Статья В. Прасолова: kvant.mccme.ru/1995/05/diagonali_pravilnogo_18--ugoln.htm О пересечении на главной диагонали: www.mathnet.ru/links/aeefa7fba04ebfab86c132876490c288/mo692.pdf
Трудная задача. Я уже встречалась с ней раньше, пришлось помучиться. Привожу свое решение. Сначала найдем некоторые углы: ∠APD=70°, ∠ABD=70°-30°=40°. ∠ACD=180°-80°-50°=50°. CD=AD. На стороне AB отметим точку E так, что ∠ADE=20°. Тогда ∠AED=80°, DE=AD. Далее, ∠BDE=60°-20°=40°, ∠CDE=80°-20°=60°. Так как CD=DE, ∠CDE=60°, то ∆CDE - равносторонний, CE=CD=DE=AD. ∠DEC=60°, ∠BEC=180°-80°-60°=40°. Так как ∠ABD=∠BDE=40°, то ∆BDE - равнобедренный, BE=DE=CE. Значит, ∆BCE - тоже равнобедренный. ∠CBE=∠BCE=(180°-40°)/2=70°, ∠CBD=70°-40°=30°. Вот как-то так.
"...осталось доказать что BC биссектриса..." - ну как вы это заранее поняли? очень странно когда вы уже знаете результат и пользуетесь этим результатом в процессе самого решения... выглядит как читерство. А если бы ВС оказалась не биссектрисой? почему Вы сразу все эти варианты отмели?
Просто очень известная классическая задача. И могла быть сформулирована "Докажите, что 30". Я мог бы и поприкидываться, что не знаю, куда иду, но ... При аккуратном построение (или геогебра) мы получим гипотезу: наверное, 30. Тогда понятно - куда идти. В геометрии это частый вариант.
Д/З: Достроим тот же тр-ник АВ(С)Н. Биссект. НО1 содержит оба центра. Из центров 2 перпендикуляра на ВН(О1К и О2М). Два подобных прям-ных тр-ка. КН=12, МН=х+4. Отсюда: 12:(х+4)=4:х. х=r=2
Наверное. Я в ролике сказал, что была в храмой японской геометрии 15 век. А так она есть во ВСЕХ! задачниках по геометрии. Надеюсь Петр не рассматривал 18-к?
Приятная задача. Не то что эта Фудзияма(бился 2 часа, отложил). Здесь, конечно, попроще. AFD--египет. AF=15, r(k)=3, достроим вокруг окр-ти М тр-ник AB(C)H. Он также египет. АН=20, ВН=16, r(m)=4. BD=12\/2. ВМ=4\/2, ДК=3\/2(через касат+секущ). МК=5\/2
Спасибо за ссылку на статью. Тоже задавался этим вопросом. Оказалось такому пересечению несимметричных диагоналей мы обязаны тождествам с произведениями синусов, таким как sin10*sin80 = sin20*sin30 (Вообще там все еще сложнее, но примерно понятно откуда взялось такое совпадение с пересечением)
В треугольнике ACD ∢ ACD=∢CAD=50°, тогда AD=CD. В треугольнике BCD ∢BCD=180°-(20°+a). В треугольнике BAD ∢ABD=40°. Тогда, прилагая последовательно sin-теорему к треугольникам BCD и BAD, получаем: CD/BD=sina/sin∢BCD=sina/sin(180°-(20°+a))=sina/sin(20°+a) и AD/BD=sin40°/sin80°=sin40°/(2sin40°.cos40°)=1/2cos40°. Так как AD=CD, получаем уравнение sina/sin(20°+a)=1/2cos40°. Решаем уравнение: sina.2cos40°=sin(20°+a) 2sina.cos(60°-20°)=sin(20°+a) 2sina.(cos60°.cos20°+sin60°.sin20°)=sin(20°+a) 2sina.cos60°.cos20°+2sina.sin60°.sin20°=sin20°.cosa+sina.cos20° sina.cos20°+sqrt3.sina.sin20°=sin20°.cosa+sina.cos20° sqrt3.sina.sin20°=sin20°.cosa sqrt3.sina=cosa tga=1/sqrt3 a=30°
Ключ к решению задачи- AD = CD! Из точки D проведем отрезок под углом 20° до пересечения с AB в точке О. Легко показать, что ОD = АD = СD. Но ∢СDО = 60°, поэтому треугольник СОD-равносторонний. Итак, ОD = ОС. Также видим, что треугольник ВОD -равнобедренный (углы при основании по 40°). Тогда ОВ = ОС = ОD. А значит, точка О- центр описанной окружности вокруг треугольника ВСD. ∢СОD = 60° (центральный), поэтому ∢СВD = α =30°.
