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"Und daran scheitert´s dann oft" Susanne, das hast Du wirklich ganz nett gesagt. Mit Taschenrechner wäre es ein irrer Wirrwarr geworden. Aus meiner Tätigkeit als nebenberuflicher Lehrer für Elektronik kenne ich das. Schüler lesen eine Aufgabe, Taschenrechner raus, reinhacken, Den TR wütend auf den Tisch knallen 😃😃 Erst überlegen und dann TR, den man dann oft überhaupt nicht braucht. Viele Grüße Klaus
Gute Frage, ob man das darf. (Vermutlich ja, zumal man das ja durch Einsetzen der Werte in die Funktionsgleichungen leicht erkennt.) Ich hätte vorsichtshalber geschrieben: Es ist g(0)=0 und f(3)=0 und damit A = (und dann die Summe der beiden Integrale). Damit ist man auf jeden Fall auf der sicheren Seite.
Das fand ich an der Aufgabe auch etwas merkwürdig. Wenn man ablesen dürfte, hätte man auch den Schnittpunkt ablesen können und er bräuchte nicht gegeben werden. Also meiner Meinung nach wäre noch eine Nullstellenberechnung für f(x) und g(x) nötig gewesen.
@@matzek.3220 Insbesondere auch weil es eine Abi Prüfung war. Glaube nicht, dass Annahmen da in Ordnung sind (aber ich hab die Lehrer und Prüfungsregularien häufig nicht verstanden).
Dass f die x Achse bei 3 schneidet, ist eine unzulässige Annahme. Das kann man der Grafik genauso wenig entnehmen, wie daß sich f und g bei 1 schneiden, darum steht es ja extra in der Aufgabe.
Hallo Susanne, guten Abend, lieben Dank für die Aufgabe und das Vorrechnen. Hier bin ich leider total raus. Ab-/Aufleitungen habe ich schon damals im Mathe-LK nicht wirklich verstanden (Habe deshalb damals in Klasse 12 und 13 nur 8 Punkte bekommen) Das wollte schon damals nicht in meinen Kopf und die Regeln 'nur' auswendig lernen hat mir nicht geholfen. LG aus dem Schwabenland.
Hey cooles video. Hab es bis zum Ende geschaut. Du erklärst alles so gut. Wäre es möglich, dass du eventuell eine Mathe Fachabitur Aufgabe über die Exponential Rechnung rechnest oder intergrale? Mach weiter, du wirst geliebt!
Man könnte g(x) auch mit den Potenzregeln umschreiben als g(x) = 4 - 4∙2^(-x). Dann würde ich persönlich die Exponentialfunktion noch als e-Funktion schreiben, also g(x) = 4 - 4∙e^(-x∙ln(2)). Der Faktor 1/ln(2) ergibt sich dann "automatisch" beim Integrieren.
Zur Fragestellung b): Die Fragestellung scheint mir interpretationsfähig bezüglich der Grenzen zu sein (auch wenn genau das gezeigte vermutlich gemeint war). Da g(x) für x>1 immer größer als f(x) ist für mich die eingeschlossene Fläche für y>0 (also die Schnittmenge der Flächen von f(x) und g(x) in Richtung X-Achse) für x>1 dem Integral f(x) von 1 bis unendlich. Analog müßte man das dann auch für den negativen Bereich machen. In der Summe käme dann aber auch einen unendlich großer Flächeinhalt heraus. Man könnte sich dann natürlich auch darauf berufen, das hier von den Schaubildern gesprochen wird und Schaubilder zeigen ja nur etwa einen Bereich von etwa x=-0,4 bis X=4,1 und y=-05 und Y=4,2, was wiederum den Schluss naheliegt das der Aufgabensteller tatsächlich nur die eingeschlossene Fläche gemein hat die durch die Graphen f(x) und g(x) und der Geraden mit y=0 zwischen x=0 bis X=3 gemeint hat, aber so nicht explizit in der Aufgabenstellung nennen wol´lte.
Ja, die Fragestellung ist unpräzise. Aus der abgebildeten Skizze scheint es aber deutlich zu werden, dass nur das Intervall [0;3] gemeint sein kann. Denn das Intervall [-1;1] davor ist nicht vollständig abgebildet. Außerdem ist g(x)
Vielleicht könnte man sagen, dass die Fläche umrandet ("eingeschlossen") sein soll. Der rechte und der linke Teil sind offen, also ist die Fläche nicht eingeschlossen...
@@WindsurfingNelson Ja, wäre eine Möglichkeit. Noch besser wäre es wenn die Fläche gleich eingefäbr wäre, so wie auch in der Vorschu in Susannes Video es zu sehen ist, dafür hätte es dann noch die kleine Aufgabe geben können, dass man rechnerisch die Nullstellen bei 0 und 3 nachweisen soll.
Teilaufgabe b ist nicht eindeutig beschrieben, es gibt ja noch eine weitere Fläche die durch beide Kurven und der X-Achse begrenzt werden und zwar von -1 bis 1 für f und 0 bis 1 für g.
Danke danke danke! Ich finde solche Ungenauigkeiten insbesondere in Matheaufgaben wirklich mies. Ganz streng genommen wird auch nicht von x-Achse und den beiden Funktionen f und g gesprochen sondern von x-Achse und den Schaubildern. Wo im Schaubild die Funktion f auf der negativen Seite der x-Achse aufhört, lässt sich weder genau erkennen noch berechnen...
