Buongiorno Gaetano. Io personalmente dopo aver fatto le C.E. dovute, cerco generalmente di rincondurre una equ. logaritmica generica in una elementare del tipo: ad es. log(A(x))= p per poi risolvere A(x)= e^p Se si procedeva così anche nell'esercizio da te proposto non si incorreva nel problema di perdere soluzioni utili. Poi sempre attenzione e cautela nell'uso delle proprietà dei logaritmi... Sempre tanti complimenti per i tuoi video!
Insomma nella matematica anche se, apparentemente, elementare bisogna essere precisi anzi precisissimi. tante per dirne una se permettiamo alla variabile x di essere un numero complesso allora avremo altre due soluzioni avendo a che fare con una equazione quartica
Vale la pena sottolineare che queste proprietà dei logaritmi usate nel primo caso valgono da un punto di vista aritmetico, ma non da un punto di vista funzionale. Considerate la funzione y= log (x^2); se applicassi la proprietà come nel primo caso, portando l' esponente due al di fuori, otterrei una funzione che non è piu' pari, non è piu' definita in tutto R tranne 0 bensi solo da 0 a + infinito e il grafico ovviamente sarebbe totalmente diverso. Il punto è che quelle proprietà dei logaritmi su molti libri di testo vengono esplicate in maniera superficiale, senza dettaglio e senza lente di ingrandimento su questi aspetti che tu in maniera chiarissima hai sottolineato. Problematica analoga è la radice quadrata di x^2, che molti persino varcata la soglia del liceo pensano che valga x e non modulo di x. Bravo comunque, anche se spieghi cose che so, ho sempre la sensazione che sia valsa la pena ascoltarti.
X^2 è un numero anch'esso... Variabile ma pur sempre un numero. Comunque è vero che le proprietà vanno espresse unitamente alle ipotesi che le rendono valide. Nei libri di liceo a volte queste ipotesi si perdono...
Nel secondo metodo avrei messo al primo membro il valore assoluto, formalmente l’estrazione di radice pari di un numero è sempre positivo, mettere +/- può creare confusione
Mi esalto a guardare questi problemi. A chi avesse dei dubbi sul numero esatto di soluzioni reali di questa equazione, consiglio di rappresentare graficamente il membro di sinistra e quello di destra e poi metterli a sistema per vedere dove si incrociano i due grafici
Si fa normalmente perché se un numero positivo o negativo è elevato a n pari, il risultato sarà sempre positivo ( 2^4=16, (-2)^4=16), un numero positivo elevato a n dispari, il risultato sarà positivo, un numero negativo elevato a n dispari, il risultato sarà negativo ( 2^3=8, (-2)^3=-8)
guardando al membro di sx come una funzione, si osserva che essa e’ simmetrica rispetto all’asse x=1, cioe’ e’ pari, ma dopo il giochino algebrico la simmetria scompare. l’operatore valore assoluto sull’argomento del log mantiene questa simmetria e naturalmente cambia l’esito delle soluzioni.
L’errore sta proprio nel non aver usato il modulo applicando la proprietà. Se togli l’esponente e l’esponente è pari, doveva essere usato il modulo per avere l’esatta equivalenza
si puó scrivere 4 = log_2 (2^4) . Quindi uguagliando i logaritmi otteniamo che (x-1)^4 = 16=2^4 Quindi, x-1 =+- 2 (sarebbe |x-1|=2) , da cui : x=3 e x=-1.
io la risolverei così: utilizzo la formula per il cambiamento di base e passo in base "e", in generale ho: logab = lnb/lna, per cui, la nostra equazione diventa: (ln(x-1)^4)/ln2 = 4 da cui: ln(x-1)^4 = 4ln2 ln(x-1)^4 = ln16 eliminando ln ottengo: (x-1)^4 = 16 cioè: (x-1)^2 = ±4 (*) consideriamo il valore positivo e svolgiamo il quadrato al membro sx e riordiniamo: x²-2x-3=0 che ammette le soluzioni x=3, -1
Logaritmi vengono insegnato proprio male. Il problema risiede in definire il logaritmo come una funzione con un elenco di proprietà che si devono memorizare. E quello è il modo peggiore d'insegnarlo. Non ho trovato nessun studente che, dopo avere risolto un sacco di problemi applicando ogni di quelle propieta in situazioni diversi, sappia dire cos'è un logaritmo. Il problema del video e facilisimo. Si può imparare a risolvere bene in meno di 5 minuti. Anche l'argomento dei logaritmi è roba da ridere. Risulta ch'è solo la inversa della funzione esponenziale: Ln(a) = b e^b = a. E basta. Non ci bisogna di più. Tutto il resto che s'insegna si deve butare via perchè è solo spazzatura.
