Alternativ kann man auch einen Kreis mit Radius r in gleichseitige Dreiecke mit Seitenlänge r und entsprechende Kreisabschnitte mit Sehnenlänge r zerlegen. wäre die Schnittfläche exakt 25% müsste gelten: A_kreis = 6 A_dreieck + 6 A_kreisabschnitt A_schnittfläche = 2 A_dreieck + 4 A_kreisabschnitt = 2/3 A_kreis - 2 A_dreieck A = 2 A_kreis - A_schnitt = 4/3 A_kreis + 2 A_dreieck A_schnittfläche/A = 0.25 A_schnittfläche = A 4 (2/3 A_kreis - 2 A_dreieck) = 4/3 A_kreis + 2 A_dreieck 8 A_kreis - 24 A_dreieck = 4 A_kreis + 6 A_dreieck 4 A_kreis = 30 A_dreieck A_kreis = 7.5 A_dreieck Wäre das korrekt, dann würden wir kein eigenes Symbol für PI benutzen, sondern... PI r^2 = 7.5 sqrt(3)/4 r^2 PI = sqrt(675/64) Aber leider gilt PI = 3,14159... < 3,16 = sqrt(9,9856) < sqrt(10) < sqrt(675/64)
Ohne das Video vorher gesehen zu haben: ich bin die Sache anders rangegangen, da ich auf Analysis fokusiert bin. Einen Halbkreis kann man mit der Funktion SQRT(1-x²) beschreiben. Die Stammfunktion herleiten wäre jetzt wohl etwas zuviel, dafür gibt es ja Tabellen im Netz. Auf Nachfrage zeige ich gerne den Rechenweg. Ich komme jedenfalls auf 1,228 FE, beide (Einheits-)Kreise haben als Gesamtfläche 2*pi*1²=6,283, die abgesteckte Fläche macht also nach meinen Berechnungen nicht 25% sondern nur 19,55 % der Gesamtfläche aus. EDIT: hab mich hier vertan bei der Gesamtfläche. Die ist ja der obere Teil des 1. Kreises + die Teilfläche in der Mitte + die untere Fläche des 2. Kreises. Da kommt man auf nicht Gesamtfläche 2pi sondern 2pi abzüglich der Schnittfläche. Die beträgt ungefähr 5,055. Und 1,228 dividert durch 5,055 macht 0,243 also 24,3 %
Also ich bin das Problem so angegangen: Es geht um das Verhältnis von den beiden Kreisteilen, wobei der Öffnungswinkel 120 Grad betragt… Dazu nutze ich die Tatsache, dass das Ganze symmetrisch zur x-Achse ist, also Winkel ist nun 60 Grad… Die Fläche ist dann 2*Integral (sqrt(1-x^2)) mit den Grenzen -1 bis cos (alpha) Ergibt die Stammfunktion sin(alpha)*cos(alpha) + Pi- alpha => cos(60) = 0,5 somit: sin(alpha) /2 + Pi- alpha Ab jetzt in Radiant, 60 Grad => alpha = Pi/3 Akreis = r^2*Pi, mit r=1 => Akreis = Pi Asegment = sin(alpha)/2 + Pi- Pi/3 = sin(alpha)/2 +2/3*Pi; Asektor = Akreis - Asegment = Pi - (sin(alpha) /2 + Pi- Pi/3) = Pi/3 - sin(alpha)/2 Asektor / Asegment = (Pi/3 - sin(alpha)/2) / (sin(alpha)/2 +2/3*Pi) = 0.2430097937 Stimmt 😁😁😁
Eine nette Aufgabe für ein Referat bspw. in einem Leistungskurs wäre es, die Formel für die Fläche des Kreissegments analytisch zu berechnen. (1-x²)^½ nach dx zu integrieren ist mit variabler oberer Grenze nicht ganz trivial. Am besten wendet man das Verfahren der partiellen Integration an und bekommt zwei von x abhängige Terme, einen über ~arcsin(x) und einen über ~x, die addiert werden müssen. Dabei ergibt der erste Term die Fläche des Sektors, der zweite die Fläche des Dreiecks, das zur Fläche des Segments addiert werden muss. Insgesamt eine ganz wunderbare Illustration des Verfahrens "partielle Integration".