Wahrscheinlich wurde der Graph deshalb nur in dem anderen Bereich vollständig gezeichnet. Außerdem würde dann auch die y-Achse in dieser Fläche liegen.🤗
Da allerdings von den abgebildeten Schaubildern und nicht den Funktionen selbst die Rede ist, kann nur eine eingeschlossene Fläche gemeint sein. Klar schmeißt man mal die Nerven in so ner Prüfungssituation, aber streng genommen ist die Aufgabe eindeutig.
Ich hätte das nicht Korrekturfaktor genannt, sondern das sind einfach 2 verkettete Funktionen. Das ist dann einfach die Kettenregel. Weil es muss nicht unbedingt nur ein Faktor sein, es kann auch eine Funktion sein, in der x erhalten bleibt je nachdem wie die verkettete Funktion aussieht.
[2:31 min] Korrekturfaktor? Ist dies das Pendant in der Stammfunktion zur Kettenregel beim ableiten? Oder hat das damit nichts zu tun? [4:48 min] Kann man hier nicht die Potenzregel nutzen? Bei gleicher Basis multipliziert, werden Exponenten addiert. Wäre das dann nicht g(x) = 4 - (2^(-x) * 2²) und somit gäbe es eine Potenz mit nur x. Das negative Vorzeichen würde durch die Logarithmusregel log(a^b) = b * log(a) davor geschrieben werden und die 2² nutzt die Faktorregel der Integration.
bei 15:08 ist ein Flüchtigkeitsfehler: Es muss heißen A = Integral von 0 bis 1 über g + Integral von 1 bis 3 über f (du hast f und g vertauscht), machst dann aber richtig weiter ... hab ich auch erst beim zweiten Mal gesehen ...
16:25 Warum nicht einfach den Zähler 1 weglassen und den Bruch vereinfachen? A = 6 - 2/ln(2). Alternativ dazu könnte man auch 2 ausklammern: A = 2 * (3 - 1/ln(2)).
In der Schule habe ich es so gelernt, dass die Nullstellen von sin die geraden und die von cos die ungeraden Vielfachen von π/2 sind. Und bei den ungeraden Vielfachen von π/2 haben wir immer sowohl den Faktor als auch das π in den Zähler geschrieben, also nicht "3/2 π", sondern "3π/2". Genauso hätte ich auch einfach "2/ln 2" statt "2 * 1/ln(2)" bzw. "4/ln 2" statt "4 * 1/ln(2)" geschrieben - ja, die Klammern um das Argument von sin, cos, ln etc. kann man auch weglassen, solange es sich dabei nur um eine Zahl oder einen sichtbar zusammenhängenden Ausdruck handelt. So hätte man "cos π/2" z. B. auch ohne Klammern schreiben dürfen ... oder auch "cos 3π/2", solange man die "3π/2" als einen Bruch und nicht als Produkt einer Zahl mit einem Bruch hinschreibt. Das nur als Information für die Schreibfaulen; Susannes Schreibweise ist natürlich ebenfalls korrekt.
Die Gesamtfläche beträgt: A = 3,11 FE. Es ist schade, dass Sie die Lösung der hochinteressanten Integrale nicht gezeigt haben! Denn z.B. für das Integral 2^(2-x) muss man schon ganz schön aufpassen mit der Substitution und den verdrehten bound‘s. Der Effekt des Lernens wäre interessant. Trotzdem, wie immer danke für die Aufgabe und für Ihren unaufgeregten Vortrag.
Ja, da muss man aufpassen. Daher schreib ich Expoentialfunkitionen immer so um, dass man die Basis e hat. Dann ist das Ableiten und Integrieren etwas einfacher weil man da sofort den Faktor ln(a) sieht: (a in diesem Fall 2): f(x) = 4-2^(2-x) = 4-e^((2-x)*ln(2)) F(x) = 4x+(1/ln(2))*e^((2-x)*ln(2)) +c
Die 3 als Nullstelle der Sinusfunktion sieht man m.E. nicht direkt, sondern die müsste auch noch berechnet werden. Und warum ist der Schnittpukt bei x=1 eigentlich vorgegeben? Ich denke mal, ich hätte den in der Abiprüfung noch berechnen müssen. Man kann ja zumindest mal x=1 vermuten und in die Funktionen einsetzen, wobei sich dann wundersamerweise jedesmal der Wert 2 ergibt.
Die Berechnung des Schnittpunktes wäre eine interessante Aufgabe, die Susanne auch mal vorrechnen könnte. Eine Sinus-Exponentialgleichung scheint mir nicht ganz einfach lösbar zu sein. Ich bezweifle sogar die analytische Lösbarkeit. Ich komme nicht drauf und wolframalpha liefert schon mal keine aus.
Leute DENKT AN DAS FE BEI FLÄCHENINHALTEN oder wenn ihr eine Angabe habt wie „1 Meter =^1 LE SCHREIBT FE ODER M^2 DAHINTER“ ! ! ! Gibt sonst Punktabzug
Hilfsmittelfrei heißt für mich auch ohne Tafelwerk. Also Stammfunktion 2 hoch x herleiten please😊 cos u. Sin kann man sich ja merken. ich hätte nur mit Substitution die Integrale gelöst. Mit der Ableitungsprobiererei kommst du durcheinander aber jeder wie er will.
