Математика для всех. Алексей Савватеев. Лекция 6.5. Иррациональность корня из двух - 1
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 7 ก.ย. 2024
- Курс из 6 лекций для тех, кто хочет узнать, что математика - это не сложные и нудные вычисления, а красивые и логичные рассуждения.
Плейлист на канале: • Математика для всех. К...
КУРС "МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ" НА ПЛАТФОРМЕ STEPIK. Полная версия с дополнительными заданиями и контрольными работами: stepik.org/cou...
КУРС "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ"
Плейлист на канале: • Математический анализ....
Курс с заданиями по каждому разделу: openedu.ru/cou...
ПРОДОЛЖЕНИЕ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ"
Плейлист на канале: • Линейная алгебра и эле...
Курс с заданиями по каждому разделу: openedu.ru/cou...
ПРОДОЛЖЕНИЕ "ГЕОМЕТРИЯ И ГРУППЫ"
Плейлист на канале: • Геометрия и группы. Ку...
Курс с заданиями по каждому разделу: openedu.ru/cou...
КУРС "ТЕОРИЯ ИГР
Плейлист на канале: • Теория игр. Курс лекци...
Курс с заданиями по каждому разделу: openedu.ru/cou...
КУРС "ТЕОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МЕХАНИЗМОВ"
Плейлист на канале: • Теория экономических м...
Курс с заданиями по каждому разделу: stepik.org/cou...
Группа ВК: baikalre...
Видеоканал / sibscience
![🎤 ไปกันต่อออ! จับฉลากร้องเพลง x P’ #XXSIVK [EP.2] (1/2) เพลงของใครจึ้งสุดน้าา 💓🎤 #MXFRUIT](http://i.ytimg.com/vi/mLI_K0sAS4o/mqdefault.jpg)
Автор демонстрирует неподдельный интерес к тому, о чем рассказывает. Вот чему учиться надо!
Вспомнилось: чтобы понять рекурсию, нужно вначале понять рекурсию.
Sergey Dmitriev надо сначала слона купить.
@@alexffdoubleb ну и где ключи от танка?)
ДМИТРИЙ САЛУНСКИЙ' ты сначала слона купи, а потом и о ключах поговорим.
@@alexffdoubleb) мы оба знаем что конца нет ахаха
@@alexffdoubleb xaxaxaxaxa
Не проще ли было в самом начала считать дробь m/n несократимой, и по итогу мы ее сократили(получили что корень из двух равен k/l), что и есть противоречие. И можно обойтись без бесконечных спусков которые интуитивно не совсем понятны.
Спасибо, очень красивое доказательство! И даже, как ни странно, все видно и слышно)
Очень красивое и очень простое доказательство! Спасибо Алексею за него!
Отношение 17 к 12 выбрано не зря - оно отличается от корня из двух менее, чем на 2/1000.
Оказывается я-математик.
Спасибо, Рад за Вас!
Математика это не так страшно как это казалось раньше это скорее вызывает интерес
Бесконечный спуск , конечно порадовал но теперь не могу заснуть. Переживаю, что же корень из 2 такой нерациональный.,.😂
Вот это хорошо. Значит мозги не остановились, а работают и набирают мощность.
23 марта в стенах университета Дмитрия Пожарского состоится лекция известного российского математика, доктора физико-математических наук Алексея Савватеева. Алексей Владимирович - блестящий спикер и признанный специалист в области теории игр, популяризатор математики среди взрослых и детей.
Лекция «100 уроков математики» включает три ключевые идеи, вокруг которых легко и ненавязчиво объясняются основные постулаты этой важнейшей на сегодняшний день науки.
Сам профессор называет все это «начальной математической подготовкой».
1. Основная теорема арифметики с полным её доказательством;
2. Движения прямой, окружности и плоскости, теоремы классификации;
3. Комплексные числа - арифметика, алгебра и геометрия.
