fico muito feliz de saber que, mesmo afastado da escola há mais de 40 anos, consegui seguir o mesmo raciocínio. Foi só na hora de simplificar que busquei um caminho diferente. Meu resultado acabou sendo diferente de qualquer alternativa... mas valeu.
Eu marcaria a última sem calcular pois já que os raios são 1 então A a B seriam vértices de um triângulo retângulo com altura igual a 1 e cateto horizontal menor que 4, portanto a hipotenusa seria pouco menor que raiz de 17. Só a última satisfaz essa condição
@@Carl_Sagan_não, perceba que proximo ao ponto de tangencia existe um pedaço (traçando a distancia da extremidade de cada semicirculo até a outra base) que é comum aos dois, então o cateto horizontal seria (4-x)
@@Carl_Sagan_poderíamos até admitir que sim, logo como o temos um cateto que mede 1, a hipotenusa seria ligeiramente maior que o maior cateto, logo, ligeiramente maior que 4. Ainda assim, a única solução possível seria a letra E.
@@antoniosousa86 Sabemos que nenhum segmento de reta interno à circunferência pode ter comprimento maior que o diâmetro, senão ele literalmente não caberia na circunferência. Portanto, se AB/2 tem que ser menor que dois, então necessariamente AB
@@antoniosousa86Com certeza, mas se vc usar 4 para o cateto da base e 1 para o dá altura, a hipotenusa vai ser menor do que sqtr(17), algo próximo de 4 para menos. Resposta E.
Parabéns, professor, por mostrar o caminho nos mínimos detalhes como fez c produtos notáveis bem como também há possibilidade c radicais duplos. Quando resolver questões eu o preconizo a dizer que está resolvendo e ensinando a iniciantes. Tem de deixar claro que a pegada é para iniciantes, porque aparecerá outros caminhos para resolução, porém serve para o pessoal mais adiantado. Li nos comentários a resolução por análise como também por trigonometria ( amei porque mostrou todo o caminho). Enfim, a resolução na matemática leva vários caminhos uns bem resumidos outros bem detalhados para principiantes.
Pelas respostas disponibilizadas, nem precisa fazer conta. Supõe-se que AB seja hipotenusa de um triângulo que tem um cateto igual a 1 e outro cateto que seja menor que 4. Pela raiz da soma dos quadrados dos catetos, AB tem que ser menor que raiz quadrada de 17, próxima do numero 4. Entao se elimina as alternativas a), b), c), e d).
O problema é se vier uma alternativa que não seja eliminada por esse método. Aprenda a resolver qualquer um e não dependerá das alternativas de questão nenhuma.
@@ProfessoremCasa Sim, mas considerando que é uma questão de múltipla escolha e não uma questão discursiva, entendo que deva ser ensinado o método completo, mas que esse não deve ser usado durante a prova, tendo em vista o tempo escasso.
Questão resolvida aos 3:24. Daí pra frente é só matemática (como dizia um professor). Mas ATENÇÃO: não é porque é "só matemática" que o exercício não seja difícil e que nele, como toda a matemática, não contenha a beleza que apreciamos nessa que é uma ciência e arte divina. (amantes da matemática) Uma observação: sou engenheiro ambiental, tenho 47 anos e até hoje, anos depois de sair da faculdade, ainda me encanto com matemática; seja ela simples ou a mais sofisticada possível. ...parabéns professor...
Uma outra resposta aqui, acompanhem (obs: desconsiderem as alternativas, vamos tratar como se a questao fosse descritiva) -> trace uma reta do centro de uma das semicircunferências até a base oposta -> trace uma reta conectando os centros das semicircunferências -> perceba que a reta que conecta o centro ao lado equivale a 1 e a reta que conecta os centros equivale a 2, logo, o seno desse ângulo é 1/2, portanto o angulo em questão é 30° (ou pi sobre 6, para os fãs de radianos) -> perceba que o suplemento desse angulo é 150°, e que esse suplemento incide no centro das circunferências (porém escolha somente uma, nesse caso, vamos escolher a semicircunferência da esquerda) -> trace uma reta do centro da circunferência até o ponto de tangencia. Perceba que assim surge um triângulo isosceles de lados 1, 1, AB/2. OBS: perceba também que, caso você escolha fazer este processo na outra semicircunferência, você encontra o mesmo triângulo, assim provando que o ponto de tangência é o ponto médio de AB, também sendo "provável" realizando o processo de encontrar o angulo de 30 graus no outro centro) -> como o triangulo é isosceles, a bissetriz do angulo diferente equivale a altura, assim sendo possível encontrar um triangulo retângulo de lados AB/4, 1, h (sendo h a altura), e de ângulos 15°, 75° e 90° -> perceba que o seno de 75° é AB/4 sobre 1, sendo simplesmente AB/4. Portanto, 4sen(75°) = AB -> calculando sen(75°): Sen(75°) = Sen(30° + 45°) Da formula do seno da soma de dois ângulos [sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)]: (1/2)(raiz de 2/2) + (raiz de 3/2)(raiz de 2/2) = raiz de 2/4 + raiz de 6/4 (Fatorando) 1/4(raiz de 2 + raiz de 6) (Multiplicando por 4, pois 4sen(75°)= AB) Raiz de 2 + Raiz de 6 = AB Para aqueles que preferem algo por video, na aba de respostas desse comentário, o renato ao infinito postou em seu canal essa resolução por vídeo para facilitar a visualização do que postei aqui. Um agradecimento especial a ti, renato!