Da der Cosinus eine periodischen Maximalwert für y besitzt, der von der anderen Funktion nicht erneut geschnitten wird, kommt nach x=3 keine Fläche mehr, die sowohl von f (x) als auch von g (x) und der x-Achse eingeschlossen wird. Das Schaubild soll ja da auch nur einen relevanten Ausschnitt zeigen, ein mögliches Integral würde sich dann über x=4 hinaus erstrecken, je nachdem wo sich f und g nochmal schneiden würden, was sie bei dem Beispiel aber nicht machen.
Was ist daran unverständlich? Das ist nur eine etwas umständlichere Schreibweise. "2/a" ist ja auch das Gleiche wie "2 multipliziert mit dem Kehrwert von a" [für a ≠0]
@@m.h.6470 Doch, um einen bestimmten Sachverhalt zu unterstreichen kann so etwas Sinn ergeben. Wenn du dich mal allgemein mit Gruppen, Ringen und Körpern (bzw. Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz) beschäftigst wirst du merken wie selbstverständlich diese Rechenregeln sind und es garnicht so einfach ist das Offensichtliche zu sehen. TLDR: es ist wumpe ob du 2/a oder 2*1/a schreibst.
@@adrianlautenschlaeger8578 Wir reden hier von Mittelstufen-Mathematik, mit einfachen Termen. Nicht von komplexen Termen, bei denen man nicht auf anhieb versteht was los ist. Das sind zwei vollkommen unterschiedliche und nicht mit einander vergleichbare Dinge!
Gibt es keine Logarithmen-Gesetze, die man auf das Endergebnis mit dem Logarithmus im Nenner noch anwenden kann? 1/ ln(2) ist doch gleich (ln(2))^(-1). Irgendwie habe ich das Gefühl, da müsste noch etwas gehen. 🤔
Nein da geht leider nichts mehr. Umformen könnte man nur wenn man sowas hat wie ln(1/x) = ln(x⁻¹) = -ln(x) Aber den Kehrwert das Logs kannst du nicht wirklich vereinfachen. Höchsten den Term, den du in den Log steckst, aber auch nicht immer: ln(a*b) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) - ln(b) aber: ln(a+b) lässt sich i.A. nicht weiter veinfachen.
@@adrianlautenschlaeger8578 Ich dachte da an eine Lösung unter Zuhilfenahme von: 1 = ln(e). Daraus ergibt sich dann: 1 / ln(2) = ln(e) / ln(2) Und damit müsste doch etwas anzufangen sein. 🤔
@@lupus.andron.exhaustus naja, dann hast du einen Log im Zähler und nen anderen Log im Nenner. Wobei ln(e) ja nur ne umständliche Schreibweise für 1 ist. Da geht nix mehr, auch wolframalpha spuckt nichts einfacheres aus, Nur was anderes z.B. in Form einer Reihe (unendliche Summe) oder Integrals.
@@lupus.andron.exhaustus Achso, nochwas: könnte man 1/ln(x) "besser" umformen, hätte man wohl auch weniger Probleme, eine Stammfunktion dafür zu finden. Tatsache ist aber, dass es keine elementare Stammfunktion von 1/ln(x) gibt. Da man diese aber trotzdem braucht, hat man diese über das Integral selbst definiert. Nennt sich Integrallogarithmus und wird als Li(x) geschrieben: Li(x) := Integral 1/ln(t) dt von 2 bis x
Durch scharfes Hinschauen sieht man recht deutlich, dass x=3 eine Nullstelle von f ist: sin(x*pi/2)=-1 Das "erste" Mal hat der Sinus den Wert -1 bei 3pi/2, also x=3
Ja da hast du recht. Aber man muesste es erwaehnen. Ich bin ja nicht der einzige der die Frage gestellt hat und es sind viel Schueler hier. Trotzdem wiedermal TOP Video!@@adrianlautenschlaeger8578
@@Meddten Naja, ich finde Susanne erklärt tw. schon zuviel. Bestimmte Dinge müssen dann einfach mal vorausgesetzt werden, sonst würden solche Video Stunden dauern. Man könnte ja auch fragen warum -cos(x) eine Stammfunktion von sin(x) ist und dann einen Beweis verlangen. Wenn man was nicht weiß kann man ja auch erstmal selbst Google anschmeißen.
@@Meddten Ja, aber wie ich schon sagte, man kann nicht alles erklären. Bestimmte Dinge müssen vorausgesetzt werden. Sonst könnte Susanne in jedem Video erstmal mit dem kleinen 1x1 anfangen und ausführlich erklären.
Ja. In welcher Mittelstufe bitte kommen Integrale vor? Sicher nicht in Deutschland. Die Inder beherrschen ganz sicher schon der 4. Klasse Integralrechnungen 🙂
Wer sagt, dass es dafür eine praktische Anwendung geben muss? Aber bitte schön: wenn man z.B. einen naturwissenschaftlichen Weg einschlagen will, muss man ein solches Handwerkszeug beherrschen. Beispielsweise gibt mir die Fläche unter einer Kurve, die einen Geschwindigkeitsverlauf beschreibt, Aufschluss über die zurückgelegte Strecke. Auch in der Finanzmathematik sind Ableitungen und Integrale von Bedeutung. Einfach mal über den (eigenen) Tellerrand hinausschauen!