«Освоение моей программы абсолютно необходимо каждому, кто будет в жизни заниматься точными и/или естественными науками, а также инженерным делом. Для всех остальных школьников моя программа желательна в качестве тренировки для мозгов и всестороннего развития и образования личности» (А.В. Савватеев)
ВИДЕО ПРИГЛАШЕНИЕ
th-cam.com/video/L0RwuWwRfCc/w-d-xo.html
ССЫЛКА НА РЕГИСТРАЦИЮ
moskva-24-ev-org.timepad.ru/event/687021/
Мне нравится его метод преподнести эту математику, так что начинаешь интересоваться.
очень точный пример с квадратами) плюс/минус трамвайная остановка
Может быть, ещё проще, получив 2×n²=m², сразу вспомнить основную теорему арифметики, после чего заметить, что слева в разложении на простые множители нечётное число двоек, а справа чётное. Всё, не нужно никакой рекурсии.
Оххх) очень понятное доказательство, но в итоге словил столько хэйта😂
Люди, поймите, 17 и 12 он взял для наглядности и даже нашел такие числа максимально близко удовлетворяющие утверждению)
Напомню, он как раз-таки и доказывает, что нельзя найти таких целых, чтобы кол-во квадратиков было равно)
Изначально всё доказательство искажено, так как взяли приблизительные числа 12 и 17
Умница!!! Люблю умных мужиков!!!
у Mathologer-а объяснение понятнее. Он сначала разобрал примеры с небольшими n (1,2,3,4,5), на которых m^2=2*n^2 не работало, а потом предположил, что нашёл какое-то минимальное n, на котором это равенство работало. Ну и показал, что можно построить квадрат с меньшим n, т.е. n оказалось не минимальным. Т.е. пришёл к противоречию.
Круто!!!
Спасибо
Не математику непонятен переход от m и n к k и l... по какому принципу я могу уменьшать квадрат? Почему я должен иметь возможность проводить "бесконечный спуск"? Как корень из двух связан с бесконечным уменьшением чисел?
Вопрос: не нужно ли для начала доказать существование корня из двух?
"Хороший вопрос!" Только вот сперва придётся уточнить понятие "существование". Потому что во множестве рациональных чисел корень из двух как раз и не существует - что как раз здесь и доказывается. Это же и порождает идею "пополнить" множество рациональных чисел некоторвми другими объектами - "иррациональными числами", во множестве которых корень из двух УЖЕ СУЩЕСТВУЕТ.
Это расхожий математический приём: так (начиая с натуральных чисел) вводились дробные и отрицательные числа; таким же образом потом будут введены комплексные.
у нас на курсе были такие ребята, логика полностью отсутствует, но освободиться от навячивой мысли нет сил, так рождаются профессионалы, показать иррациональность можно более наглядным способом
Корень любой натуральной степени из любого натурального числа если не является натуральным числом иррационален..
Пусть нам нужен корень степени к из М Разложим М на простые множителей. Если показатели степеней всех простых делителей делятся на к То корень натурален а именно произведение тех же простых делителей с показателями поделенными на к. Если же существует хотя бы один простой делитель с показателем не делящимся на к то предположение что корень рационален легко даёт противоречие
Алексей, но по факту ведь не получилось равенства между квадратом перекрытия (он равен 49 единицам) и двумя квадрата "недокрытия" (Они по 25 единиц, в сумме 50) Почему так получилось?)
не художник он)
@@popolamwasya5513 потому что изначальные площади тоже были не равны, 17^2 Это не 2*12^2, собственно это и доказывали
Так то все ясно, но возник вопрос. - если взять квадрат еще бельшего размера, то и перекрие будет большей площади, а значит хоть квадрат 17х17 и 25х25 и 100х100 и т.д. у всех будет перекрытие одинаково n-раз, тоесть количество не увеличится, разве нет? - надо попробовать.
Метод ясен. Вопрос: m и n взаимно просты=>m^2 и n^2 - тоже. Где отсутствует доказательство?
Да, единственность разложения на простые множители, видимо, считается известным фактом.
Олег С. Спасибо.
