+++ Reaktion auf Kommentare +++ Wie erwartet melden sich die Praktiker zu Wort und stellen fest, dass zahlreiche physikalische Gegebenheiten nicht berücksichtigt wurden: Erdkrümmung, Elastizität des Seils und der Halswirbel der Ziege etc. Und warum überhaupt so umständlich, man könnte doch einfach einen Zaun entlang des Durchmessers bauen... Ach nee, da wären wir dummen Mathematiker ja nie drauf gekommen! Im Ernst: es fällt einigen Person erstaunlich schwer, den Charakter einer solchen Aufgabe zu erkennen. Es geht hier nicht um die Lösung eines praktischen Problems, sondern um eine rein theoretische Fragestellung. Man könnte die Aufgabe auch ganz abstrakt formulieren, ohne Wiese, Ziege und Seil. Aber mit realen Gegenständen ist das Ganze halt anschaulicher und motivierender!
Super Aufgabe! Geometrie, Trigonometrie, Differentialrechnung, und auch einfach mathematisches Wissen - alles drin. Mir machen Aufgaben immer Spass, bei denen man Dinge aus verschiedenen Bereichen der Mathematik einbringen muss. Nicht, dass ich die Aufgabe hätte lösen können unbedingt - war hier mehr Zuschauer…
Interessant ist, was wolframalpha zu dieser Zahl sagt; die sog. "goat tether lenght" soll das hier sein: csch(csch(209/196)). Also der Cosecans Hyperbolicus vom Cosecans Hyperbolicus von 209/196....
Die Aufgabe lässt sich einfacher lösen, indem für den Kreisbogen und den Kreis die Polardarstellung gewählt werden. Sei L die Länge des Ziegenseils und R der Radius der Weide. r1(phi) = L , r2(phi) = 2 * R * Cos(phi). Man kann dann die Leibniz'sche Sektorformel zur Anwendung bringen A1 = 1/2 * Integral (r2(phi)^2 - L^2) d phi in den Grenzen von -phi1 bis +phi1. Der Winkel phi1 folgt aus dem Schnitt von Kreisbogen und Kreis L = 2 * R * Cos(phi1) --> ArcCos( L/(2*R) ). Am Ende wird die Gleichung 2 * A1 == Pi * R^2 /2 gelöst für L.
Aber Hallo! Die Aufgabe liest sich simpel, ist aber hoch komplex! Es macht auch im hohen Alter Spaß, diesen Matheknobeleien von MatheGym zu folgen - hält fit!
Spannende Aufgabe, auch wenn ich Elementargeometrie mehr mag. Wenn man Trigonometrie und Analysis zulässt kann man eigentlich auch gleich über die Kreisfläche integrieren, das sollte nochmal etwas schneller gehen
Es gibt den Mythos, dass es eine "exakte" Lösung zu dieser Aufgabe gibt. Aber ich denke, es ist wirklich nur ein Mythos. Vielen Dank, für die wirklich schön vorgestellte Lösung mit Schulmathematik!
Eine 'exakte' Lösung wäre leicht möglich, wenn man eine neue, irrationale Ziegenkonstante von 1,158... einführt. Easy ;-) Problem: Man müsste einen Haufen Dinge beweisen, wie dass sie sich nicht durch e PI oder Wurzel2 usw. darstellen lässt und bestimmt viele Nettigkeiten mehr 🙂Edit: da ist ein Zwinker drin und ich bin kein Mathematiker, hatte aber schon vor Jahren übelegt, wie man auf die Lösung kommen könnte. Für 1,1*r < x
Funktioniert nur, wenn die Ziege selbst eine Größe von 0 hat. An sonsten muss man noch den Angurtpunkt am Hals der Ziege mit der Spitze des Mauls vom Leinenradius abziehen. Einfachere Lösung: Man halbiert den Kreis durch einen geraden Zaun durch den Mittelpunkt und lässt die Leine weg.
