных сфер, гиперсфер считать через двойной интеграл вида корень ( р2-х2-у2-итд) dxdy
Или там надо только через якобиан. И откуда там Г функция возникает. Запилите пол это ролик
если это n-мерный объем, то и интеграл должен быть тоже n-мерный.
@@Hmath нашёл. Там параметризация n мерного объекта и вычисление интеграла пуассона.
Это интересно, но что если вместо окружности будут другие фигуры? Овал, скажем, или графики других функций? Можно попробовать заняться вычислениями)
да, это же как пример, по такому же принципу можно с любой другой функцией (главное, чтобы функция интегрируемой была :)
сделаю еще когда-нибудь другие примеры.
@@Hmath у вас реально классный канал) Я буду смотреть вас, люди тоже) Желаю вам, чтобы у вас было много подписчиков)
@@Hmath у меня был способ сложнее. Я думал это представить в виде тела вращения. Берём круг, поворачиваем его на очень маленький градус, потом вычисляем площадь поверхности этого бесконечно малого поворота. И так далее, потом суммируем. Как круг поворачиваем, но только по окружности, а не вокруг своей оси. Ваши способы гораздо проще моего)
это ж не мои способы, люди же веками разрабатывают разные методы. Так что каждый раз прежде, чем изобретать какое-нибудь колесо, нужно проверить, может быть его уже кто-нибудь изобрел лучше :)
@@Hmath все равно, спасибо, что распространяете их) Согласен с вами, не нужно изобретать колесо, нужно смотреть)
Круто! Анимации все лучше и интуитивнее, так держать. Скажите, пожалуйста, почему же там пи в квадрате? Как это объяснить кроме как "на одну дырку больше - вот еще одно пи"? И как это коррелирует со степенями пи в формулах объемов n-мерных сфер? Спасибо
Я не знаю другого объяснения, чем: "так получается из вычислений". Ну или можно сказать, что тор "со всех сторон круглый" - такое вот интуитивное объяснение :) Может кто-нибудь придумает лучше. Так же и с n-мерными шарами: почему для 2 и 3х измерений - пи в первой степени, а для 4 и 5 - во 2ой и т.д? В моем варианте объяснения: "так получается из вычислений" :)
@@Hmath как вариант, но должно быть какое-то объяснение....
@@airatvaliullin8420 в шаре, цилиндре и конусе одна окружность, поэтому там pi в первой степени. А тор - это по сути декартово произведение двух окружностей -- в центре одной находится "дырка", а другая непосредственно представляет из себя "толщу" тора.
Думаю, наиболее просто это можно объяснить тем, что разрезая тор как тортик, на кусочки, вращениями этих кусочков тор переходит в цилиндр и одно пи идëт из площади основания, а второе из длины цилиндра, равной длине окружности
А как это можно объяснить исходя из теории информации? Как одни формулы переходят в другие? Например точка в линию, линия в круг, круг в цилиндр или сферу и всё это замыкается на себя в том? А если дальше продолжить, вращать тор вокруг некоторой удалённой точки? Что получится?
А ещё можно было по второй теореме Паппа-Гульдина
а это как раз по сути и есть "2ой способ" в этом видео :) просто я в терминах этой теоремы не стал здесь рассказывать. Есть идея когда-нибудь позже сделать более интересные примеры и там про эту теорему упомянуть.
Когда на второй минуте автор спросил про степень π, первое, что пришло в голову:
(почему то подумалось, что объём будем искать, разрезав и выпрямив "колбаску") площадь " колбаски" в разрезе содержит π в степени один. Длину " колбаски" получаем из кольца, где π тоже в первой степени.
Итог-π - должно быть "в квадрате"...
Но решение полилось по " другому руслу"....
А что, нельзя объём тора получить, если превратить его в цилиндр??
Площадь основания= π(а^2)
Высота цилиндра=2πr
Объём цилиндра=2π^2×r×а^2
Или что-то не так???