@@user-sw7hc8vd7m основная теорема арифметики
Когда будет тупик бесконечного спуска, тогда каждый каводрат можно поделить на 4 части и спускаться дальше. Но придётся каждый раз каводрат делить на 4 части )
Да это тупо. Так нельзя.
Алгебраическое доказательство проще и элегантнее, как по мне.
Не уверен, что алгебраичное доказательство будет также понятно. А смысл видео поймёт любой школьник, знающий, что такое корень, что такое дробь, квадрат и площадь квадрата.
@@Rameronos vsause очень доходчиво объяснил.
для алгебраического доказательства нужно подтягивать основную теорему алгебры о том, что любое натуральное число может быть разложено на простые множители единственным образом
@@eugenelipunov1801 th-cam.com/video/gCwNTZJAM1M/w-d-xo.html
Такое же по сути доказательство, но в другой подаче (Mathologer) , но нагляднее th-cam.com/video/f1yDExNAEMg/w-d-xo.html
Гениально!!! А интересно, можно ли подобным образом доказать, что √3 или же √5 в свою же очередь не являются результатом какой нибудь дроби?!
Там есть русские субтитры.
th-cam.com/video/yk6wbvNPZW0/w-d-xo.html
M = (2^(1/2))*10^n , N =10^n где n бесконечность.
На слици сте нацртали квадрат 17 х 17. Квадрат који стварају два квадрата пресецањем износи 7 х 7, а два мала квадрата су површине по 5х5, тако да ваша тврдња да се површина квадрата добијена пресеком поклапа са површинама ова два квадрат није тачна. Тај проблем ми смо у школи али на другачији начин.
Почему площадь "перекрытия" взята с коэф. 1? Должно быть 2 и ситуация не зацикливается. k^2=l^2 => k=l
а нет, одно k покрывает центр ) я ошибся.
Если посчитать площадь маленьких квадратов, сложить их и прировнять к блльшому (который в центре ) их сумма площадей будет больше, чем плошадь большего квадрата, поэтому равенство невозможно.Если я что-то не так понял, растолкуйте, пожалуйста )
Верно. Но это будет справедливо только для конкретного квадрата с определенным размером. Ведь мы считаем конкретные площади в конкретном размерном квадрате. Придется доказывать утверждение для всех возможных размеров базового квадрата.
Дмитрий Батюк ты частный случай привел. Нужен общий
Дмитрий Батюк
Лектор и не старался точно на доске изобразить такие квадраты, площадь которых в два раза меньше площади большого - он сказал - предположим, представим что это и есть такие квадраты.
Я тоже думаю, какой-то бред.
У меня вопрос, вытекающий из данного доказательства: получается нельзя вписать в квадрат два равных квадрата, которые в сумме по площади дадут площадь большого квадрата?
Все верно. Если два малых и большой квадраты берем в целых числах. Иначе либо число sqrt(2) было бы рациональным, либо квадраты были бы прямоугольниками)
Я открыл книжку Бурбаки и не нашел там ни одной картинки, и она мне не понравилась. Я люблю картинки :)
Уменьшенная копия не обязательно должна быть целой.
По определению, рациональным числом можно представить в виде m/n, где знаменатель и числитель целые числа, а n неравно 0.
вообще-то обязательно, и это очевидно, у нех просто стороны m-n и 2n-m, что явно целое
Доказательство незаконченное, поскольку пределом понижения является не ноль а единица, и необходимо было установить что ни одно натуральное число в квадрате не равно двум квадратам единицы
т.е. 2*1=1 что ли?
Так 17^2 не равно 2 * 12^2. Почему равны то?
такое доказательство визуально понятнее, чем логическое "по четности".
1:11 Не понимаю...
17^2 =289
2*12^2=288 Это ничего страшного?
Видео только демонстрации принципа доказательства. На самом деле же можно представить квадрат числа как произведение простых чисел. В таком случае количество каждого простого числа будет четным. А при умножении на 2, которое тоже является простым, данный принцип нарушается. Вот и противоречие.
Доказательства бывают разные. Вы предлагаете алгебраическое доказательство, а Алексей предложил геометрическое. Оно не лучше и не хуже, а просто другое (но такое же точное). Кому-то понятнее одно, кому-то другое.
