Isso é característico de qualquer olimpíada de matemática, mas perceba, pelo menos nesse caso, que é necessário conhecer a propriedade das cordas que se encontram num ponto interno do círculo, coisa que passa batido nas aulas de geometria, para conseguir resolver o problema.
Eu não lembrava da regra das cordas que se cruzam então resolvi sem isso, apenas traçando dois triângulos. Usei o primeiro triângulo que você desenhou. Nele, com Pitágoras, tenho uma equação que relaciona R (raio) com y (aquele pequeno trecho que depois vc descobriu ser 4,5). Depois usei outro triângulo que ia do centro da esfera até C, de C ao meio de CB (que vale 6,5), e daí de volta ao centro da esfera (que vale y+6). Assim consegui, de novo por Pitágoras, outra relação entre R e y. Duas equações e duas incógnitas, substituí uma na outra e problema resolvido, R=12,35)
@@ProfessoremCasa imagina um plano cartesiano centrado no centro do círculo e com eixos x e y paralelos a AB e AD, respectivamente. Vamos dizer que D está na posição (x,y) Note que B está 18 unidades acima de D e 6 unidades a direita; ou seja, B está em (x+6, y+18) Analogamente, C está 13 unidades abaixo de B C está em (x+6, y+5) O centro do círculo, digamos O está em (0,0), a circunferência tem a seguinte propriedade: todos os pontos dela estão a distância r do centro. medida(OA)=sqrt(x²+y²)=r x²+y²=r² (I) analogamente: (x+6)²+(y+18)²=r² (II) (x+6)²+(y+5)²=r² (III) Aí é só resolver. É um sistema de não linear com 3 equações e 3 incógnitas mas os números ajudam um pouco. Fazendo (II) - (III) (y+18)²-(y+5)²=0 (y+18)²=(y+5)² Existem 2 possibilidades para z²=w².... z=w(o que é impossível para z=y+18 e w=y+5).... ou z=-w y+18=-(y+5) 2y=-23 y=-23/2 Fazendo (III) - (II) (x+6)²+(y+5)²-(x²+y²)=0 12x+36+10y+25=0 [agora eu substituo o y=-23/2... ou 10y=-115] 12x+61-115=0 x=54/12=9/2 voltando em (I) r²=(9/2)²+(-23/2)² Chegaste ao mesmo resultado em 8:13... a diferença é que, dentro do quadrado, 23/2 está com o sinal oposto, o que não altera no valor.
A resolução ser maior que a apresentada no video não é demérito algum, afinal, a MAIOR PARTE de vcs sequer pensaria em resolver a questao conforme proposto no video, daí fariam oq? Pular a questão?? Saber desenvolver questoes matemáticas de multiplas formas agrega seu percentual de acerto
bateu uma nostalgia agora... isso pq faz 20 anos ja 0.0 q frequentei a turma ITA do colégio onde estudei e haviam muitas questões bem interessantes como essa. Não lembro mais de nada haha
Depois de ter achado o valor 15, não era mais fácil ter calculado sqrt(21*21 + 13*13)/2 = sqrt(610)/2? Já que um triângulo inscrito no circulo é retângulo se e somente se a hipotenusa for igual ao diametro do circulo?
*Outra maneira de fazer essa questão:* Se eu conseguir formar um triângulo numa circunferência, eu posso usar a fórmula: S=abc/4R, onde S é a área do triângulo, a, b e c são os lados e, por fim, R é o raio da circunferência. É possível formar o triângulo DCB, onde podemos encontrar a área S, da seguinte maneira: S=AB×BC/2=6×13/2= *3×13* DC²=5²+6²=61→ *DC=√61.* BD²=AB²+AD²=6²+18²=360 *BD=6√10* Assim, S=BD×DC×BC/4R 3×13=(6×√10×√61 ×13)/4R 1=(2×√10×√61)/4R 1=(√10×√61)/2R 1=(√610)/2R *R=(√610)/2*
Eu resolvi de outra forma ainda hahah Depois que vc desenha o primeiro raio até aquele ponto acima do A e forma um triângulo retângulo, eu fiz um segundo raio até o ponto B formando um segundo triângulo retângulo, onde o primeiro é r²=(23/2)²+x² e o segundo é r²=(13/2)²+(x+6)². Daí foi só igualar as equações [(13/2)²+(x+6)²=(23/2)²+x²], achar X (que resulta em 4,5) e resolver alguma das hipotenusas pra achar o raio (aprox. 12,349 u.c.).
