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この人まさに古賀って感じの顔してるよなぁ
んー、凄く勉強になります。
本物だ(￣□￣;)!!
４番から５番の「証明」には若干行間があります．1番の証明でも述べたように，あくまで公式を思い出すhintとして証明の概略（一部）を述べたにすぎないことをご理解ください．コメントにあるように，厳密に証明するならば，x→-0も考えなくてはなりません．
数学Ⅲの教科書では⑤をeの定義にして、④や⑥を導いていますね(④よりも⑤の方が主張している情報が多いので)
対数関数の導関数の定義として、lim h→0が登場しているはずだから、そのときにeが初登場していますよね。
⑥はf(x)=log(1+x)、⑦はf(x)=e^xと置いて、{f(x)-f(0)}/xの極限とすると、f(x)を微分して求められる。それぞれの導関数の公式を知っていることが前提になるが。
理解できました‼︎ありがとうございます！
log(1+x)/xの極限は求められるのに原始関数は指数積分関数が出てくるから極限をどのようにとるかで答えは変わってくるんだなぁって思って感動する
かっこいいな〜数学できるってすごいリスペクト
公式を忘れても証明のあらすじを覚えていればなんとかなるし、そのほうがいいのかも
例えばlim(x→0)sinx/x=1は、sin(x +Δx)=sinx +cosx•Δxとして、ここでxが十分に小さければ、sinΔx≒Δxとして、両辺Δxで割り、Δxをlim(x→0)としてその結果を得る、とも考えることができますよね。この考え方は動画の中のsin,cos,log,e^xの極限の公式を得ることができる気がします。
いくつかの説明は該当式が収束するかを証明しないといけなさそう。でもそこで苦労するのは数学科解析学専攻の学生だけでいい(笑)。高校生向けの分かりやすい説明だと思いました。
eの定義は 数列の極限 ｎ→∞ lim（1＋1/ｎ）＾ｎ で関数の極限ではない
めっちゃテンポの良い20分！
分かりやすっ、、、！
すぐロピタっちゃうのは良くないですね
とてもわかりやすかったです。ただ、①はy=sinxとy=xのグラフをイメージして0に近づくとどうなるかをイメージした方が分かりやすい気がします。
今更って感じですが（1+1/x）^xをx→∞すると中は1に近づき、その無限大がe＝2.7….と2より大きくなるの面白いですよね。大味に見ると1^∞が2超えるんですから
20分があっという間だった
ありがたい
面積比較では循環論法になります。『解析概論』等にあるようなこの方法にすべきです。高校の教科書がこの方法でないのが残念です。
面積比較でも循環論法を回避する方法はありますよ、
@@makkakkaakkakkaaa6377 そうなの！？詳しく知りたい。
@@きゅー-l6q th-cam.com/video/nu1Mamdbt0U/w-d-xo.html
@@ingen8841 積分って事ですか、まあ確かにそうか。循環論法避けるために長さで評価するもんだと思ってました。面積でも積分でやれば避けれるんですね、勉強になったｿﾞ
4はeの定義と言ってしまえばそうなんですが、収束することの証明は必要だと思います。
1-cosx=2sin²(x/2)でもできそう
もちろんできます
よくわかんねぇから分母分子それぞれ微分しよう
分かりやすい説明ですね！1つだけ質問があるのですが，④をeの定義とした場合，⑤の説明は x→+0 の場合でしか解説がなされていませんが，x→-0 の場合を認めているのは少し非自明ではないでしょうか。。。
そうか微分の公式からも捉えられたのか
これ数3微妙なレベルの理系大学生も留意しておくべきやね。
めっちゃわかった
低評価してる人の解説聞いてみたいいや理解できなかった人が感情的にやってる説もあるけど
sin x /x にしろ tan x/xにしろ十分に値が小さければlog(1+x)≒xsin x≒xtan x≒xでそんなに値が変わるわけではなくなるから比をとって極限に飛ばすと1になってしまう。この性質は、ロピタルの定理により傾きの比として可視化されることになる。
18:11何でひっくり返していいのかちゃんと説明しろって言われても説明できない。説明できる人いるのかな
