Apoiando SEMPRE. Todo GÊNIO às vezes complica. Não é mais visualmente entendível após descobrir Z² fazer a multiplicação cruzada? Eu juro pra você que imaginei você dizendo nesse instante com ar sorridente "já viu o resultado?". Abraço.
Boa resolução professor. Eu consegui resolver aplicando um teorema que, na minha opinião, anda esquecido nas escolas de nível médio. A relação de Stewart. E aqui no seu canal assisti um video com uma explicação "show de bola" e não esqueci. Logo que vi o desenho, já pensei nele para resolver. Os exercícios de Geometria Plana que demandam a utilização desse teorema de Stewart aparece de vez em quando nos exames para as escolas militares.
Então, Mano e Minas, vms fortalecer o Cristiano no like. Pow, o cara tá fazendo matemática 0800 para nós quebrarmos as questões e vcs amarram de dar um like e esparra os vídeos dele, aí não ué. Fala c nós filhote do IMPA, a favela aqui já fez a função dela: like e esparro do seu conteúdo. Abçs, Mestre !
Muito bom! Outra resolução, mas por trigonometria. Seja D o pé da ceviana. Aplicando a lei dos senos aos triângulos ABD e ADC, obtém-se: z/(√2/2)=x/sen(α) e z/(√2/2)=y/sen(90°- α) --> z²/(1/2)=x²/sen²(α) e z²/(1/2)=y²/cos²(α) --> 2z²sen²(α)=x² e 2z²cos²(α)=y² --> 2z²sen²(α)+2z²cos²(α)=x²+y² --> 2z²=x²+y² --> z²/(x²+y²)=1/2.
Mestre levei tinta. Se vale para qualquer ceviana vale para a mediana e para a mediana x=z=y é o resultado daria 2. Mas fiz de tudo e só consegui expressões que não convergiam para 1/2. Perdi quase uma hora tentando solucionar. Joguei a toalha. Vamos assistir ao vídeo e ver que manobra que você fez para resolver o problema. Já sentei o dedo no like, pois aqui é só vídeo de qualidade!
Mestre, mais uma pegadinha do malandro? No thumbnail não há menção que o triângulo é isósceles. Tento sempre resolver pela chamada do thumbnail. Poderia ter alertado lá. Passei o vídeo e retornarei a prancheta após a ceia. Perdi cerca de uma hora me engalfinhando com o problema. Aguarde-me retorno em breve. Para jogar a toalha ou para apresentar uma solução que dê 1/2.
Já tirei a barriga da espinhela como dizia minha bisavó, de pança cheia. Vamos denominar a medida dos catetos de b. logo 2b^2=(x+y)^2 (i) Vamos aplicar lei dos cossenos nos dois triângulos, particionados. z^2=b^2+x^2-raiz(2)*b*x (ii) z^2=b^2+y^2-raiz(2)*b*y (iii) somando-se (ii) e (iii) 2*z^2=2b^2+x^2+y^2-raiz(2)*a*(x+y) (iv) Mas 1/2*(x+y)*b*raiz(2)/2=S, área do triângulo. Logo o termo: -raiz(2)*b*(x+y)=-4S Mas a área pode ser calculada como:S=1/2*(x+y)*h Mas é sabido que em um triângulo isósceles as cevinas notáveis relativas ao vértice da interseção de dois lados congruentes se confundem, i.e., a mediana, a bissetriz e a altura são iguais. E é sabido que a mediana de um triângulo retângulo mede o mesmo que o raio do círculo circunscrito e vale metade da hipotenusa. Logo: S=1/2(x+y)*(x+y)/2 ==> ==> -4*S= -(x+y)^2, Mas por(i) 2^b^2=(x+y)^2 Logo a primeira e a terceira parcela de(iv) se anulam e resta 2z^2= x^2+y^2 ==> z^2/(x^2+y^2)= 1/2. Resultado já esperado como comentara anteriormente.
Professor, uma dúvida: Eu poderia afirmar que a altura do triângulo seria (x+y)/2, uma vez que, ao inscrever um triângulo retângulo numa circunferência, a hipotenusa seria o diâmetro e a altura, por conseguinte, seria o equivalente ao raio?
Apoiando SEMPRE. Todo GÊNIO às vezes complica. Não é mais visualmente entendível após descobrir Z² fazer a multiplicação cruzada? Eu juro pra você que imaginei você dizendo nesse instante com ar sorridente "já viu o resultado?". Abraço.