Eu fiz o mesmo primeiro link que você, mas fiz um segundo link do centro ao ponto B. Fiz os dois pitagoras e um sistema com duas incognitas. Seu certo tb
Eu pensei em uma solução aqui com três triangulos isósceles (seja O o centro do círculo): - 1: triângulo BOD, com base 6*\sqrt{10} e demais lados R com um ângulo (em O) \alpha_1 - 2: triângulo BOC com base 13 e demais lados R com um ângulo (em O) \alpha_2 - 3: triângulo COD com base \sqrt{61} e demais lados R com um ângulo em O (\alpha_1 - \alpha_2) Então, aplicando a Lei dos cossenos nos três triângulos: T1: 360 = 2R^2 (1 - cos(\alpha_1)) T2: 169 = 2R^2 (1-cos(\alpha_2)) T3: 61 = 2R^2 (1-cos(\alpha_1 - \alpha_2)) Por diferença de arcos: cos(\alpha_1 - \alpha_2) = cos(\alpha_1)*cos(\alpha_2) + sen(\alpha_1)*sen(\alpha_2) Pela relação fundamental da trigonometria e o fato de que todo angulo está nos dois primeiros quadrantes (sen>=0): sen(\alpha_1) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha_1)} sen(\alpha_2) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha_2)} De T1: cos(\alpha_1) = (R^2 - 180)/R^2, portanto, sen(\alpha_1) = \sqrt{360(90-R^2)}/R^2 De T2: cos(\alpha_2) = (2R^2 - 169)/2R^2 portanto, sen(alpha_2) = 13\sqrt(169 - 4R^2)/2R^2 Substituindo esses valores em T3, temos uma equação biquadrática que depois de *bastante* conta se resume a 4R^4-610R^2 = 0, de onde conclui-se que o único R positivo é \sqrt{610}/2. É aquela coisa de sempre: lei dos cossenos quase sempre resolve, mas quase nunca é a melhor solução rs.
Prolongado o segmento AB temos uma corda de 21 cm que faz com a corda de 13 cm um ângulo inscrito de 90°, os extremo dessas cordas são o diâmetro da circunferência então usando o teorema de Pitágoras temos (21*21)+ (13*13) = (2r*2r) 610/4 =( r × r) r = 12,3 cm aproximadamente
Ângulo ABC de 90 graus, automaticamente você conclui que se trata de um triângulo retângulo inscrito que possui como hipotenusa o diâmetro da circunferência.
Bela questão, Felipe! Parabéns pelo vídeo! Encontrei um caminho alternativo. Vamos a ele ... Prolonguei DA e chamei de "E" o ponto de interseção desse prolongamento com a circunferência, encontrei AE = 5 e, por Pitágoras, EB = raiz(61). Da mesma forma, também por pitágoras, BD = raiz(360) = 6*raiz(10). Logo, o triângulo DEB possui lados EB = raiz(61), BD = 6*raiz(10) e DE = 23. Além disso, sua área é [23 (base) * 6 (altura)] / 2 = 69. Como o triângulo BED é inscrito ao círculo, pode-se aplicar a relação S = (a*b*c)/(4*R), em que S é a área do triângulo de lados a, b e c inscrito no círculo de raio "R". Aplicando os resultados obtidos, tem-se 69 = [raiz(61)*6*raiz(10)*23] / (4*R) => R = raiz(610)/2. Espero ter contribuído. Grande abraço!
@@jadneves Tranquilo! Escrevo sqrt normalmente. A opção de escrever RAIZ nesses comentários é pensando em comunicar com alguns "leigos" que tb assistem esses vídeos. Ao escrever de maneira "menos formal", a intenção é incentivar a todos que querem acompanhar, não só a galera mais entendida. Mas sua observação é pertinente.
O ângulo inscrito na circunferência é a metade do ângulo do arco. Logo o ângulo ABC de 90 é a metade de 180 graus, ou seja, o diâmetro da circunferência. Temos um triângulo retângulo de catetos 15, 13 e hipotenusa/diâmetro = √610 raio é a metade. √610/2
Depois de usar potência de ponto para achar x = 15, para achar o raio R bastaria fazer um Pitágoras naquele triângulo retângulo inscrito na semicircunferência: (2R)² = (15+6)²+13².