やっぱりマクローリン展開かな
why the number 6 equation is log(1+x) not ln(1+x)
循環論法スタサプのおじさんも言ってた
微分の公式を思い出す！
④を使って⑥と似ているを作れば新しい公式がそれは？
最後の2問は公式扱いですか。知りませんでした。頻出とは思いますが、f(x)=log(x+1)またはf(x)=e*xにおけるf'(0)を考えさせるつもりやな…って、いちいち考えてたなあ。
ありがとうございます、勉強になりました。公式だけ暗記してすっかり忘れてしまった一人なもので…ところで古賀 真輝さんは御自身の学習、非常に高度な数学の学習は十分出来ていますか？現在全盛期の２０代なのに私の様な数学の実力に乏しい人々に向けて講義して下さっていて、申し訳ない気持ちになります。
いいゾ＾～これ
無能
@@出張料理人中野君 （中野君は肉を極限まで焼きすぎてて）笑っちゃうんすよね
これらは自分で導出できるようにならないとなぁ
関西人はlogの語尾を下げるということを発見した。
古賀さん関東人だよ
太郎syamu ろぐ↗︎って上がってるように聞こえるので、、、関西人の私はろぐ↘︎って言うので、、
@まぼろし 自分関西人だけどログ↑って言うで
パグ↘︎と同じや
17:10 なんで1+xがe**yになるの？
何でもないです、解決しました
教えて欲しいです。
@@尾山日南 log(3)[9]=2(9は3の2乗)であるのと同様にlog(e)[1+x]=yを1+xはeのy乗であると考えれば分かると思うのじゃ
微分したやつと極限一致するのがロピタルの定理であってますか？
①の証明、まんま阪大で何年か前に出てたし、証明できることはむしろ必須なのかも。
ルールタイム 生きてんで
１の∞乗は１じゃないんですね！！
広大の工学部を志望している者ですが数学は黄色チャートでいいですか？
さだこ 青茶の方がいいと思います
広大は黄色でいいと思う青は周りもやってないはずアドバンテージ持ちたいなら青も良いかも
広大がどこか知らんが青で十分広島大？だよな？地方国公立もマーチくらいだから青でおけ 寧ろ黄色って何？青より上な赤みたいな感じ？赤チャも青チャと大して変わらんし黄色も変わらんよ
F*CKS0C137Y イキってるんか知らんけど赤青黄がおんなじは草受験したことなさそう
@@user-xr6oz4wx4k それな。広大知らんはやばすぎやろ
円弧
途中でも言ってるけど、あくまでも概略だけだから特に気にせず論じてる気になるなら、証明すれば良い
おぽちゅ すればいいなんて簡単に言うけど、高校数学でこれ示すのはすげぇ大変やぞ…
@@このは-m1s なら面積を比較すればええ 循環論法とかいうのはなしで
Jalmar肉体覇王 そういうことを言っているのではなくてだな…概略で説明するからには長さの大小関係が高校数学流に示せなきゃあかんやろ。"気になるなら証明すればいい"なんて無責任な事言っとるけど、高校数学レベルできちんと示せるん？って話
@@このは-m1s それが無理だから面積比較をせよと言ってるんだよなぁ…
鼻の下伸ばした高橋一生
わかるwww
①は正確には+0で証明してから-0でも成り立つことを賞味しなければなりませんね
そう言ってるやん動画の中でもちゃんと見ろ
マサキって顔してるなあ
逆じゃね、公式は丸暗記しないと難しい問題にしょーもないところでてこずるやろ
ずるいけど、ロピタルの定理使えば答えを出すだけならできる…
ロピタルきもちぇー
ちょっと鼻声？気の所為？
うわーうそすぎてすげえ
その方法は昔々やったけど公式として①②③は覚えてなくてもロピタルの定理で瞬間的に出せるので覚える必要はないな
はよ整数tool直せや
鬼滅キッズさすがです
![Masaki Koga [数学解説]](http://yt3.ggpht.com/iS7yH2FXiUzPK9lxif6LZbtrxwlWeUWrpKuQc76MyOq_5YG7C5y9jPoZiw4Od2nmFYjSLRf9PTM=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
この人まさに古賀って感じの顔してるよなぁ
んー、凄く勉強になります。
本物だ(￣□￣;)!!