@@jovarocostapiovesan4976a resolução dele está excelente. A única diferença é que o comentário em texto nos restringe na didática. Se ele fizer em vídeo, você vai acompanhar bem melhor. Se ele autorizar, eu me disponho a fazer o vídeo.
Essa questão num vestibular eu talvez demoraria 10 segundos pra marcar resposta " e". Agora, se fosse prova escrita. Aí meu. Umas duas horas. E olha lá.
Entendi seu raciocínio. Porém se fosse uma prova escrita, a gente poderia escrever o valor da resposta da forma direta. O mais difícil da questão é REESCREVER o valor da resposta da forma que existe na alternativa.😅
Só de olhar a questão dá para ver a resposta por eliminação de opções. Mas farei mentalmente e depois irei ao vídeo ver a solução proposta. Sejam T, o ponto de tangencia das semicircunferéncias e C a interseção da semifinal circunferência esquerda com a reta horizontal inferior e CA. Seja B' a projeção ortogonal de B sobre a reta inferior. Devido a simetria a distância de T até a reta inferior é 1/2. Como R=1 O arco AT mede 30o, pois é agudo e sen(AT)=1/2. A linha que sai de A até B inscreve um arco de 30o jutamente com a horizontal inferior. Logo o ângulo entre elas mede 15o. Como BB'=1. AB=cossec(15o)=4/(raiz(6)-raiz(2)); racionalizando AB=raiz(6)+raiz(2); sem caneta nem papel. Mais difícil fii explicar. Na cabeça só três etapas: 1) ângulo central 30o 2) ângulo inscrito 15o 3) Cálculo da hipotenusa conhecendo um ângulo e o cateto oposto. Parecia difícil, mas é fácil.
Outra forma de resolver: o angulo ab é a metade do angulo formado pela reta que conecta os raios . Fazendo pitagoras no triangulo formado pela ligação dos raios, descobre que o seno do triangulo vale 1/2, no qual é um valor notavel do seno de 30, portanto o angulo formado pela reta que liga os raios é de 30°, e entao o angulo formado por AB vale 15°. sabendo desse ãngulo e da altura do triangulo ser r = 1, temos que 1/x = sen15 = (√6 - √2)/4. Com um pouco de algebrismo: 4/(√6-√2) = x -> 4(√6 + √2)/(√6-√2)(√6+√2) = x -> 4(√6+√2)/(√6² - √2²) = x -> x = 4(√6+√2)/4 = √6+√2
Resolvi de uma forma diferente, achei mais simples. Usei ângulo inscrito e semelhança de triângulos para concluir que o ângulo entre o segmento de reta AB e a reta inferior é de 15 graus. O segmento AB vale então 2 vezes 1/(2sen15) ou 1/sen 15. Aí usei subtração de arcos para calcular o seno de 15 (seno de 45 menos 30). Resolvendo, cheguei ao mesmo resultado, raiz de 2 mais raiz de 6. Problema muito legal!
Até o ponto em que se chegou a x = √(8+4√3) tudo ok. Mas depois, o professor escolheu o caminho mais difícil, para eliminar o radical duplo, pois existem métodos bem mais simples para isso. É bom lembrar de que, em matemática, o caminho mais simples, geralmente é o melhor, pois temos menos possibilidades de erro, e além disso, em um prova de concurso, o tempo é importante - uma questão fácil como essa, quanto mais rápido, melhor.
@@ProfessoremCasa "sem fórmula e sem macete"? Kkk. Você já imaginou como seria se, por exemplo, todos tivessem de resolver uma equação do segundo grau sem usar a fórmula quadrática (que alguns chamam de Bháskara)? Pois é, não tem que ter esse preconceito contra fórmulas. Mas tudo bem, vou resolver esse probleminha do radical duplo sem usar nenhuma fórmula, como você pediu, tá bom? √(8 + 4√3) = √(8 + √48) = √a + √b onde "a" e "b" são números positivos, em que a soma deles tem que ser 8 e o produto tem que ser 48/4 = 12 a + b = 8 a . b = 12 Portanto, vemos que a = 6 e b = 2, ou a = 2 e b = 6 √(8 + 4√3) = √6 + √2 E isso dá pra fazer mentalmente até.
@@renatoroliverSua fórmula é eficaz e muito simples, pois: (√(X +2√Y)=√a +√b, elevando ambos os membros ao quadrado, temos: X +2√Y= a + b +2√ab , logo: a + b= X e Y=√ab. Sua fórmula é verdadeira e simples! Faltou ser mais delicado com o professor, pois talvez ele não conheça esse seu método simples. Por outro lado, o professor faltou humildade quando lhe respondeu, pois a matemática mostra métodos simples usando também fórmulas mais simples, ele foi muito áspero na resposta. Abraços!
De tanto fazer prova, eu descobri que dá pra estimar um valor próximo ao da resposta( a não ser que seja a banca FGV que coloca os valores com diferença de casas decimais). Nesse caso a resposta é um pouco menor que √5 , logo, a alternativa que mais se aproxima da resposta correta seria e) √2 + √6
Se nao pedir pra demostrar o cálculo, daria para acertar por eliminação. Considerando que a soma dos 4 raios é = 4, logo a semireta AB, sera um valor menor que 4. Alem da alternativa e) todas as respostas anteriores sao muito maiores que 4.