Eu acredito que fica ainda mais simples fazendo assim: Pelo teorema de Pitágoras dá pra calcular a distância entre C e D, que é a hipotenusa de um triângulo com catetos 5 e 6. Dá a raiz quadrada de 61. Também por Pitágoras dá pra calcular a distância entre os pontos B e D, que é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos 6 e 18. Dá 6 vezes a raiz de 10. Assim, o seno do ângulo cBd é 1 dividido pela raiz de 10. Como todos os ângulos inscritos de uma circunferência que enxergam o mesmo arco tem a mesma medida, existe um triângulo que um dos lados é o diâmetro (logo é retângulo, e o diâmetro é a hipotenusa), um dos catetos é raiz de 61 e o seno do ângulo oposto a esse cateto é 1/raiz de 10. Daí, como seno é a medida do cateto oposto pela da hipotenusa, o diâmetro fica sendo a raiz de 610, e o raio a raiz de 610 dividido por 2.
desculpa a pergunta mas tem como eu saber exatamente onde é o centro da circunferência nesse exercício? se eu movesse um pouco para o lado o centro hipotética o raio mudaria, dessa forma como sei que o raio é onde vc desenhou? abraços
Encontrei o mesmo resultado fazendo um pouco diferente. Vc acabou encontrando um retangulo dentro do circulo. O seu centro passa a linha da hipotenusa do retangulo que corresponderá ao diametro do circulo, sendo o raio sua metade. O retangulo encontrado foi de lado 13 e 21. De qualquer parabéns pelo exercicio.
Após encontrar que o x vale 15 completei ele com o 6 de A-B, resultando em X+AB=21, após descobrir o 21 podemos fechar um retângulo ligando 21 na aresta superior, 13 ligando BC, 21 na aresta inferior e 13 na aresta lateral esquerda. após isso é só tirar a hipotenusa e dividir por 2, deu o mesmo resultado
Professor eu gostaria de aprender como você fez aquela multiplicação de 23 ao quadrado, sem ter que montar de fato aquela continha básica de 23 embaixo de 23 e multiplicar, desse modo seu é mais fácil, você poderia fazer um vídeo explicando ? Essa maneira sua fica menos poluído as contas (N sei se deu pra entender oq eu quis dizer) não entendi da o que você quis dizer que “multiplico geral” Em 08:30
Tem um retângulo com dois lados de 13 e dois de 21. Corta na diagonal e fica com um triângulo de base 21, lado 13 e ? O diâmetro do círculo. Não seria mais simples essa conclusão?
Chegaria em um valor próximo. Achei q continuaria calculando a partir do 15. O mesmo poderia ser feito traçando uma nova reta para baixo, 15 + 6 = 21. E eu tenho o outro valor q é 4.5, q calcula o pedaço restante q falta. Portanto daria 25.5, ja o raio ficaria 12,75. N é exato, mas é bem próximo a ele
nao poderia usar a teoria das cordas no meio do circulo, para encontrar o diametro direto? ficaria 21*X=6.5*6.5 X=42.25/21 X=2 diametro=21+2=23 raio=11.5 poderia ser feito dessa forma?
Prolongue a reta BA até o outro lado da circunferência (ponto E). A mediatriz de BE será um diâmetro. Além disso, tanto essa mediatriz quanto o segmento AD farão 90° com a corda BE, logo, caímos na situação de duas paralelas cortadas por uma transversal. Portanto, esse diâmetro (mediatriz de BE) será paralelo a AD. Essa mesma lógica também explica porque BC é paralelo a AD.
Resolução alternativa: Defina um plano cartesiano com centro em D. Assim, voce já terá as seguintes coordenadas já definidas: A = (0 , 18) B = (6 , 18) C = (6 , 5) D = (0 , 0) adotando o centro desse círculo como (x , y), já se tem três equações de distancia entre pontos: (x,y) pra B, pra C e pra D. Todas essas distancias valem o raio R que se quer descobrir. 3 equações e 3 incógnitas (R, x e y), logo, já da pra resolver. Só com conhecimentos básicos de geometria analítica, sem nenhuma dessas sacadas de propriedade de circuferência que te obrigam a decorar.
Guerreiro, tua explicação é muito boa, só precisa tirar a mão da frente, pra vermos onde está riscando...só uma observação mesmo......ao mais, parabéns!!
Temos uma Multa milionária para o cartório Eleitoral de Glória do Goitá. Dona Maria Nathalia Rufino de Farias é Secretária Matrimonial e transa com o primeiro Marido. Não Pode. Matilde e a mesma e estamos com sérios problemas de ordem social!
