Расположим 4 таких рисунка, поворачивая на 90°, вокруг красного угла. Красные линии по периметру, образуют восьмиугольник, со стороной 5, состоящий из 8 треугольников. Все они равны, по трём сторонам. Полный оборот складывается из 8 искомых углов, 360÷8=45°.
Задача классная, ответ правильный. Но в алгоритме решения задачи отсутствует самое основное - не раскрыта причина присовокупления треугольника к квадрату. "Давайте перенесём…" - не содержит логики само по себе. Тут получается: "давайте выполним действие, которое в итоге приведёт нас к решению". А может давайте отразим квадрат по верхней стороне? И будем копать, перебирать варианты. В данном случае логика в том, чтобы работать вокруг искомого угла и находить совпадающие элементы и значения. Можно заметить, что два известных значения дают третье: 1+4=5. Отсюда уже есть вариант совместить две фигуры (перенести/достроить) - можно разместить треугольник с катетом 4 на левой стороне квадрата. И мы так же заметим, что прямой угол составлен двумя одинаковыми треугольниками, значит искомый равен половине от прямого.
Разворачиваем два треугольника с катетами 1 и 4 относительно вершин, лежащих на сторонах квадрата, так чтобы их катеты совпали с диагональю 5. Получаем параллелограмм, т.к противоположные стороны равны. По свойству параллелограмма противоположные углы равны. Получается что искомый угол - ровно половина от 90гр.
Я решил с помощью соотношения известных сторон треугольника к 90°. В сумме стороны равны 10-ти. 90°:10 = 9° и получаем: ∆ с катетом 1=1*9=9° ∆ с катетом 5=5*9=45° ∆ с катетом 4=4*9=36°
Доказательство из 8 класса: проведем четверть окружности с центром в нижнем левом углу и радиусом, естественно, равным стороне квадрата. Из конца отрезка длиной 1 проведем к ней касательную. Легко видеть, что касательная попадает в конец отрезка 4, например, если попадет чуть ниже и отсечет отрезок 3, то и наклонный отрезок будет по свойству касательных 3+1=4, а не 5, а по неравенству треугольника( ну или по т. Пифагора - хвала Ему!) должен стать больше 5. Тогда радиус проведенный к точке касания делит 90 градусов на две пары равных углов, значит одна пара 45.
То ли в описании решения что-то пропущено, то ли до меня не допёрло. То, что разделит 90 пополам, будет диагональю квадрата. Может быть, радиус к касательной разделит искомые 45 градусов пополам. Но нам это ничего не даст.
Добавил две окружности с центрами на концах отрезка, равного пяти, одна окружность с радиусом 1, а вторая - с радиусом 4. Очевидно, что они соприкоснутся и отрезок "5" будет состоять из радиусов окружностей. Далее соединил точку соприкосновения окружностей и три вершины квадрата: левую верхнюю, левую нижнюю и правую нижнюю. Получается, что стороны квадрата - это касательные и третья линия - тоже касательная одновременно к обеим окружностям, а значит, появляются равные треугольники дял которых стороны изначального треугольника являются биссектрисами. Имеем, что искомый угол равен сумме двух оставшихся углов и это возможно только в случае, если каждый из углов (искомый и суммарный) равен половине прямого угла.
@@welt57 Признаюсь, я не смог вспомнить, как я пришёл к этому в первый раз. Поэтому пошёл от обратного, доказал, что длина высоты треугольника с основанием "5" и вершиной в левой нижней вершине квадрата равна стороне квадрата, в этом случае мы имеем по два равных отрезка, проведённых из одной точки вне окружности, которые перпендикулярны радиусу каждой из окружностей в точке их пересечения, а так как один из каждой пары является касательной, то и второй также является касательной. Из точки вне прямой можно провести только один перпендикуляр к окружности, значит отрезок, соединяющий вершину квадрата и точку касания окружностей, является касательной к каждой окружности. Не уверен, что это строгое доказательство, готов выслушать замечания и предложения ))
@@welt57 потому что касательная перпендикулярна к радиусу а значит и к прямой, соединяющей центры окружностей. Дальше равенство треугольников по углу 90гр и двум сторонам, одна из которых общая.