Wäre eine super einfache Lösung. Aber man wollte ja wissen welchen Radius man hat, wenn man das über ein Kreisfläche machen will. Machst du das in Klausuren auch so? Streichst die Aufgabe, die der Lehrer sich für dich ausgedacht hat einfach durch und ersetzt sie durch 1+1=2 mit der Begründung, dass das ja auch Mathe aber wesentlich einfacher sei. Wenn du dich über ne Aufgabe auskoten willst, dann schau dir mal die wo ein Seil zwischen zwei Stangen gehängt wird, dieses Seil dann aber in einem prefekten Halbkreis durchhängt. th-cam.com/video/dUIbNEq04iA/w-d-xo.html Da ist Kritik angebracht. Hier: nicht.
Die symbolische Lösung dieses Problems bedient alle Klischees über Mathematik. Erstens, es war nicht einfach, sie zu finden. Zweitens, sie ist absolut richtig. Und drittens, sie ist absolut nutzlos, da man das Verhältnis der beiden Umlaufintegrale NUMERISCH berechnen muss. 😂
Nun ja, mein Mathelehrer pflegte zu sagen: Die Mathematik sieht sich halt gerne als nicht zweckgebundene Wissenschaft. Das man Dinge erforscht nur weil es interessant ist. Das sie enttäuscht ist, wenn ein technisches Fach sich erfrecht Anwendungsmöglichkeiten zu finden. Und überhaupt, Mathematik als Werkzeug zu bezeichnen.
Mathematisch korrekt, phyiskalisch unmöglich. Die Ziege müsste unendlich viel Kraft aufwenden, um die Line parallel zum Boden zu spannen, da keine Ziege so stark ist, wird sie nicht die Hälfte der Wiese abgrasen können. -> Die Leine müsste also länger sein.
@@riddlecolo8198 Richtig ... Erdkrümmung wurde auch nicht berücksichtigt, je nach größe der Wiese ggf. nicht zu vernachlässigen. -> Es wäre wahrscheinlich einfacher geweisen einen Zaun um den Bereich der Wiese zu bauen, der abgefressen werden soll und die Ziege in diesem Gehege zu platzieren.
R2 = SORT ( 1 / 2 x R1 ^ 2 ) und den Pflock so setzen, das der Kreis P2 komplett innerhalb d es Kreises R1 liegt. Welcher Bauer will denn so eine Rechung aufstellen. Sorry, aber bis da hin ist die Ziege verhungert😅
Bei sin und cos in einer Formel fällt mir spontan ein, dass man die in die Exponentialschreibweise umwandeln kann. Wobei ich nur noch wage Erinnerungen habe. *) Es ist dann was mit e hoch omega phi. Der Sinn ist, das man dann mit den Gesetzen für Exponenten einfacher rechnen kann, als mit original sin und cos. Ein Trick in der Elektrotechnik, wenn es z.B. um Wechselstrom geht. *) Mein Versuch mit Elektrotechnik ist fast 40 Jahre her. Deshalb habe ich inzwischen den ganzen Kram wieder vergessen. Die Unterlagen von damals habe ich nicht mehr. In normalen Formelsammlungen für Schüler steht das eher nicht drin. D.h. ich müsst da schon den dicken Bronstein rauskramen. Im dem müsste es eigentlich zu finden sein.
@@ralphhebgen7067 Ich weiß es nicht mehr. (Ich habe das erfolgreich verdrängt, weil es halt doch nicht meine Welt war.) Aber kann gut sein. Es wäre in der Elektrotechnik nicht von Nachteil, weil man bei Wechselströmen sowieso Real- und Imaginärteil braucht. Den Imaginärteil für die Blindleistung. Sofern die wagen Erinnerungen stimmen. Aber ich habe halt behalten, das man die Exponentialschreibweise verwendet, weil wildere Sachen zu berechnen sind, als hier in der Ziegenaufgabe. Z.B. die Fouriertransformation, um von der Zeitskala zur Frequenzskala zu kommen. Was jeder Spektrumsanalysator benutzt.