É uma questão maravilhosa porquê exige muito mais raciocínio lógico que geometria analítica.
Isso é característico de qualquer olimpíada de matemática, mas perceba, pelo menos nesse caso, que é necessário conhecer a propriedade das cordas que se encontram num ponto interno do círculo, coisa que passa batido nas aulas de geometria, para conseguir resolver o problema.
@@wiliansp87 Dá para resolver sem isso, veja meu comentário acima! 👍
@@wiliansp87exatamente, sou formado em engenharia e sempre gostei mto de matemática e nunca tinha aprendido o teorema das cordas.
Resolvi de uma forma bem mais complicada. Essa sacada foi show professor!!
@@marcelowanderleycorreia8876 Dá para resolver utilizando apenas dois triângulos. Veja minha explicação acima. 👍
Eu não lembrava da regra das cordas que se cruzam então resolvi sem isso, apenas traçando dois triângulos. Usei o primeiro triângulo que você desenhou. Nele, com Pitágoras, tenho uma equação que relaciona R (raio) com y (aquele pequeno trecho que depois vc descobriu ser 4,5). Depois usei outro triângulo que ia do centro da esfera até C, de C ao meio de CB (que vale 6,5), e daí de volta ao centro da esfera (que vale y+6). Assim consegui, de novo por Pitágoras, outra relação entre R e y. Duas equações e duas incógnitas, substituí uma na outra e problema resolvido, R=12,35)
genio
Genial
Vamos estudar para concurso apenas pelas questões dos chineses que aí acertaremos as questões de matemática Brasileira.....
😄
As questões peruanas de geometria são pra lascar .
@@JulianoFerreira-e2z KKK valha me Deus
matemática brasileira!!!
Vai fazer concurso pra Portugal? Kkk
Tem como resolver por geometria analítica tb, da pra definir 3 pares ordenados com as informações que temos
Opa! Manda a resolução escrita aqui. 🙂
@@ProfessoremCasa imagina um plano cartesiano centrado no centro do círculo e com eixos x e y paralelos a AB e AD, respectivamente.
Vamos dizer que D está na posição (x,y)
Note que B está 18 unidades acima de D e 6 unidades a direita;
ou seja, B está em (x+6, y+18)
Analogamente, C está 13 unidades abaixo de B
C está em (x+6, y+5)
O centro do círculo, digamos O está em (0,0), a circunferência tem a seguinte propriedade: todos os pontos dela estão a distância r do centro.
medida(OA)=sqrt(x²+y²)=r
x²+y²=r² (I)
analogamente:
(x+6)²+(y+18)²=r² (II)
(x+6)²+(y+5)²=r² (III)
Aí é só resolver. É um sistema de não linear com 3 equações e 3 incógnitas mas os números ajudam um pouco. Fazendo (II) - (III)
(y+18)²-(y+5)²=0
(y+18)²=(y+5)²
Existem 2 possibilidades para z²=w².... z=w(o que é impossível para z=y+18 e w=y+5).... ou z=-w
y+18=-(y+5)
2y=-23
y=-23/2
Fazendo (III) - (II)
(x+6)²+(y+5)²-(x²+y²)=0
12x+36+10y+25=0 [agora eu substituo o y=-23/2... ou 10y=-115]
12x+61-115=0
x=54/12=9/2
voltando em (I)
r²=(9/2)²+(-23/2)²
Chegaste ao mesmo resultado em 8:13... a diferença é que, dentro do quadrado, 23/2 está com o sinal oposto, o que não altera no valor.
@@matheusjahnke8643sua resolução muito grande e nada prática, desculpe amigo
foi a primeira coisa que eu pensei, mas a solução iria ser muito grande, principalmente se comparado com a do video
A resolução ser maior que a apresentada no video não é demérito algum, afinal, a MAIOR PARTE de vcs sequer pensaria em resolver a questao conforme proposto no video, daí fariam oq? Pular a questão?? Saber desenvolver questoes matemáticas de multiplas formas agrega seu percentual de acerto
Fez parecer fácil. Parabéns.
bateu uma nostalgia agora... isso pq faz 20 anos ja 0.0 q frequentei a turma ITA do colégio onde estudei e haviam muitas questões bem interessantes como essa. Não lembro mais de nada haha
toppp , tava só esperando colocar um teorema de Fauren ( a²+b²+c²+d² = 4r²) quando achou o 15 , mas mto legal essa solução!