Se considerarmos a semicircunferência do lado esquerdo e tomarmos o triângulo retângulo cuja a hipótese é o diâmetro da mesma com medida igual a 2, e altura 1/2 (pois o segmento AB é formado por duas cordas de medidas iguais, logo por semelhança a altura do triângulo retângulo é 1/2). Agora como temos um triângulo retângulo de hipotenusa 2 e altura 1/2 é possível encontrar todas as medidas deste triângulo retângulo utilizando as relações métricas no triângulo retângulo. Sendo assim, o valor do segmento AB é o dobro do cateto maior do triângulo supracitado. Ou seja, a projeção do lado menor do triângulo retângulo será dada pela seguinte expressão, utilizando as relações métricas: X(2-X) = (1/2)². Resolvendo a equação quadrática, obtem-se X = 1 - √3/2. Então (AB/2)² = (1/2)² + ( 2-X)² substituindo X por 1 - √3/2, obtem-se AB = √2 + √6 Se preferir, o problema também pode ser resolvido pelo teorema das cordas, e posterior uso do teorema de Pitágoras.
A menor opcao alem da E é 5+2√3, que da aproximadamente 8,4. Só testar com esse valor e ver que é necessario um número menor para dar certo e marcar a E (Eu sei que nem sempre a melhor opção é ver as alternativas, mas se tem alternativa o tempo deve ser um fator importante)
Excelente resolução, mas acredito que em qualquer tipo de prova existe o fator tempo. Então eu resolveria considerando a parte que falta do cateto seria 0,8 (quase 1) então o cateto seria 3,8. Aplicando pitagoras chegaria em raiz quadrada de 14,4. Eliminaria-se, assim, as alternativas a, b, c e d. Só sobraria a C.
Fiquei em dúvida, pois se o segmento AB foi chamado de x, portanto a alternativa quer saber o valor de X e não de x².. nesse caso ficaria X²=8+4√3 onde X=√8+4√3
Caro autor. Faca o seguinte: Desenhe um quadrado. Em cada ponto do quadrado (4) gere um setor (4) com raio igual ao lado do quadrado. Sera gerada no centro uma figura. Qual esta area? De um vestibular antigo na U F R N.
supondo que o cateto de baixo fosse 4 e o da direita1, o máximo valor seria raiz de 15, aproximadamente 3,9, somente a alternativa e satizfaz isso, as outras sao todas maiores que raiz de 15
Na verdade, um lado de um triângulo é sempre menor do que a soma dos outros dois. Assim, AB< *(SOMA DOIS DIÂMETRO)* +1= 4+1=5. Logo só resta a *alternativa E.* Coloquei a soma dos dois diâmetros com uma medida próxima do cateto maior. No caso do cálculo preciso do professor, teríamos: *AB
Eu faria diferente para ganhar tempo…eu faria a conta de raiz(8+4(raiz3)) que seria “facil” fazer de cabeça desde q soubermos a raiz(3) q todos nós devemos saber. então fazendo isso já anulam de cara as alternativas “b”, “c”, “d” e “e” que são resultados totalmente longe. Se fossem resultados aproximados não teria jeito além de usar a caneta e muito papel mm.
Toda corda é menor que o diâmetro da circunferência. Repare que metade do segmento AB é uma corda e que o diâmetro da circunferência é 2. Logo, AB/2 < 2 → AB < 4 A única alternativa que me dá um resultado menor que 4 é a E e essa questão pode ser resolvida apenas por análise.
Como cartear nessa questão na hora da prova. Um cateto é 1 o outro aproxima logo pra 4. AB^2= 4^2 + 1^2 -> AB= raiz quadrada de 17 que é um pouco a mais que 4. Vendo todas as alternativas a única que é próxima de 4 é a letra E, Ja que todas as outras são números muito maiores que 4.
Fiz por eliminação. Os outros valores estavam muito acima do aceitável. A base do triângulo era menor que 4. E a altura era 1. Não poderia nunca ser maior que raiz de 17, que é bem inferior a 5. De todas as alternativas, a única menor que 5 é a letra e.
AB tem q ser menor q o diâmetro dos dois círculos por se tratar de 2 Cordas q obviamente são menores q os diâmetros. AB < 4. Única alternativa possível é a E. Feito em 5 segundos. Caso a questão fosse discursiva ou se tivesse mais de uma alternativa com valor menor q 4, aí só na raça mesmo
essa eu resolvi por aproximação. se o raio de cada circulo é 1 e se tocam, um segmento de reta passando pelos dois (e tangente no lado oposto de cada um) poderia ter no máximo 4. dae foi só escolher a opção menor que 4 mais próxima e dispensar todo o cálculo :V
A minha solução foi um bocado mais rápida, e se fosse num teste eu nem calculava , eu partia do principio que com raio = 1, a distancia AB tem de ser menos de 4 , por esta ordem de ideias, as respostas a) , b), c) e d) estão fora , sobra a resposta e)
Eu acertei usando um pouco a lógica kkkkk, se o raio é 1 significa que da linha B a A num ângulo de 90°= 1 e se o raio é 1 o diâmetro é 2, a linha que liga a linha B e A é QUASE a soma do diâmetro A e B logo seria aproximadamente 3,7 (não a linha que liga B e A, esse seria a hipotenusa) ai ficaria A² = B²+C² A²= 1²+3,7² A²≈ 14,69 A≈ √14,69 A≈ 3,83..... Etc Só por essa informação dava pra eliminar a), b), c) e d) kkkkk
Em um concurso nem precisava calcular, qualquer valor dentro de um semicírculo será menor que o diâmetro, logo a soma não poderá ser maior que 4, e na questão acima a letra D, é a única que tem valor menor que 4.