Доску для Го нарисовал, а говорит о корнях каких-то! Хватит ботаники! Даешь видео по игре Го!
Доказательство от праацивного
Пока писал уже 12 и17 откуда-то взялись.
Я нихуя не понял но за корень из двух обидно.
Не красиво!!!
Где ты был когда я в школе учился
Внатуре, но я тогда ходил с сименс цх35 вроде или там сони эрриксон ахах слайдер шотахаха Джеймс бонд уахаха
Сторона маленького квадрата равна m-n, значит площадь двух маленьких квадратов равна 2*(m-n)^2. Сторона большого квадрата равна 2*n-m, соответственно его площадь равна (2*n-m)^2. Получаем уравнение 2*(m-n)^2=(2*n-m)^2, решая которое получаем m^2=2*n^2, то есть мы получили то, с чего начали. Вывод? Мы правильно нарисовали наши квадраты )))
Вывод - ты не математик.
49 = 50 ? 7*7 =2(5*5) ?
Можно обьяснить, как пришли к k в квадрате равно 2 умножить на L в квадрате?
B1step Instanity Саватеев любит сводить всё к геометрии, т.к. нагляднее = понятнее. А алгебраически задача решается, конечно, но запомнить такой подход сложнее.
Можно проще доказать, предположив, что m и n взаимно просты
17×17=289, а, 12×12=144×2=288 получаем изначально неправильные данные , соответственно ошибки в решении .
Я давно заметил, что он увлекается решением и доказательством, зачастую в порыве упуская очевидное.
Это иллюстрация для дебилов.
Тот факт что вы даже иллюстрацию не поняли, многое говорит
Если вы найдете изначально правильные данные, то можно будет переписывать все учебники и пересмотреть всю математику и физику:) а вас можно будет сделать Правителем Мира😍
А если для корня из 3?
Берём также пересечение и теперь принимаем что две не перекрывающиеся области за вычетом площади перекрытия создают третий квадрат равный по площади двум, которые и создали пересечение. Но сумма двух квадратов не может ранчться квадрату целого Н-ого числа, что было доказано в этой задаче. И тогда значит также объясняем, что корень из 3 нельзя представить в виде дроби целых чисел
А почему в центральном квадрате 3*3=9 клеточек а в двух угловых 2*2 +2*2 =8 получается несовпадение по площади .это что так задумано .
Если найдёшь такие m и n, что эти квадраты совпадут, получишь Филдсовскую премию. Но их никто не найдёт.
@@user-lm8yn9rp4h да у него изначально визуальная и звуковая индикация не совпадает .но ты видимо задачу не слушал а смотрел .а то что корень из 2 и рационален мне известно и без таких запутанных развертываней .
@@user-lm8yn9rp4h смотри 12*12+12*12= 288 а17*17=289 .такое объяснение обсурдно .такое же как и корень из 1равен одному .
Я поняла, что по построению, чисто визуально получен квадрат который не соотвествует гипотезе. И мне кажется доказательство закончено. А насчет бесконечного числа раз, по такой логике получается. Мы не можем поделить 12 на 2 и получить целые числа, потому что хоть мы и получаем 6 и потом 3, бесконечно делить на заданный шаг и получать целые числа нельзя, значит 6 и 3 не целые.
Переход к инфинитезималю - это наглядный путь в прикладной математике. Однако дискретность убивает и бесконечность. Известно, что из этого математического рассадника цветет парадокс Галилея... Очень сожалею, что и математики апеллируют в доказательствах к чувственности.
На самом деле это далеко не элегантное решение.
Какое элегантное?
А почему квадраты расположены именно так? А если на одной стороне?
Они так расположены, чтобы получить новые квадраты, которые по площади в два раза отличаются. Если на одной стороне будут расположены, то получатся прямоугольники, и зачем нам прямоугольники? Что ты с ними будешь делать?
@@doctormaddyson Таким образом мы рассматриваем частный случай, специально подобранный, я правильно понимаю?