Неужели я влез всё-таки на эту Фудзияму?! Воистину утро вечера мудренее. Говорят, японские землемеры измеряют площадь в кв. САНТИМЕТРАХ! Вот и задачи у них злые... Итак, попытка 2: РС||АД. АР=СД(по усл.-- постр.), АР=СД=АД(АСД--равнобедр). Впишем трапецию АРСД в окр-ть(имеем право). Дуги СД=АД=АР=100*. Сл-но, дуга РС=60*. Угол АВД=40*(по услов), угол АВС=70*(внешн.угол=полуразность дуг)=(200*--60*)/2=70*. Угол ДВС=30. Великолепная задача! В очередной раз понял, что не всякую стенку можно пробить даже высокоинтеллектуальным лбом...🥲
@@P.S.Q.88 Это фамилия МОЕГО деда. И поэтому я знаю, как она произносится. Вы же знаете, как произносится ВАША фамилия. На родство с автором книги я не претендую.
@@Olga-fv6jy Я так и подумал и написал то же самое. Пояснять, что вы знаете, как пишется и произносится ваша фамилия, в том числе у ваших однофамильцев, - лишнее. Кроме того, вы можете быть прямым родственником автора книги. Кому какое дело?
Потому что в задаче представлены углы 30, 50, 60, 20 градусов, и если их рассматривать как вписанные в окружность, то они опираются на дуги в 60, 100, 120, 40 градусов соответственно. Значит, нужен вписанный многоугольник со стороной, угловая мера которой кратна для всех этих вписанных и соответствующих им центральным углам, то есть нужен общий делитель. Общим максимальным делителем для чисел 60,100,120,40 является 20. Окружность имеет 360 градусов, делим его на 20 центральных углов, получаем правильный 18-угольник. Понятно теперь, откуда именно 18-угольник?
Я закончила школу в 1992 году. Закончила 2 вуза. Работаю и преподаю по основной специальности. Но геометрия это прекрасное... далеко. Поэтому и вопрос такой был. Благодарю за ответ!
Потому что в задаче представлены углы 30, 50, 60, 20 градусов, и если их рассматривать как вписанные в окружность, то они опираются на дуги в 60, 100, 120, 40 градусов соответственно. Значит, нужен вписанный многоугольник со стороной, угловая мера которой кратна для всех этих вписанных и соответствующих им центральным углам, то есть нужен общий делитель. Общим максимальным делителем для чисел 60,100,120,40 является 20. Окружность имеет 360 градусов, делим его на 20 центральных углов, получаем правильный 18-угольник. Понятно теперь, почему именно 18-угольник?
Метод правильных многоугольников пошел в широкие народные массы! Но конкретно эту задачу, по-моему, проще решить достроив до классического равнобедренного трка с углом 20° и нарисовав в нем известную лесенку. Тогда искомый угол получается почти автоматически.
![[Live] ศึกมหึมันส์มวยไทยสังเวียนเดือด เวทีมวยชั่วคราวสวนสยาม | จันทร์ 30 กันยายน 2567](http://i.ytimg.com/vi/pM1k6f7JXUc/mqdefault.jpg)
Статья В. Прасолова: kvant.mccme.ru/1995/05/diagonali_pravilnogo_18--ugoln.htm
О пересечении на главной диагонали: www.mathnet.ru/links/aeefa7fba04ebfab86c132876490c288/mo692.pdf
Ребята, там вторая точка в равностороннем уже не Р, а Р1. Извините.
Сложно.
да, непростая. Но я старался идти 7 классом.
asnwer=36 isit
30
у математика фамилия ПрАсолов с удареием на первый слог
Спасибо. Да, его внучка уже писала в комменатриях.
Трудная задача. Я уже встречалась с ней раньше, пришлось помучиться. Привожу свое решение. Сначала найдем некоторые углы: ∠APD=70°, ∠ABD=70°-30°=40°. ∠ACD=180°-80°-50°=50°. CD=AD. На стороне AB отметим точку E так, что ∠ADE=20°. Тогда ∠AED=80°, DE=AD. Далее, ∠BDE=60°-20°=40°, ∠CDE=80°-20°=60°. Так как CD=DE, ∠CDE=60°, то ∆CDE - равносторонний, CE=CD=DE=AD. ∠DEC=60°, ∠BEC=180°-80°-60°=40°. Так как ∠ABD=∠BDE=40°, то ∆BDE - равнобедренный, BE=DE=CE. Значит, ∆BCE - тоже равнобедренный. ∠CBE=∠BCE=(180°-40°)/2=70°, ∠CBD=70°-40°=30°. Вот как-то так.