Ich betrachte erst einmal den Fall, dass beide Kreise den selben Radius r haben. Wenn ich ich nicht verechnet habe, ist die Schnittflaeche (2*pi/3-sqrt(3)/2)*r^2 und die Gesamtflaeche betraegt 2*pi*r^2 abzueglich der Schnittfllaeche, also (2*pi--(2*pi/3-sqrt(3)/2))*r^2=(4/3*pi+sqrt(3)/2)*r^2. Die Schnittflaeche habe ich wie folgt berechnet: Verbindet man die Kreismitttellpunte untereinander und jeweils mit den beiden Schnittpunkten der Kreise, erhaet man 2 gleichseitige Dreiece mit Seitenlaenge r. Daraus ergibt sich, dass der zentriwinkel ueber dem Kreisbogen 120° ist. Die Flaeche des Kreissegments ("Tortenstuecks") ist ein Drittel der Kreisflaeche Die Schnittfaeche ist gleich der doppelten Differenz von Kreissegment und einem der gleichseitigen Dreiecke.. Daraus ergeben sich dann obenstehhende Werte. Das Verhaettnis von Schnittflaeche zu Gesamtflaeche ist in diesemFall demnach *nicht* 1/4. Ich halte es nicht fuer ziefuehrend,sich hier auf den Taschenrechner (der bei nicht rationalen Zahlen immer zu Rundungsfehern fuehrt) zu verwenden. Ich dene,man sollllte die Ungleichheit anders begruenden, bin mir aber jetzt nicht sicher, ob eine solche Begruendung nicht evt. ueber das Schulwissen hinaus geht. Ich bin jetzt zu faul, um mir zu ueberlegen, wie man das Verhaeltnis der Kreisradien waehlen muesste (bzw. ob es sich so waehlen laesst), damit die Schnittflaeche wirklich 25% der Gesamtflaeche ist (obwohlin diesemmFall ja nicht beide Kreismittelpunkte jeweils auf der Kreislinie des anderen Kreises lliegen koennen). Ich halte meine Ueberlegung mit den gleichseitigen Dreiecken fuer einfacher, um die Flaeche des Dreiecks zu bestimmen, aber das ist wohl Geschmacksache (dann wuerde man aber den Pythagoras nicht mehr benoetigen: das Verhaeltnis von Hoehe zu Grundseite im gleichseitigen Dreieck ist ja sin(60°)=sqrt(3)/2).
Ich glaube, Du hast, wenn auch nur mit einem Satz, das Hauptproblem angesprochen: Das Bulimie - Lernen. Wenn die Schüler nicht begreifen, daß sie einen großen Teil des Unterrichtsstoffes später wieder brauchen werden, ihn ohne langes Grübeln parat haben müssen, dann werden sie immer Schwierigkeiten haben. In einem ganz anderen Video habe ich eine Aufgabe gesehen, mit einem Integral und Logarithmen, da wurde ausführlich die 3. Binomische Formel erklärt. Wenn so etwas nötig ist, na dann Gute Nacht!
Zuallererst könnte einem mal auffallen, dass das Verhältnis der SchnittFl zur GesamtFl (aus Symmetrie Gründen) gleich der SegmentFl zur Kreisfläche ist... ☝️
Es geht hier aber um Mathematik, nicht um irgendwelche Techniksachen. In der Mathematik ist ist 24,3 weit entfernt von 25,0. Man darf auch auch in der Mathematik schreiben: sqrt(2) = 1,41. Es ist ein Unterschied ob um um Messwerte, gerundete Werte oder mathematisch exakte Werte geht.
Die Umfänge beider Kreise laufen jeweils durch den Mittelpunkt des anderen. Das bedeutet, dass die Kreise genau gleich groß sind. Nicht nur die beiden Radien sind gleich groß - auch die Schnittpunkte der Umfänge liegen genau symmetrisch zu der Verbindung der beiden Mittelpunkte. Darum muss die Verbindungslinie der Schnittpunkte die Verbindung der beiden Mittelpunkte genau halbieren. Und diese Verbindung der Mittelpunkte ist ja genau der Radius. Macht für die Höhe des Dreiecks genau 1/2 r.
@@oliverfiedler8502Dein Kommentar geht meilenweit am Problem vorbei: Zum einen brauchen wir hier die Höhe, die nur zufällig mit der Mittelsenkrechten zusammenfällt, da das Dreieck gleichseitig ist... Aber auch die Länge der Höhe ist nicht immer die Hälfte von... irgendwas.
@@oliverfiedler8502 Warum willst du unbedingt diskutieren wenn du nicht mal verstehst worum es geht? Und die Konstruktion einer Mittelsenkrechten erfordert das Halbieren der Strecke, was hier nicht mal erfolgt. Also liegt selbst dein hier völlig irrelevanter Kommentar meilenweit daneben.