🤔
Que questão linda de geometria plana, agregada a uma explicação e didática de muita qualidade. Parabéns, Professor Cristiano!
Muito obrigado pelo elogio. 😉
Assistir vc resolvendo geometria plana é um excelente passatempo, adoro;
Obrigado pelo elogio!
Boa resolução professor.
Eu consegui resolver aplicando um teorema que, na minha opinião, anda esquecido nas escolas de nível médio. A relação de Stewart. E aqui no seu canal assisti um video com uma explicação "show de bola" e não esqueci. Logo que vi o desenho, já pensei nele para resolver.
Os exercícios de Geometria Plana que demandam a utilização desse teorema de Stewart aparece de vez em quando nos exames para as escolas militares.
É impressionante como a Relação de Stewart é útil e muitas vezes ignorada, parabéns por saber utilizá-la!
Além de curtir, tem que bater palmas 👏 👏 👏
Parabéns pela clareza na explicação.
Um dia eu chego lá 💪
Muitíssimo obrigado
Um bela Questão Mestre Parabéns Por O Senhor Tira Um Pouco Do Seu Tempo Pra Nós Da um Pouco De Aprendizado A Mais 😉❤️
Muitíssimo obrigado
Brilhante como de costume!
Obrigado
Excelente didática
Obrigado! 😊
Aula extremamente Importante, meus parabens professor!
Muito obrigado pelas palavras!
Show
Super!
9:50 "e o toc, e o toc?" show rsrs
🤣🤣
Já dei meu like. Questão boa.
Show! Obrigado
Então, Mano e Minas, vms fortalecer o Cristiano no like. Pow, o cara tá fazendo matemática 0800 para nós quebrarmos as questões e vcs amarram de dar um like e esparra os vídeos dele, aí não ué. Fala c nós filhote do IMPA, a favela aqui já fez a função dela: like e esparro do seu conteúdo. Abçs, Mestre !
Muitíssimo obrigada
Maravilha!!!
Obrigado
Sempre dou o like! 👍🏻👍🏻👍🏻Se pudesse daria mais de um like! Show do Cristiano! A matemática é sim para todos, graças aos Cristianos da vida! 👏👏👏👏
Obrigado
Muito bom! Outra resolução, mas por trigonometria. Seja D o pé da ceviana. Aplicando a lei dos senos aos triângulos ABD e ADC, obtém-se: z/(√2/2)=x/sen(α) e z/(√2/2)=y/sen(90°- α) --> z²/(1/2)=x²/sen²(α) e z²/(1/2)=y²/cos²(α) --> 2z²sen²(α)=x² e 2z²cos²(α)=y² --> 2z²sen²(α)+2z²cos²(α)=x²+y² --> 2z²=x²+y² --> z²/(x²+y²)=1/2.
👏👏👏👏
Nada de esquecer de dar o like, pessoal. Já dá o like logo no início, pra não esquecer.
Muitíssimo obrigado
Mestre levei tinta. Se vale para qualquer ceviana vale para a mediana e para a mediana x=z=y é o resultado daria 2. Mas fiz de tudo e só consegui expressões que não convergiam para 1/2. Perdi quase uma hora tentando solucionar. Joguei a toalha. Vamos assistir ao vídeo e ver que manobra que você fez para resolver o problema. Já sentei o dedo no like, pois aqui é só vídeo de qualidade!
Mestre, mais uma pegadinha do malandro? No thumbnail não há menção que o triângulo é isósceles. Tento sempre resolver pela chamada do thumbnail. Poderia ter alertado lá. Passei o vídeo e retornarei a prancheta após a ceia. Perdi cerca de uma hora me engalfinhando com o problema. Aguarde-me retorno em breve. Para jogar a toalha ou para apresentar uma solução que dê 1/2.
Já tirei a barriga da espinhela como dizia minha bisavó, de pança cheia.
Vamos denominar a medida dos catetos de b.
logo 2b^2=(x+y)^2 (i)
Vamos aplicar lei dos cossenos nos dois triângulos, particionados.
z^2=b^2+x^2-raiz(2)*b*x (ii)
z^2=b^2+y^2-raiz(2)*b*y (iii)
somando-se (ii) e (iii)
2*z^2=2b^2+x^2+y^2-raiz(2)*a*(x+y) (iv)
Mas 1/2*(x+y)*b*raiz(2)/2=S, área do triângulo. Logo o termo:
-raiz(2)*b*(x+y)=-4S
Mas a área pode ser calculada como:S=1/2*(x+y)*h
Mas é sabido que em um triângulo isósceles as cevinas notáveis relativas ao vértice da interseção de dois lados congruentes se confundem, i.e., a mediana, a bissetriz e a altura são iguais.