Questão dificil mas fez parecer fácil, muito bem explicado
Muito obrigado! 🙂
Didática excelente, parabéns 🙏
Começa parecendo impossível, mas o caminho vai se revelando... matemática é um negócio bonito! Com inteligência a gente da um jeito pra tudo
Rapaz! E eu achando as questões de matemática no Brasil difícil kkkkkk
😄
Mas é o mais difícil, os dos Estados Unidos é mais fácil
Jóia demais meu irmão. Parabéns!!!
Depois de ter achado o valor 15, não era mais fácil ter calculado sqrt(21*21 + 13*13)/2 = sqrt(610)/2? Já que um triângulo inscrito no circulo é retângulo se e somente se a hipotenusa for igual ao diametro do circulo?
Essa foi a minha solução. Vc prova que a hipotenusa é o diâmetro pq 180° é o dobro do ângulo inscrito de 90
*Outra maneira de fazer essa questão:*
Se eu conseguir formar um triângulo numa circunferência, eu posso usar a fórmula:
S=abc/4R, onde S é a área do triângulo, a, b e c são os lados e, por fim, R é o raio da circunferência.
É possível formar o triângulo DCB, onde podemos encontrar a área S, da seguinte maneira:
S=AB×BC/2=6×13/2= *3×13*
DC²=5²+6²=61→ *DC=√61.*
BD²=AB²+AD²=6²+18²=360
*BD=6√10*
Assim,
S=BD×DC×BC/4R
3×13=(6×√10×√61 ×13)/4R
1=(2×√10×√61)/4R
1=(√10×√61)/2R
1=(√610)/2R
*R=(√610)/2*
" um raio é perpendicular a uma corda se, e somente se passa pelo seu ponto médio"
Professor, ao encontrar as medidas das cordas já poderia usar o teorema de Faure.
Muito bom!
Sou professor de geografia, mas quando eu percebi já tinha visto tudo e adorei! hahaha inscrito :)
Questão muito legal!
Adoro suas explicações ❤
Obrigado! 🙂
Eu resolvi de outra forma ainda hahah
Depois que vc desenha o primeiro raio até aquele ponto acima do A e forma um triângulo retângulo, eu fiz um segundo raio até o ponto B formando um segundo triângulo retângulo, onde o primeiro é r²=(23/2)²+x² e o segundo é r²=(13/2)²+(x+6)². Daí foi só igualar as equações [(13/2)²+(x+6)²=(23/2)²+x²], achar X (que resulta em 4,5) e resolver alguma das hipotenusas pra achar o raio (aprox. 12,349 u.c.).
@@gustavolemketruppel1481 Boa. Também resolvi de maneira similar. Resolução detalhada mais acima. 👍
Excelente resolução
Que sensacional!
B•
C•
É uma Corda.
Que toca dois pontos desta circunferência.
Em Apoti estes dois pontos estão no Sítio de Geraldo Uchoa.
Eu fiz o mesmo primeiro link que você, mas fiz um segundo link do centro ao ponto B. Fiz os dois pitagoras e um sistema com duas incognitas. Seu certo tb
Valeu pelo video!!
Eu pensei em uma solução aqui com três triangulos isósceles (seja O o centro do círculo):
- 1: triângulo BOD, com base 6*\sqrt{10} e demais lados R com um ângulo (em O) \alpha_1
- 2: triângulo BOC com base 13 e demais lados R com um ângulo (em O) \alpha_2
- 3: triângulo COD com base \sqrt{61} e demais lados R com um ângulo em O (\alpha_1 - \alpha_2)
Então, aplicando a Lei dos cossenos nos três triângulos:
T1: 360 = 2R^2 (1 - cos(\alpha_1))
T2: 169 = 2R^2 (1-cos(\alpha_2))
T3: 61 = 2R^2 (1-cos(\alpha_1 - \alpha_2))
Por diferença de arcos: cos(\alpha_1 - \alpha_2) = cos(\alpha_1)*cos(\alpha_2) + sen(\alpha_1)*sen(\alpha_2)
Pela relação fundamental da trigonometria e o fato de que todo angulo está nos dois primeiros quadrantes (sen>=0):
sen(\alpha_1) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha_1)}
sen(\alpha_2) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha_2)}
De T1:
cos(\alpha_1) = (R^2 - 180)/R^2,
portanto, sen(\alpha_1) = \sqrt{360(90-R^2)}/R^2
De T2:
cos(\alpha_2) = (2R^2 - 169)/2R^2
portanto, sen(alpha_2) = 13\sqrt(169 - 4R^2)/2R^2
Substituindo esses valores em T3, temos uma equação biquadrática que depois de *bastante* conta se resume a 4R^4-610R^2 = 0, de onde conclui-se que o único R positivo é \sqrt{610}/2.