@@bernhardammer5106 Das ist genau richtig. Du sprichst ja auch von Real- und Imaginaerteil, also von komplexen Zahlen. Die Ziegenaufgabe spielt ja im Reellen, und da brauchen wir die komplexen Zahlen nicht.
Gebe seit einigen Jahren hin und wieder Nachhilfe in Mathematik - meist nur Kandidaten der Grundkurse - aber noch nie sind mir Aufgaben begegnet, die trigonometrisches Grundwissen oder gar die Additionstheoreme vorausgesetzt haben. Auch das iterative Newton- Verfahren zur Nullstellenbestimmung kam nie vor. In meiner Schulzeit in den 60er Jahren war das noch ganz anders. Ich frage mich dabei, wie derart unkundige Schulabgänger jemals z.B. ein technisches Studium absolvieren wollen.
Mir geht es genauso.. ich habe seit 17 Jahren noch keinen Abiturienten erlebt in meinen Nachhilfe Stunden der das ansatzweise verstehen würde.. bin selber diplomierter Physiker Jg 69.. damals wäre das gegangen.. heute bestimmt nicht!
Interessant, Ihre Gymnasialzeit (60er Jahre) fand vor der Bildungsexpansion statt, die ab den 70er Jahren gemäß dem Motto "Abitur für alle" einsetzte. Heute größenteils umgesetzt, aber eben mit der absehbaren Folge, dass der Wert des Abiturs stark gesunken ist und man ein Einser-Abi in Mathe machen kann, ohne auch nur ansatzweise eine Aufgabe wie diese lösen zu können. Es gibt sie vereinzelt natürlich auch heute noch - also Schüler, die das knacken können (die benötigen keine Nachhilfe, drum begegnen Sie ihnen nicht :-), aber die können das nicht wegen, sondern trotz des Matheunterrichts.
Ich habe neulich mal zum Spass eine deutsche Abimatheklausur zu Hause gemacht. Ich war geschockt, wie super easy die war. Ich habe mein Mathe-Abitur 1982 abgelegt, und der wichtigste Unterschied, der mir aufgefallen war, ist die fehlende “fluide Intelligenz”, die jetzt gefordert wird. Wir hatten damals die Inhalte im Unterricht gelernt (also zB Differential- und Integralrechnung) und wurden dann in Klausuren mit Fragestellungen konfrontiert, die es notwendig machten, die Lerninhalte in einem Kontext anzuwenden, den man vorher noch nicht gesehen hatte. Bei uns kam es also nicht so sehr darauf an, auswendig zu lernen, sondern “denken” zu lernen. So hätte man zB alle Tryg-Substitutionen der Welt runterbeten koennen, aber bei der Klausuraufgabe haette man trotzdem keine Chance gehabt. Als Kritik haette ich anzumerken, dass bei uns das Pendel vermutlich zu weit zum “Denken” ausgeschwenkt war - ich wusste zB so gut wie keine Formel, da mir klar war, dass ich in den Klausuren sowieso alles frisch herleiten musste. Ich erinnere mich, dass ich die Sachen alle fürs Studium noch mal nacharbeiten musste, aber trotzdem war das ja nur Auswendiglernen. Mein Fazit: ich wuerde mich immer dafür einsetzen, Schülern von Anfang an das “Denken” beizubringen, und auch vermitteln, dass das Auswendiglernen von Fakten lediglich eine Hilfsdisziplin darstellt. Denken lernen, nicht “lernen” lernen.
+++ Reaktion auf Kommentare +++
Wie erwartet melden sich die Praktiker zu Wort und stellen fest, dass zahlreiche physikalische Gegebenheiten nicht berücksichtigt wurden: Erdkrümmung, Elastizität des Seils und der Halswirbel der Ziege etc. Und warum überhaupt so umständlich, man könnte doch einfach einen Zaun entlang des Durchmessers bauen...
Ach nee, da wären wir dummen Mathematiker ja nie drauf gekommen!