если отложить отрезок длинной 1 на отрезке 5 и соединить с вершиной угла, то получим 2 двойки одинаковьiх треугольников. Оттуда легко получить что угол = 45 градусов.
Решил в уме, добавив повернутый квадрат против часовой стрелки относительно левой нижней вершины квадрата. Остальные рассуждения такие же, как у автора ролика.
Мне тоже видится странным, что промежуточный большой четырехугольник (со стороной 5) в рассуждениях автора ролика получается в итоге квадратом, в то время как гипотенуза маленького треугольника явно больше стороны изначального квадрата... Что-то не так в рассуждениях, надо поискать на досуге
Может решение и неправильное, но ответ сошелся!!! -- угол 90 градусов и в него вписаны треугольники со сторонами 1,4 и 5. Вместе получается 10. Делим 90 на 10 получаем 9. Умножаем на катет против искомого угла и получаем 45!!! Автор, скажите, я где-то ошибся?
Меньшая сторона лежит напротив меньшего угла , тогда по теореме синусов получаем:1/sin1°=b/sin89°,где b - длина второго катета. Приблизительное значение b = 57,289961630759424687278147537113 . По теореме Пифагора: sqr(1)+sqr(57,289961630759424687278147537113)=sqr(c), где с - длина гипотенузы. Приблизительное значение c = 57,298688498550183476612683735174.
Пусть а-сторона квадрата. 5²=(a-4)²+(a-1)² 25=2a²-10a+17 a²=5a+4, ответ будет уродливым, решать это не хочется. А подавно не хочется использовать иррациональные числа для вычисления косинуса. Используем дальше как соотношение. 5²= (a²+1)+(a²+16)- 2sqrt((a²+1)(a²+16))cos(x)= 2a²+17 - 2sqrt((a²+1)(a²+16))cos(x) cos(x)= (a²-4)/sqrt((a²+1)(a²+16)) Подставим части нерешенного квадратного уравнения. cos(x)= (5a)/sqrt((5a+5)(5a+20))=a/sqrt((a²+5a+4))=a/sqrt(2a²)=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2 x = п/4
Нормальное решение. По поводу равных треугольников я полностью согласен. А дальше смещение на зелёный угол. Ну и получается те же 90°, только на двух одинаковых треугольниках. Делим на 2 и получаем то что искали
катеты могут быть , допустим , 2 и sqrt(21) , гипотенуза также равна 5. Катеты могут быть равны только 3 и 4 , если в условий сказано , что длина катетов - целые числа , что не было сказано в условий этой задачи.
От чего тут падать со стула? У 95% всех людей явно было точно так же первое предположение, что угол равен 45. А дальше уже каждый это пытался доказать, как может.. Остальные 5% могли заподозрить, например, 30 градусов. Какого-то некруглого значения угла тут явно никто не ожидал...
Начертила такой квадрат. Он не получается! Если треугольник (верхний справа) прямоугольный, то по условиям гипотенуза 5, а если все квадрат, то катет 1 и катет 4. То по формуле пифагора никак не получается. Условия не верны!
Этому действительно НЕ УЧАТ В ШКОЛЕ!!! Вы, прежде чем давать задачи, попробуйте, для начала, их грамотно начертить!!! То, что вы начертили, а точнее - НАЧЕРТАКАЛИ!!! - не может быть!!! т.к. начертить не представляется возможным. Остаётся вопрос - ЧТО ВЫ КУРИЛИ!?
![[HIGHLIGHT] หมีLIVEปะ? | EP.171 เห็นแต่ในจอ วันนี้มาต้องขอคารวะ](http://i.ytimg.com/vi/gPWLxa0e_Z8/mqdefault.jpg)
Расположим 4 таких рисунка, поворачивая на 90°, вокруг красного угла. Красные линии по периметру, образуют восьмиугольник, со стороной 5, состоящий из 8 треугольников. Все они равны, по трём сторонам. Полный оборот складывается из 8 искомых углов, 360÷8=45°.
