En el segundo paso, cuando pasa las diferencias de cuadrados a producto de suma y diferencia, si no resuelve la suma y solo saca los -1 de factor común, queda la sumatoria de 1 hasta 50 (porque en los paréntesis quedaría (1+2)+(3+4)... por lo que la respuesta se obtendría simplemente de (-1)(1+2+3+4+5+...+49+50)=-50*51/2=-1275
No recordaba la fórmula de la progresión aritmética y he visto que -51 era la mediana, es decir, la cifra que estaba en la posición 13 (de 25). Por tanto: -51x25=-1275.
Es inmediato saber que el número de elementos de la serie es 25, ya que la serie original tiene 50 elementos a partir de los cuales se identifican 25 pares.
Yo considero que no se debe satanizar el uso de un recurso tan valioso como la calculadora, pues estaríamos cayendo en el extremo opuesto a el de su adoración fanática. Con respecto a este ejercicio, lo que a el profesor le tomó más de 10 minutos a mí me tomó menos de 3, dividiendo la serie en dos sucesiones cuadráticas, una de los cuadrados de los impares y otra de los pares; sumando cada una y, por último, restando una sumatoria de la otra.El resultado que obtuve fue - 1275.
Yo agruparía de a dos los términos de esa suma, y los sumaría, para hallar una nueva relación entre cada término involucrado en la suma, así: 1² - 2² = -3 3² - 4² = -7 5² - 6² = -11 7² - 8² = -15 ... O sea los sumandos serían -3, -7, -11, -15, y así sucesivamente (decreciendo de a 4) Por lo que la relación de los términos sería 1 - 4k Habrán 25 términos, por lo que se podría considerar a esa suma como una sumatoria desde k = 1 hasta 25, de la serie 1 - 4k Y luego al distribuir, podríamos decir que quedaría 25 - 4 • sumatoria(k; k: 1 -> 25) Y eso quedaría como 25 - 4 • 25 • 26/2 = 25 - 100 • 13 = 25 - 1300 = -1275
Interesante ejercicio numerico. El profesor maravilloso. Explica con sencillez y sin usar vulgaridades, tan usuales en los TH-camrs de Espaπa. Saludos desde Colombia.
Hola, estaba pensando que cuando se saca el factor común siguen quedando 1+2+3+4+5+6+7...49+50. Por lo tanto se podía utilizar la fórmula de [n(n+1)]/2 : (-1)(50·51)/2 = (-1)·1275 = -1275
Es de aquellos ejercicios para resolver de distintas formas. Otro camino es separar de acuerdo a los signos, dos sumas de cuadrados (pares por un lado, impares por el otro), y entonces ...
Demostrar por inducción a mí siempre me ha costado mucho interiorizarlo, como "creérmelo". Y tampoco en el Bachillerato se usa ni se mandan ejercicios. Creo recordar que me lo explicaron una sóla vez dando números complejos, para demostrar la fórmula de De Moivre.
Otra forma de resolver este problema es saber que los cuadrados de los números pares se pueden escribir así: -(2x)^2=(1-2)(2x)^2=(2x)^2-2(2x)^2=(2x)^2-2^3x^2=(2x)^2-8x^2. Así, conociendo la fórmula para la suma de los cuadrados de cierta cantidad de números naturales, se utiliza la fórmula dos veces: una para la suma de todos los números naturales dados y otra (con el signo cambiado y multiplicada por ocho) para la suma de la mitad de dichos números. En resumen sería así: S=S(n)-8S(n/2).
Muchas gracias profe!!! Magnífica demostración. Partiendo del ejercicio propuesto, si queremos calcular la suma de una de las seres propuestas: 1^2+3^2+5^2+...+49^2 sumando con la calculadora (aunque no sea correcto), obtenemos 20.825. Sin embargo utilizando la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética propuesta: Sn= n (a1+an)/2 obtenemos con la nueva serie de 25 datos: S25= 25 (1+49^2)/2= 30.025. Sé que hay un error de razonamiento, pero no lo encuentro. ¿Alguien puede ayudarme? Muchas gracias.
Navegando por Internet encontré la siguiente expresión para la suma de los cuadrados de los n primeros números impares: S(n)=n(2n+1)(2n-1)/3. Operando: S(25)=25*51*49/3= 20.825. Este resultado coincide con el obtenido por "fuerza bruta" (con la calculadora, aunque como dice el profe no es recomendable). Ahora la pregunta sería, ¿cómo se deduce la expresión propuesta: S(n)=n(2n+1)(2n-1)/3 ? Muchas gracias.