Im Ernst: es fällt einigen Person erstaunlich schwer, den Charakter einer solchen Aufgabe zu erkennen. Es geht hier nicht um die Lösung eines praktischen Problems, sondern um eine rein theoretische Fragestellung. Man könnte die Aufgabe auch ganz abstrakt formulieren, ohne Wiese, Ziege und Seil. Aber mit realen Gegenständen ist das Ganze halt anschaulicher und motivierender!
An der Aufgabe bin ich vor mehr als 30 Jahren gescheitert. :-) Danke fuer die Loesung...
Super Aufgabe! Geometrie, Trigonometrie, Differentialrechnung, und auch einfach mathematisches Wissen - alles drin. Mir machen Aufgaben immer Spass, bei denen man Dinge aus verschiedenen Bereichen der Mathematik einbringen muss. Nicht, dass ich die Aufgabe hätte lösen können unbedingt - war hier mehr Zuschauer…
Interessant ist, was wolframalpha zu dieser Zahl sagt; die sog. "goat tether lenght" soll das hier sein: csch(csch(209/196)). Also der Cosecans Hyperbolicus vom Cosecans Hyperbolicus von 209/196....
Die Aufgabe lässt sich einfacher lösen, indem für den Kreisbogen und den Kreis die Polardarstellung gewählt werden. Sei L die Länge des Ziegenseils und R der Radius der Weide. r1(phi) = L , r2(phi) = 2 * R * Cos(phi). Man kann dann die Leibniz'sche Sektorformel zur Anwendung bringen A1 = 1/2 * Integral (r2(phi)^2 - L^2) d phi in den Grenzen von -phi1 bis +phi1. Der Winkel phi1 folgt aus dem Schnitt von Kreisbogen und Kreis L = 2 * R * Cos(phi1) --> ArcCos( L/(2*R) ). Am Ende wird die Gleichung 2 * A1 == Pi * R^2 /2 gelöst für L.
Aber Hallo! Die Aufgabe liest sich simpel, ist aber hoch komplex! Es macht auch im hohen Alter Spaß, diesen Matheknobeleien von MatheGym zu folgen - hält fit!
Spannende Aufgabe, auch wenn ich Elementargeometrie mehr mag.
Wenn man Trigonometrie und Analysis zulässt kann man eigentlich auch gleich über die Kreisfläche integrieren, das sollte nochmal etwas schneller gehen
Wie sähe der Lösungsweg aus, wenn die Ziege am langen Ende einer Ellipse angepflockt wäre?
Es gibt den Mythos, dass es eine "exakte" Lösung zu dieser Aufgabe gibt. Aber ich denke, es ist wirklich nur ein Mythos. Vielen Dank, für die wirklich schön vorgestellte Lösung mit Schulmathematik!
Eine 'exakte' Lösung wäre leicht möglich, wenn man eine neue, irrationale Ziegenkonstante von 1,158... einführt. Easy ;-) Problem: Man müsste einen Haufen Dinge beweisen, wie dass sie sich nicht durch e PI oder Wurzel2 usw. darstellen lässt und bestimmt viele Nettigkeiten mehr 🙂Edit: da ist ein Zwinker drin und ich bin kein Mathematiker, hatte aber schon vor Jahren übelegt, wie man auf die Lösung kommen könnte. Für 1,1*r < x
Funktioniert nur, wenn die Ziege selbst eine Größe von 0 hat. An sonsten muss man noch den Angurtpunkt am Hals der Ziege mit der Spitze des Mauls vom Leinenradius abziehen.
Einfachere Lösung: Man halbiert den Kreis durch einen geraden Zaun durch den Mittelpunkt und lässt die Leine weg.
Wäre eine super einfache Lösung. Aber man wollte ja wissen welchen Radius man hat, wenn man das über ein Kreisfläche machen will.
Machst du das in Klausuren auch so? Streichst die Aufgabe, die der Lehrer sich für dich ausgedacht hat einfach durch und ersetzt sie durch 1+1=2 mit der Begründung, dass das ja auch Mathe aber wesentlich einfacher sei.