Immer dieses Totschlagargument. Aus der Kalten fiele mir das Ausfüllen von Flächen mit Zement ein oder eben teureren Sachen, wo es auf jeden Milliliter ankommt und man da nicht aus Faulheit auf geometrischere Flächen zurückgreifen kann und sehr grob abschätzt. Sobald es ans Geld geht, würde man sich da schon die Mühe machen.
Natürlich muss dann auch erwähnt werden, dass Firmen dann auf Programme zurückgreifen, die das ausrechnen, aber wenn du es selbst nicht kannst, wirst du auch einen Fehler nicht erkennen, wenn bspw. die Funktion falsch eingegeben wurde und das Ergebnis deinen Erwartungen bzw. deiner Abschätzung nicht entspricht. Der menschliche Fehler ist nicht zu unterschätzen, denn aus Routine wird Fahrlässigkeit.
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Immer wieder beeindruckend Susanne, wie du auch die schwierigsten Mathe-Aufgaben meisterhaft erklärst und auflöst. 😘
Du glaubst, das seien schwierige Mathe-Aufgaben?
"Und daran scheitert´s dann oft"
Susanne, das hast Du wirklich ganz nett gesagt. Mit Taschenrechner wäre es ein irrer Wirrwarr geworden. Aus meiner Tätigkeit als nebenberuflicher Lehrer für Elektronik kenne ich das. Schüler lesen eine Aufgabe, Taschenrechner raus, reinhacken, Den TR wütend auf den Tisch knallen 😃😃
Erst überlegen und dann TR, den man dann oft überhaupt nicht braucht.
Viele Grüße
Klaus
Das sind genau die aufgsben die mir schwer fallen , ich muss diese aber lernen unbedingt
Hoffe ich besteh das ding nächste woche
Wie liefs?
Damit wäre ich heute voll auf die Nase gefallen. Vor 50 Jahren - im Gymnasium - wahrscheinlich auch. Vielen Dank für diese Auffrischung!!
Beinhaltet b), dass man g(0)=0 und f(3)=0 einfach ablesen darf? Gegeben ist ja nur, dass in x=1 ein Schnittpunkt ist.
Hätte auch gedacht, dass man die Nullstellen erst bestimmen und nicht einfach ablesen darf.
Gute Frage, ob man das darf. (Vermutlich ja, zumal man das ja durch Einsetzen der Werte in die Funktionsgleichungen leicht erkennt.) Ich hätte vorsichtshalber geschrieben: Es ist g(0)=0 und f(3)=0 und damit A = (und dann die Summe der beiden Integrale). Damit ist man auf jeden Fall auf der sicheren Seite.
Das fand ich an der Aufgabe auch etwas merkwürdig. Wenn man ablesen dürfte, hätte man auch den Schnittpunkt ablesen können und er bräuchte nicht gegeben werden.
Also meiner Meinung nach wäre noch eine Nullstellenberechnung für f(x) und g(x) nötig gewesen.
@@matzek.3220 Insbesondere auch weil es eine Abi Prüfung war. Glaube nicht, dass Annahmen da in Ordnung sind (aber ich hab die Lehrer und Prüfungsregularien häufig nicht verstanden).
Einfach nur ablesen ist nicht so elegant, besser wäre es, die Nullstellen zu berechnen.
Dass f die x Achse bei 3 schneidet, ist eine unzulässige Annahme. Das kann man der Grafik genauso wenig entnehmen, wie daß sich f und g bei 1 schneiden, darum steht es ja extra in der Aufgabe.
Yup, das ist mir auch aufgestoßen. Ich hätte sicherheitshalber noch die Nullstellen berechnet.
Hallo Susanne, herzlichen Dank für diese Frage aus dem Bereich Analysis-2 🙂🙏
Mein Lösungsvorschlag ▶
F(x)= ∫ f(x) dx
F(x)= ∫ [sin(πx/2)+1] dx
= ∫ sin(πx/2) dx + ∫ dx
πx/2= u
(π/2)dx= du
dx=(2/π)du
⇒
= ∫ sin(u) (2/π)du + ∫ dx
= -cos(u)(2/π) + x
F(x)= -cos(πx/2).(2/π) + x ✅
G(x)= ∫ g(x) dx
G(x)= ∫ (4-2⁻ˣ⁺²)dx
= ∫ 4dx - ∫2⁻ˣ⁺²dx
-x+2=u
-dx= du
⇒
G(x)= 4x - ∫ 2ᵘ*(-du)
= 4x + ∫ 2ᵘ du
∫ 2ᵘ du = 2ᵘ/ln(2)
⇒
G(x)= 4x + 2ᵘ/ln(2)
G(x)= 4x + 2⁻ˣ⁺²/ln(2) ✅
b) die Fläche:
I= ∫ g(x) dx von a= 0 bis b= 1 + ∫ f(x) dx von a= 1 bis b= 3
⇒
I₁ = ∫ g(x) dx
= G(x)
I₁= G(1) - G(0)
G(1)= 4*1+2¹/ln(2)
G(0)= 4*0+2²/ln(2)
⇒
I₁ = 4+2/ln(2)- 4/ln(2) ✅
I₂ = ∫ f(x) dx
= F(x)
I₂ = F(3) - F(1)
F(3)= -cos(3π/2)*(2/π) +3
cos(270°)= 0
⇒
F(3)= 3
F(1)= -cos(π/2)*(2/π) + 1
cos(90°)= 0
⇒
F(1)= 1
⇒
I₂ = 3-1
I₂ = 2 ✅
⇒
I= I₁ + I₂
I= 4+2/ln(2)- 4/ln(2) + 2
I= 6- 2/ln(2) ✅
Wieder sehr ausführlich erklärt. Danke dafür.