Em uma prova de 100 quest com 5 hr de exec. Realizar uma racionalização dessa em poucos segundos já tem que saber. Tem racio tão esdrúxula que tu leva 2 hrs!! Hast
A questão ficou longa devido a explicação desnecessária de quem já tem o nível para solucionar questões como esta. O que foi relevante na resolução foi o pulo do gato em unir os dois centros.
Eu pensei em usar trigonometria pra fazer, que acredito que chega no mesmo resultado Edit: fiz de cabeça e chegou no mesmo resultado, e desta forma ficou mais simples, pra quem conhece trigonometria
O problema é se vier uma alternativa que não seja eliminada por esse método. Aprenda a resolver qualquer um e não dependerá das alternativas de questão nenhuma. 😀
Fiquei em dúvida, pois se o segmento AB foi chamado de x, portanto a alternativa quer saber o valor de X e não de x².. nesse caso ficaria X²=8+4√3 onde X=√8+4√3
fico muito feliz de saber que, mesmo afastado da escola há mais de 40 anos, consegui seguir o mesmo raciocínio. Foi só na hora de simplificar que busquei um caminho diferente. Meu resultado acabou sendo diferente de qualquer alternativa... mas valeu.
Questão maravilhosa papito, parabéns pela resolução
Valeu, irmão! Estamos juntos! 😃
Eu marcaria a última sem calcular pois já que os raios são 1 então A a B seriam vértices de um triângulo retângulo com altura igual a 1 e cateto horizontal menor que 4, portanto a hipotenusa seria pouco menor que raiz de 17.
Só a última satisfaz essa condição
Mas o cateto horizontal não é 4?
@@Carl_Sagan_não, perceba que proximo ao ponto de tangencia existe um pedaço (traçando a distancia da extremidade de cada semicirculo até a outra base) que é comum aos dois, então o cateto horizontal seria (4-x)
@@Carl_Sagan_poderíamos até admitir que sim, logo como o temos um cateto que mede 1, a hipotenusa seria ligeiramente maior que o maior cateto, logo, ligeiramente maior que 4. Ainda assim, a única solução possível seria a letra E.
Exatamente o que pensei.
Parabéns professor a sua didática e muito boa Deus te abençoa
Dá pra resolver pela teorema de Pitágoras e pela fórmula de tangente e secante de uma circunferência
fórmula de tangente e secante:
ab*ab/2 = (2 + (1 - x))^2 ; onde x é uma diferença encontrada (intersecção das semicircunferências) no calculo da distância da tangente à circunferência
ab^2 = 2*(4 + 4*(1 - x) + 1 - 2x + x^2)
ab^2 = 2*(4 + 4 - 4x + 1 - 2x + x^2)
ab^2 = 2*(9 - 6x + x^2)
ab^2 = 18 - 12x + 2x^2 (1)
Pitágoras:
ab^2 = 1^2 + (2 + (2 - x))^2 ; onde x é uma diferença encontrada (intersecção das semicircunferências) no calculo da distância do cateto maior (a distância é a mesma encontrada anteriormente)
ab^2 = 1 + (4 + 4*(2 - x) + 4 - 4x + x^2)
ab^2 = 1 + 4 + 8 - 4x + 4 - 4x + x^2
ab^2 = 17 - 8x + x^2 (2)
Igualando (1) e (2)
18 - 12x + 2x^2 = 17 - 8x + x^2
x^2 - 4x + 1 = 0
x = (4 +- raiz(16 - 4)) / 2
x = (4 +- raiz(12)) / 2
x = (4 +- 2*raiz(3)) / 2
x = 2*(2 +- raiz(3)) / 2
x = 2 - raiz(3) ; o sinal de + foi descartado no cálculo pois a distância seria muito grande
Substituindo x em (2)
ab^2 = 17 - 8x + x^2
ab^2 = 17 - 8*(2 - raiz(3)) + (2 - raiz(3))^2
ab^2 = 17 - 16 + 8*raiz(3) + 4 - 4*raiz(3) + 3
ab^2 = 8 + 8*raiz(3) - 4*raiz(3)
ab^2 = 8 + 4*raiz(3)
Resolvendo o radical duplo, ab = raiz(2) + raiz(6)
Não conhecia essa fórmula de tangente e secante a uma circunferência, muito legal, parabèns.
Muito bom, esse exercicio. Faz raciocinar de forma diferente. Excelente. 👍👍
Isso é fato meu irmão! Parabéns pela excelente reflexão! 👍👊🇧🇷
Genial Felipe! Sou teu novo admirador! Muito bons vídeos!
Obrigado, irmão! Estamos juntos! 🙂
Não é necessário fazer qualquer conta... AB
Equivocado. O cateto da base é menor que 4, mas AB é a hipotenusa e somente pela observação não dá pra garantir que também será menor que 4.
@@antoniosousa86 Sabemos que nenhum segmento de reta interno à circunferência pode ter comprimento maior que o diâmetro, senão ele literalmente não caberia na circunferência. Portanto, se AB/2 tem que ser menor que dois, então necessariamente AB
@@antoniosousa86Com certeza, mas se vc usar 4 para o cateto da base e 1 para o dá altura, a hipotenusa vai ser menor do que sqtr(17), algo próximo de 4 para menos. Resposta E.