No. Al logaritmo lo hanno inventato perche si bisognaba di risolvere equazioni esponenziali e operazioni con gli esponenti. E lo importante e quello. Non memorizare un sacco di spazzatura chi esce dal culo del professore. Il logaritmo è un esponente. Leggi le mie labbra: il logaritmo è un esponente. Adesso ripetete tutti insieme con me: Il logaritmo è un esponente. Tutto il resto è 💩
@@GaetanoDiCaprio grazie. Io a 56 anni... Ingegnere pentito, sto ristudiando la matematica e lei è ormai un punto di riferimento. Grazie di nuovo. Bellissimo video. Che giunge proprio mentre Ho appena finito di rivedere tutte le proprietà dei logaritmi... E nonostante fosse ben chiaro che valgono per argomenti positivi... Io l'ho sbagliata lo stesso 😢😭😃😂😂😂😂😂
Ingegnere in pensione 67 anni....ho apprezzato...grazie
Bravissimo nella spiegazione.
Grazie
Buongiorno Gaetano.
Io personalmente dopo aver fatto le C.E. dovute, cerco generalmente di rincondurre una equ. logaritmica generica in una elementare del tipo: ad es. log(A(x))= p per poi risolvere A(x)= e^p
Se si procedeva così anche nell'esercizio da te proposto non si incorreva nel problema di perdere soluzioni utili.
Poi sempre attenzione e cautela nell'uso delle proprietà dei logaritmi...
Sempre tanti complimenti per i tuoi video!
Grazie
Insomma nella matematica anche se, apparentemente, elementare bisogna essere precisi anzi precisissimi. tante per dirne una se permettiamo alla variabile x di essere un numero complesso allora avremo altre due soluzioni avendo a che fare con una equazione quartica
sì
In quale testo ha trovato queste dimostrazioni.
Quali dimostrazioni?
Vale la pena sottolineare che queste proprietà dei logaritmi usate nel primo caso valgono da un punto di vista aritmetico, ma non da un punto di vista funzionale. Considerate la funzione y= log (x^2); se applicassi la proprietà come nel primo caso, portando l' esponente due al di fuori, otterrei una funzione che non è piu' pari, non è piu' definita in tutto R tranne 0 bensi solo da 0 a + infinito e il grafico ovviamente sarebbe totalmente diverso. Il punto è che quelle proprietà dei logaritmi su molti libri di testo vengono esplicate in maniera superficiale, senza dettaglio e senza lente di ingrandimento su questi aspetti che tu in maniera chiarissima hai sottolineato. Problematica analoga è la radice quadrata di x^2, che molti persino varcata la soglia del liceo pensano che valga x e non modulo di x. Bravo comunque, anche se spieghi cose che so, ho sempre la sensazione che sia valsa la pena ascoltarti.
Grazie!
X^2 è un numero anch'esso... Variabile ma pur sempre un numero.
Comunque è vero che le proprietà vanno espresse unitamente alle ipotesi che le rendono valide. Nei libri di liceo a volte queste ipotesi si perdono...
Nel secondo metodo avrei messo al primo membro il valore assoluto, formalmente l’estrazione di radice pari di un numero è sempre positivo, mettere +/- può creare confusione
Il +/- non "crea confusione", è necessario (e assolutamente formale) proprio perché la radice pari è sempre un numero non negativo.
Pure io avrei risolto col valore assoluto.. in realtà log x^n= n log (abs(x)) se n è pari.. ma a scuola non lo si insegna
@@GaetanoDiCaprio non sono d’accordo: è una semplificazione ormai divenuta ricorrente, ma non accettabile formalmente
@@mcumer esattamente, io a scuola lo insegno anche se purtroppo molti ‘professori’ sbagliano
Mi esalto a guardare questi problemi. A chi avesse dei dubbi sul numero esatto di soluzioni reali di questa equazione, consiglio di rappresentare graficamente il membro di sinistra e quello di destra e poi metterli a sistema per vedere dove si incrociano i due grafici
👍
E se n è dispari?