Hallo Susanne, guten Abend,
lieben Dank für die Aufgabe und das Vorrechnen.
Hier bin ich leider total raus.
Ab-/Aufleitungen habe ich schon damals im Mathe-LK nicht wirklich verstanden
(Habe deshalb damals in Klasse 12 und 13 nur 8 Punkte bekommen)
Das wollte schon damals nicht in meinen Kopf und die Regeln 'nur' auswendig lernen hat mir nicht geholfen.
LG aus dem Schwabenland.
Hey cooles video. Hab es bis zum Ende geschaut. Du erklärst alles so gut. Wäre es möglich, dass du eventuell eine Mathe Fachabitur Aufgabe über die Exponential Rechnung rechnest oder intergrale? Mach weiter, du wirst geliebt!
Endlich mal eine Aufgabe, die man nicht sofort im Kopf lösen konnte. Hat Spaß gemacht. 😁
Man könnte g(x) auch mit den Potenzregeln umschreiben als g(x) = 4 - 4∙2^(-x). Dann würde ich persönlich die Exponentialfunktion noch als e-Funktion schreiben, also g(x) = 4 - 4∙e^(-x∙ln(2)). Der Faktor 1/ln(2) ergibt sich dann "automatisch" beim Integrieren.
Sehr schön!
Zur Fragestellung b): Die Fragestellung scheint mir interpretationsfähig bezüglich der Grenzen zu sein (auch wenn genau das gezeigte vermutlich gemeint war). Da g(x) für x>1 immer größer als f(x) ist für mich die eingeschlossene Fläche für y>0 (also die Schnittmenge der Flächen von f(x) und g(x) in Richtung X-Achse) für x>1 dem Integral f(x) von 1 bis unendlich. Analog müßte man das dann auch für den negativen Bereich machen. In der Summe käme dann aber auch einen unendlich großer Flächeinhalt heraus. Man könnte sich dann natürlich auch darauf berufen, das hier von den Schaubildern gesprochen wird und Schaubilder zeigen ja nur etwa einen Bereich von etwa x=-0,4 bis X=4,1 und y=-05 und Y=4,2, was wiederum den Schluss naheliegt das der Aufgabensteller tatsächlich nur die eingeschlossene Fläche gemein hat die durch die Graphen f(x) und g(x) und der Geraden mit y=0 zwischen x=0 bis X=3 gemeint hat, aber so nicht explizit in der Aufgabenstellung nennen wol´lte.
Ja, die Fragestellung ist unpräzise. Aus der abgebildeten Skizze scheint es aber deutlich zu werden, dass nur das Intervall [0;3] gemeint sein kann. Denn das Intervall [-1;1] davor ist nicht vollständig abgebildet. Außerdem ist g(x)
Vielleicht könnte man sagen, dass die Fläche umrandet ("eingeschlossen") sein soll. Der rechte und der linke Teil sind offen, also ist die Fläche nicht eingeschlossen...
@@WindsurfingNelson Ja, wäre eine Möglichkeit. Noch besser wäre es wenn die Fläche gleich eingefäbr wäre, so wie auch in der Vorschu in Susannes Video es zu sehen ist, dafür hätte es dann noch die kleine Aufgabe geben können, dass man rechnerisch die Nullstellen bei 0 und 3 nachweisen soll.
Danke für dieses Video.
Teilaufgabe b ist nicht eindeutig beschrieben, es gibt ja noch eine weitere Fläche die durch beide Kurven und der X-Achse begrenzt werden und zwar von -1 bis 1 für f und 0 bis 1 für g.
Danke danke danke! Ich finde solche Ungenauigkeiten insbesondere in Matheaufgaben wirklich mies. Ganz streng genommen wird auch nicht von x-Achse und den beiden Funktionen f und g gesprochen sondern von x-Achse und den Schaubildern. Wo im Schaubild die Funktion f auf der negativen Seite der x-Achse aufhört, lässt sich weder genau erkennen noch berechnen...
Wahrscheinlich wurde der Graph deshalb nur in dem anderen Bereich vollständig gezeichnet. Außerdem würde dann auch die y-Achse in dieser Fläche liegen.🤗
Da allerdings von den abgebildeten Schaubildern und nicht den Funktionen selbst die Rede ist, kann nur eine eingeschlossene Fläche gemeint sein. Klar schmeißt man mal die Nerven in so ner Prüfungssituation, aber streng genommen ist die Aufgabe eindeutig.
@@swalbi1579 du hast recht, es wurde ja explizit "eingeschlossen" geschrieben.
Du bist super!
Ich hätte das nicht Korrekturfaktor genannt, sondern das sind einfach 2 verkettete Funktionen. Das ist dann einfach die Kettenregel. Weil es muss nicht unbedingt nur ein Faktor sein, es kann auch eine Funktion sein, in der x erhalten bleibt je nachdem wie die verkettete Funktion aussieht.
Bitte noch mehr Abiaufgaben 🙌
[2:31 min] Korrekturfaktor? Ist dies das Pendant in der Stammfunktion zur Kettenregel beim ableiten? Oder hat das damit nichts zu tun?