Mmm... -1275. ¿Es correcto? Lo deduje del modo siguiente: 1^2-2^2=1-4=-3=-1-1*2 1^2-2^2+3^2-4^2=1-4+9-16= -10=-2-2*4 1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2= 1-4+9-16+25-36=-21= -3-3*6 O sea... Cada uno sigue este patrón: -n*(1+2*n) Entonces: Si 2*n=50; n=25 Luego: 1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2...+49^2-50^2= -25*(1+50)=-1275
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No uso Telegram, Gracias igual
En el segundo paso, cuando pasa las diferencias de cuadrados a producto de suma y diferencia, si no resuelve la suma y solo saca los -1 de factor común, queda la sumatoria de 1 hasta 50 (porque en los paréntesis quedaría (1+2)+(3+4)... por lo que la respuesta se obtendría simplemente de (-1)(1+2+3+4+5+...+49+50)=-50*51/2=-1275
Pensé lo mismo, se veía la fórmula de Euler con producto por el factor comun -1.
No recordaba la fórmula de la progresión aritmética y he visto que -51 era la mediana, es decir, la cifra que estaba en la posición 13 (de 25). Por tanto: -51x25=-1275.
Eso y que es una progresión aritmética, sale redondo tu argumento 👏👏👏
Es inmediato saber que el número de elementos de la serie es 25, ya que la serie original tiene 50 elementos a partir de los cuales se identifican 25 pares.
Que bonito ejercicio, un resultado inesperado, que bonita como se conecta la matemática
"Perdonad que no use la calculadora. Hace siglos que no la uso🤣🤣. No se donde está" .¡ Shurprofe en estado puro ! Gracias, Juan.
Yo considero que no se debe satanizar el uso de un recurso tan valioso como la calculadora, pues estaríamos cayendo en el extremo opuesto a el de su adoración fanática.
Con respecto a este ejercicio, lo que a el profesor le tomó más de 10 minutos a mí me tomó menos de 3, dividiendo la serie en dos sucesiones cuadráticas, una de los cuadrados de los impares y otra de los pares; sumando cada una y, por último, restando una sumatoria de la otra.El resultado que obtuve fue
- 1275.
Yo agruparía de a dos los términos de esa suma, y los sumaría, para hallar una nueva relación entre cada término involucrado en la suma, así:
1² - 2² = -3
3² - 4² = -7
5² - 6² = -11
7² - 8² = -15
...
O sea los sumandos serían -3, -7, -11, -15, y así sucesivamente (decreciendo de a 4)
Por lo que la relación de los términos sería 1 - 4k
Habrán 25 términos, por lo que se podría considerar a esa suma como una sumatoria desde k = 1 hasta 25, de la serie 1 - 4k
Y luego al distribuir, podríamos decir que quedaría 25 - 4 • sumatoria(k; k: 1 -> 25)
Y eso quedaría como 25 - 4 • 25 • 26/2 = 25 - 100 • 13 = 25 - 1300 = -1275
Muy buen ejercicio, gracias!!
Gracias a ti
Interesante ejercicio numerico. El profesor maravilloso. Explica con sencillez y sin usar vulgaridades, tan usuales en los TH-camrs de Espaπa. Saludos desde Colombia.
Muchas gracias!!!
Muy bueno 👏👏👏 Una alternativa escribir la suma así Σ(2i-1)^2- Σ(2i)^2=-4×Σi +25 con i desde 1 a 25 (y recordar que 2Σi=25×26).
Así lo resolví yo
Eres muy grande profesor. La única calculadora que hay que usar, mientras funcione, es el cerebro.
Gracias!!!!
Hola, estaba pensando que cuando se saca el factor común siguen quedando 1+2+3+4+5+6+7...49+50. Por lo tanto se podía utilizar la fórmula de [n(n+1)]/2 :
(-1)(50·51)/2 = (-1)·1275 = -1275
Bien ahi...
Gracias
Muy buena alternativa
Yo también vi esa posibilidad.
Es de aquellos ejercicios para resolver de distintas formas. Otro camino es separar de acuerdo a los signos, dos sumas de cuadrados (pares por un lado, impares por el otro), y entonces ...
Gracias
Wow genial el razonamiento de la suma de consecutivos
Son estudiantes que no tuvieron buena suerte con sus profesores de Matemáticas. Ese ejercicio está lindo para ejercitar el razonamiento.
Muchas gracias!!!
Me salió en una prueba en la Universidad 💀
Cómo siempre echándole la culpa al profesor, los alumnos con buen promedio no sse quejan, hay que dedicarle todo el día al estudio
Demostrar por inducción a mí siempre me ha costado mucho interiorizarlo, como "creérmelo". Y tampoco en el Bachillerato se usa ni se mandan ejercicios. Creo recordar que me lo explicaron una sóla vez dando números complejos, para demostrar la fórmula de De Moivre.
La primera propiedad que se suele dar para demostrar por inducción es la de la suma de los n primeros números naturales
Lo hice de 4 formas distintas 😊
👍👏👏 Saludos desde Brasil
Saludos!!!