Хотел сам решить, но глаз ухватил ваш первый комментарий и всё )) Отличное решение 👍
Задача классная, ответ правильный. Но в алгоритме решения задачи отсутствует самое основное - не раскрыта причина присовокупления треугольника к квадрату. "Давайте перенесём…" - не содержит логики само по себе. Тут получается: "давайте выполним действие, которое в итоге приведёт нас к решению". А может давайте отразим квадрат по верхней стороне? И будем копать, перебирать варианты. В данном случае логика в том, чтобы работать вокруг искомого угла и находить совпадающие элементы и значения. Можно заметить, что два известных значения дают третье: 1+4=5. Отсюда уже есть вариант совместить две фигуры (перенести/достроить) - можно разместить треугольник с катетом 4 на левой стороне квадрата. И мы так же заметим, что прямой угол составлен двумя одинаковыми треугольниками, значит искомый равен половине от прямого.
Это именно то, чего не хватает в решениях задач! Все просто достраивают не объясняя причину, спасибо Вам за ваш комментарий!
@@Bakakiri рекомендую ролик "Идея, решающая 70% геометрических задач". Я сам только что начал смотреть, ещё в процессе ) Он как раз на эту тему.
@@VitaliiConcrete Спасибо большое! Очень полезно, буду использовать!
очень хорошо сказано! прям в точку!
Да это вообще начертить НЕВОЗМОЖНО!!!
С таким же успехом можно доказать, что 2х2=7,5
Короче - ДИЗЛАЙК за глупость!!!
Там всё дело в волшебных фломастерах. Карандашом такие задачи решить не получится)))
Красота! Спасибо большое!
Решая геом. задачи , важно рисунки делать аккуратные и букв. Обозначения вводить. А то было в какой-то момент ощущение, что автор сам "поплыл".
Вы настолько любите геометрию, что эта любовь чувствуется и передаётся.
очень понятно и приятно, большое спасибо !!!!
Разворачиваем два треугольника с катетами 1 и 4 относительно вершин, лежащих на сторонах квадрата, так чтобы их катеты совпали с диагональю 5. Получаем параллелограмм, т.к противоположные стороны равны. По свойству параллелограмма противоположные углы равны. Получается что искомый угол - ровно половина от 90гр.
Красивое решение!!!
С утра перепроверил решение задачи и в итоге получил ответ 60°(!)🤷 Т. Пифагора применялась 3 раза + т.косинусов для финального нахождения угла.
Я решил с помощью соотношения известных сторон треугольника к 90°.
В сумме стороны равны 10-ти.
90°:10 = 9° и получаем:
∆ с катетом 1=1*9=9°
∆ с катетом 5=5*9=45°
∆ с катетом 4=4*9=36°
Я тоже так решила, без дополнительных чертежей.
"∆ с катетом 5" разве он прямоугольный?
Очень хорошая задача. Я б и 10 000 лайков поставил.
Это задача хороша тем, что прививает идею "не оставаться с тем, что есть". :)
круто
Доказательство из 8 класса: проведем четверть окружности с центром в нижнем левом углу и радиусом, естественно, равным стороне квадрата. Из конца отрезка длиной 1 проведем к ней касательную. Легко видеть, что касательная попадает в конец отрезка 4, например, если попадет чуть ниже и отсечет отрезок 3, то и наклонный отрезок будет по свойству касательных 3+1=4, а не 5, а по неравенству треугольника( ну или по т. Пифагора - хвала Ему!) должен стать больше 5. Тогда радиус проведенный к точке касания делит 90 градусов на две пары равных углов, значит одна пара 45.
То ли в описании решения что-то пропущено, то ли до меня не допёрло. То, что разделит 90 пополам, будет диагональю квадрата. Может быть, радиус к касательной разделит искомые 45 градусов пополам. Но нам это ничего не даст.
Добавил две окружности с центрами на концах отрезка, равного пяти, одна окружность с радиусом 1, а вторая - с радиусом 4. Очевидно, что они соприкоснутся и отрезок "5" будет состоять из радиусов окружностей. Далее соединил точку соприкосновения окружностей и три вершины квадрата: левую верхнюю, левую нижнюю и правую нижнюю. Получается, что стороны квадрата - это касательные и третья линия - тоже касательная одновременно к обеим окружностям, а значит, появляются равные треугольники дял которых стороны изначального треугольника являются биссектрисами. Имеем, что искомый угол равен сумме двух оставшихся углов и это возможно только в случае, если каждый из углов (искомый и суммарный) равен половине прямого угла.