Calma veloz, tá erradíssimo.
@@MrPeteBaker não vi onde ele errou
Parabéns, professor, por mostrar o caminho nos mínimos detalhes como fez c produtos notáveis bem como também há possibilidade c radicais duplos. Quando resolver questões eu o preconizo a dizer que está resolvendo e ensinando a iniciantes. Tem de deixar claro que a pegada é para iniciantes, porque aparecerá outros caminhos para resolução, porém serve para o pessoal mais adiantado. Li nos comentários a resolução por análise como também por trigonometria ( amei porque mostrou todo o caminho). Enfim, a resolução na matemática leva vários caminhos uns bem resumidos outros bem detalhados para principiantes.
Pelas respostas disponibilizadas, nem precisa fazer conta. Supõe-se que AB seja hipotenusa de um triângulo que tem um cateto igual a 1 e outro cateto que seja menor que 4. Pela raiz da soma dos quadrados dos catetos, AB tem que ser menor que raiz quadrada de 17, próxima do numero 4. Entao se elimina as alternativas a), b), c), e d).
Isto mesmo. Examinar as opções de resposta permite achar mt rápido o resultado correto. Sem necessidade de meia hora de cálculos... 😊😊😊
O problema é se vier uma alternativa que não seja eliminada por esse método. Aprenda a resolver qualquer um e não dependerá das alternativas de questão nenhuma.
@@ProfessoremCasa Sim, mas considerando que é uma questão de múltipla escolha e não uma questão discursiva, entendo que deva ser ensinado o método completo, mas que esse não deve ser usado durante a prova, tendo em vista o tempo escasso.
Questão resolvida aos 3:24. Daí pra frente é só matemática (como dizia um professor).
Mas ATENÇÃO: não é porque é "só matemática" que o exercício não seja difícil e que nele, como toda a matemática, não contenha a beleza que apreciamos nessa que é uma ciência e arte divina. (amantes da matemática)
Uma observação: sou engenheiro ambiental, tenho 47 anos e até hoje, anos depois de sair da faculdade, ainda me encanto com matemática; seja ela simples ou a mais sofisticada possível.
...parabéns professor...
Matemática é realmente encantadora! 🙂🙂
Excelente explicação professor.👍👍👍tmj...
Obrigado! 😀
Uma outra resposta aqui, acompanhem (obs: desconsiderem as alternativas, vamos tratar como se a questao fosse descritiva)
-> trace uma reta do centro de uma das semicircunferências até a base oposta
-> trace uma reta conectando os centros das semicircunferências
-> perceba que a reta que conecta o centro ao lado equivale a 1 e a reta que conecta os centros equivale a 2, logo, o seno desse ângulo é 1/2, portanto o angulo em questão é 30° (ou pi sobre 6, para os fãs de radianos)
-> perceba que o suplemento desse angulo é 150°, e que esse suplemento incide no centro das circunferências (porém escolha somente uma, nesse caso, vamos escolher a semicircunferência da esquerda)
-> trace uma reta do centro da circunferência até o ponto de tangencia. Perceba que assim surge um triângulo isosceles de lados 1, 1, AB/2.
OBS: perceba também que, caso você escolha fazer este processo na outra semicircunferência, você encontra o mesmo triângulo, assim provando que o ponto de tangência é o ponto médio de AB, também sendo "provável" realizando o processo de encontrar o angulo de 30 graus no outro centro)
-> como o triangulo é isosceles, a bissetriz do angulo diferente equivale a altura, assim sendo possível encontrar um triangulo retângulo de lados AB/4, 1, h (sendo h a altura), e de ângulos 15°, 75° e 90°
-> perceba que o seno de 75° é AB/4 sobre 1, sendo simplesmente AB/4. Portanto, 4sen(75°) = AB
-> calculando sen(75°):
Sen(75°)
= Sen(30° + 45°)
Da formula do seno da soma de dois ângulos [sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)]:
(1/2)(raiz de 2/2) + (raiz de 3/2)(raiz de 2/2)
= raiz de 2/4 + raiz de 6/4
(Fatorando)
1/4(raiz de 2 + raiz de 6)
(Multiplicando por 4, pois 4sen(75°)= AB)
Raiz de 2 + Raiz de 6 = AB
Para aqueles que preferem algo por video, na aba de respostas desse comentário, o renato ao infinito postou em seu canal essa resolução por vídeo para facilitar a visualização do que postei aqui. Um agradecimento especial a ti, renato!
irmão, tu é um deus na trigonometria... mas sinto que meus produtos notáveis me proporcionam cálculos mais satisfatórios hahaha
Muito confusa a resoluçao,com certeza existe uma outra forma de resolver! Não gostei ?/
@@jovarocostapiovesan4976a resolução dele está excelente. A única diferença é que o comentário em texto nos restringe na didática. Se ele fizer em vídeo, você vai acompanhar bem melhor. Se ele autorizar, eu me disponho a fazer o vídeo.
É o visionário, não tem jeito 🔥
@ fique a vontade mano, passar o conhecimento adiante é sempre bom
Essa questão num vestibular eu talvez demoraria 10 segundos pra marcar resposta " e". Agora, se fosse prova escrita. Aí meu. Umas duas horas. E olha lá.
😄
Entendi seu raciocínio.