[4:48 min] Kann man hier nicht die Potenzregel nutzen? Bei gleicher Basis multipliziert, werden Exponenten addiert. Wäre das dann nicht g(x) = 4 - (2^(-x) * 2²) und somit gäbe es eine Potenz mit nur x. Das negative Vorzeichen würde durch die Logarithmusregel log(a^b) = b * log(a) davor geschrieben werden und die 2² nutzt die Faktorregel der Integration.
bei 15:08 ist ein Flüchtigkeitsfehler: Es muss heißen A = Integral von 0 bis 1 über g + Integral von 1 bis 3 über f (du hast f und g vertauscht), machst dann aber richtig weiter ... hab ich auch erst beim zweiten Mal gesehen ...
Ah stimmt, gut gesehen! Da hatte ich es oben falsch abgeschrieben.
Was ist eigentlich der Korrekturfaktor und wie wendet man ihn an? Ich habe davon noch nie was gehört 😅
16:25 Warum nicht einfach den Zähler 1 weglassen und den Bruch vereinfachen?
A = 6 - 2/ln(2).
Alternativ dazu könnte man auch 2 ausklammern:
A = 2 * (3 - 1/ln(2)).
In der Schule habe ich es so gelernt, dass die Nullstellen von sin die geraden und die von cos die ungeraden Vielfachen von π/2 sind.
Und bei den ungeraden Vielfachen von π/2 haben wir immer sowohl den Faktor als auch das π in den Zähler geschrieben, also nicht "3/2 π", sondern "3π/2".
Genauso hätte ich auch einfach "2/ln 2" statt "2 * 1/ln(2)" bzw. "4/ln 2" statt "4 * 1/ln(2)" geschrieben - ja, die Klammern um das Argument von sin, cos, ln etc. kann man auch weglassen, solange es sich dabei nur um eine Zahl oder einen sichtbar zusammenhängenden Ausdruck handelt. So hätte man "cos π/2" z. B. auch ohne Klammern schreiben dürfen ... oder auch "cos 3π/2", solange man die "3π/2" als einen Bruch und nicht als Produkt einer Zahl mit einem Bruch hinschreibt. Das nur als Information für die Schreibfaulen; Susannes Schreibweise ist natürlich ebenfalls korrekt.
Stammfunktion sollte ich noch können. 🔆
Wie wäre es mal mit einem Integral einer gebrochen rationalen Funktion mit Partialbruchzerlegung ? Das war in den 70igern und 80igern Standard !
Die Gesamtfläche beträgt:
A = 3,11 FE.
Es ist schade, dass Sie die Lösung der hochinteressanten Integrale nicht gezeigt haben!
Denn z.B. für das Integral 2^(2-x) muss man schon ganz schön aufpassen mit der Substitution und den verdrehten bound‘s.
Der Effekt des Lernens wäre interessant.
Trotzdem, wie immer danke für die Aufgabe und für Ihren unaufgeregten Vortrag.
Ja, da muss man aufpassen. Daher schreib ich Expoentialfunkitionen immer so um, dass man die Basis e hat. Dann ist das Ableiten und Integrieren etwas einfacher weil man da sofort den Faktor ln(a) sieht: (a in diesem Fall 2):
f(x) = 4-2^(2-x) = 4-e^((2-x)*ln(2))
F(x) = 4x+(1/ln(2))*e^((2-x)*ln(2)) +c
Die 3 als Nullstelle der Sinusfunktion sieht man m.E. nicht direkt, sondern die müsste auch noch berechnet werden.
Und warum ist der Schnittpukt bei x=1 eigentlich vorgegeben? Ich denke mal, ich hätte den in der Abiprüfung noch berechnen müssen. Man kann ja zumindest mal x=1 vermuten und in die Funktionen einsetzen, wobei sich dann wundersamerweise jedesmal der Wert 2 ergibt.
Boahhhh, echt genau das sind meine Problemzonen 🤦♂️🤦♂️🤦♂️🤦♂️🤦♂️🙏🙏🙏🙏
Kommen solche Aufgaben mit solch schwierigen Funktionen zum aufleiten auch im Grundkurs dran….?
Könntest du mir kurz erklären, wo du dein Profilbild herhast oder was es bedeutet? Ich habe das jetzt nämlich schon öfter gesehen
war das Grundkurs?
Hoffentlich nicht sonst bin ich am arsch 🙏🏻🙏🏻
Ergebnis 6 - 2 / ln(2)
Die Berechnung des Schnittpunktes wäre eine interessante Aufgabe, die Susanne auch mal vorrechnen könnte. Eine Sinus-Exponentialgleichung scheint mir nicht ganz einfach lösbar zu sein. Ich bezweifle sogar die analytische Lösbarkeit. Ich komme nicht drauf und wolframalpha liefert schon mal keine aus.
Endergebnis ist dann 3,11 FE.
In welchem Abi (Bundesland, vermutlich LK) war das?
Leute DENKT AN DAS FE BEI FLÄCHENINHALTEN oder wenn ihr eine Angabe habt wie „1 Meter =^1 LE SCHREIBT FE ODER M^2 DAHINTER“
! ! ! Gibt sonst Punktabzug
Weiß jemand aus welchem Bundesland diese Abiaufgabe ist?
Hilfsmittelfrei heißt für mich auch ohne Tafelwerk. Also Stammfunktion 2 hoch x herleiten please😊 cos u. Sin kann man sich ja merken. ich hätte nur mit Substitution die Integrale gelöst. Mit der Ableitungsprobiererei kommst du durcheinander aber jeder wie er will.