４番から５番の「証明」には若干行間があります．1番の証明でも述べたように，あくまで公式を思い出すhintとして証明の概略（一部）を述べたにすぎないことをご理解ください．
コメントにあるように，厳密に証明するならば，x→-0も考えなくてはなりません．
数学Ⅲの教科書では⑤をeの定義にして、④や⑥を導いていますね(④よりも⑤の方が主張している情報が多いので)
対数関数の導関数の定義として、lim h→0が登場しているはずだから、そのときにeが初登場していますよね。
⑥はf(x)=log(1+x)、⑦はf(x)=e^xと置いて、
{f(x)-f(0)}/xの極限とすると、f(x)を微分して求められる。
それぞれの導関数の公式を知っていることが前提になるが。
理解できました‼︎
ありがとうございます！
log(1+x)/xの極限は求められるのに原始関数は指数積分関数が出てくるから極限をどのようにとるかで答えは変わってくるんだなぁって思って感動する
かっこいいな〜
数学できるってすごい
リスペクト
公式を忘れても証明のあらすじを覚えていればなんとかなるし、そのほうがいいのかも
例えばlim(x→0)sinx/x=1は、sin(x +Δx)=sinx +cosx•Δxとして、ここでxが十分に小さければ、sinΔx≒Δxとして、両辺Δxで割り、Δxをlim(x→0)としてその結果を得る、とも考えることができますよね。この考え方は動画の中のsin,cos,log,e^xの極限の公式を得ることができる気がします。
いくつかの説明は該当式が収束するかを証明しないといけなさそう。でもそこで苦労するのは数学科解析学専攻の学生だけでいい(笑)。高校生向けの分かりやすい説明だと思いました。
eの定義は 数列の極限 ｎ→∞ lim（1＋1/ｎ）＾ｎ で
関数の極限ではない
めっちゃテンポの良い20分！
分かりやすっ、、、！
すぐロピタっちゃうのは良くないですね
とてもわかりやすかったです。ただ、①はy=sinxとy=xのグラフをイメージして0に近づくとどうなるかをイメージした方が分かりやすい気がします。
今更って感じですが（1+1/x）^xをx→∞すると中は1に近づき、その無限大がe＝2.7….と2より大きくなるの面白いですよね。
大味に見ると1^∞が2超えるんですから
20分があっという間だった
ありがたい
面積比較では循環論法になります。『解析概論』等にあるようなこの方法にすべきです。高校の教科書がこの方法でないのが残念です。
面積比較でも循環論法を回避する方法はありますよ、
@@makkakkaakkakkaaa6377 そうなの！？詳しく知りたい。
@@きゅー-l6q th-cam.com/video/nu1Mamdbt0U/w-d-xo.html
@@ingen8841 積分って事ですか、まあ確かにそうか。循環論法避けるために長さで評価するもんだと思ってました。面積でも積分でやれば避けれるんですね、勉強になったｿﾞ
4はeの定義と言ってしまえばそうなんですが、収束することの証明は必要だと思います。
1-cosx=2sin²(x/2)でもできそう
もちろんできます
よくわかんねぇから分母分子それぞれ微分しよう
分かりやすい説明ですね！
1つだけ質問があるのですが，④をeの定義とした場合，⑤の説明は x→+0 の場合でしか解説がなされていませんが，x→-0 の場合を認めているのは少し非自明ではないでしょうか。。。
そうか微分の公式からも捉えられたのか
これ数3微妙なレベルの理系大学生も留意しておくべきやね。
めっちゃわかった
低評価してる人の解説聞いてみたい
いや理解できなかった人が感情的にやってる説もあるけど
sin x /x にしろ tan x/xにしろ
十分に値が小さければ
log(1+x)≒x
sin x≒x
tan x≒x
でそんなに値が変わるわけではなくなるから
比をとって極限に飛ばすと1になってしまう。
この性質は、ロピタルの定理により
