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大学生になって今更ながら勉強し直してるけど、今だからこそ焦らずにしっかり自分の理解を確かめながら進めるから、こういう動画は本当にありがたいです。
6:29ここめっちゃ感動しました😭😭
教科書めっちゃ丁寧に書いてあるけど全然わかんなくて動画探してたらこれ見つけてすんごい分かりやすかった。感動した。ありがとうございます。
6分20秒～40秒辺りの展開には身が震えるような感動がありますねこれを映像化しただけでも、この動画は本当に価値があると思います
+CQBosinko バーの高さはｄｙを表すのでｄｙ／ｄｘを表すｘ二乗のグラフにはならないとおもいます
微分をdy/dxと表すからといってdyという量があるわけじゃないんだけど？dy/dxは「xによるyの（全）微分」という意味であって、何かを分数にしたものじゃない。それが西田さん？の勘違いのもと。
下矢 別にイメージはそれでいいですし、計算上有用なのは知ってますが、dy/dxは量ではなく関数で出てくるので「バーの高さがdy/dxじゃなくてdyだ」、という主張には意味がないと言ってるんです。dyという具体量があるわけでも、dxという分母があるわけでもないんですから。あと変換したあとのグラフの目盛も可変なのでバーの高さも幅に任意に取れるということを見逃しています。
6:20
微かに分かる、分かった積り
センスの塊
それを最初に言った人絶対強い
間違いなく分かってるやつ()
座布団2枚！
あや 自分が数学界の一員だと錯覚してる奴
予習に非常に役に立ちました！ありがとうございます！
やべ〜マジかめっちゃわかりやすい。自称進学校では味わえん神授業で最高や！
長年疑問だった原始関数と面積の関係がようやく理解できました！これを探してました！！素晴らしい動画をありがとうございます🙇🏻♂️
凄い…なんかグラフになった時に感動した…
図解が素晴らしい！！楽しいです。
数学Ⅱの教科書(新・旧課程関係なし)では、これと同じ内容を2～3ページ掛けて「ご丁寧に」説明していますが、この動画(や、関連動画)を見た方が何十倍も理解が深まると思う位、素晴らしい動画ですね。
sinnya616 数研出版の教科書ではわかりませんでした。難しい。
あなたは神です、そしてありがとう
なんでそうなるかの説明にはなってないけど、そうなってるという事実を伝えるのには良い映像。原理については他の人の動画で理解しました。
その原理について理解した動画を教えていただけないでしょうか？
田村公 古賀さんや鈴木さんがいいのではないでしょうか。
@@たむたむ-f8b 自分はねこさんの動画で納得しました。あと式変形チャンネルがねこ積分に近いことをやっていた気がします。ねこさんは１本しか公開していないので、見れる動画がそれです。
@@たむたむ-f8b 動画ではないですか、以下はどうでしょうか。ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6II/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%83%BB%E7%A9%8D%E5%88%86%E3%81%AE%E8%80%83%E3%81%88#%E5%AE%9A%E7%A9%8D%E5%88%86%E3%81%A8%E9%9D%A2%E7%A9%8D
むちゃ共感
6:26 理解は出来ないが感動した。
わかります笑なんで綺麗に二次関数のグラフになるんだろう
本当にわかりやすかったです！！！！！
7:41「放物線のバー10個分の面積の大きさ」は「原始関数のバー10個分の高さ」に相当するとはどういうことでしょうか？原始関数のバーの横の長さは考慮しないのでしょうか？
恐らくですが、横の長さは、微分した時の、極小の値であり限りなくゼロに近い値であるので、高さ＝面積となるのだと思います。線の面積を求めているイメージだと思います。
@@きーあー-n6u ありがとうございます。ご回答頂いたうえでの質問なのですが、(横の長さ)×(縦の長さ)＝(面積)において、横の長さが0に収束すると面積も0に収束してしまいませんか？横の長さを1と定義すれば(縦の長さ)＝(面積)となると思いますが。また、線の面積とはどういう意味でしょうか？面積はあくまで2次元の広がりを表すものだと定義されるので、1次元の線に適用できないのではないかと思います。
まず横の長さは、ゼロではなく、限りなくゼロに近づくということです。その上で、横の長さはあまりにも小さいので、線の長さがそのまま面積になるのだと思います。
@@きーあー-n6u あくまで0に収束するのであって、0にならないことは理解できますが、それならば次元を無視することはできないと思うのです。長さは1次元、面積は2次元であるので、概念としては全く別のもので、比較対象ではないと思います。この点はいかがでしょうか？※以前私が(縦の長さ)＝(面積)と書いたものは適切ではないですね。すみません。
全く同じところに僕も疑問を感じました！ 高さが積分した関数の値なのは分かるのですが、面積をその値とするには底辺が1である必要があって(高さ×1=高さ)、今回は底辺は限りなく0に近づけてるはずなのでは…と😅それだったら高さ×0で0になってしまいそうなものなんですけど笑
凄く分かりやすかったです！
高校生の時に習ったけどこんなにわかりやすくなかった！動画での解説は素晴らしい！！！！
素晴らしいです😂👏👍✨
面積の合計がいつの間にか高さの合計になってて笑える
懐かしすぎて泣きそうになった。4年前はお世話になりました。
神動画を有り難うございます
神動画
視覚情報って強力だなぁ
高校数学でこの様な授業が出来れば、数学嫌いをなくすことが出来るのではないでしょうか。すばらしい説明です！参考にしたい。
凄いです！ありがとうございました😊
凄くわかりやすい動画です。知りたかったことがまとまってるのも良かったです。ただ声の音量を一定にしてほしいです。折角集中しているのに大きな声で気が散ってしまう。
5:57 微小な部分に分けて差をとるということがなぜ面積になるかがわからない。
微分です
物理学の先生も単振動を理解し、大学生に講義をしていたわけではない。しかし、「私も単振動をうまく解説できない」と言ってくれた大学教員は多くないと思う。今も同じだ。
結局どういうことなのか分かんなくて泣けてくる
100回見ろ
原始関数が第一象限または第三象限（XYが同符号）は+符号が付いた面積、異符号象限は－符号が付いた面積ということかしら？しかしながらY=COSxをｰπ～πまで積分すると一般的に０だが、その原始関数SINxは常に同符号なのだよなあ。わかんね。
こんな感じに授業やってくれたらめちゃくちゃ楽しくなるのになぁ…
最後の「面積と高さが等しくなる」の部分なんですがよくわかりません。8:00の左側のグラフの赤い長方形をどんどん横にスライドさせていくと横幅が同じで縦幅が1/3b^3の長方形が出来て、その面積が右側のグラフの赤い面積と等しくなっているところまではなんとなく理解はできました。ただ高さが面積そのものになるということはいまスライドして作った長方形の横幅が1でないといけないと思うのですが実際は限りなく横幅はゼロに近いため1では無いはずです。これはどういうことなのでしょうか？
ああ 同じこと思いました、誰か解説ほしいです…
長方形の横の長さは、微分してるので限りなく０に近づけているため実際の横の長さは分からない(つまり実際の一つ一つの長方形の面積は分からない)と思います！実際あんなに横の長さは長くないので、長方形ではなくて線で考えると分かりやすいかも知れません...