Wenn du dich über ne Aufgabe auskoten willst, dann schau dir mal die wo ein Seil zwischen zwei Stangen gehängt wird, dieses Seil dann aber in einem prefekten Halbkreis durchhängt. th-cam.com/video/dUIbNEq04iA/w-d-xo.html
Da ist Kritik angebracht. Hier: nicht.
Lösung: Ziege lieber auf rechteckigem Feld mit Zaun grasen lassen. Wird deswegen auch so gemacht 😊
Wäre es per Integralrechnung nicht einfacher?
dachte ich auch. Ziegenfläche gegenüber der Wiesenmitte = Nicht Ziegenfläche auf der ZiegenPflockseite der Wiese. Soweit das Konzept...
Die symbolische Lösung dieses Problems bedient alle Klischees über Mathematik. Erstens, es war nicht einfach, sie zu finden. Zweitens, sie ist absolut richtig. Und drittens, sie ist absolut nutzlos, da man das Verhältnis der beiden Umlaufintegrale NUMERISCH berechnen muss. 😂
Nun ja, mein Mathelehrer pflegte zu sagen: Die Mathematik sieht sich halt gerne als nicht zweckgebundene Wissenschaft. Das man Dinge erforscht nur weil es interessant ist. Das sie enttäuscht ist, wenn ein technisches Fach sich erfrecht Anwendungsmöglichkeiten zu finden. Und überhaupt, Mathematik als Werkzeug zu bezeichnen.
Interessante Aufgabe.
Mathematisch korrekt, phyiskalisch unmöglich. Die Ziege müsste unendlich viel Kraft aufwenden, um die Line parallel zum Boden zu spannen, da keine Ziege so stark ist, wird sie nicht die Hälfte der Wiese abgrasen können. -> Die Leine müsste also länger sein.
Dann muss man aber auch noch berücksichtigen, wo man an der Ziege die Leine befestigt. Und was ist mit der Elastizität des Seils?
@@riddlecolo8198 Richtig ... Erdkrümmung wurde auch nicht berücksichtigt, je nach größe der Wiese ggf. nicht zu vernachlässigen. -> Es wäre wahrscheinlich einfacher geweisen einen Zaun um den Bereich der Wiese zu bauen, der abgefressen werden soll und die Ziege in diesem Gehege zu platzieren.
R2 = SORT ( 1 / 2 x R1 ^ 2 ) und den Pflock so setzen, das der Kreis P2 komplett innerhalb d es Kreises R1 liegt. Welcher Bauer will denn so eine Rechung aufstellen. Sorry, aber bis da hin ist die Ziege verhungert😅
Bei sin und cos in einer Formel fällt mir spontan ein, dass man die in die Exponentialschreibweise umwandeln kann. Wobei ich nur noch wage Erinnerungen habe. *) Es ist dann was mit e hoch omega phi. Der Sinn ist, das man dann mit den Gesetzen für Exponenten einfacher rechnen kann, als mit original sin und cos. Ein Trick in der Elektrotechnik, wenn es z.B. um Wechselstrom geht.
*) Mein Versuch mit Elektrotechnik ist fast 40 Jahre her. Deshalb habe ich inzwischen den ganzen Kram wieder vergessen.
Die Unterlagen von damals habe ich nicht mehr. In normalen Formelsammlungen für Schüler steht das eher nicht drin. D.h. ich müsst da schon den dicken Bronstein rauskramen. Im dem müsste es eigentlich zu finden sein.
Das wird dann aber glaube ich komplex 😂. Meinst Du e^(i Theta)=cos(Theta)+i sin(Theta) ?
@@ralphhebgen7067 Ich weiß es nicht mehr. (Ich habe das erfolgreich verdrängt, weil es halt doch nicht meine Welt war.) Aber kann gut sein. Es wäre in der Elektrotechnik nicht von Nachteil, weil man bei Wechselströmen sowieso Real- und Imaginärteil braucht. Den Imaginärteil für die Blindleistung. Sofern die wagen Erinnerungen stimmen.