Шикарно
Добрый день! Поясните, почему касательная из точки касания двух окружностей проходит через угол квадрата?
@@welt57 Признаюсь, я не смог вспомнить, как я пришёл к этому в первый раз. Поэтому пошёл от обратного, доказал, что длина высоты треугольника с основанием "5" и вершиной в левой нижней вершине квадрата равна стороне квадрата, в этом случае мы имеем по два равных отрезка, проведённых из одной точки вне окружности, которые перпендикулярны радиусу каждой из окружностей в точке их пересечения, а так как один из каждой пары является касательной, то и второй также является касательной. Из точки вне прямой можно провести только один перпендикуляр к окружности, значит отрезок, соединяющий вершину квадрата и точку касания окружностей, является касательной к каждой окружности. Не уверен, что это строгое доказательство, готов выслушать замечания и предложения ))
@@welt57 потому что касательная перпендикулярна к радиусу а значит и к прямой, соединяющей центры окружностей. Дальше равенство треугольников по углу 90гр и двум сторонам, одна из которых общая.
👍
❤
если отложить отрезок длинной 1 на отрезке 5 и соединить с вершиной угла, то получим 2 двойки одинаковьiх треугольников. Оттуда легко получить что угол = 45 градусов.
Почему вы решили что они будут одинаковые? Как это доказать?
Решил в уме, добавив повернутый квадрат против часовой стрелки относительно левой нижней вершины квадрата. Остальные рассуждения такие же, как у автора ролика.
Нарисовали ромб со сторонами 5, докажет что ромб это квадрат.
квадратом он будет только если хотя бы один угол = 90гр.
Я, совсем по другому ;использовал теорему косинусов
Да там квадрат получился
У меня тоже прямоугольник получился со сторонами 5 и 7
Почему?
Супер 👏 супер 👏 супер 👏 класс 👍 класс 👍 класс 👍
То есть от длины отрезков не зависит? 😂
почему-то найдя стороны треугольника за т пифагора, а после нахождением угла по теореме косинусов, получил 1/2, что по идее 60 градусов
Мне тоже видится странным, что промежуточный большой четырехугольник (со стороной 5) в рассуждениях автора ролика получается в итоге квадратом, в то время как гипотенуза маленького треугольника явно больше стороны изначального квадрата... Что-то не так в рассуждениях, надо поискать на досуге
@@dinaranechaeva4395 квадрат это у вас в рассуждениях у автора только один угол прямой между сторонами длиной игрек
@@dinaranechaeva4395 можно таймкод с конкретными рассуждениями автора?
Прекрасное и простое решение, а то я уже по старости полез в тригонометрию,и решил бы,
конечно, но здесь КРАСИВЕЕ !
0:05|45+45=90?|Ок?
Может решение и неправильное, но ответ сошелся!!! -- угол 90 градусов и в него вписаны треугольники со сторонами 1,4 и 5. Вместе получается 10. Делим 90 на 10 получаем 9. Умножаем на катет против искомого угла и получаем 45!!! Автор, скажите, я где-то ошибся?
Я угадал
Дан прямоугольный треугольник. Меньшая из сторон равна Единице. Углы равны 90, 89, 1 градусам. Каковы две другие стороны?
57.298 и 57.307
Меньшая сторона лежит напротив меньшего угла , тогда по теореме синусов получаем:1/sin1°=b/sin89°,где b - длина второго катета. Приблизительное значение b = 57,289961630759424687278147537113 . По теореме Пифагора: sqr(1)+sqr(57,289961630759424687278147537113)=sqr(c), где с - длина гипотенузы. Приблизительное значение c = 57,298688498550183476612683735174.
@@asdfesdafsfadsef извиняюсь,перепутал синус с тангенсом
Прошу автора пояснить, как ее решить тригонометрически.
Пусть а-сторона квадрата.