Отлично.
Хорошая задача! Развивает упорство и умение увидеть следующий шаг.
Спасибо!
Но вот точка Р у Вас перемещается по мере решения. 🙂
Точно, есть такая фича. Не надо было менять ее. Ну, ладно.
Когда нибудь мы решим что то без окружностей ;(
Так мы ж решили без?!
@@GeometriaValeriyKazakov а ну 1е решение да ;)))
"...осталось доказать что BC биссектриса..." - ну как вы это заранее поняли? очень странно когда вы уже знаете результат и пользуетесь этим результатом в процессе самого решения... выглядит как читерство. А если бы ВС оказалась не биссектрисой? почему Вы сразу все эти варианты отмели?
Просто очень известная классическая задача. И могла быть сформулирована "Докажите, что 30". Я мог бы и поприкидываться, что не знаю, куда иду, но ... При аккуратном построение (или геогебра) мы получим гипотезу: наверное, 30. Тогда понятно - куда идти. В геометрии это частый вариант.
Тр. АСD равнобедр. АD=CD
На отрезке АВ возьмем точку М такую, что DM=AD=CD
Тр. МDA равнобедр.,
Спасибо. Отлично.
@@GeometriaValeriyKazakov на радиус может опираться не только 30*.
Д/З: Достроим тот же тр-ник АВ(С)Н. Биссект. НО1 содержит оба центра. Из центров 2 перпендикуляра на ВН(О1К и О2М). Два подобных прям-ных тр-ка. КН=12, МН=х+4. Отсюда:
12:(х+4)=4:х. х=r=2
Спасибо.
У Петра Земскова была
Наверное. Я в ролике сказал, что была в храмой японской геометрии 15 век. А так она есть во ВСЕХ! задачниках по геометрии. Надеюсь Петр не рассматривал 18-к?
@@GeometriaValeriyKazakov Проверил, не она. Но очень похожа.
@@RescueMe-o7j Спасибо. Что с ДЗ?
@@GeometriaValeriyKazakov дз?
Приятная задача. Не то что эта Фудзияма(бился 2 часа, отложил). Здесь, конечно, попроще.
AFD--египет. AF=15, r(k)=3, достроим вокруг окр-ти М тр-ник AB(C)H. Он также египет. АН=20,
ВН=16, r(m)=4. BD=12\/2. ВМ=4\/2, ДК=3\/2(через касат+секущ). МК=5\/2
Отлично.
Спасибо за ссылку на статью. Тоже задавался этим вопросом. Оказалось такому пересечению несимметричных диагоналей мы обязаны тождествам с произведениями синусов, таким как sin10*sin80 = sin20*sin30 (Вообще там все еще сложнее, но примерно понятно откуда взялось такое совпадение с пересечением)
Да, верно, и поэтому я два ролика крутил произведение синусов. Приятно, что есть профи.
В треугольнике ACD ∢ ACD=∢CAD=50°, тогда AD=CD. В треугольнике BCD ∢BCD=180°-(20°+a). В треугольнике BAD ∢ABD=40°. Тогда, прилагая последовательно sin-теорему к треугольникам BCD и BAD, получаем: CD/BD=sina/sin∢BCD=sina/sin(180°-(20°+a))=sina/sin(20°+a) и AD/BD=sin40°/sin80°=sin40°/(2sin40°.cos40°)=1/2cos40°.
Так как AD=CD, получаем уравнение sina/sin(20°+a)=1/2cos40°. Решаем уравнение:
sina.2cos40°=sin(20°+a)
2sina.cos(60°-20°)=sin(20°+a)
2sina.(cos60°.cos20°+sin60°.sin20°)=sin(20°+a)
2sina.cos60°.cos20°+2sina.sin60°.sin20°=sin20°.cosa+sina.cos20°
sina.cos20°+sqrt3.sina.sin20°=sin20°.cosa+sina.cos20°
sqrt3.sina.sin20°=sin20°.cosa
sqrt3.sina=cosa
tga=1/sqrt3
a=30°
Отлично.
Круто с 18-угольниками. От души!!!
Спасибо.
Я решал через 9-ти угольник. Ваше решение проще и понятнее.
Я тоже пробовал 9-к, но вспомнил статью Прасолова.