Porém se fosse uma prova escrita, a gente poderia escrever o valor da resposta da forma direta.
O mais difícil da questão é REESCREVER o valor da resposta da forma que existe na alternativa.😅
Só de olhar a questão dá para ver a resposta por eliminação de opções.
Mas farei mentalmente e depois irei ao vídeo ver a solução proposta.
Sejam T, o ponto de tangencia das semicircunferéncias e C a interseção da semifinal circunferência esquerda com a reta horizontal inferior e CA.
Seja B' a projeção ortogonal de B sobre a reta inferior.
Devido a simetria a distância de T até a reta inferior é 1/2. Como R=1
O arco AT mede 30o, pois é agudo e sen(AT)=1/2.
A linha que sai de A até B inscreve um arco de 30o jutamente com a horizontal inferior.
Logo o ângulo entre elas mede 15o. Como BB'=1.
AB=cossec(15o)=4/(raiz(6)-raiz(2)); racionalizando
AB=raiz(6)+raiz(2); sem caneta nem papel. Mais difícil fii explicar.
Na cabeça só três etapas:
1) ângulo central 30o
2) ângulo inscrito 15o
3) Cálculo da hipotenusa conhecendo um ângulo e o cateto oposto.
Parecia difícil, mas é fácil.
Parabéns Professor, vc é um gênio, me ajude numa questão: qual a fórmula ou como calcular o volume e área de um tampo torisférico
Parabéns pelo ensinamento
Outra forma de resolver: o angulo ab é a metade do angulo formado pela reta que conecta os raios . Fazendo pitagoras no triangulo formado pela ligação dos raios, descobre que o seno do triangulo vale 1/2, no qual é um valor notavel do seno de 30, portanto o angulo formado pela reta que liga os raios é de 30°, e entao o angulo formado por AB vale 15°. sabendo desse ãngulo e da altura do triangulo ser r = 1, temos que 1/x = sen15 = (√6 - √2)/4. Com um pouco de algebrismo:
4/(√6-√2) = x ->
4(√6 + √2)/(√6-√2)(√6+√2) = x ->
4(√6+√2)/(√6² - √2²) = x ->
x = 4(√6+√2)/4 = √6+√2
Resolvi de uma forma diferente, achei mais simples. Usei ângulo inscrito e semelhança de triângulos para concluir que o ângulo entre o segmento de reta AB e a reta inferior é de 15 graus. O segmento AB vale então 2 vezes 1/(2sen15) ou 1/sen 15. Aí usei subtração de arcos para calcular o seno de 15 (seno de 45 menos 30). Resolvendo, cheguei ao mesmo resultado, raiz de 2 mais raiz de 6. Problema muito legal!
Parabéns, que bacana!!
Obrigado! Estamos juntos! 😃
Até o ponto em que se chegou a x = √(8+4√3) tudo ok. Mas depois, o professor escolheu o caminho mais difícil, para eliminar o radical duplo, pois existem métodos bem mais simples para isso. É bom lembrar de que, em matemática, o caminho mais simples, geralmente é o melhor, pois temos menos possibilidades de erro, e além disso, em um prova de concurso, o tempo é importante - uma questão fácil como essa, quanto mais rápido, melhor.
Me fala o caminho mais simples, mas sem fórmula e sem macete pra decorar. Aguardo.
@@ProfessoremCasa "sem fórmula e sem macete"? Kkk. Você já imaginou como seria se, por exemplo, todos tivessem de resolver uma equação do segundo grau sem usar a fórmula quadrática (que alguns chamam de Bháskara)? Pois é, não tem que ter esse preconceito contra fórmulas. Mas tudo bem, vou resolver esse probleminha do radical duplo sem usar nenhuma fórmula, como você pediu, tá bom?
√(8 + 4√3) = √(8 + √48)
= √a + √b
onde "a" e "b" são números positivos, em que a soma deles tem que ser 8 e o produto tem que ser 48/4 = 12
a + b = 8
a . b = 12
Portanto, vemos que
a = 6 e b = 2, ou
a = 2 e b = 6
√(8 + 4√3) = √6 + √2
E isso dá pra fazer mentalmente até.
Tu fez a mesma coisa do vídeo maninho... Tu só pulou as explicações e deixou com cara de macete, mas fez exatamente a mesma coisa
@@renatoroliverSua fórmula é eficaz e muito simples, pois:
(√(X +2√Y)=√a +√b, elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
X +2√Y= a + b +2√ab , logo:
a + b= X e Y=√ab.
Sua fórmula é verdadeira e simples! Faltou ser mais delicado com o professor, pois talvez ele não conheça esse seu método simples. Por outro lado, o professor faltou humildade quando lhe respondeu, pois a matemática mostra métodos simples usando também fórmulas mais simples, ele foi muito áspero na resposta.
Abraços!
@@felipecpereira o professor realmente fez a mesma coisa, mas, usando essa fórmula diretamente, já seria mais rápido!
❤ Muito bom Felipe. Só que fiquei confuso no final nos produtos notáveis,ao fazer inversamente...chegar no (a+b)^2
De tanto fazer prova, eu descobri que dá pra estimar um valor próximo ao da resposta( a não ser que seja a banca FGV que coloca os valores com diferença de casas decimais). Nesse caso a resposta é um pouco menor que √5 , logo, a alternativa que mais se aproxima da resposta correta seria e) √2 + √6
Show! 🙂
Parabéns pela excelente resolução e explicação, professor!
