This is how a mathematician proves
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- เผยแพร่เมื่อ 11 ธ.ค. 2024
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This is How a Mathematician Makes a Proof
The Magic Behind a Mathematical Proof
The Art of Proving: This is How a Mathematician Thinks
Step by Step: How a Mathematician Proves Theorems
This is How Mathematicians Think: The Process of a Proof
How Mathematicians Transform Doubts into Truths
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Have you ever wondered how mathematicians think when proving something? In this video I will take you step by step through a classic proof that challenges intuition and reinforces logic: "If a is an integer and a^2 is even, then a is also even."
You will discover how mathematicians approach problems with precision, how they use deductive logic, and why proofs are the heart of mathematics.
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El truco de hacer la contrapuesta de la implicación es súper útil, por ejemplo el teorema que dice que si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese mismo punto, es mas facil demostrar la contrapuesta; la cual dice que si una función no es continua en cierto punto, tampoco será diferenciable en ese mismo punto. Como este ejemplo hay muchos y sirve para darnos una idea de las matemáticas no son tan rígidas y tienen su lado creativo y de pensar fuera de la caja.
Gran video.
sea a^2 par -> 2|a^2 -> 2|a*a 2|a o 2|a (por 2 ser primo, divide a alguno de los factores) 2|a -> a par
Que indica la pleca (barra vertical) en esta demostración?
@dnisovich holaa indica que 2 divide a "a" es decir a = 2*k con k entero
Para que liarse mas. Me parece correcta la demostración
Gracias. 😊
Lo conozco como Teorema Contrarrecíproco: (p=>q) (¬q=>¬p)
Yo no tengo el resultado concreto pero estoy seguro de que F' '(navidad)=+ [la segunda derivada de navidad es positivo] porque es con cava.
Si a^2 es par -> 2|a^2 -> 2|a
También se podría decir , usando el mismo principio de contraposición de video, que si a impar -> ¬2|a -> ¬2|a^2
De hecho con el primer argumento que diste, ya estaría demostrado que si a^2 es par, entonces a también lo es.
2 l a significa que a=2K para algún K entero.
Saludos
De hecho seria un si y solo si, es decir, que si a es par entonces a² también es par y viceversa. solo que una implicacion, como diria un profesor que tengo, es trivial.
El regalo que yo quiero es una beca para estudiar matemáticas en alguna universidad o instituto, llevo aprendiendo matemática desde los 13 años de forma autodidacta, he demostrado muchos resultados, he descubierto por mi mismo muchas cosas desde los 13 años, pero en mi país el estudio es pésimo, era tan pésimo que en el bachillerato cuando tenía 15, yo sabía más que mis profesores de matematicas, y aquí en mi país para ganarse una beca en una universidad tienes que ser familiar del presidente literalmente😂, me siento desperdiciado.... alguien más se siente así?
Que cosas has descubierto, como para creerte merecedor de una beca?(no hate)
Bro literalmente tienes 16 años
De que país eres?
@@robertgerez3480 Se tal vez se refiere a descubrir cosas que el no sabia que ya existían, como algun metodo o formula.. Me a pasado..
@@AkCv-du7px Obviamemte se refiere a eso.
Mi pregunta es para medir que tan "desperdiciado" está, viendo que tan buenos fueron sus "descumbrimientos" independientes.
Se demuestra por reducción al absurdo. La reducción al absurdo es muy utilizada en las demostraciones matemáticas. Se trata de una modalidad del Modus Tollendo Tollens: [(P->Q)&~Q]->~P
5:46 no entendi como es que la relación entre a^2 y 2(kVZ)+1 demuestra que a^2 es impar, se debe a las propiedades de los números enteros?
Los números impares son de la forma 2k+1, con k algún número entero (por ejemplo -11=2(-6)+1, en este caso k=-6, así con cualquier número impar que se te ocurra, siempre encontrarás un k en Z), luego si a=2k+1, k en Z, entonces elevando ambos lados de la igualdad al cuadrado, desarrollando y acomodando el desarrollo de manera adecuada, llegas a que
a^2=2(2k^2+2k+1)+1
Ahora define N=2k^2+2k+1 y nota que como k era un entero, entonces multiplicar k por si mismo seguirá siendo un entero (los enteros son un anillo y por tanto son cerrados bajo el producto), multiplicar el número por si mismo es elevar al cuadrado, por tanto k^2 es entero, luego el número 2 es entero, y de nueva cuenta por los enteros son cerrados bajo la multiplicación 2k^2 sigue siendo entero q la vez que 2k también lo es. Ahora suma de enteros es entero por tanto como 2k^2, 2k y 1 son entero, entonces 2k^2+2k+1 también es entero, por tanto tu N=2k^2+2k+1, es un entero luego
a^2=2(2k^2+2k+1)+1=2N+1
También es un entero y es impar por que justamente tiene la estructura de los números impares (2 por un número entero + 1).