FA-06の人 様適当な話で申し訳ないですが、余り真剣に考え過ぎると、迷路にはまり、軽い眩暈が起き始め、体に良くないです。遊びながら馴染むのがヘルシーです。数学は適切に騙される必要があります(数学的なセンス身につける？、考え方に馴れる？)。数学は、多分、思われているより不確かです。ゆえに、ラッセルは、より確かだと思われた論理学に救いを求めました。つまり、突き詰めても、解決しません。何れかの水準において了承が要ります。できればより基本的でより具体的な水準で了承しておいたら、後が楽です。より難しくなった水準で了承するのはより困難になります。まぁ、芸事等にも当てはまりそうですが。基本が大切と言われる所以です。 面積については、小学校の算数、円の面積の求め方や、その前の、そもそも面積とはどの様に求めるか？に、記述があります(升目を数えます(頭を柔らかくして考えると、定積分も升目を数えていると見えるはずです、これが基本ができているということでは？基本的なことで十分に遊んでいれば余程嫌いでなければ、できるようになります)、これが了承できたら、その後の教科書は、これをいちいち説明しません(他の事項も同様です)。 この様に面積は升目を数える(ここの定積分も升目を数えるという考え方を使っており、それに、『無限(無限に細分化する)という考え方』や、『限りなく近付けるという考え方＝微分の基本的な考え方』が、更に、加わっています。 例えば、中学では、傾き(一次関数で考えるからでしょうか？)と呼ばれたりしますが、高校の微積分ではこれを、平均変化率(二次関数以上の次数の関数を扱うからでしょうか？)と呼びます。 その具体例としては、平均の〈均した〉速度です。 この平均変化率を微分したものを変化率と呼びます。
@@fa-0672 様続きです。 なお、蛇足ながら、ここで言う傾きも平均変化率も変化率も、算数ではなく、数学になっていますので、当たり前ですが、ある特定の数字ではなく、文字式で考えるのが普通です。個別の例を考える場合に、文字に値を代入し、それぞれの値を出します。上の、平均変化率(傾き)に対して、変化率とは、時時刻刻と変わっていく量、具体例としては、自動車の速度計が、示す速度です。 以上のような、基本的なことであり、積み重ね的事項が解っていないと、ニュートンややライプニッツの様な気付きは難しいです。 これらの概念を使って、物理や数学などで遊んでみるのが遠回り的な近道です。 算数で習う面積も、定積分も升目を数えていますが、定積分の場合には、上のような考え方が、入ってきておりますゆえ、『たて』と、『よこ』からなる升目のよこは、限りなく小さな量を想定します。 数学では、点を集めたものを線(分)と考えたり、線(分)を、集めたものを面と考えたり、面を集めたものを立体と考えたりします。 これを使うと、定積分が、面積を表すという考え方において、升目は、一見、長方形の様に思われますが、線分でも良いわけです。更に、定積分はとある点と点の間を、無限に細分化するという考え方を使う訳ですから、その意味からしても、線分で良い訳です。また、その方が正確な値により近づきます。値になりますと言わない所が、数学の曖昧で不確実な所です。この水準で、厳密さを追求し、不確実さに我慢ならず、この定積分の営みを了承しなければ、数学は成り立ちません。基本事項が十分に熟れていれば、当たり前と理解できるた思いますが、如何でしょうか？数学は具体的なことを数こなしておいて、抽象化していく営みです。 2次関数や３次関数式の表すグラフにおいて、その定義域内の『とある点』と『とある点』を考えた場合、定積分すれば、ともかくも【導関数と原始関数の関係】(こういう表現が適当なのか否かは疑念がありますが)から、その２つの点をそれぞれ通る縦軸と平行な２つの線分と横軸と導関数で囲まれた図形の面積になりそうだということは了承できそうな感じになってきませんか？
@@fa-0672 様続きです 時事刻刻と変化していくその瞬間での値です。それが、この左の図の長方形の量の表す意味です。大分抽象化されています。何故なら、長方形であれば、その量は、私達に取っては、面積を意味します。しかし、大分上に書きましたように、もう既に、無限に細分化するという考え方が私達には導入されており了承しています。この微分係数も例外ではありません。微小なという意味を数学記号ではΔを、使います。微積分を習ったときに出てきたあれです。微小といっても無限に微小なものを考えるので、もう抽象化は極まっていると言っても良いです。つまり、線です。横軸で言えば、点です。 序でに、但し、定義域内に限ります。或いは、特例では、積分区間内に限ります[閉区間と開区間があり、要注意です]。何にしても、微小に分ければ分けるほど、そのxの値における微分係数の和という『量』は、その導関数が表す『総量？合計量？』と合同？一致？に限りなく近づきます(算数の面積参照、小学校の3年か4年生)。 蛇足かもしれませんが、この微分係数の表す量を横軸のそれぞれの値に対して計算すること(イメージすること)は可能です、頭の中では。この無数の微分係数の集合を量として捉えて、無数ではあるが、それぞれの量を、右のグラフに書き込むとすれば、それは、即ち、この棒グラフの様なものになる訳です。いわば、面積は、微分係数の和(概念としては量)と言うことです。 