Alternativ kann man auch einen Kreis mit Radius r in gleichseitige Dreiecke mit Seitenlänge r und entsprechende Kreisabschnitte mit Sehnenlänge r zerlegen. wäre die Schnittfläche exakt 25% müsste gelten:
A_kreis = 6 A_dreieck + 6 A_kreisabschnitt
A_schnittfläche = 2 A_dreieck + 4 A_kreisabschnitt = 2/3 A_kreis - 2 A_dreieck
A = 2 A_kreis - A_schnitt = 4/3 A_kreis + 2 A_dreieck
A_schnittfläche/A = 0.25
A_schnittfläche = A
4 (2/3 A_kreis - 2 A_dreieck) = 4/3 A_kreis + 2 A_dreieck
8 A_kreis - 24 A_dreieck = 4 A_kreis + 6 A_dreieck
4 A_kreis = 30 A_dreieck
A_kreis = 7.5 A_dreieck
Wäre das korrekt, dann würden wir kein eigenes Symbol für PI benutzen, sondern...
PI r^2 = 7.5 sqrt(3)/4 r^2
PI = sqrt(675/64)
Aber leider gilt PI = 3,14159... < 3,16 = sqrt(9,9856) < sqrt(10) < sqrt(675/64)
sehr interessant, danke!
Ohne das Video vorher gesehen zu haben: ich bin die Sache anders rangegangen, da ich auf Analysis fokusiert bin. Einen Halbkreis kann man mit der Funktion SQRT(1-x²) beschreiben. Die Stammfunktion herleiten wäre jetzt wohl etwas zuviel, dafür gibt es ja Tabellen im Netz. Auf Nachfrage zeige ich gerne den Rechenweg. Ich komme jedenfalls auf 1,228 FE, beide (Einheits-)Kreise haben als Gesamtfläche 2*pi*1²=6,283, die abgesteckte Fläche macht also nach meinen Berechnungen nicht 25% sondern nur 19,55 % der Gesamtfläche aus.
EDIT: hab mich hier vertan bei der Gesamtfläche. Die ist ja der obere Teil des 1. Kreises + die Teilfläche in der Mitte + die untere Fläche des 2. Kreises. Da kommt man auf
nicht Gesamtfläche 2pi sondern 2pi abzüglich der Schnittfläche. Die beträgt ungefähr 5,055. Und 1,228 dividert durch 5,055 macht 0,243 also 24,3 %
Also ich bin das Problem so angegangen:
Es geht um das Verhältnis von den beiden Kreisteilen, wobei der Öffnungswinkel 120 Grad betragt…
Dazu nutze ich die Tatsache, dass das Ganze symmetrisch zur x-Achse ist, also Winkel ist nun 60 Grad…
Die Fläche ist dann 2*Integral (sqrt(1-x^2)) mit den Grenzen -1 bis cos (alpha)
Ergibt die Stammfunktion sin(alpha)*cos(alpha) + Pi- alpha => cos(60) = 0,5
somit: sin(alpha) /2 + Pi- alpha
Ab jetzt in Radiant, 60 Grad => alpha = Pi/3
Akreis = r^2*Pi, mit r=1 => Akreis = Pi
Asegment = sin(alpha)/2 + Pi- Pi/3 = sin(alpha)/2 +2/3*Pi;
Asektor = Akreis - Asegment = Pi - (sin(alpha) /2 + Pi- Pi/3) = Pi/3 - sin(alpha)/2
Asektor / Asegment = (Pi/3 - sin(alpha)/2) / (sin(alpha)/2 +2/3*Pi) = 0.2430097937
Stimmt 😁😁😁
Eine nette Aufgabe für ein Referat bspw. in einem Leistungskurs wäre es, die Formel für die Fläche des Kreissegments analytisch zu berechnen. (1-x²)^½ nach dx zu integrieren ist mit variabler oberer Grenze nicht ganz trivial. Am besten wendet man das Verfahren der partiellen Integration an und bekommt zwei von x abhängige Terme, einen über ~arcsin(x) und einen über ~x, die addiert werden müssen. Dabei ergibt der erste Term die Fläche des Sektors, der zweite die Fläche des Dreiecks, das zur Fläche des Segments addiert werden muss.
Insgesamt eine ganz wunderbare Illustration des Verfahrens "partielle Integration".
1/4 der Fläche "gedaumt" kann man sich gut merken.
Ich betrachte erst einmal den Fall, dass beide Kreise den selben Radius r haben.
Wenn ich ich nicht verechnet habe, ist die Schnittflaeche (2*pi/3-sqrt(3)/2)*r^2 und die Gesamtflaeche betraegt 2*pi*r^2 abzueglich der Schnittfllaeche, also
(2*pi--(2*pi/3-sqrt(3)/2))*r^2=(4/3*pi+sqrt(3)/2)*r^2.
Die Schnittflaeche habe ich wie folgt berechnet:
Verbindet man die Kreismitttellpunte untereinander und jeweils mit den beiden Schnittpunkten der Kreise, erhaet man 2 gleichseitige Dreiece mit Seitenlaenge r.