É aquela coisa de sempre: lei dos cossenos quase sempre resolve, mas quase nunca é a melhor solução rs.
Excelente!
Parabéns pelo conteúdo
Se amanhecer ao noitecer então vc estará apto a ser surpreendido ou se a vaca tossir haha
Nem na China essa questão vai ter mais de 1%. É questão de olimpíada. Se duvidar nem entre o pessoal que competiu chegou a 20%
Prolongado o segmento AB temos uma corda de 21 cm que faz com a corda de 13 cm um ângulo inscrito de 90°, os extremo dessas cordas são o diâmetro da circunferência então usando o teorema de Pitágoras temos
(21*21)+ (13*13) =
(2r*2r)
610/4 =( r × r)
r = 12,3 cm aproximadamente
@@zlavankorps8165potência de ponto
@@zlavankorps8165Provavelmente do mesmo jeito que feito no vídeo. Usa o teorema das cordas para chegar na corda de 21 cm
Ângulo ABC de 90 graus, automaticamente você conclui que se trata de um triângulo retângulo inscrito que possui como hipotenusa o diâmetro da circunferência.
Gostei bastante!
Bela questão, Felipe! Parabéns pelo vídeo!
Encontrei um caminho alternativo. Vamos a ele ...
Prolonguei DA e chamei de "E" o ponto de interseção desse prolongamento com a circunferência, encontrei AE = 5 e, por Pitágoras, EB = raiz(61).
Da mesma forma, também por pitágoras, BD = raiz(360) = 6*raiz(10).
Logo, o triângulo DEB possui lados EB = raiz(61), BD = 6*raiz(10) e DE = 23. Além disso, sua área é [23 (base) * 6 (altura)] / 2 = 69.
Como o triângulo BED é inscrito ao círculo, pode-se aplicar a relação S = (a*b*c)/(4*R), em que S é a área do triângulo de lados a, b e c inscrito no círculo de raio "R".
Aplicando os resultados obtidos, tem-se 69 = [raiz(61)*6*raiz(10)*23] / (4*R) => R = raiz(610)/2.
Espero ter contribuído. Grande abraço!
Ao invés de escrever "raiz" escreveria na norma "sqr(...)"
@@jadneves Tranquilo! Escrevo sqrt normalmente. A opção de escrever RAIZ nesses comentários é pensando em comunicar com alguns "leigos" que tb assistem esses vídeos. Ao escrever de maneira "menos formal", a intenção é incentivar a todos que querem acompanhar, não só a galera mais entendida. Mas sua observação é pertinente.
O ângulo inscrito na circunferência é a metade do ângulo do arco. Logo o ângulo ABC de 90 é a metade de 180 graus, ou seja, o diâmetro da circunferência. Temos um triângulo retângulo de catetos 15, 13 e hipotenusa/diâmetro = √610 raio é a metade. √610/2
Esse problema é perfeito!
Depois de usar potência de ponto para achar x = 15, para achar o raio R bastaria fazer um Pitágoras naquele triângulo retângulo inscrito na semicircunferência: (2R)² = (15+6)²+13².
Eu acredito que fica ainda mais simples fazendo assim:
Pelo teorema de Pitágoras dá pra calcular a distância entre C e D, que é a hipotenusa de um triângulo com catetos 5 e 6. Dá a raiz quadrada de 61.
Também por Pitágoras dá pra calcular a distância entre os pontos B e D, que é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos 6 e 18. Dá 6 vezes a raiz de 10. Assim, o seno do ângulo cBd é 1 dividido pela raiz de 10.
Como todos os ângulos inscritos de uma circunferência que enxergam o mesmo arco tem a mesma medida, existe um triângulo que um dos lados é o diâmetro (logo é retângulo, e o diâmetro é a hipotenusa), um dos catetos é raiz de 61 e o seno do ângulo oposto a esse cateto é 1/raiz de 10.