従って、それぞれの微分係数を量として捉えグラフに書き込み、その量の表す頭(一番上)を線グラフの様なもので、繋げば、それがこの2次曲線というか、２次関数のグラフになっている訳です。これは、微分係数と導関数の今が解っていて、この２つの関係性を考えれば、当たり前のことになります。具体的なことを表す概念が、微分係数。 時々刻々と把握可能な微分係数を一括して関数と認識すれば、それは、導関数として捉えられます(しかし、数学はどこかに曖昧なところが残らざるを得ません)。ここでは、曲線を書いてから面積を認識するというよりは、先に、導関数を微分係数に分解して(弁別して？、でも、どこかで、無限という考え方を採用していますので、もう一つかもしれません)面積を表す棒グラフみたいなのを考えてみました。 導関数と、微分係数の関係性を考えながら色々と遊んで見ることが面白いと思われます。何か、珍しい発見があるかもしれません。抽象化して行けば良い訳ですから。 乱筆乱文で申し訳無いですけど、間違っていたらすみません。参考になりましたら幸甚です。長文読んで頂きまして、有難うございます。
y=1/3•x^3のバーの変化の様子のまとめたものがy=x^2になる理由がわからない。誰か教えて下さい！😢
すげえわかりやすい声でわかりにくい説明をするよな
なるほど！
私は馬鹿だから、高校の先生に何でこうなるの？と言ったところ、公式通りにやればいいと言われた。やっと理解できた気がします。
アニメーションがむっちゃ上手ですね。何使ってるのですか？
数学教師がコメント欄にたくさんいそう
dxやdyを使った上で幾何学的に説明していただければうれしいのですが
ねこ積分
なるほど！！！グラフを動かしていただけるから非常にわかりやすいんだなあ
わかりやすかったです。もしよろしければsinの関数を微分してcosになる時のアニメーションを作っていただけたら嬉しいです。
感謝
積分した後に積み重ねた部分の高さが1/3b3乗になるのはわかるのですが微小に区切られた横の長さが1じゃないと面積は高さにはならないのではないのでしょうか。微小な部分の横の長さは限りなく０に近いので、横の長さを1として計算するのにちょっと疑問を感じるのですがどうしたらよいのでしょうか。
本田正人 ほんとこれ
限りなく０に近いのであって０ではないのだから、横の長さを１としてその比を高さにしてもいいのでは？横０．０００００１高さ０．０００００３だとしたって、横を１としたら高さは３になるんだし。実際の面積にしたきゃ、この例なら比で計算した後に１００万で割ればいいんだし。
Mr.Brown さんが皆さんの疑問を理解できていないのだと思う。
J Mayさんのご指摘の通り、疑問の意図を思い違えておりました。編集に追記するつもりでしたが、誤って削除してしまったのでこちらに。岡田健二さんの言うように、微小のスケールで積んで面積とするのであれば、イメージとしては隣り合う区間との面積の差(面積のグラフのy座標の差)は(1/dx)*(S(x+dx)-S(x))となるといった感じでしょうか。(あまり吟味していないので、認識のズレはあるかもしれませんが比ということならこういうことかと)おそらく別の微積の動画も見ましたが、動画投稿者はあと一歩理解が足りていない感じですね。しかし、微積のイメージを掴むという点では優れた動画だとは思います。
自分用5:25 ~
積分が面積ならなんでマイナスになることがあるんですか？
積分は積分です。面積を求めるときに積分を使うだけであって積分=面積ではありません。積分はツールに過ぎません。
7:33〜何故x^2のグラフの面積が1/3x^3の高さと同じになるのか分からない...
ふじ 「積分」という通り、「積んでる」からです！
ほんとそれマジでわからない...
高さは分かるのですが、面積にしたかったら横もいるとおもいませんか?
6:45のグラフ実際に描かせると、このように高さにならないような気がしてしまいます...だれか教えて下さいorz
wow 8 years later and still a very relevant and useful video. thanks for the detailed description and easy-to-understand language ^^. 本当に ありがとう、神先生ｗｗ
学校では教えてくれなくてずっと悩んでいたんですごく助かりました図があってめちゃくちゃ分かりやすかったです！
33にして、やっと微積分が理解できました！ありがとうございます
この授業を高校生のうちに受けていたらさらに数学が好きになっていました
7:57 辺りで思わず変な声出してもうたわ。
分かりやすく説明しているところが良い！数学を知らない人が、少しでも数学を知るきっかけになりそうな動画^_^
分かりやすすぎて泣けてくる。この動画に会えたことに感謝
わかりやすかったです。あと積分した関数が極地を持っていたり原点を通らなかったりしたら面積は高さじゃなくなりませんか？そこが気になります。。
関数が2つあればその差をとって高さを出せるよ
th-cam.com/video/aGh3DWMwVUY/w-d-xo.html
最高
このコメント欄は読まないほうがいいかも
この動画控えめにいって最高
すっげえわかりやすい感謝の気持ち!