E é sabido que a mediana de um triângulo retângulo mede o mesmo que o raio do círculo circunscrito e vale metade da hipotenusa.
Logo: S=1/2(x+y)*(x+y)/2 ==>
==> -4*S= -(x+y)^2,
Mas por(i) 2^b^2=(x+y)^2
Logo a primeira e a terceira parcela de(iv) se anulam e resta
2z^2= x^2+y^2 ==> z^2/(x^2+y^2)= 1/2. Resultado já esperado como comentara anteriormente.
*Solução:*
Seja AB = AC = a. Usando a relação de Stewart no ∆ABC, temos:
a²x + a²y - z²(x+y) = xy (x + y)
a²(x + y) - z²(x+y) = xy (x + y), dividindo ambos os membros por x+y, obtemos:
a² - z²= xy, por outro lado,
como o ∆ABC é retângulo e isósceles, logo:
x + y = a√2 → a² = (x+y)²/2. Daí,
(x+y)²/2 - z² = xy
(x+y)² - 2z² = 2xy
x² + 2xy + y² - 2z² = 2xy
x² + y² - 2z² = 0
2z² = x² + y². Portanto,
*z²/(x² + y²) = 1/2.*
👍👏👍👏
Será que se tentar fazer pela relação de stewart também sai?
Creio que sim
Professor, uma dúvida:
Eu poderia afirmar que a altura do triângulo seria (x+y)/2, uma vez que, ao inscrever um triângulo retângulo numa circunferência, a hipotenusa seria o diâmetro e a altura, por conseguinte, seria o equivalente ao raio?
Certamente!!
Não julgo eu atravessaria a tela também. 😂
🤣🤣🤣🤣🤣
Seja AB=AC=a^2
Seja h a altura do triângulo ABC
Seja k a metade da hipotenusa do triângulo ABC
Seja v a distância entre o ponto de intersecção do segmento z com a hipotenusa (triângulo ABC) e o ponto de intersecçao da altura h com a hipotenusa (triângulo ABC)
(x + y)^2 = a^2 + a^2
(x + y)^2 = 2*a^2
a^2 = (x + y)^2/2
x + y = 2k
k = (x + y)/2
k^2 = (x + y)^2/4
v = k - x
v^2 = k^2 - 2kx + x^2
z^2 = v^2 + h^2 (1)
a^2 = k^2 + h^2 (2)
(1) - (2)
z^2 - a^2 = v^2 - k^2
z^2 - a^2 = v^2 - (x + y)^2/4
4*z^2 - 4*a^2 = 4*v^2 - (x + y)^2
4*z^2 - 4*(x + y)^2/2 = 4*v^2 - (x + y)^2
4*z^2 - 2*(x + y)^2 = 4*v^2 - (x + y)^2
4*z^2 - 2*(x + y)^2 = 4*(k^2 - 2kx + x^2) - (x + y)^2
4*z^2 - 2*(x + y)^2 = 4*k^2 - 8*k*x + 4*x^2 - (x + y)^2
4*z^2 - 2*(x + y)^2 = 4*(x + y)^2/4 - 8*(x + y)*x/2 + 4*x^2 - (x + y)^2
4*z^2 - 2*(x + y)^2 = (x + y)^2 - 4*(x + y)*x + 4*x^2 - (x + y)^2
4*z^2 - (x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2 - 4*x^2 - 4*x*y + 4*x^2
4*z^2 - x^2 - 2*x*y - y^2 = x^2 + 2*x*y + y^2 - 4*x^2 - 4*x*y + 4*x^2
4*z^2 = x^2 + 2*x*y + y^2 + x^2 + 2*x*y + y^2 - 4*x^2 - 4*x*y + 4*x^2
4*z^2 = 2*x^2 + 2*y^2
2z^2 = x^2 + y^2
z^2 = (x^2 + y^2)/2
Resolvendo a expressão
z^2 / x^2 + y^2
((x^2 + y^2)/2) / x^2 + y^2
(x^2 + y^2)/2*(x^2 + y^2)
1/2
Muito obrigado!!!
👏👏👏👏