Wenn man nicht sieht, dass 2^x = e^(x*ln(2)) ist, wirds schwierig genug ohne Hilfsmittel. Oder gibt es eine Formelsammlung?
=>[f(x)+g(x)]•dx=(2,263+0,66')•dx=2,93•dx
[2,93•dx]0->π->0
Warum wird die Fläche von X=3 bis x=4 nicht berechnet ??
Da der Cosinus eine periodischen Maximalwert für y besitzt, der von der anderen Funktion nicht erneut geschnitten wird, kommt nach x=3 keine Fläche mehr, die sowohl von f (x) als auch von g (x) und der x-Achse eingeschlossen wird. Das Schaubild soll ja da auch nur einen relevanten Ausschnitt zeigen, ein mögliches Integral würde sich dann über x=4 hinaus erstrecken, je nachdem wo sich f und g nochmal schneiden würden, was sie bei dem Beispiel aber nicht machen.
@@CallindorCray-dp7no Exakt und dann wäre die Antwort auch ziemlich einfach gewesen. Flächeninhalt geht gegen unendlich.
Ist ein bisschen unverständlich, warum 2 * 1/ln(2) anstatt einfach 2/ln(2) geschrieben wird. Das gleiche natürlich auch bei 4 * 1/ln(2), also 4/ln(2)
Was ist daran unverständlich? Das ist nur eine etwas umständlichere Schreibweise. "2/a" ist ja auch das Gleiche wie "2 multipliziert mit dem Kehrwert von a" [für a ≠0]
@@adrianlautenschlaeger8578 Genau das meine ich ja. Warum verwendet sie eine umständlichere Schreibweise? Macht keinen Sinn.
@@m.h.6470weil sie es dann später leichter zusammenaddieren konnte. Letztlich aber wie sie selbst sagt, hat da jeder seinen eigenen Geschmack
@@m.h.6470 Doch, um einen bestimmten Sachverhalt zu unterstreichen kann so etwas Sinn ergeben. Wenn du dich mal allgemein mit Gruppen, Ringen und Körpern (bzw. Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz) beschäftigst wirst du merken wie selbstverständlich diese Rechenregeln sind und es garnicht so einfach ist das Offensichtliche zu sehen.
TLDR: es ist wumpe ob du 2/a oder 2*1/a schreibst.
@@adrianlautenschlaeger8578 Wir reden hier von Mittelstufen-Mathematik, mit einfachen Termen. Nicht von komplexen Termen, bei denen man nicht auf anhieb versteht was los ist. Das sind zwei vollkommen unterschiedliche und nicht mit einander vergleichbare Dinge!
Gibt es keine Logarithmen-Gesetze, die man auf das Endergebnis mit dem Logarithmus im Nenner noch anwenden kann? 1/ ln(2) ist doch gleich (ln(2))^(-1). Irgendwie habe ich das Gefühl, da müsste noch etwas gehen. 🤔
Nein da geht leider nichts mehr. Umformen könnte man nur wenn man sowas hat wie
ln(1/x) = ln(x⁻¹) = -ln(x)
Aber den Kehrwert das Logs kannst du nicht wirklich vereinfachen. Höchsten den Term, den du in den Log steckst, aber auch nicht immer:
ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
aber: ln(a+b) lässt sich i.A. nicht weiter veinfachen.
@@adrianlautenschlaeger8578 Ich dachte da an eine Lösung unter Zuhilfenahme von:
1 = ln(e).
Daraus ergibt sich dann:
1 / ln(2) = ln(e) / ln(2)
Und damit müsste doch etwas anzufangen sein. 🤔
@@lupus.andron.exhaustus naja, dann hast du einen Log im Zähler und nen anderen Log im Nenner. Wobei ln(e) ja nur ne umständliche Schreibweise für 1 ist. Da geht nix mehr, auch wolframalpha spuckt nichts einfacheres aus, Nur was anderes z.B. in Form einer Reihe (unendliche Summe) oder Integrals.
@@lupus.andron.exhaustus Achso, nochwas: könnte man 1/ln(x) "besser" umformen, hätte man wohl auch weniger Probleme, eine Stammfunktion dafür zu finden. Tatsache ist aber, dass es keine elementare Stammfunktion von 1/ln(x) gibt. Da man diese aber trotzdem braucht, hat man diese über das Integral selbst definiert. Nennt sich Integrallogarithmus und wird als Li(x) geschrieben:
Li(x) := Integral 1/ln(t) dt von 2 bis x
Woher weisst du das mit der oberen Grenze 3. Das muesste man doch berechnen und nicht einfach ablesen?
Durch scharfes Hinschauen sieht man recht deutlich, dass x=3 eine Nullstelle von f ist: sin(x*pi/2)=-1
Das "erste" Mal hat der Sinus den Wert -1 bei 3pi/2, also x=3
Ja da hast du recht. Aber man muesste es erwaehnen. Ich bin ja nicht der einzige der die Frage gestellt hat und es sind viel Schueler hier. Trotzdem wiedermal TOP Video!@@adrianlautenschlaeger8578
@@Meddten Naja, ich finde Susanne erklärt tw. schon zuviel. Bestimmte Dinge müssen dann einfach mal vorausgesetzt werden, sonst würden solche Video Stunden dauern. Man könnte ja auch fragen warum -cos(x) eine Stammfunktion von sin(x) ist und dann einen Beweis verlangen. Wenn man was nicht weiß kann man ja auch erstmal selbst Google anschmeißen.