すげーー
ガチでわかりやすい❕
こりゃあ大発見だね
すばらしい動画ですね…。感動しました。
7:52 このグラフ通りにいくとx
そもそもxマイナスの長さというものは存在しないのでx
俺の勝手なイメージだけど、面積は縦×横だから、縦は正、横が負だから面積マイナスって考えてる。そしたら三次関数の面積も負×負で正になるし。
定積分で求めることが出来るのは符号付き面積なので、この場合y=0より下つまりx
話の流れがすごくわかりやすい
とてもわかり易かったです！長年疑問に思っていたことがあっと言う間に解決しました！本当にありがとうございました！
これおかしいでしょ皆実際に放物線y=x^2と直線x=1とx軸で囲まれた部分の面積を考えてみて。公式を利用して面積を求めれば1/3になるよね。底辺の長さを無限に小さくした長方形の面積の和が1/3になるわけだけど、この動画みたいに長方形の｢高さ｣を積み上げていくと、1/3なんて優に越えてしまうよ。高さが1で底辺が1/10000000000だったら長方形の面積も1/10000000000になるのは小学生でもわかるわけだけど、みんな大丈夫？高さを足していくなら一番右側の高さ1の長方形の時点で1/3越えてもうてるやんww
結局面積を表す関数が原始関数になる理由を説明していない。ねこの積分の動画のがよっぽど分かる
足りない部分を補ったのがねこ積分だね
ねこ積分て？
6:20あたりから見れば理解できるだろ
見た目がそのように変形されてるだけで、1/3x^3のグラフの微小増加がx^2のグラフに丁度当てはまる説明になっていない 事実、他のコメントにもあるよう、条件を制限しなければそうならない
@@天童みよこ そういうことです。ねこは検索したらでますよ、たぶん
面白い。概念だけなら小学生でも理解出来ると思う。違うと批判している人は何がどう違うのか説明してほしい。もしくはただ間違ってると言いたいだけ？
何か書籍「物理数学の直観的方法」（©長沼伸一郎）みたいだなぁ。大学時代に理系に結構読まれていた本。それをヒントに上手く映像化した。素晴らしいね。
曲線を四角で表そうとする発想がなんかもう凄い...積分が面積になる理由がよく分かった！
3:365:30
予習にぴったり ！
ここで疑問なのは細かく刻んだ高さはdyであってｄｙ／ｄｘではないということです。ｄｘは同じなのでｄｙ／ｄｘはｄｙの変化とともに変化するので形状は同じに感じになると思いますが、微分したグラフの高さはｄｙ／ｄｘなので細かく刻んだグラフの高さはｄｙなのでグラフはｄｘ×(ｄｙ／ｄｘ)＝ｄｘ×ｘ２乗になるのではないでしょうか
細かく刻んだ細い長方形1個1個はΔyの大きさではなく傾きの大きさではないでしょうか
傾きはdy／dx,長方形の面積はdxdy全然違いますよ
+無限大可能性 傾きの上り量=傾き*Δx=傾きの式(微分ね)*Δx=傾きの式(微分ね)の面積
dy/dx=f(x)⇔dy=f(x)×dx (←ﾀﾃ×ﾖｺで長方形の微小面積)f(x)=x^2ならdy=x^2×dxです。
数学検定試験に、向けて日々勉学してます。
素晴らしい
初めてこれ見た時本当に感動した覚えがある。物凄くわかりやすい。
わかりやすすぎる、、、、
微分と積分で接線や面積を出す事を教えられた時、「そういうものなのだ」という教え方だった。あの当時、こういう動画があったら、もっと理解が深まったのになあ。
微分積分の謎が一気に解けましたありがとうございます
数1をかじっているだけのわいでもイメージを捉えられて、計算の意味もわかりました！わかりやすかったです
ニュートンとライプニッツ天才かよ
めちゃめちゃわかりやすい....
動画の完成度が高い。
当たり前のこと言ってるんだけど、説明の仕方が親しみやすいから良い感じそこら辺の大手予備校講師より良い
こういう丁寧な解説は大学の領域だよね。高校までは公式とか解法なんてただの手段ってイメージ。
俺が高校生の頃にインターネットがあって、こういう動画に触れることができたらならなあ。今の高校生を本当に羨ましく感じる。
東浦太郎 わかるぅ
これは感動した！
わかりにくい…
Yudai Ogawa 勉強してない奴がわからないのは当たり前だと思うんだが…
これを見てわかった気になる方が問題ですよ。他の方が指摘するよう、間違ってるんですから。その間違いに気づかないなら分かってないも同然ですよね。
th-cam.com/video/aGh3DWMwVUY/w-d-xo.html厳密にしたやつ。
@@aa-qm8sy その動画は厳密には正しくありません。なぜなら、無限小（dxのこと）が厳密に定義されていないからです。無限小は超準解析によって厳密に定義することが出来ますが、超準解析は大学以上の数学の知識がないと理解出来ません。したがって、この動画を微分積分を理解出来ない人に見せることはナンセンスです。高校数学の範囲で厳密に微分積分について学びたいのなら、以下を拝見することをおすすめします。ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6II/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%83%BB%E7%A9%8D%E5%88%86%E3%81%AE%E8%80%83%E3%81%88#%E5%AE%9A%E7%A9%8D%E5%88%86%E3%81%A8%E9%9D%A2%E7%A9%8D
コメント欄見てちょっとおかしいっていうのはわかったけどじゃあ動画に出てる数学者は実際どうやって求めたの？
th-cam.com/video/aGh3DWMwVUY/w-d-xo.htmlほぼこういう手順。
感動して笑ってしまったwww素晴らしい！！up主を心から尊敬します！！
こんな面白いことをやってたんだな学生の頃は理解できなかった
6:29ここ怪しいな。微小なdxで分けたとき グラフはy=x^2ではなく y=dx x^2になると思う
これはすごい…感動した！！
数学者凄すぎ
革命
この動画は完全に間違っています。微分されたものにΔxを掛けたものが、微分されたものの面積であり、積分されたものの傾き*Δxで傾きの上り量です。微分の面積を縦に並べて積分にはなりません。
どんおい 少し変だなとは思ってたけど、そういうことか！頭良い人がいてよかった
それは違うよ。微分している時点でΔxは極限のdxになっているので、有限の値であるΔxをかけてはいけない。dxは無限小だからね。あなたのいうΔxをかけるという操作には意味はないんだよ。面積を作るのには短冊の横の長さをかけなきゃいけないような感じをするけれど、短冊の横の長さを有限の長さにとるということは、グラフをx軸方向に引き伸ばしてるだけで、関数のグラフの形は変わらない。
covacovaさんが合ってます。7:58の左図の原始関数の図はx=bを代入するとx=0からx=bまでのグラフ上の微少区間の面積の合計値が1/3b^3となることを示しているだけで、区分求積法のように図の面積自体を計算する必要はありません。
すごくわかりやすいし面白い
超わかりやすい！
大学生になって今更ながら勉強し直してるけど、今だからこそ焦らずにしっかり自分の理解を確かめながら進めるから、こういう動画は本当にありがたいです。
6:29
ここめっちゃ感動しました😭😭
教科書めっちゃ丁寧に書いてあるけど全然わかんなくて動画探してたらこれ見つけてすんごい分かりやすかった。