傾きの比として可視化されることになる。
18:11
何でひっくり返していいのかちゃんと説明しろって言われても説明できない。説明できる人いるのかな
やっぱりマクローリン展開かな
why the number 6 equation is log(1+x) not ln(1+x)
循環論法
スタサプのおじさんも言ってた
微分の公式を思い出す！
④を使って⑥と似ているを作れば新しい公式が
それは？
最後の2問は公式扱いですか。知りませんでした。
頻出とは思いますが、f(x)=log(x+1)またはf(x)=e*xにおけるf'(0)を考えさせるつもりやな…って、いちいち考えてたなあ。
ありがとうございます、勉強になりました。公式だけ暗記してすっかり忘れてしまった一人なもので…
ところで古賀 真輝さんは御自身の学習、非常に高度な数学の学習は十分出来ていますか？現在全盛期の２０代なのに私の様な数学の実力に乏しい人々に向けて講義して下さっていて、申し訳ない気持ちになります。
いいゾ＾～これ
無能
@@出張料理人中野君 （中野君は肉を極限まで焼きすぎてて）笑っちゃうんすよね
これらは自分で導出できるようにならないとなぁ
関西人はlogの語尾を下げるということを発見した。
古賀さん関東人だよ
太郎syamu ろぐ↗︎って上がってるように聞こえるので、、、
関西人の私はろぐ↘︎って言うので、、
@まぼろし 自分関西人だけどログ↑って言うで
パグ↘︎と同じや
17:10 なんで1+xがe**yになるの？
何でもないです、解決しました
教えて欲しいです。
@@尾山日南 log(3)[9]=2(9は3の2乗)であるのと同様に
log(e)[1+x]=y
を1+xはeのy乗であると考えれば分かると思うのじゃ
微分したやつと極限一致するのがロピタルの定理であってますか？
①の証明、まんま阪大で何年か前に出てたし、証明できることはむしろ必須なのかも。
ルールタイム 生きてんで
１の∞乗は１じゃないんですね！！
広大の工学部を志望している者ですが数学は黄色チャートでいいですか？
さだこ 青茶の方がいいと思います
広大は黄色でいいと思う
青は周りもやってないはず
アドバンテージ持ちたいなら青も良いかも
広大がどこか知らんが
青で十分
広島大？だよな？
地方国公立もマーチくらいだから青でおけ 寧ろ黄色って何？青より上な赤みたいな感じ？赤チャも青チャと大して変わらんし黄色も変わらんよ
F*CKS0C137Y イキってるんか知らんけど赤青黄がおんなじは草
受験したことなさそう
@@user-xr6oz4wx4k それな。広大知らんはやばすぎやろ
円弧
途中でも言ってるけど、あくまでも概略だけだから特に気にせず論じてる
気になるなら、証明すれば良い
おぽちゅ すればいいなんて簡単に言うけど、高校数学でこれ示すのはすげぇ大変やぞ…
@@このは-m1s なら面積を比較すればええ 循環論法とかいうのはなしで
Jalmar肉体覇王 そういうことを言っているのではなくてだな…概略で説明するからには長さの大小関係が高校数学流に示せなきゃあかんやろ。"気になるなら証明すればいい"なんて無責任な事言っとるけど、高校数学レベルできちんと示せるん？って話
@@このは-m1s それが無理だから面積比較をせよと言ってるんだよなぁ…
鼻の下伸ばした高橋一生
わかるwww
①は正確には+0で証明してから-0でも成り立つことを賞味しなければなりませんね
そう言ってるやん動画の中でも
ちゃんと見ろ
マサキって顔してるなあ
逆じゃね、公式は丸暗記しないと難しい問題にしょーもないところでてこずるやろ
ずるいけど、ロピタルの定理使えば答えを出すだけならできる…
ロピタルきもちぇー
ちょっと鼻声？気の所為？
うわーうそすぎてすげえ
その方法は昔々やったけど公式として①②③は覚えてなくても
ロピタルの定理で瞬間的に出せるので覚える必要はないな
はよ整数tool直せや
鬼滅キッズさすがです