Se n è dispari l'ipotesi a>0 è necessaria affinché i logaritmi di entrambi i membri esistano, per cui l'uso del valore assoluto sarebbe superfluo
Si fa normalmente perché se un numero positivo o negativo è elevato a n pari, il risultato sarà sempre positivo ( 2^4=16, (-2)^4=16), un numero positivo elevato a n dispari, il risultato sarà positivo, un numero negativo elevato a n dispari, il risultato sarà negativo ( 2^3=8, (-2)^3=-8)
guardando al membro di sx come una funzione, si osserva che essa e’ simmetrica rispetto all’asse x=1, cioe’ e’ pari, ma dopo il giochino algebrico la simmetria scompare. l’operatore valore assoluto sull’argomento del log mantiene questa simmetria e naturalmente cambia l’esito delle soluzioni.
Sì corretto, ottima osservazione (anche se in caso di simmetria rispetto alla retta x=1 non è corretto dire che la funzione è pari)
Mi piace
L’errore sta proprio nel non aver usato il modulo applicando la proprietà. Se togli l’esponente e l’esponente è pari, doveva essere usato il modulo per avere l’esatta equivalenza
👍
x = 3 ?
Guarda il video
@@GaetanoDiCapriocerto è un potenza quindi può avrà più soluzioni....
si puó scrivere
4 = log_2 (2^4) .
Quindi uguagliando i logaritmi otteniamo che
(x-1)^4 = 16=2^4
Quindi, x-1 =+- 2
(sarebbe |x-1|=2) , da cui :
x=3 e x=-1.
👏
Anche x-1=\|2 i x-1=-\|2 i
\| dovrebbe essere una radice quadra.
No è errato
Si infatti a okkio mi sembrava avesse 4 soluzioni.
Senza radice quadra penso sia corretto
Non ho capito perché in molti sbagliano
🤔
…..e infatti ho sbagliato
Anche io 😉
io la risolverei così:
utilizzo la formula per il cambiamento di base e passo in base "e", in generale ho: logab = lnb/lna, per cui, la nostra equazione diventa:
(ln(x-1)^4)/ln2 = 4 da cui:
ln(x-1)^4 = 4ln2
ln(x-1)^4 = ln16 eliminando ln ottengo:
(x-1)^4 = 16 cioè:
(x-1)^2 = ±4 (*) consideriamo il valore positivo e svolgiamo il quadrato al membro sx e riordiniamo:
x²-2x-3=0
che ammette le soluzioni x=3, -1
Sempre originale! 👏
Logaritmi vengono insegnato proprio male. Il problema risiede in definire il logaritmo come una funzione con un elenco di proprietà che si devono memorizare. E quello è il modo peggiore d'insegnarlo.
Non ho trovato nessun studente che, dopo avere risolto un sacco di problemi applicando ogni di quelle propieta in situazioni diversi, sappia dire cos'è un logaritmo.
Il problema del video e facilisimo. Si può imparare a risolvere bene in meno di 5 minuti. Anche l'argomento dei logaritmi è roba da ridere. Risulta ch'è solo la inversa della funzione esponenziale: Ln(a) = b e^b = a. E basta. Non ci bisogna di più. Tutto il resto che s'insegna si deve butare via perchè è solo spazzatura.
Grazie per il contributo
Sai, i logaritmi li hanno inventati perché il prodotto diventava una somma... Non è tutta spazzatura
No. Al logaritmo lo hanno inventato perche si bisognaba di risolvere equazioni esponenziali e operazioni con gli esponenti. E lo importante e quello. Non memorizare un sacco di spazzatura chi esce dal culo del professore.
Il logaritmo è un esponente.
Leggi le mie labbra: il logaritmo è un esponente.
Adesso ripetete tutti insieme con me: Il logaritmo è un esponente.
Tutto il resto è 💩
Come al solito lei ci mina ogni certezza😢😅😂.
Ovviamente è l'esatto contrario... Sono le nostre certezze ad essere di sabbia 😢
Spero nel mio piccolo di contribuire a chiarire alcune questioni che spesso sono fonte di errore... Certezze? Io non ne ho! 😉
@@GaetanoDiCaprio grazie. Io a 56 anni... Ingegnere pentito, sto ristudiando la matematica e lei è ormai un punto di riferimento. Grazie di nuovo. Bellissimo video. Che giunge proprio mentre Ho appena finito di rivedere tutte le proprietà dei logaritmi... E nonostante fosse ben chiaro che valgono per argomenti positivi... Io l'ho sbagliata lo stesso 😢😭😃😂😂😂😂😂
@@claudpiro6469 Grazie. P.S. Siamo quasi coetanei
@@GaetanoDiCaprio spero che lei non si sia pentito di nulla 😃