Sie hat halt eine grosse Spanne der Zielgruppen@@adrianlautenschlaeger8578
@@Meddten Ja, aber wie ich schon sagte, man kann nicht alles erklären. Bestimmte Dinge müssen vorausgesetzt werden. Sonst könnte Susanne in jedem Video erstmal mit dem kleinen 1x1 anfangen und ausführlich erklären.
Lösung:
a) ∫f(x)*dx = ∫[sin(π/2*x)+1]*dx = ∫sin(π/2*x)+∫dx =
---------------
Substitution für das 1.Integral: u = π/2*x du = π/2*dx dx = 2/π*du
---------------
= 2/π*∫sin(u)*du+x = -2/π*cos(u)+x+C = -2/π*cos(π/2*x)+x+C
∫g(x)*dx = ∫[4-2^(-x+2)]*dx = 4*∫dx-2²*∫2^(-x) = 4x-4*∫e^{ln[2^(-x)]}*dx
= 4x-4*∫e^[-ln(2)*x]*dx = 4x+4/ln(2)*e^[ln(2)*(-x)]+K
= 4x+4/ln(2)*2^(-x)+K
b) Wo ist die 1. Nullstelle von f(x) = sin(π/2*x)+1?
sin(π/2*x)+1 = 0 |-1 ⟹
sin(π/2*x) = -1 |arcsin() ⟹
π/2*x = arcsin(-1) = 3/2*π |*2/π ⟹
x = 3/2*π*2/π = 3 ⟹ Die 1. Nullstelle ist also bei xN = 3.
1 3
Zu berechnender Flächeninhalt = ∫g(x)*dx+∫f(x)*dx =
0 1
1 3
= [4x+4/ln(2)*2^(-x)]+[-2/π*cos(π/2*x)+x] =
0 1
= 4+4/ln(2)*1/2-4/ln(2)+{-2/π*cos(π/2*3)+3-[-2/π*cos(π/2)+1]}
= 4-2/ln(2)+3-1 = 6-2/ln(2)
Lebensretter
Für mich Böhmische Dörfer 🫣
Da hatte ich bei Mathe schon abgeschaltet
(💩Lehrer, leider ) und bin in die Praxis gegangen
Keine Sorge, bist nicht der Einzige 😅
5
Girls are most beautiful in spring!❤
What has your statement to do with the mathematical problem? The point is mathematical curves, not biological!
Welches Bundesland war das?
Vermutlich war das Indisch-Bayristan 😎
@@adrianlautenschlaeger8578
Ich hätte gerne eine qualifizierte Antwort, da mich das ernsthaft interessiert, da ich in NRW Mathe unterrichte.
@@annewaloch7775 Wenn du wirklich Mathelehrerin bist, hast du doch weitaus bessere Quellen als TH-cam, die du anzapfen kannst.
Das ist echt schwer 😪
PUHHHHH, boay ey, das ist aber schwer, Leute ich bin hier raus, dass ist mir zu HOCH. 🤔🙂😂
Das waren Abi-Aufgaben?
Wurde das Kleine Einmaleins auch abgefragt?
Ja. In welcher Mittelstufe bitte kommen Integrale vor? Sicher nicht in Deutschland. Die Inder beherrschen ganz sicher schon der 4. Klasse Integralrechnungen 🙂
@@adrianlautenschlaeger8578 Du kommst offensichtlich auch aus diesem System.
@@222mozart Danke aber nein, Differentialrechnung konnte ich noch nicht in der 4. Klasse. 🙂
Nenne mir ein Beispiel für die praktische Anwendung. Also ich sehe darin keinen Sinn. Das braucht kein Mensch für sein tägliches Leben.
Wer sagt, dass es dafür eine praktische Anwendung geben muss? Aber bitte schön: wenn man z.B. einen naturwissenschaftlichen Weg einschlagen will, muss man ein solches Handwerkszeug beherrschen. Beispielsweise gibt mir die Fläche unter einer Kurve, die einen Geschwindigkeitsverlauf beschreibt, Aufschluss über die zurückgelegte Strecke. Auch in der Finanzmathematik sind Ableitungen und Integrale von Bedeutung. Einfach mal über den (eigenen) Tellerrand hinausschauen!
Immer dieses Totschlagargument. Aus der Kalten fiele mir das Ausfüllen von Flächen mit Zement ein oder eben teureren Sachen, wo es auf jeden Milliliter ankommt und man da nicht aus Faulheit auf geometrischere Flächen zurückgreifen kann und sehr grob abschätzt. Sobald es ans Geld geht, würde man sich da schon die Mühe machen.
Natürlich muss dann auch erwähnt werden, dass Firmen dann auf Programme zurückgreifen, die das ausrechnen, aber wenn du es selbst nicht kannst, wirst du auch einen Fehler nicht erkennen, wenn bspw. die Funktion falsch eingegeben wurde und das Ergebnis deinen Erwartungen bzw. deiner Abschätzung nicht entspricht. Der menschliche Fehler ist nicht zu unterschätzen, denn aus Routine wird Fahrlässigkeit.
E-Technik
In der E-Technik kommt sowas haeufiger vor. Leistung bei einer Phasenanschnittssteuerung (Lampendimmer) berechnen.
Sehr schön!!