Daí, como seno é a medida do cateto oposto pela da hipotenusa, o diâmetro fica sendo a raiz de 610, e o raio a raiz de 610 dividido por 2.
@@vitorta6696 Boa! Também fiz de outra maneira utilizando dois triângulos. Veja minha explicação acima. 👍
O cara é uma máquina, céloko...
Bela questão! Grande solução! Parabéns!
Obrigado! 😀
Eu peguei o triângulo retângulo grande mesmo, ele passa pelo centro tem lado 21 e 13 e a hipotenusa é 2 raios. Pronto.
estava procurando se alguém tinha percebido isso tb.
desculpa a pergunta mas tem como eu saber exatamente onde é o centro da circunferência nesse exercício? se eu movesse um pouco para o lado o centro hipotética o raio mudaria, dessa forma como sei que o raio é onde vc desenhou? abraços
Encontrei o mesmo resultado fazendo um pouco diferente. Vc acabou encontrando um retangulo dentro do circulo. O seu centro passa a linha da hipotenusa do retangulo que corresponderá ao diametro do circulo, sendo o raio sua metade. O retangulo encontrado foi de lado 13 e 21. De qualquer parabéns pelo exercicio.
Excelente explicação!!!! Parabéns, professor !
Daria pra fazer por semelhança de triângulos? Formando dois triângulos isósceles de base conhecida e com lado igual ao raio
Muito obg, filhão
Após encontrar que o x vale 15 completei ele com o 6 de A-B, resultando em X+AB=21, após descobrir o 21 podemos fechar um retângulo ligando 21 na aresta superior, 13 ligando BC, 21 na aresta inferior e 13 na aresta lateral esquerda. após isso é só tirar a hipotenusa e dividir por 2, deu o mesmo resultado
Eu era muito bom em calculo na engenharia, isso a 20 anis atrás, hoje nem lembro como resolve equação de 2 grau 😂
Não lembrava dessa teoria das cordas ❤
O macete da potenciação vale pra cubo etc?
Top !!!
😀
Pode usar calculadora ou teria que resolver na mão? Encontrei uma resposta, mas não sei se esse é o melhor jeito
Professor eu gostaria de aprender como você fez aquela multiplicação de 23 ao quadrado, sem ter que montar de fato aquela continha básica de 23 embaixo de 23 e multiplicar, desse modo seu é mais fácil, você poderia fazer um vídeo explicando ? Essa maneira sua fica menos poluído as contas (N sei se deu pra entender oq eu quis dizer) não entendi da o que você quis dizer que “multiplico geral” Em 08:30
Opa! Eu tenho vídeo explicando isso aqui: th-cam.com/video/lyuBxzgf2Zc/w-d-xo.htmlsi=8_vFESUrC13aKQoy
Abração! 🙂
Tem um retângulo com dois lados de 13 e dois de 21. Corta na diagonal e fica com um triângulo de base 21, lado 13 e ? O diâmetro do círculo. Não seria mais simples essa conclusão?
Que video legal 👍
Chegaria em um valor próximo. Achei q continuaria calculando a partir do 15. O mesmo poderia ser feito traçando uma nova reta para baixo, 15 + 6 = 21. E eu tenho o outro valor q é 4.5, q calcula o pedaço restante q falta. Portanto daria 25.5, ja o raio ficaria 12,75. N é exato, mas é bem próximo a ele
nao poderia usar a teoria das cordas no meio do circulo, para encontrar o diametro direto? ficaria
21*X=6.5*6.5
X=42.25/21
X=2
diametro=21+2=23
raio=11.5
poderia ser feito dessa forma?
Muito bom
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Por que pode-se considerar que os segmentos AD e BC são paralelos ao diâmetro?
Prolongue a reta BA até o outro lado da circunferência (ponto E). A mediatriz de BE será um diâmetro. Além disso, tanto essa mediatriz quanto o segmento AD farão 90° com a corda BE, logo, caímos na situação de duas paralelas cortadas por uma transversal. Portanto, esse diâmetro (mediatriz de BE) será paralelo a AD. Essa mesma lógica também explica porque BC é paralelo a AD.
Aos 07:00 , pq não usamos 13/2 +5?
Incrível
Daria para fazer usando o seno de 90°?
Teorema para cordas perpendiculares
(2R)^2 = 18^2 + 5^2 + 6^2 + 15^2
Amo geometria
Pergunta, AD não vale 23, não?
Então o Teorema das cordas não deveia ser
5 * 23 = 6 * x?