можно. только откуда у вас такая уверенность, что всегда, если "выпрямлять колбаску", то объем при этом не изменится? :)
@@Hmath Потому и спрашиваю "чего здесь "не так"?
Я на бумаге, (в смысле- на чертеже) разрезал колбаску, выпрямил....
" Разрезал"мысленно вдоль.
Получилась трапеция.
Ну и что?
Площадь трапеции мы ведь ищем по средней линии...
А средняя линия здесь=r.
Если я неправ, то где????
я же не говорю, что у вас там неправильный ответ где-то получится. я из этого описания даже не очень представляю, что там куда разрезается и выпрямляется. Я слово "выпрямление" представляю, как "искажение" исходного тела. Почему вы уверены, что при таком "искажении" не меняется исходный объем?
@@Hmath Ну представьте себе колечко "краковской колбасы".
(кончики, которые завязанные, обрезаем и замыкаем её, т.е. превращает в ТОР.
Кто нам мешает эту колбаску сначала разрезать, потом выпрямить, т.е. превратить в цилиндр.
Объем её поменялся?
Нет.
Цилиндр получился, конечно, не совсем красивый.
Не геометрический.
Ну и что?
Основание и направляющая не перпендикулярны.
Сверху и снизу- одинаково, симметрично не перпендикулярны.
Потому, что внутренний диаметр колбаски(когда она была ещё в виде тора) и внешний не равны.
Один. r-a. другой. r+a
Отрезаем снизу ровненько так кусок колбаски и переносим его вверх.
Ориентируем....
Все! Получился идеально- геометрический цилиндр.
Основание- πа^2
Высота- 2πr...
Как то так....
я же не запрещаю вам разрезать "колбаски". В первом же сообщение написал: "можно". Кроме того, вы бы почитали комментарии здесь, уже кучу раз тут "колбаски" обсуждали :)
Здравствуйте, правильно ли я понимаю что горизонтальный интеграл это что-то рядом с интегралом Лебега? И я заметил что обьем тора будто равен произведению площади одной окркжности на длину второй (2*pi*h)*(pi*r^2), возможна ли такая интерпретация, Будто это вытянутый цилиндр с длинной h?
Я почитал комментарии, оказывается эта аналогия с цилиндром действительно верна, но насчёт горизонтального интеграла никто ничего не писал. Я заострил на этом внимание, тк это не стандартная интерпретация для интеграла. А вот например интегралом лабега легко интегрировать кусочно-заданные функции именно горизонтальной разбивкой
нет, это точно такой же интеграл Римана, как и "вертикальный", просто другая переменная интегрирования. От того, что переменную обозначили буквой y, а не буквой х - ничего не поменялось.
По классической формуле для вычисления объёма тела вращения (лаконичной) примерно такие же вычислительные трудозатраты (сечение только расположено на оси OY):
c.radikal.ru/c13/2011/50/dd134edd18fe.jpg
ну так это же как раз то, что у меня в "1ом способе", только сразу с формулы для вычисления объема начинается и тор расположен вдоль другой оси :)
Тор -- это скандинавский бог)
Есть ещё один способ, с двойным интегралом.
круто конечно, но кольца луковицы это небольшие сферы а не цилиндры, в принципе, для примера трудно найти что-то лучше
А объём не полного тора, слабо? ))) Это когда сечение пересекает само себя или задевает. В вырожденном случае такой тор превращается в шар. Я как-то находил такой объём. Для механики надо было. По-хорошему там две формулы для объёма тора - первая классическая и вторая для неполного тора
Я так и думал, что π будет в квадрате
Найдем объем пончика.
a=R =>> V=2πr×πR²
Зачем всё так сложно? Площадь круга pi×a^2. Длина окружности с радиусом r = 2×pi×r. Площадь круга умножаем на длину тора и получаем то же самое. 2×pi^2×a^2×r
в первые минуты объясняется зачем. Можно еще другие числа между собой умножать и тоже получать такой же результат.