Espero haber ayudado con tu duda.
Saludos
Una cosa quiero agregar. En mi clase de introducción al álgebra en primer semestre (hace ya tiempo) definieron lo que era ser un número par. En base a eso, se definió que "número impar" significa no ser par.
Entonces, en lugar de definir adicionalmente "número impar" como un número de la forma 2K+1, lo que esperaban que uno hiciera era demostrar que efectivamente un número impar era un número de esa forma.
Se podría hacer por contradicción no? supongamos que 2k+1 es un número par con k en los enteros, luego existe n en los enteros tal que 2k+1=2n, entonces 2(n-k)=1, contradicción pues 1 no es un número par. Aunque si estaría más interesante llegar a la forma 2k+1 sin partir de ella
@@ThomasValenzuela-i1r el problema con la demostración que hiciste (que en esencia no está mal para nada) en general fue que demostraría que los números de la forma 2K+1 son impares, y eso es ligeramente distinto a demostrar que los números impares son todos de la forma 2K+1.
A esa demostración le faltaría un pequeño paso más. Le faltaría probar que un número entero siempre, o es de la forma 2K, o es de la forma 2K+1.
@@ThomasValenzuela-i1r de hecho emplear el algoritmo de la división parece una buena idea. Para todo par de números enteros a,q existen otro par de números enteros k,r (únicos) tales que a=kq+r con 0≤r
si todos los impares al cuadrado dan origen a numeros impares, como se ve ahi (2k+1)²=4k²+4k+1=2(2k²+2k)+1=2p+1 ¿como "a" va ser impar? 🤪
Al ver la miniatura yo había pensado en suponer por R.A. que a es impar, luego (a^2 - a) es impar pues la resta de un numero par (a^2) y otro impar (a) es siempre impar (demo de lo anterior: *ya que la resta de dos numeros enteros es un numero entero pues es una operación cerrada, entonces (a^2 - a)/2 = (a^2)/2 - a/2 no es un numero entero, pues a es impar, luego a/2 no está contenido en los enteros, por tanto (a^2 - a)/2 no esta en los enteros, por lo que (a^2 - a) es impar, puesto que se ha visto que no es divisible por 2*). Entonces, (a^2 - a) es impar. Por otro lado, (a^2 - a) = a(a-1), y hemos supuesto que a es impar, por lo que a-1 al ser un numero consecutivo es par, luego, se ha descompuesto (a^2 - a) como producto de a por un número par, por lo que (a^2 - a) es par. Entonces, hemos llegado a una contradicción, pues un número no puede ser par e impar a la vez. Por tanto, se tieen que a es par.
Es lo mas bonito de las matematicas, el ver como en muchas ocasiones hay diferentes maneras de afrontar un problema. Grandísimo video
Es decir a(a-1), siendo un producto de un impar "a" y su anterior par "a-1", tendrá que ser par.
Pero hemos determinado que la expresion (a² - a) es impar, lo que contradice con que su forma factorizada a(a-1) deba de ser par.
Por lo que entendí, deducimos que solo se resuelve esta contradicción en el caso que "a" NO sea impar? De esta manera supongo que además determinamos que si "a" es par, el resultado de (a² - a) también es par. Y claro, en el caso de que conocíamos previamente que la resta del cuadrado de un entero par y dicho entero tiene que también ser par, eso implica que a² si o sí tiene que ser par.
Se podría demostrar con congruencias en mod 2?
Por supuesto!!
Si utilizo a^2=2*(2K^2) donde 2K es un entero?
Hola
Creo que no llega el correo. 😁
¿ Por qué tomas los impares cómo 2k+1? Creo que sería 2k-1 la forma correcta
Ambas son correctas
es lo mismo
Es lo mismo, al menos trabajando en el dominio de los números enteros. Es cierto que trabajando en el dominio de los números naturales donde a menudo (aunque ni siquiera los matemáticos se ponen de acuerdo en eso) se considera que el 0 no pertenece, entonces 2k-1 es más correcto. De lo contrario el primer valor de k sería 1 y por tanto, utilizando el 2k+1, el primer impar sería el 3 y estaríamos saltando al pobre 1.
En cualquier caso cuando se trabaja con números enteros es más común usar 2k+1 por simplicidad,
@@alvaromate8366, de acuerdo a tu comentario, si el teorema fuera que "a" está en los naturales, la demostración es análoga, cierto?