感動した。ありがとうございます。
6分20秒～40秒辺りの展開には身が震えるような感動がありますね
これを映像化しただけでも、この動画は本当に価値があると思います
+CQBosinko バーの高さはｄｙを表すのでｄｙ／ｄｘを表すｘ二乗のグラフにはならないとおもいます
微分をdy/dxと表すからといってdyという量があるわけじゃないんだけど？dy/dxは「xによるyの（全）微分」という意味であって、何かを分数にしたものじゃない。それが西田さん？の勘違いのもと。
下矢 別にイメージはそれでいいですし、計算上有用なのは知ってますが、dy/dxは量ではなく関数で出てくるので「バーの高さがdy/dxじゃなくてdyだ」、という主張には意味がないと言ってるんです。dyという具体量があるわけでも、dxという分母があるわけでもないんですから。あと変換したあとのグラフの目盛も可変なのでバーの高さも幅に任意に取れるということを見逃しています。
6:20
微かに分かる、分かった積り
センスの塊
それを最初に言った人絶対強い
間違いなく分かってるやつ()
座布団2枚！
あや 自分が数学界の一員だと錯覚してる奴
予習に非常に役に立ちました！ありがとうございます！
やべ〜マジかめっちゃわかりやすい。自称進学校では味わえん神授業で最高や！
長年疑問だった原始関数と面積の関係がようやく理解できました！これを探してました！！
素晴らしい動画をありがとうございます🙇🏻♂️
凄い…なんかグラフになった時に感動した…
図解が素晴らしい！！楽しいです。
数学Ⅱの教科書(新・旧課程関係なし)では、これと同じ内容を2～3ページ掛けて「ご丁寧に」説明していますが、この動画(や、関連動画)を見た方が何十倍も理解が深まると思う位、素晴らしい動画ですね。
sinnya616
数研出版の教科書ではわかりませんでした。
難しい。
あなたは神です、そしてありがとう
なんでそうなるかの説明にはなってないけど、そうなってるという事実を伝えるのには良い映像。原理については他の人の動画で理解しました。
その原理について理解した動画を教えていただけないでしょうか？
田村公 古賀さんや鈴木さんがいいのではないでしょうか。
@@たむたむ-f8b 自分はねこさんの動画で納得しました。
あと式変形チャンネルがねこ積分に近いことをやっていた気がします。ねこさんは１本しか公開していないので、見れる動画がそれです。
@@たむたむ-f8b 動画ではないですか、以下はどうでしょうか。
ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6II/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%83%BB%E7%A9%8D%E5%88%86%E3%81%AE%E8%80%83%E3%81%88#%E5%AE%9A%E7%A9%8D%E5%88%86%E3%81%A8%E9%9D%A2%E7%A9%8D
むちゃ共感
6:26 理解は出来ないが感動した。
わかります笑
なんで綺麗に二次関数のグラフになるんだろう
本当にわかりやすかったです！！！！！
7:41
「放物線のバー10個分の面積の大きさ」は
「原始関数のバー10個分の高さ」に相当するとはどういうことでしょうか？
原始関数のバーの横の長さは考慮しないのでしょうか？
恐らくですが、横の長さは、微分した時の、極小の値であり限りなくゼロに近い値であるので、
高さ＝面積となるのだと思います。
線の面積を求めているイメージだと思います。
@@きーあー-n6u
ありがとうございます。
ご回答頂いたうえでの質問なのですが、
(横の長さ)×(縦の長さ)＝(面積)において、横の長さが0に収束すると面積も0に収束してしまいませんか？
横の長さを1と定義すれば(縦の長さ)＝(面積)となると思いますが。
また、線の面積とはどういう意味でしょうか？
面積はあくまで2次元の広がりを表すものだと定義されるので、1次元の線に適用できないのではないかと思います。
まず横の長さは、ゼロではなく、限りなくゼロに近づくということです。
その上で、横の長さはあまりにも小さいので、線の長さがそのまま面積になるのだと思います。
@@きーあー-n6u
あくまで0に収束するのであって、0にならないことは理解できますが、それならば次元を無視することはできないと思うのです。
長さは1次元、面積は2次元であるので、概念としては全く別のもので、比較対象ではないと思います。
この点はいかがでしょうか？
※以前私が(縦の長さ)＝(面積)と書いたものは適切ではないですね。すみません。
全く同じところに僕も疑問を感じました！ 高さが積分した関数の値なのは分かるのですが、面積をその値とするには底辺が1である必要があって(高さ×1=高さ)、今回は底辺は限りなく0に近づけてるはずなのでは…と😅
それだったら高さ×0で0になってしまいそうなものなんですけど笑
凄く分かりやすかったです！
高校生の時に習ったけど
こんなにわかりやすくなかった！
動画での解説は
素晴らしい！！！！
素晴らしいです😂👏👍✨
面積の合計がいつの間にか高さの合計になってて笑える
懐かしすぎて泣きそうになった。4年前はお世話になりました。
神動画を有り難うございます
神動画
視覚情報って強力だなぁ
高校数学でこの様な授業が出来れば、数学嫌いをなくすことが出来るのではないでしょうか。すばらしい説明です！参考にしたい。
凄いです！ありがとうございました😊
凄くわかりやすい動画です。知りたかったことがまとまってるのも良かったです。ただ声の音量を一定にしてほしいです。折角集中しているのに大きな声で気が散ってしまう。
5:57 微小な部分に分けて差をとるということがなぜ面積になるかがわからない。
微分です
物理学の先生も単振動を理解し、大学生に講義をしていたわけではない。
しかし、「私も単振動をうまく解説できない」と言ってくれた大学教員は多くないと思う。今も同じだ。
結局どういうことなのか分かんなくて泣けてくる
100回見ろ
原始関数が第一象限または第三象限（XYが同符号）は+符号が付いた面積、
異符号象限は－符号が付いた面積ということかしら？しかしながら
Y=COSxをｰπ～πまで積分すると一般的に０だが、その原始関数SINxは常に同符号なのだよなあ。
わかんね。
こんな感じに授業やってくれたらめちゃくちゃ楽しくなるのになぁ…
最後の「面積と高さが等しくなる」の部分なんですがよくわかりません。
8:00の左側のグラフの赤い長方形をどんどん横にスライドさせていくと横幅が同じで縦幅が1/3b^3の長方形が出来て、その面積が右側のグラフの赤い面積と等しくなっているところまではなんとなく理解はできました。ただ高さが面積そのものになるということはいまスライドして作った長方形の横幅が1でないといけないと思うのですが実際は限りなく横幅はゼロに近いため1では無いはずです。
これはどういうことなのでしょうか？
ああ 同じこと思いました、誰か解説ほしいです…
長方形の横の長さは、微分してるので限りなく０に近づけているため実際の横の長さは分からない(つまり実際の一つ一つの長方形の面積は分からない)と思います！実際あんなに横の長さは長くないので、長方形ではなくて線で考えると分かりやすいかも知れません...