Сергей Антипов, ну да. Мы тут доказываем от противного. То есть, строим отрицание изначальному утверждению и показываем, что его отрицание приводит к противоречию. Если найдется хотя бы одна дедуктивная цепочка, следующая из этого утверждения и приводящая к противоречию, то утверждение неверно. Вот мы и нашли такие рассуждения, приводящие к противоречию.
Простить за мою глупость. На мой взгляд вы получили противоречие в самой первой итерации. Площадь квадрата со стороной 17 ровна 289. Вы строите два квадрата со стороной 12 их общая площадь ровна 144 +144 = 288. Они почти той же площади что и первый но они не равны. Получается дальнейшие ваши рассуждения вообще не имеют смысла
важно доказать не для конкретного иллюстративного примера, а что такого не может быть ни для каких m и n.
М = 14 142 135 624
N = 10 000 000 000
При этом соотношении равенство верное.
нет, квадрат первого заканчивается на 6, а удвоенный квадрат второго на 0, Kappa
Да там изначально было не верно... 17^2>2(12^2) большой квадрат равен площади 289 а маленький 144.. и сразу видно что не хватает одного.
@@kitten-free я только не понимаю почему я должен рисовать квадраты с целой стороной от 1 до бесконечности..
Абракадабра
изначально неверно m=17 n=12 m^2= 289, 2n^2 = 288, площади не равны во взятом примере.
так они никогда не могут быть равны в N
@@Sizeofbit одно дело в переменных это записывать и другое в заведомо неверных значениях.
Эти числа были выбраны для наглядности. Причем лектор их выбрал максимально близкими к реальности, что даже не требовалось.
@@ImDoNotAgree доказательство записывалось в переменных, числа только для примера нарисованы
Мои шестереночки в мозгу заскрипели
Но если возвести равенство левую и правую часть в квадрат то они не будут равны если конечно левая часть не равна 1 так же как и правая
С чего бы? Если одно выражение равно другому, то возведение одного и того же в любую степень даст одинаковый результат.
60 сторонников Брауэра и интуиционистов поставили дизлайк.
Я один вижу что перекрытие 49 (7х7), а недокрытие 50 ((5х5)+(5х5)) ?
там и К это не квадрат, или у меня зрения нет
Они изначально не равны . там погрешность , если тупо по клеткам везде 1 .
Что-то мне это док-во не нравиццца. Смутное ощущение, что связался с напёрсточниками. Имхо, такое же рассуждение можно провести и для корня из четырёх.
Нет. Площади квадратов будут различаться не в два, а в четыре раза. Построение и рассуждение не подходит.
Мне тоже так сначала показалось. Но тут видимо смысл вот в чём. Так как по условию m и n целые, то и разность (m-n) тоже целое. А (m-n) - это сторона красного квадрата. Сторона розового квадрата будет n - (m -n). И это тоже будет целое число. У квадратов с целочисленными сторонами площади тоже будут целочисленные. Ну а дальше как и было сказано, рано или поздно площадь красного квадрата станет равной 1, следовательно площадь розового должна быть равна 2. Но не может существовать квадрата с ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ стороной, у которого площадь равна 2.
про единицу вы откуда взяли? шаг спуска никто не объявлял.
Единица это как предельный случай. Просто если после очередного спуска сторона красного квадрата оказалась больше единицы, то мы делаем ещё один спуск, после которого сторона "нового красного" квадрата будет меньше стороны предыдущего красного как минимум на единицу (так как все построения мы делаем на сетке, и числа m и n, да и стороны вообще всех получаемых тут квадратов целочисленные). Короче: если сторона красного стала равна единице, то теорема доказана. Если она больше единицы, то делаем следующий спуск. Если не можем сделать спуск, то теорема доказана. Если сделали спуск, измеряем сторону нового красного квадрата и т.д.
Если взять корень из четырех, то квадраты просто не будут перекрываться.