@@Hmathну короче Вы обиделись, что показали долгий способ, а зачем именно его/их - объяснить не можете. Речь про поверхности вращения? Общий способ - найти площадь сечения и умножить на длину окружности, получающейся при вращении. Можете привести пример, где этот метод не будет работать?
в первую минуту говорится: "показать на простом примере, как находить объем тела вращения."
Вы сейчас говорите: "общий способ...." - откуда вы его взяли? просто так решили и все? и я должен его опровергать? :) а почему я должен его опровергать, а не вы доказывать, что он работает?
Кроме того, что за "длина окружности"? длина какой окружности? их можно бесконечно много нарисовать и у них у всех будет разная длина.
Да тут уже куча раз это все ниже в комментариях писали, можете не утруждаться повторять.
Я же не спорю с тем, что какой-то метод работает. вы же не с этого начали. Вы написали: "зачем так сложно"?
Чтобы было еще менее сложно, можно просто нагуглить формулу готовую для тора и всё - ничего не нужно будет находить.
@@Hmath ну Вы же тоже как-то пришли к тому, что нужно окружность вращать вокруг оси Оy ) аналогично в каждом случае становится понятно, какая именно окружность вращения нужна)
так какая нужна окружность? можно нагуглить и узнать, что та, которая через центр масс сечения проходит. Но почему именно так? Вы же просто фактически взяли уже полученную формулу и говорите: смотрите можно просто подставить в нее числа :) очевидно, что так проще, когда это уже получено кем-то и доказано, что работает.
Задача решается в уме в школе. Разрезаем тор и разворачиваем в цилиндр. Площадь основания = пи-а-квадрат, высота - 2-пи-р. Объем = их произведение.
Здесь глваное подход к решению, а не сам результат.
Нельзя так просто разрезать Тор и превратить его в цилиндр. Это тоже самое, что и цилиндр превратить в прямоугольный параллелепипед. Длина поверхности на внутренней части отличается от таковой на внешней. Если ты так преобразовываешь фигуры, то нужно доказать, что они получатся эквивалентного объема.
тогда мб можно взять длинну оси образованной движением центра окружности во время формирования тора
типо 2*3,14...*(r+a)
и уже использовать её.
*хотя хз, правильно ли я сейчпс думаю, пишу это в 6 утра и ночь не спал
кста, если развернуть тор то выйдет что-то на подобие стопки дисковидных клиньев
их можно "дополнить" такой же "стопкой" и тогда выйдет цилиндр как в изначальном комментарии, но объем тора будет в 2 раза меньше
@@hilight3rдлины внутренней поверхности и внешней поверхности нивелируются, превращаясь в среднюю поверхность, которая соответствует поверхности цилиндра.
И это не то же самое. В результате вращения прямоугольного параллелепипеда мы получим цилиндр, а в результате вращения цилиндра мы не получим тор.
Не дырка, а ОТВЕРСТИЕ!
И кто его отвертел?😂
Спосіб N3: Перемножити площу поперечного перерізу тора, тобто кола радіусом "а" на довжину дуги тора радіусом "r". Звідси і константа Пі буде піднесена до другої степені.
__________________
Спосіб звісно хлопський, але він має під собою логічне підгрунтя, оскільки диференціал об'єму буде ідентичний диференціалу об'єму циліндра висотою "2Пі*r"
Теперь надо найти объем Бутылки Клейна (это вроде тор свернутый в мебиус)
Простіше всього вичислити через подвійний інтнграл.
шутки от Низовцева. Но контент годный
в большинстве видео я крайне серьезен и совсем не шучу :) а что за Низовцев?
@@Hmath ведущий один на ютубе. Его шутки, скажем так, не всем понятны. Но не переживайте, у умных людей своеобразное чувство юмора. Я это связываю с тем, что вам просто некогда заниматься ерундой. Еще раз спасибо за ваши труды по образованию таких неучей как я.