Aber ich habe halt behalten, das man die Exponentialschreibweise verwendet, weil wildere Sachen zu berechnen sind, als hier in der Ziegenaufgabe. Z.B. die Fouriertransformation, um von der Zeitskala zur Frequenzskala zu kommen. Was jeder Spektrumsanalysator benutzt.
@@bernhardammer5106 Das ist genau richtig. Du sprichst ja auch von Real- und Imaginaerteil, also von komplexen Zahlen. Die Ziegenaufgabe spielt ja im Reellen, und da brauchen wir die komplexen Zahlen nicht.
Bei einer hungrigen Ziege wird der Hals immer länger.
Gebe seit einigen Jahren hin und wieder Nachhilfe in Mathematik - meist nur Kandidaten der Grundkurse - aber noch nie sind mir Aufgaben begegnet, die trigonometrisches Grundwissen oder gar die Additionstheoreme vorausgesetzt haben. Auch das iterative Newton- Verfahren zur Nullstellenbestimmung kam nie vor. In meiner Schulzeit in den 60er Jahren war das noch ganz anders. Ich frage mich dabei, wie derart unkundige Schulabgänger jemals z.B. ein technisches Studium absolvieren wollen.
Mir geht es genauso.. ich habe seit 17 Jahren noch keinen Abiturienten erlebt in meinen Nachhilfe Stunden der das ansatzweise verstehen würde.. bin selber diplomierter Physiker Jg 69.. damals wäre das gegangen.. heute bestimmt nicht!
Der Mathematik Unterricht ist heutzutage eine Katastrophe. Die Einführung des programmierbaren Taschenrechners der größte Fehler!
Interessant, Ihre Gymnasialzeit (60er Jahre) fand vor der Bildungsexpansion statt, die ab den 70er Jahren gemäß dem Motto "Abitur für alle" einsetzte. Heute größenteils umgesetzt, aber eben mit der absehbaren Folge, dass der Wert des Abiturs stark gesunken ist und man ein Einser-Abi in Mathe machen kann, ohne auch nur ansatzweise eine Aufgabe wie diese lösen zu können.
Es gibt sie vereinzelt natürlich auch heute noch - also Schüler, die das knacken können (die benötigen keine Nachhilfe, drum begegnen Sie ihnen nicht :-), aber die können das nicht wegen, sondern trotz des Matheunterrichts.
@@Mathegym ich habe Abitur 1989 gemacht
Ich habe neulich mal zum Spass eine deutsche Abimatheklausur zu Hause gemacht. Ich war geschockt, wie super easy die war. Ich habe mein Mathe-Abitur 1982 abgelegt, und der wichtigste Unterschied, der mir aufgefallen war, ist die fehlende “fluide Intelligenz”, die jetzt gefordert wird.
Wir hatten damals die Inhalte im Unterricht gelernt (also zB Differential- und Integralrechnung) und wurden dann in Klausuren mit Fragestellungen konfrontiert, die es notwendig machten, die Lerninhalte in einem Kontext anzuwenden, den man vorher noch nicht gesehen hatte. Bei uns kam es also nicht so sehr darauf an, auswendig zu lernen, sondern “denken” zu lernen. So hätte man zB alle Tryg-Substitutionen der Welt runterbeten koennen, aber bei der Klausuraufgabe haette man trotzdem keine Chance gehabt.
Als Kritik haette ich anzumerken, dass bei uns das Pendel vermutlich zu weit zum “Denken” ausgeschwenkt war - ich wusste zB so gut wie keine Formel, da mir klar war, dass ich in den Klausuren sowieso alles frisch herleiten musste. Ich erinnere mich, dass ich die Sachen alle fürs Studium noch mal nacharbeiten musste, aber trotzdem war das ja nur Auswendiglernen.
Mein Fazit: ich wuerde mich immer dafür einsetzen, Schülern von Anfang an das “Denken” beizubringen, und auch vermitteln, dass das Auswendiglernen von Fakten lediglich eine Hilfsdisziplin darstellt. Denken lernen, nicht “lernen” lernen.