Этот способ годится только для доказательства что корень из двух - иррациональное число. Т.е. чисто для красивой наглядной демонстрации одного конкретного случая (корень из 2). С этого доказательства можно начинать первое знакомство школьников с иррациональными числами, но не более того...
Что за бредятина? какое верное утверждение? Он говорит что площади двух маленьких квадратов дают площадь большого, но площадь маленьких в двух случаях на единицу больше/меньше..............................
Понятно что не равно, он к тому и шел что не равно - предположил что равно и получил обратное.
5.25 минута видео, совершенно не очевидно что 2 квадрата равны площади перекрытия, да и на вашем рисунке на доске они не равны (2*25=50 а перекрытие 7*7=49)
Андрей Крутиков так в этом и смысл, что они не равны. Мы это предположили, но в итоге получилось, что предположение не верное.
ну на самом деле довольно очевидно, сумма площадей квадратов это 2 раза центральный квадрат остатки пятиугольники, это 2n, с другой стороны сумма непокрытых частей + пятиугольники+ центральный квадрат это весь большой, то есть m, эти суммы равны, значит, если выкинуть общее, то есть центральный квадрат и пятиугольники, то останется равное, а это и есть 1 центральный квадрат с одной стороны и непокрытая часть с другой
картинка может помочь доказать, но не является доказательством. лично я доказательства не увидел. (ок, может я тупой, но так уж вышло)
доказательство это не картинка, а его слова, да ты его не увидел, его на доске и не было, доказательство нужно слушать
Доказательство не корректно. Пересечением двух таким образом построенных квадратов может быть: или квадрат, или точка, или пустое множество. Рассмотрен только 1 случай, а где остальные 2? Ведь их тоже обязательно рассмотреть!!! :))
Если 2 внутренних(одинаковых по размеру!) квадрата не имеет общего перекрытия, то значит их сумма площадей меньше площадь большого квадрата - это очевидно из рисунка. В нашем случае мы предполагаем, что сумма внутренних квадратов равна площади внешнего, а значит перекрытие быть должно в любом случае. Случаи "пересекаются в одной точке" или "не имеет пересечения" не рассматриваются априори.
Kappa
дизлайк за мою тупость
Очень интересно, но ни хрена не понятно 🙄
Как жаль, что пифагорийцы были неправы. +100 к гармонии в математике было бы, нахер иррациональность
Наоборот, иррациональность открывает в математике новые горизонты красоты. Без нее было бы скучно. Но вам ничто не мешает работать в рамках рациональных чисел, остерегаясь иррациональных. Правда, при этом вы не сможете решать некоторые задачи.
iTube, во-первых, как вы себе представляете мир без иррациональных чисел? Есть мнение, что такого мира не существует и не может существовать в принципе, так что разговор ни о чем. Во-вторых, если бы такой мир существовал - то откуда уверенность, что там бы решались ВСЕ задачи? Может быть, там не решалась бы даже задача нахождения корня уравнения x^2-2=0.
С каких пор корень из двух не является дробью? Вот бред. А эти фокусы с квадратами примитивны, как и известный фокус с шоколадкой, которую режут, потом складывают и получают в итоге лишний кусочек. Левый верхний и правый нижний квадраты имеют сторону 5, а центральный красный квадрат имеет сторону 7. Сопоставьте квадраты и увидите, что сумма маленьких не равнв большому
Математика- это страшно непонятно!))) Ни хрена не понял(((
Этот ролик из серии, для начала нужно попробовать посмотреть все предшествующие ролики из этого плейлиста. И если что-то не понятно, то брать лист и ручку, и пытаться повторять рассуждения.
ты лично нарисовал квадрат 17х17? это ж час задротства.либо дуриш либо задрот ))
когда ты попытался жирно нарисовать квадраты на "своём же" квадрате - ещё раз убедился что ты ж соврал, говоря что ты нарисовал этот ровненький красивый 17х17
Все это конечно замечательно, но как это поможет обывателю в такой стране как Россия.
Всем обывателям, конечно, не поможет. Вообще, умение правильно рассуждать может помочь не остаться в дураках в критической ситуации.
Спасибо