5²=(a-4)²+(a-1)²
25=2a²-10a+17
a²=5a+4, ответ будет уродливым, решать это не хочется. А подавно не хочется использовать иррациональные числа для вычисления косинуса. Используем дальше как соотношение.
5²= (a²+1)+(a²+16)- 2sqrt((a²+1)(a²+16))cos(x)= 2a²+17 - 2sqrt((a²+1)(a²+16))cos(x)
cos(x)= (a²-4)/sqrt((a²+1)(a²+16))
Подставим части нерешенного квадратного уравнения.
cos(x)= (5a)/sqrt((5a+5)(5a+20))=a/sqrt((a²+5a+4))=a/sqrt(2a²)=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2
x = п/4
Благодарю за вооброжение, но с ответом несогласен.
Дай этожу задачу, но с другим методом решения!????
я решал через тригонометрию, и спешу сообщить, что ответ 45°, всё верно
Нормальное решение. По поводу равных треугольников я полностью согласен. А дальше смещение на зелёный угол. Ну и получается те же 90°, только на двух одинаковых треугольниках. Делим на 2 и получаем то что искали
1+5+4=10
90/10=9
9*5=45
в прямоугольном треугольнике при гипотенузе 5 , катеты будут 3 и 4 и получается у нас не квадрат, а прямоугольник со сторонами 5 и 7
Ниабизатильна
Почему? Мы можем увеличить один катет и уменьшить второй, а гипотенуза останется такой же.
@@darkghostnt Тагда кавадрат нипалучица
катеты могут быть , допустим , 2 и sqrt(21) , гипотенуза также равна 5. Катеты могут быть равны только 3 и 4 , если в условий сказано , что длина катетов - целые числа , что не было сказано в условий этой задачи.
@@asdfesdafsfadsef Нечим вазразить, оплодирую вашею лагичнастью.
вначале на вид дал ответ 45, перемотал в конец и упал со стула.
мощно
От чего тут падать со стула? У 95% всех людей явно было точно так же первое предположение, что угол равен 45. А дальше уже каждый это пытался доказать, как может.. Остальные 5% могли заподозрить, например, 30 градусов. Какого-то некруглого значения угла тут явно никто не ожидал...
@@NPSpaceZZZ.....больше троеточий............................................................... Я же такой глупый
@@theklavoo если вас очень сильно раздражают троеточия, то вы можете принять успокоительное или обратиться к врачу...
@@NPSpaceZZZ меня не бесят троеточия, меня бесят люди которые думают, что они самые умные.....
Начертила такой квадрат. Он не получается! Если треугольник (верхний справа) прямоугольный, то по условиям гипотенуза 5, а если все квадрат, то катет 1 и катет 4. То по формуле пифагора никак не получается. Условия не верны!
Гипотенуза чего?
@@shelalex по условиям гипотенуза 5 - значит катита 1 и 4
@@user-kd5rk6fn1w 5 по условиям - это вовсе не гипотенуза. Где вы видите треугольник со сторонами 1, 4 и 5?
@@user-kd5rk6fn1w самое смешное: треугольника со сторонами 1, 4 и 5 не существует, потому что 5=4+1 )) они уместятся на одной прямой.
Даааа, да и в задаче не использовался факт квадрата. Дан прямоугольник!
Вот не понял 😮
Раза 4 пересморел медленно. Потихоньку доходит но лень дальше врубаться. 😅
Зд., в когцну не понял почему 90 попалам
И я
Ой... Четыре раза посмотрела, только тогда разглядела))))
Сразу видно что угол 90 поделен на 1, 5 и 4 части всего 10 частей 5 частей это половина от 90
Неверные рассуждения привели к верном ответу ;)
@@alexandermorozov2248 ???
Стал ещё больше нелюбить геометрию с этой задачей. Где тут красота? Это даже близко ею нельзя назвать. Алгебра лучше
чертеж кривой
Этому действительно НЕ УЧАТ В ШКОЛЕ!!!
Вы, прежде чем давать задачи, попробуйте, для начала, их грамотно начертить!!!
То, что вы начертили, а точнее - НАЧЕРТАКАЛИ!!! - не может быть!!! т.к. начертить не представляется возможным.
Остаётся вопрос - ЧТО ВЫ КУРИЛИ!?