Que horror de questão!!! Misericórdia Senhor!!!
😂😂😂😂
Se nao pedir pra demostrar o cálculo, daria para acertar por eliminação. Considerando que a soma dos 4 raios é = 4, logo a semireta AB, sera um valor menor que 4. Alem da alternativa e) todas as respostas anteriores sao muito maiores que 4.
Genial a "sacada" do produto notável!
😃
Se considerarmos a semicircunferência do lado esquerdo e tomarmos o triângulo retângulo cuja a hipótese é o diâmetro da mesma com medida igual a 2, e altura 1/2 (pois o segmento AB é formado por duas cordas de medidas iguais, logo por semelhança a altura do triângulo retângulo é 1/2). Agora como temos um triângulo retângulo de hipotenusa 2 e altura 1/2 é possível encontrar todas as medidas deste triângulo retângulo utilizando as relações métricas no triângulo retângulo. Sendo assim, o valor do segmento AB é o dobro do cateto maior do triângulo supracitado. Ou seja, a projeção do lado menor do triângulo retângulo será dada pela seguinte expressão, utilizando as relações métricas: X(2-X) = (1/2)². Resolvendo a equação quadrática, obtem-se X = 1 - √3/2. Então (AB/2)² = (1/2)² + ( 2-X)² substituindo X por 1 - √3/2, obtem-se AB = √2 + √6
Se preferir, o problema também pode ser resolvido pelo teorema das cordas, e posterior uso do teorema de Pitágoras.
A menor opcao alem da E é 5+2√3, que da aproximadamente 8,4. Só testar com esse valor e ver que é necessario um número menor para dar certo e marcar a E
(Eu sei que nem sempre a melhor opção é ver as alternativas, mas se tem alternativa o tempo deve ser um fator importante)
Excelente resolução, mas acredito que em qualquer tipo de prova existe o fator tempo. Então eu resolveria considerando a parte que falta do cateto seria 0,8 (quase 1) então o cateto seria 3,8. Aplicando pitagoras chegaria em raiz quadrada de 14,4. Eliminaria-se, assim, as alternativas a, b, c e d. Só sobraria a C.
Fiquei em dúvida, pois se o segmento AB foi chamado de x, portanto a alternativa quer saber o valor de X e não de x².. nesse caso ficaria X²=8+4√3 onde X=√8+4√3
Como eu resolveria num vestibular: O valor é próximo de 4... Todas as outras opções são bem acima de 4. Só sobra a opção (e)
Parabéns!
Caro autor. Faca o seguinte: Desenhe um quadrado. Em cada ponto do quadrado (4) gere um setor (4) com raio igual ao lado do quadrado. Sera gerada no centro uma figura. Qual esta area? De um vestibular antigo na U F R N.
supondo que o cateto de baixo fosse 4 e o da direita1, o máximo valor seria raiz de 15, aproximadamente 3,9, somente a alternativa e satizfaz isso, as outras sao todas maiores que raiz de 15
Na verdade, um lado de um triângulo é sempre menor do que a soma dos outros dois. Assim,
AB< *(SOMA DOIS DIÂMETRO)* +1= 4+1=5.
Logo só resta a *alternativa E.*
Coloquei a soma dos dois diâmetros com uma medida próxima do cateto maior.
No caso do cálculo preciso do professor, teríamos:
*AB
Eu faria diferente para ganhar tempo…eu faria a conta de raiz(8+4(raiz3)) que seria “facil” fazer de cabeça desde q soubermos a raiz(3) q todos nós devemos saber. então fazendo isso já anulam de cara as alternativas “b”, “c”, “d” e “e” que são resultados totalmente longe. Se fossem resultados aproximados não teria jeito além de usar a caneta e muito papel mm.
V. eliminou também a alternativa "E", que é a correta!
Toda corda é menor que o diâmetro da circunferência. Repare que metade do segmento AB é uma corda e que o diâmetro da circunferência é 2.
Logo, AB/2 < 2 → AB < 4
A única alternativa que me dá um resultado menor que 4 é a E e essa questão pode ser resolvida apenas por análise.
x^2 = 1 + (2 +raiz3)^2
x^2 = 1 + 4 + 4raiz3 + 3
x^2 = 8 + 4raiz3
x = raiz (8 + 4raiz3)
x = raiz 14,92
x = 3,865
Como cartear nessa questão na hora da prova. Um cateto é 1 o outro aproxima logo pra 4. AB^2= 4^2 + 1^2 -> AB= raiz quadrada de 17 que é um pouco a mais que 4. Vendo todas as alternativas a única que é próxima de 4 é a letra E, Ja que todas as outras são números muito maiores que 4.
Incrível, como faço o download de todo seu conhecimento pro meu cérebro ?
Assistir a todos os vídeos vai ajudar muito! 😄
Fiz por eliminação.
Os outros valores estavam muito acima do aceitável. A base do triângulo era menor que 4. E a altura era 1. Não poderia nunca ser maior que raiz de 17, que é bem inferior a 5. De todas as alternativas, a única menor que 5 é a letra e.