Ключ к решению задачи- AD = CD! Из точки D проведем отрезок под углом 20° до пересечения с AB в точке О. Легко показать, что ОD = АD = СD. Но ∢СDО = 60°, поэтому
треугольник СОD-равносторонний. Итак, ОD = ОС. Также видим, что треугольник ВОD -равнобедренный (углы при основании по 40°). Тогда ОВ = ОС = ОD. А значит,
точка О- центр описанной окружности вокруг треугольника ВСD. ∢СОD = 60° (центральный), поэтому ∢СВD = α =30°.
Отлично. Что с ДЗ?
Неужели я влез всё-таки на эту Фудзияму?! Воистину утро вечера мудренее. Говорят, японские землемеры измеряют площадь в кв. САНТИМЕТРАХ! Вот и задачи у них злые...
Итак, попытка 2: РС||АД. АР=СД(по усл.-- постр.), АР=СД=АД(АСД--равнобедр). Впишем трапецию АРСД в окр-ть(имеем право). Дуги СД=АД=АР=100*. Сл-но, дуга РС=60*. Угол АВД=40*(по услов), угол АВС=70*(внешн.угол=полуразность дуг)=(200*--60*)/2=70*. Угол ДВС=30. Великолепная задача! В очередной раз понял, что не всякую стенку можно пробить даже высокоинтеллектуальным лбом...🥲
Отлично!
@@GeometriaValeriyKazakov это как
? Сумма противоположных углов не 180*!
Извините, но правильно все-таки ПрАсолов, а не ПрасОлов. Это фамилия моего деда.
Спасибо. Согласен. Хотя Гордин называет как я.
Вот это поворот. Супер!
Это фамилия деда.
А не сам его дедушка, если правильно понял.
Он ведь не написал: "это мой родной дед, и его фамилия Пр`асолов".
@@P.S.Q.88 Это фамилия МОЕГО деда. И поэтому я знаю, как она произносится. Вы же знаете, как произносится ВАША фамилия. На родство с автором книги я не претендую.
@@Olga-fv6jy
Я так и подумал и написал то же самое.
Пояснять, что вы знаете, как пишется и произносится ваша фамилия, в том числе у ваших однофамильцев, - лишнее. Кроме того, вы можете быть прямым родственником автора книги. Кому какое дело?
Спасибо за задачу! Глупый вопрос - а как можно догадаться, что трапеция вписана именно в 18-угольник?
Потому что в задаче представлены углы 30, 50, 60, 20 градусов, и если их рассматривать как вписанные в окружность, то они опираются на дуги в 60, 100, 120, 40 градусов соответственно. Значит, нужен вписанный многоугольник со стороной, угловая мера которой кратна для всех этих вписанных и соответствующих им центральным углам, то есть нужен общий делитель.
Общим максимальным делителем для чисел 60,100,120,40 является 20.
Окружность имеет 360 градусов, делим его на 20 центральных углов, получаем правильный 18-угольник. Понятно теперь, откуда именно 18-угольник?
А вы в каком классе учитесь, можно узнать?
Я закончила школу в 1992 году. Закончила 2 вуза. Работаю и преподаю по основной специальности.
Но геометрия это прекрасное... далеко. Поэтому и вопрос такой был. Благодарю за ответ!
@@ЮлияТюрина-й5ы Молодец!
А я вот только один ВУЗ закончил, хотя, были бы условия, учился бы ещё в другом ВУЗе.)😊
@@P.S.Q.88 Спасибо за помощь.
Добрый день. Почему рассматриваем 18_угольник?
Потому что в задаче представлены углы 30, 50, 60, 20 градусов, и если их рассматривать как вписанные в окружность, то они опираются на дуги в 60, 100, 120, 40 градусов соответственно. Значит, нужен вписанный многоугольник со стороной, угловая мера которой кратна для всех этих вписанных и соответствующих им центральным углам, то есть нужен общий делитель.
Общим максимальным делителем для чисел 60,100,120,40 является 20.
Окружность имеет 360 градусов, делим его на 20 центральных углов, получаем правильный 18-угольник. Понятно теперь, почему именно 18-угольник?
@@P.S.Q.88 Огромное Вам спасибо за подробный ответ. Теперь понятно, благодарю Вас.
@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у Не за что, спрашивайте, если надо
@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у А вы в каком классе учитесь?
Пожалуйста, рад был помочь! Обращайтесь)😊
А вы в каком классе учитесь?
@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у
Метод правильных многоугольников пошел в широкие народные массы!
Но конкретно эту задачу, по-моему, проще решить достроив до классического равнобедренного трка с углом 20° и нарисовав в нем известную лесенку. Тогда искомый угол получается почти автоматически.
Благодаря вам я его поднял. Спасибо.