Útil explicación. Recuerde que "a por" es incorrecto .
Excelente ejercicio, con diferentes alternativas de solución.
Muchas gracias
Excelente, GRACIAS!!!! 👌👌👌
Gracias a ti
Que buen ejercicio👍👍.
Muchas gracias!!!
Si en mi época de la EGB hubiera tenido un profesor de matemáticas así, no solo hubiera aprobado sino que incluso me habrían gustado las matemáticas
Me alegra, muchas gracias!!
Otra forma de resolver este problema es saber que los cuadrados de los números pares se pueden escribir así: -(2x)^2=(1-2)(2x)^2=(2x)^2-2(2x)^2=(2x)^2-2^3x^2=(2x)^2-8x^2. Así, conociendo la fórmula para la suma de los cuadrados de cierta cantidad de números naturales, se utiliza la fórmula dos veces: una para la suma de todos los números naturales dados y otra (con el signo cambiado y multiplicada por ocho) para la suma de la mitad de dichos números. En resumen sería así: S=S(n)-8S(n/2).
🎉 tremendo 🎉
Gracias!!
Muchas gracias profe!!! Magnífica demostración. Partiendo del ejercicio propuesto, si queremos calcular la suma de una de las seres propuestas: 1^2+3^2+5^2+...+49^2 sumando con la calculadora (aunque no sea correcto), obtenemos 20.825. Sin embargo utilizando la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética propuesta: Sn= n (a1+an)/2 obtenemos con la nueva serie de 25 datos: S25= 25 (1+49^2)/2= 30.025. Sé que hay un error de razonamiento, pero no lo encuentro. ¿Alguien puede ayudarme? Muchas gracias.
Navegando por Internet encontré la siguiente expresión para la suma de los cuadrados de los n primeros números impares: S(n)=n(2n+1)(2n-1)/3. Operando: S(25)=25*51*49/3= 20.825. Este resultado coincide con el obtenido por "fuerza bruta" (con la calculadora, aunque como dice el profe no es recomendable). Ahora la pregunta sería, ¿cómo se deduce la expresión propuesta: S(n)=n(2n+1)(2n-1)/3 ? Muchas gracias.
Yo lo hice simplificando los sumatorios (2k-1)² - (2k)²= 1-4k desde k=1 hasta k=25 y sale 25 -2*25*26
👏👏👏
Simplemente gracias
Gracias a ti
Lo que hizo Gauss ayuda
Siempre!!!
Me ha gustado mucho.
Me alegra mucho
Otro interesante ejercicio para pensar antes de actuar. Y con cero calculadora.!!
Gracias Luis!!!
Gran demostración
Muchas gracias 😍😍
Me ha gustado. Ejercicio interesante, pero me ha molestado la música. No sería mejor sin ella?
Gracias, al principio estaba para tapar algún defecto del audio que ahora ya no tiene, voy a ver si me lo dice más gente, muchas gracias
Awesome ❤❤❤
Yo lo he razonado como la suma de los 50 primeros cuadrados y le restas 8 veces la suma de los 25 primeros cuadrados.
Hola, maravilloso Juan. Acabo de unirme al grupo de Telegram.
Bienvenido!!!
Gracias por este ejercicio
Falta el link para el grupo de Telegram, gracias.
👍👍👍👍😍
Mmm...
-1275.
¿Es correcto?
Lo deduje del modo siguiente:
1^2-2^2=1-4=-3=-1-1*2
1^2-2^2+3^2-4^2=1-4+9-16=
-10=-2-2*4
1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2=
1-4+9-16+25-36=-21=
-3-3*6
O sea...
Cada uno sigue este patrón:
-n*(1+2*n)
Entonces:
Si 2*n=50; n=25
Luego:
1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2...+49^2-50^2=
-25*(1+50)=-1275
Elegante solución.
Muchas gracias Diego
Gracias
Si sacas factor común --1 queda la suma de 1 al 50
Los que no tienen calculadora a mano y lo hacen 🤑
😀😀
(-1)*Sum(4n-1), n=1..25
A mi me parece que el no usar la calculadora tiene el propósito de alargar innecesariamente la duración de los videos.
Sn = ((-1)^(n+1)) * n * (n+1)/2
Yo tampoco la uso, y tengo un acv
Hay que usarla simplemente cuando es imprescindible
👍
😍
51 * 25 * -2 ??
Papaya!
No perdais el tiempo con los dos primeros minutos. Sobran
Hay gente que piensa que son más importantes que el resto 🤔🤔
Aunque sobren para ti siempre sirve, todo depende de la actitud
@@MoneySecGarcia yo lo pongo como me sale de los 00. Alguna queja más. Tú por lo pronto, me has leído 😂😂😂😂
-1275 al ojal