FA-06の人 様
適当な話で申し訳ないですが、余り真剣に考え過ぎると、迷路にはまり、軽い眩暈が起き始め、体に良くないです。遊びながら馴染むのがヘルシーです。数学は適切に騙される必要があります(数学的なセンス身につける？、考え方に馴れる？)。数学は、多分、思われているより不確かです。ゆえに、ラッセルは、より確かだと思われた論理学に救いを求めました。つまり、突き詰めても、解決しません。何れかの水準において了承が要ります。できればより基本的でより具体的な水準で了承しておいたら、後が楽です。より難しくなった水準で了承するのはより困難になります。まぁ、芸事等にも当てはまりそうですが。基本が大切と言われる所以です。
面積については、小学校の算数、円の面積の求め方や、その前の、そもそも面積とはどの様に求めるか？に、記述があります(升目を数えます(頭を柔らかくして考えると、定積分も升目を数えていると見えるはずです、これが基本ができているということでは？基本的なことで十分に遊んでいれば余程嫌いでなければ、できるようになります)、これが了承できたら、その後の教科書は、これをいちいち説明しません(他の事項も同様です)。
この様に面積は升目を数える(ここの定積分も升目を数えるという考え方を使っており、それに、『無限(無限に細分化する)という考え方』や、『限りなく近付けるという考え方＝微分の基本的な考え方』が、更に、加わっています。
例えば、中学では、傾き(一次関数で考えるからでしょうか？)と呼ばれたりしますが、高校の微積分ではこれを、平均変化率(二次関数以上の次数の関数を扱うからでしょうか？)と呼びます。
その具体例としては、平均の〈均した〉速度です。 この平均変化率を微分したものを変化率と呼びます。
@@fa-0672 様
続きです。
なお、蛇足ながら、ここで言う傾きも平均変化率も変化率も、算数ではなく、数学になっていますので、当たり前ですが、ある特定の数字ではなく、文字式で考えるのが普通です。個別の例を考える場合に、文字に値を代入し、それぞれの値を出します。
上の、平均変化率(傾き)に対して、変化率とは、時時刻刻と変わっていく量、具体例としては、自動車の速度計が、示す速度です。
以上のような、基本的なことであり、積み重ね的事項が解っていないと、ニュートンややライプニッツの様な気付きは難しいです。
これらの概念を使って、物理や数学などで遊んでみるのが遠回り的な近道です。
算数で習う面積も、定積分も升目を数えていますが、定積分の場合には、上のような考え方が、入ってきておりますゆえ、『たて』と、『よこ』からなる升目のよこは、限りなく小さな量を想定します。
数学では、点を集めたものを線(分)と考えたり、線(分)を、集めたものを面と考えたり、面を集めたものを立体と考えたりします。
これを使うと、定積分が、面積を表すという考え方において、升目は、一見、長方形の様に思われますが、線分でも良いわけです。更に、定積分はとある点と点の間を、無限に細分化するという考え方を使う訳ですから、その意味からしても、線分で良い訳です。また、その方が正確な値により近づきます。値になりますと言わない所が、数学の曖昧で不確実な所です。この水準で、厳密さを追求し、不確実さに我慢ならず、この定積分の営みを了承しなければ、数学は成り立ちません。基本事項が十分に熟れていれば、当たり前と理解できるた思いますが、
如何でしょうか？数学は具体的なことを数こなしておいて、抽象化していく営みです。
2次関数や３次関数式の表すグラフにおいて、その定義域内の『とある点』と『とある点』を考えた場合、定積分すれば、ともかくも【導関数と原始関数の関係】(こういう表現が適当なのか否かは疑念がありますが)から、その２つの点をそれぞれ通る縦軸と平行な２つの線分と横軸と導関数で囲まれた図形の面積になりそうだということは了承できそうな感じになってきませんか？
@@fa-0672 様
続きです
時事刻刻と変化していくその瞬間での値です。それが、この左の図の長方形の量の表す意味です。大分抽象化されています。何故なら、長方形であれば、その量は、私達に取っては、面積を意味します。しかし、大分上に書きましたように、もう既に、無限に細分化するという考え方が私達には導入されており了承しています。この微分係数も例外ではありません。微小なという意味を数学記号ではΔを、使います。微積分を習ったときに出てきたあれです。微小といっても無限に微小なものを考えるので、もう抽象化は極まっていると言っても良いです。つまり、線です。横軸で言えば、点です。
序でに、但し、定義域内に限ります。或いは、特例では、積分区間内に限ります[閉区間と開区間があり、要注意です]。何にしても、微小に分ければ分けるほど、そのxの値における微分係数の和という『量』は、その導関数が表す『総量？合計量？』と合同？一致？に限りなく近づきます(算数の面積参照、小学校の3年か4年生)。
蛇足かもしれませんが、この微分係数の表す量を横軸のそれぞれの値に対して計算すること(イメージすること)は可能です、頭の中では。この無数の微分係数の集合を量として捉えて、無数ではあるが、それぞれの量を、右のグラフに書き込むとすれば、それは、即ち、この棒グラフの様なものになる訳です。いわば、面積は、微分係数の和(概念としては量)と言うことです。