Daraus ergibt sich, dass der zentriwinkel ueber dem Kreisbogen 120° ist. Die Flaeche des Kreissegments ("Tortenstuecks") ist ein Drittel der Kreisflaeche Die Schnittfaeche ist gleich der doppelten Differenz von Kreissegment und einem der gleichseitigen Dreiecke.. Daraus ergeben sich dann obenstehhende Werte.
Das Verhaettnis von Schnittflaeche zu Gesamtflaeche ist in diesemFall demnach *nicht* 1/4.
Ich halte es nicht fuer ziefuehrend,sich hier auf den Taschenrechner (der bei nicht rationalen Zahlen immer zu Rundungsfehern fuehrt) zu verwenden. Ich dene,man sollllte die Ungleichheit anders begruenden, bin mir aber jetzt nicht sicher, ob eine solche Begruendung nicht evt. ueber das Schulwissen hinaus geht.
Ich bin jetzt zu faul, um mir zu ueberlegen, wie man das Verhaeltnis der Kreisradien waehlen muesste (bzw. ob es sich so waehlen laesst), damit die Schnittflaeche wirklich 25% der Gesamtflaeche ist (obwohlin diesemmFall ja nicht beide Kreismittelpunkte jeweils auf der Kreislinie des anderen Kreises lliegen koennen).
Ich halte meine Ueberlegung mit den gleichseitigen Dreiecken fuer einfacher, um die Flaeche des Dreiecks zu bestimmen, aber das ist wohl Geschmacksache (dann wuerde man aber den Pythagoras nicht mehr benoetigen: das Verhaeltnis von Hoehe zu Grundseite im gleichseitigen Dreieck ist ja sin(60°)=sqrt(3)/2).
Ich glaube, Du hast, wenn auch nur mit einem Satz, das Hauptproblem angesprochen: Das Bulimie - Lernen. Wenn die Schüler nicht begreifen, daß sie einen großen Teil des Unterrichtsstoffes später wieder brauchen werden, ihn ohne langes Grübeln parat haben müssen, dann werden sie immer Schwierigkeiten haben.
In einem ganz anderen Video habe ich eine Aufgabe gesehen, mit einem Integral und Logarithmen, da wurde ausführlich die 3. Binomische Formel erklärt. Wenn so etwas nötig ist, na dann Gute Nacht!
Zuallererst könnte einem mal auffallen, dass das Verhältnis der SchnittFl zur GesamtFl
(aus Symmetrie Gründen)
gleich der SegmentFl zur Kreisfläche ist... ☝️
Das verstehe ich nicht. Wieso muss man die Fläche von diesem Dreieck abziehen? Was hat das mit dem Kreissegment zu tun?!
24,3% anstelle von 25,0% ist ein "Messfehler" von unter 2,8% also statistisch gesehen "zu vernachlässigen" ☝️ 🤦♀️ 👍 😇
(pro Cent)
Es geht hier aber um Mathematik, nicht um irgendwelche Techniksachen. In der Mathematik ist ist 24,3 weit entfernt von 25,0. Man darf auch auch in der Mathematik schreiben: sqrt(2) = 1,41.
Es ist ein Unterschied ob um um Messwerte, gerundete Werte oder mathematisch exakte Werte geht.
Guter Witz...
Mir fehlt die Begründung, dass die Höhe des Dreiecks genau der halbe Radius ist, für mich ist das nicht offensichtlich.
Die Umfänge beider Kreise laufen jeweils durch den Mittelpunkt des anderen. Das bedeutet, dass die Kreise genau gleich groß sind.
Nicht nur die beiden Radien sind gleich groß - auch die Schnittpunkte der Umfänge liegen genau symmetrisch zu der Verbindung der beiden Mittelpunkte. Darum muss die Verbindungslinie der Schnittpunkte die Verbindung der beiden Mittelpunkte genau halbieren. Und diese Verbindung der Mittelpunkte ist ja genau der Radius. Macht für die Höhe des Dreiecks genau 1/2 r.
Kurz: das ist genau die Konstruktion einer MITTEL Senkrechten ☝️ 😎
@@oliverfiedler8502Dein Kommentar geht meilenweit am Problem vorbei: Zum einen brauchen wir hier die Höhe, die nur zufällig mit der Mittelsenkrechten zusammenfällt, da das Dreieck gleichseitig ist...
Aber auch die Länge der Höhe ist nicht immer die Hälfte von... irgendwas.
Er sagte: die Kreissegmente sind kongruent, also identisch. Also sind die Segmenthöhen auch identisch.
@@oliverfiedler8502 Warum willst du unbedingt diskutieren wenn du nicht mal verstehst worum es geht?
Und die Konstruktion einer Mittelsenkrechten erfordert das Halbieren der Strecke, was hier nicht mal erfolgt.
Also liegt selbst dein hier völlig irrelevanter Kommentar meilenweit daneben.
Mindestens 2/6 da 6eck
alte. kurze haare waren besser vertrau