AD vale 18. Dá uma olhada no início do vídeo.
@@ProfessoremCasa, disfarça, eu me perdi durante a resolução rs
Gostaria da teoria das cordas, essa eu não lembrava.
Se o restante que falta de 13 para completar 18 é 5, então não tem como ser 5 em cima e 5 embaixo, tem que ser 2,5, não é isso?
Por que o raio divide a corda no meio, dando 21/2?
Não entendi essa parte.
Resolução alternativa:
Defina um plano cartesiano com centro em D. Assim, voce já terá as seguintes coordenadas já definidas:
A = (0 , 18)
B = (6 , 18)
C = (6 , 5)
D = (0 , 0)
adotando o centro desse círculo como (x , y), já se tem três equações de distancia entre pontos: (x,y) pra B, pra C e pra D.
Todas essas distancias valem o raio R que se quer descobrir. 3 equações e 3 incógnitas (R, x e y), logo, já da pra resolver.
Só com conhecimentos básicos de geometria analítica, sem nenhuma dessas sacadas de propriedade de circuferência que te obrigam a decorar.
Lembrando que a hipotenusa de um triângulo retângulo inscrito na circunferência é um diâmetro, temos: 2R=raiz( (15+6)² + 13²) ;-)
vc tem os catetos de um triângulo retângulo com a hipotenusa igual a 2R, entao 21² +13²=4R²...
Eu tentei elevar ao quadrado outras dezenas e não deu certo, será que só dá certo com o número 23?
Se fosse num concurso meu raciocínio seria, 13/2 => 6,5 + 5 r >= 11,5 por estar fora do eixo.
eu iria na letra e)12
Faz uma playlist chinesa mano
O diâmetro ao quadrado é 21 ao quadrado mais 13 ao quadrado. Completei o triângulo retângulo.
Eu assistindo isso com certeza de que tem regra aqui inventada, não é possível decorar tudo isso kkkk
Uma questão qualquer de vestibular brasileiro
Fica mais fácil colocar os catetos 4,5 e 11,5. O resultado é o mesmo.
esse teorema ta certo?
Sim
Bravo Professor Felipe 👏🏻👏🏻👏🏻👏🏻
Consegui fazer sem fazer a multiplicação das cordas, trançando dois triângulos retângulos e fazendo um sistema
Grava um video respondendo, pai
Como eu posso estudar matemática?
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Quando as cordas são perpendiculares, podemos usar a fórmula:
15²+ 6²+18²+5²=4R²
610=4R²
R²=610/4
*R=(√610)/2*
Pronto. Lá vou tentar deduzir isso
Pior que faz sentido. Equivalem-se em áreas.
@@TEF84 tem na internet, em vídeo a dedução, caso não consiga.
@@TEF84 🤣
Boa! Deduzi aqui.
A soma do segmento vertical não seria 28, ao invés de 23?
Não. 18 + 5 = 23
@@ProfessoremCasa é verdade, entendi.Obrigado !!!
fui por um outro caminho, mas cheguei no mesmo resultado! Fiz um puta malabares para encontrar o cateto 9/2 kkkkk mas deu certo!
Bom se tivesse uma lousa. Facilita e melhora a aparência do vídeo. A mão atrapalha.
Guerreiro, tua explicação é muito boa, só precisa tirar a mão da frente, pra vermos onde está riscando...só uma observação mesmo......ao mais, parabéns!!
Pra que tudo isso?
A pergunta é bem clara! QUAL O RAIO DO CIRCULO?
A resposta seria: r = C/2π
Resolvi com R²=(13/2)²+(21/2)², caminhos diferentes, porém o mesmo resultado
Aproximadamante 7,16
com trigonometria básica é fácil
Temos uma Multa milionária para o cartório Eleitoral de Glória do Goitá.
Dona Maria Nathalia Rufino de Farias é Secretária Matrimonial e transa com o primeiro Marido. Não Pode.
Matilde e a mesma e estamos com sérios problemas de ordem social!
ta certo, meti no autocad deu 12,35 de raio.
18+5+5=28
O 18 já tá com o 5 (13+5), ele só marcou pra visualizar melhor
Bah, se o cara não se lembra do teorema das cordas, já era
"Os chineses não estão pra brincadeira"
Nunca consegui entender matemática. Continuo não entendendo. Não tenho a minima ideia do que ele está fazendo...frustrante.
Régua é para os fracos
D=n+C
21 +- diametro