従って、それぞれの微分係数を量として捉えグラフに書き込み、その量の表す頭(一番上)を線グラフの様なもので、繋げば、
それがこの2次曲線というか、２次関数のグラフになっている訳です。これは、微分係数と導関数の今が解っていて、この２つの関係性を考えれば、当たり前のことになります。具体的なことを表す概念が、微分係数。
時々刻々と把握可能な微分係数を一括して関数と認識すれば、それは、導関数として捉えられます(しかし、数学はどこかに曖昧なところが残らざるを得ません)。ここでは、曲線を書いてから面積を認識するというよりは、先に、導関数を微分係数に分解して(弁別して？、でも、どこかで、無限という考え方を採用していますので、もう一つかもしれません)面積を表す棒グラフみたいなのを考えてみました。
導関数と、微分係数の関係性を考えながら色々と遊んで見ることが面白いと思われます。何か、珍しい発見があるかもしれません。抽象化して行けば良い訳ですから。
乱筆乱文で申し訳無いですけど、間違っていたらすみません。参考になりましたら幸甚です。長文読んで頂きまして、有難うございます。
y=1/3•x^3のバーの変化の様子のまとめたものがy=x^2になる理由がわからない。誰か教えて下さい！😢
すげえわかりやすい声でわかりにくい説明をするよな
なるほど！
私は馬鹿だから、高校の先生に何でこうなるの？と言ったところ、公式通りにやればいいと言われた。
やっと理解できた気がします。
アニメーションがむっちゃ上手ですね。何使ってるのですか？
数学教師がコメント欄にたくさんいそう
dxやdyを使った上で幾何学的に説明していただければうれしいのですが
ねこ積分
なるほど！！！グラフを動かしていただけるから非常にわかりやすいんだなあ
わかりやすかったです。
もしよろしければsinの関数を微分してcosになる時のアニメーションを作っていただけたら嬉しいです。
感謝
積分した後に積み重ねた部分の高さが1/3b3乗になるのはわかるのですが微小に区切られた横の長さが1じゃないと面積は高さにはならないのではないのでしょうか。微小な部分の横の長さは限りなく０に近いので、横の長さを1として計算するのにちょっと疑問を感じるのですがどうしたらよいのでしょうか。
本田正人 ほんとこれ
限りなく０に近いのであって０ではないのだから、横の長さを１としてその比を高さにしてもいいのでは？横０．０００００１高さ０．０００００３だとしたって、横を１としたら高さは３になるんだし。実際の面積にしたきゃ、この例なら比で計算した後に１００万で割ればいいんだし。
Mr.Brown さんが皆さんの疑問を理解できていないのだと思う。
J Mayさんのご指摘の通り、疑問の意図を思い違えておりました。編集に追記するつもりでしたが、誤って削除してしまったのでこちらに。
岡田健二さんの言うように、微小のスケールで積んで面積とするのであれば、イメージとしては隣り合う区間との面積の差(面積のグラフのy座標の差)は(1/dx)*(S(x+dx)-S(x))となるといった感じでしょうか。(あまり吟味していないので、認識のズレはあるかもしれませんが比ということならこういうことかと)
おそらく別の微積の動画も見ましたが、動画投稿者はあと一歩理解が足りていない感じですね。しかし、微積のイメージを掴むという点では優れた動画だとは思います。
自分用
5:25 ~
積分が面積ならなんでマイナスになることがあるんですか？
ねこ積分
積分は積分です。面積を求めるときに積分を使うだけであって積分=面積ではありません。積分はツールに過ぎません。
7:33〜何故x^2のグラフの面積が1/3x^3の高さと同じになるのか分からない...
ふじ 「積分」という通り、「積んでる」からです！
ほんとそれ
マジでわからない...
高さは分かるのですが、面積にしたかったら横もいるとおもいませんか?
高さは分かるのですが、面積にしたかったら横もいるとおもいませんか?
6:45のグラフ実際に描かせると、このように高さにならないような気がしてしまいます...だれか教えて下さいorz
wow 8 years later and still a very relevant and useful video. thanks for the detailed description and easy-to-understand language ^^. 本当に ありがとう、神先生ｗｗ
学校では教えてくれなくてずっと悩んでいたんですごく助かりました
図があってめちゃくちゃ分かりやすかったです！
33にして、やっと微積分が理解できました！
ありがとうございます
この授業を高校生のうちに受けていたらさらに数学が好きになっていました
7:57 辺りで思わず変な声出してもうたわ。
分かりやすく説明しているところが良い！
数学を知らない人が、少しでも数学を知るきっかけになりそうな動画^_^
分かりやすすぎて泣けてくる。この動画に会えたことに感謝
わかりやすかったです。
あと積分した関数が極地を持っていたり原点を通らなかったりしたら面積は高さじゃなくなりませんか？そこが気になります。。
関数が2つあればその差をとって高さを出せるよ
th-cam.com/video/aGh3DWMwVUY/w-d-xo.html
最高
このコメント欄は読まないほうがいいかも
この動画控えめにいって最高
すっげえわかりやすい
感謝の気持ち!
