#950

[@IamReaa]

この手のやつはeの定義式に持ち込むものが多いのでeが絡むのかなぁと思ったらまさかeとは無関係なんですね

[@105db2]

eの定義を使ってもいけるみたい。でも、2つの文字を1つに減らす努力を最初にしないといけないっぽい。以下解答。
s=s(x)=(c^x-1)/x
t=t(x)=(c^x-1)/2
とすれば、
cが1でない正の数のとき、
g(c,x)
=((1+c^x)/2)^(1/x)
=((1+t)^(1/t))^(s/2)
と書けるので、
x→0のときt→0より、
(1+t)^(1/t)→e(x→0)
また、x→0のときs→logcより、
g(c,x)→e^(logc/2)=√c(x→0)
となる。
b/aが1でないときを考える。
f(x)
=a((1+(b/a)^x)/2)^(1/x)
=a*g(b/a,x)
より、
f(x)→a*√b/a=√ab(x→0)
b/a=1のときは、
f(x)=a=√ab
となることがf(x)の式からすぐに分かる。
以上より、f(x)→√ab(x→0)

[@enjoyeverything777]

これぐう有能

[@11ex2pha686]

これは賢いなー、上手い方法ですね

[@圃匙琥逗]

高校数学の範囲でロピタルが使える問題は大体微分係数の定義で片付く説
ロピタルの定理の主張をよく眺めれば定理が使えるのは lim[x→a] f(x)/g(x) が不定形（0/0 or ∞/∞）のときなんだから |a| < ∞ かつ極限が 0/0 の形の場合は必然 f(a) = g(a) = 0 であって f(x)/g(x) = {(f(x)-f(a)) / (x-a)} / {(g(x)-g(a)) / (x-a)} って微分係数の定義に帰着されるよねって話

[@haruharu949]

結局、その場で実質的に証明して使ってしまえば何を使ってもOKということよね。

[@taki1223]

あらこんな問題あるんですね〜。一服の清涼剤のよう！

[@げし田]

数学では、0を足し引きしたり、1を掛けたりという値が変わらない式変形は重要ですね

[@user-clplkjganmr]

挟み撃ちかなーと思ってたけどロピタルかぁ

[@mathkaleidoscope]

平均の一般化ですね～。

[@smania0711]

一般化された加重平均ですね。

[@yarukinonaineko]

xを∞に飛ばしたら、aとbのうち大きい方の値になりますね

[@ゆーぼゆーぼん]

ロピタルは入試でつかわないほうがいいからなぁ

[@user-larmiadq]

相加相乗平均の大小関係を用いて下から√abに抑え込むことはできましたが､上から抑える方法がわからずはさみうちの原理が使えませんでした｡上から抑える方法わかる方いたら教えてほしいです｡

[@三菱三昧]

やってないのでわからないのですが例えば二乗平均で抑えれるかもしれませんね

[@mathkaleidoscope]

ご趣旨にはずれるかもしれませんが、f(x)=((a^x+b^x)/2)^(1/x) とおき、f(0) については与式を定義としておくと、f(x) は(0近傍において)連続関数となります。本来はこれは証明が必要ですが、このことを認めてしまえば、相加相乗平均の関係から、x>0 においては常に f(x)>√ab, x

[@user-larmiadq]

@@mathkaleidoscope +0,-0の両方から極限を取るってことですね｡目から鱗でした｡
この問題見た瞬間に相加相乗平均使えないかなと思って､実際使えるか気になってたので回答ありがとうございます｡

[@焼肉定食-c8v]

ロピタルを受験で使ったら採点の目が厳しくなるからなぁ...