AB tem q ser menor q o diâmetro dos dois círculos por se tratar de 2 Cordas q obviamente são menores q os diâmetros. AB < 4. Única alternativa possível é a E. Feito em 5 segundos. Caso a questão fosse discursiva ou se tivesse mais de uma alternativa com valor menor q 4, aí só na raça mesmo
Tá na cara que AB
essa eu resolvi por aproximação. se o raio de cada circulo é 1 e se tocam, um segmento de reta passando pelos dois (e tangente no lado oposto de cada um) poderia ter no máximo 4.
dae foi só escolher a opção menor que 4 mais próxima e dispensar todo o cálculo :V
só multiplicar as opções ao quadrado só item e da 8+4√3
Se há apenas esse modo de fazer, é muito difícil. Essa segunda parte requer um treinamento avançadíssimo na geometria
Essa segunda parte pega mais álgebra, na verdade. 🙂
A minha solução foi um bocado mais rápida, e se fosse num teste eu nem calculava , eu partia do principio que com raio = 1, a distancia AB tem de ser menos de 4 , por esta ordem de ideias, as respostas a) , b), c) e d) estão fora , sobra a resposta e)
O exercício foi pensado pra ser resolvido por observação e eliminação.
Ah, não notei o produto notável 😅 MAS! Acertei de antemão pelas alternativas: pela figura, AB é aproximadamente 4 e apenas a alternativa (e) serve 😊
Eu acertei usando um pouco a lógica kkkkk, se o raio é 1 significa que da linha B a A num ângulo de 90°= 1 e se o raio é 1 o diâmetro é 2, a linha que liga a linha B e A é QUASE a soma do diâmetro A e B logo seria aproximadamente 3,7 (não a linha que liga B e A, esse seria a hipotenusa) ai ficaria A² = B²+C²
A²= 1²+3,7²
A²≈ 14,69
A≈ √14,69
A≈ 3,83..... Etc
Só por essa informação dava pra eliminar a), b), c) e d) kkkkk
Em um concurso nem precisava calcular, qualquer valor dentro de um semicírculo será menor que o diâmetro, logo a soma não poderá ser maior que 4, e na questão acima a letra D, é a única que tem valor menor que 4.
Po, fui por aproximação, o CA de AB é +- 4, o CO é 1, hipotenusa^2=~17. Ou seja, AB^2
Faz tempo que não estudo! Achei dificil.
Acertei porém não fiz cálculo, examinei a imagem, as respostas e a lógica baseada no teorema de Pitagora.
Show!
Se o raio é 1, então a resposta é 4, correto ? A mais próxima desse valor é a alternativa E
AB é menor de 4 = 4 raios de 1.
Assim AB= 2^1/2 + 6^1/2= 3,86 🤔
Eu aposto q a galera q fez por Pitágoras e eliminou as alternativas são engenheiros kkk
um mago🧙♂
😶🌫️😄
Pelo absurdo das outras respostas, leva 5 segundos para saber a resposta correta, sabendo que o raio dos semicírculos é 1.
Gostei tanto de resolver isso que simplifiquei tanto r2(1+r3) e n tava achando a resposta, q susto kkkk, mas bom video!!
😄 Valeu! Estamos juntos! 😀
É tanta fórmulas e cálculos um errinho ja era numa prova
Essa racionalização é inviável durante a prova. Mas da pra fazer. Sou md
Por que inviável? Sabendo fazer, dá pra fazer em alguns segundos. 😀
Em uma prova de 100 quest com 5 hr de exec. Realizar uma racionalização dessa em poucos segundos já tem que saber. Tem racio tão esdrúxula que tu leva 2 hrs!! Hast
Os cara assiste o vídeo, vê a resposta que o cara dá e fala que sabia desde o começo KK
Uma questão bem bonita. Eu a fiz por outro caminho.
Eu raciocinava assim de 2012 a 2015 quando estava na universidade Agostinho Neto🇦🇴
Muito bom! 😃
e=√2+√6
A questão ficou longa devido a explicação desnecessária de quem já tem o nível para solucionar questões como esta. O que foi relevante na resolução foi o pulo do gato em unir os dois centros.
Show...show...show, esta questão não é difícil, MAS precisa ser criterioso e relembrar o produto notáveis (a+b)*2. Show...
😀
Se o raio é 1 e eles são tangentes, a única possibilidade é uma resposta < 4
Bom que eu já me preparo pra olimpíada
É isso aí! 😀
a gente pode usar o olhômetro e ver que só a última satisfaz a situação
Essa foi difícil!!!
Requer uma atenção. 🙂
Eu pensei em usar trigonometria pra fazer, que acredito que chega no mesmo resultado
Edit: fiz de cabeça e chegou no mesmo resultado, e desta forma ficou mais simples, pra quem conhece trigonometria
As opções dessa questão são muito maliciosas
Demais 😄
Gente!!! Cheguei até a raiz da raiz, depois socorro
Depois é só álgebra 😀
Não há uma forma mais rápida?
Olha o tempão que se leva pra resolver...
Malditas escolas públicas que não ensinam isso! Kkkkk
😬😬
@@ProfessoremCasa matemática básica tipo equações, frações etc... Tem na sua página do TH-cam?
Fiz por dedução, pois as alternativas acusavam
O problema é se vier uma alternativa que não seja eliminada por esse método. Aprenda a resolver qualquer um e não dependerá das alternativas de questão nenhuma. 😀
Essa eu iria chutar
Belo problema
😃
É muito complexo.
Ai que explicarão confusa retasa
Fiquei em dúvida, pois se o segmento AB foi chamado de x, portanto a alternativa quer saber o valor de X e não de x².. nesse caso ficaria X²=8+4√3 onde X=√8+4√3