すげーー
ガチでわかりやすい❕
こりゃあ大発見だね
すばらしい動画ですね…。
感動しました。
7:52 このグラフ通りにいくとx
そもそもxマイナスの長さというものは存在しないのでx
俺の勝手なイメージだけど、面積は縦×横だから、縦は正、横が負だから面積マイナスって考えてる。
そしたら三次関数の面積も負×負で正になるし。
定積分で求めることが出来るのは符号付き面積なので、この場合y=0より下つまりx
話の流れがすごくわかりやすい
とてもわかり易かったです！長年疑問に思っていたことがあっと言う間に解決しました！本当にありがとうございました！
これおかしいでしょ
皆実際に放物線y=x^2と直線x=1とx軸で囲まれた部分の面積を考えてみて。
公式を利用して面積を求めれば1/3になるよね。
底辺の長さを無限に小さくした長方形の面積の和が1/3になるわけだけど、この動画みたいに長方形の｢高さ｣を積み上げていくと、1/3なんて優に越えてしまうよ。
高さが1で底辺が1/10000000000だったら長方形の面積も1/10000000000になるのは小学生でもわかるわけだけど、みんな大丈夫？
高さを足していくなら一番右側の高さ1の長方形の時点で1/3越えてもうてるやんww
結局面積を表す関数が原始関数になる理由を説明していない。ねこの積分の動画のがよっぽど分かる
足りない部分を補ったのがねこ積分だね
ねこ積分て？
6:20あたりから見れば理解できるだろ
見た目がそのように変形されてるだけで、1/3x^3のグラフの微小増加がx^2のグラフに丁度当てはまる説明になっていない 事実、他のコメントにもあるよう、条件を制限しなければそうならない
@@天童みよこ そういうことです。ねこは検索したらでますよ、たぶん
面白い。概念だけなら小学生でも理解出来ると思う。
違うと批判している人は何がどう違うのか説明してほしい。もしくはただ間違ってると言いたいだけ？
何か書籍「物理数学の直観的方法」（©長沼伸一郎）みたいだなぁ。大学時代に理系に結構読まれていた本。それをヒントに上手く映像化した。素晴らしいね。
曲線を四角で表そうとする発想がなんかもう凄い...
積分が面積になる理由がよく分かった！
3:36
5:30
予習にぴったり ！
ここで疑問なのは細かく刻んだ高さはdyであってｄｙ／ｄｘではないということです。ｄｘは同じなのでｄｙ／ｄｘはｄｙの変化とともに変化するので形状は同じに感じになると思いますが、微分したグラフの高さはｄｙ／ｄｘなので細かく刻んだグラフの高さはｄｙなのでグラフはｄｘ×(ｄｙ／ｄｘ)＝ｄｘ×ｘ２乗になるのではないでしょうか
細かく刻んだ細い長方形1個1個はΔyの大きさではなく傾きの大きさではないでしょうか
傾きはdy／dx,長方形の面積はdxdy
全然違いますよ
+無限大可能性
傾きの上り量=傾き*Δx=傾きの式(微分ね)*Δx=傾きの式(微分ね)の面積
dy/dx=f(x)
⇔dy=f(x)×dx (←ﾀﾃ×ﾖｺで長方形の微小面積)
f(x)=x^2なら
dy=x^2×dxです。
数学検定試験に、向けて日々勉学してます。
素晴らしい
初めてこれ見た時本当に感動した覚えがある。物凄くわかりやすい。
わかりやすすぎる、、、、
微分と積分で接線や面積を出す事を教えられた時、「そういうものなのだ」という教え方だった。あの当時、こういう動画があったら、もっと理解が深まったのになあ。
微分積分の謎が一気に解けました
ありがとうございます
数1をかじっているだけのわいでもイメージを捉えられて、計算の意味もわかりました！
わかりやすかったです
ニュートンとライプニッツ天才かよ
めちゃめちゃわかりやすい....
動画の完成度が高い。
当たり前のこと言ってるんだけど、説明の仕方が親しみやすいから良い感じ
そこら辺の大手予備校講師より良い
こういう丁寧な解説は大学の領域だよね。高校までは公式とか解法なんてただの手段ってイメージ。
俺が高校生の頃にインターネットがあって、こういう動画に触れることができたらならなあ。今の高校生を本当に羨ましく感じる。
東浦太郎 わかるぅ
これは感動した！
わかりにくい…
Yudai Ogawa 勉強してない奴がわからないのは当たり前だと思うんだが…
これを見てわかった気になる方が問題ですよ。他の方が指摘するよう、間違ってるんですから。その間違いに気づかないなら分かってないも同然ですよね。
th-cam.com/video/aGh3DWMwVUY/w-d-xo.html
厳密にしたやつ。
@@aa-qm8sy その動画は厳密には正しくありません。
なぜなら、無限小（dxのこと）が厳密に定義されていないからです。
無限小は超準解析によって厳密に定義することが出来ますが、超準解析は大学以上の数学の知識がないと理解出来ません。したがって、この動画を微分積分を理解出来ない人に見せることはナンセンスです。
高校数学の範囲で厳密に微分積分について学びたいのなら、以下を拝見することをおすすめします。
ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6II/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%83%BB%E7%A9%8D%E5%88%86%E3%81%AE%E8%80%83%E3%81%88#%E5%AE%9A%E7%A9%8D%E5%88%86%E3%81%A8%E9%9D%A2%E7%A9%8D
コメント欄見てちょっとおかしいっていうのはわかったけどじゃあ動画に出てる数学者は実際どうやって求めたの？
th-cam.com/video/aGh3DWMwVUY/w-d-xo.html
ほぼこういう手順。
感動して笑ってしまったwww素晴らしい！！up主を心から尊敬します！！
こんな面白いことをやってたんだな学生の頃は理解できなかった
6:29
ここ怪しいな。
微小なdxで分けたとき グラフはy=x^2ではなく y=dx x^2になると思う
これはすごい…感動した！！
数学者凄すぎ
革命
この動画は完全に間違っています。微分されたものにΔxを掛けたものが、微分されたものの面積であり、積分されたものの傾き*Δxで傾きの上り量です。微分の面積を縦に並べて積分にはなりません。
どんおい 少し変だなとは思ってたけど、そういうことか！
頭良い人がいてよかった
それは違うよ。微分している時点でΔxは極限のdxになっているので、有限の値であるΔxをかけてはいけない。dxは無限小だからね。
あなたのいうΔxをかけるという操作には意味はないんだよ。面積を作るのには短冊の横の長さをかけなきゃいけないような感じをするけれど、短冊の横の長さを有限の長さにとるということは、グラフをx軸方向に引き伸ばしてるだけで、関数のグラフの形は変わらない。
covacovaさんが合ってます。
7:58の左図の原始関数の図はx=bを代入するとx=0からx=bまでのグラフ上の微少区間の面積の合計値が1/3b^3となることを示しているだけで、区分求積法のように図の面積自体を計算する必要はありません。
すごくわかりやすいし面白い
超わかりやすい！