Добрый вечер, Отличная задача! Не смотрел видео, решил по своему без знания объемов сегмента и сектора шара. Обозначил R как радиус шара а r как радиус цилиндра. Найдем площадь сечения полученной плоскостью перпендикулярной оси цилиндра и параллельной нижней и верхней граням цилиндра. Сечение будет в виде кольца с наружным радиусом Rсеч и внутренним r - радиусом цилиндра. Рассмотрим нижнюю половину цилиндра, а верхняя будет зеркальным отображением нижней и обозначим как l расстояние от точки пересечения сечения с осью цилиндра до центра этой оси, угол & как острый угол между лучом из центра оси цилиндра к точке расположенной на наружной окружности цилиндра с наружным радиусом сечения цилиндра Rсеч, и осью цилиндра. По т. Пифагора R^2 = 3^2 + r^2 = 9 + r^2. Тогда Rсеч^2 = R^2 - l^2 по т. Пифагора. Площадь кольца сечения равна П*(Rсеч^2 - r^2) = П*(R^2 - l^2 - r^2) = П*(r^2 + 9 - l^2 - r^2) = П(9 - l^2). Как видно площадь сечения не зависит от длины радиуса цилиндра отверстия, поэтому приняв r=0 находим искомый объем и он равен объему шара с радиусом 3, равен 4/3 ПR^3 при r=0 и R = 3 и равен 36П. Можно также вычислить через интеграл по площади кольца сечения, но нет смысла. Хотел написать 3 дня назад, интернет пропал)
Если проделать все вычисления в общем виде, подставив вместо 3--> Н/2, то получим V = π∙(H^3)/6. V = π∙(6^3)/6 = 36π , что и отметил @user-dd1qp8hl8t .
Что именно? Плоский вариант: из круга вырезан прямоугольник через ось, найти площадь оставшейся части круга. Думаю, вы что-то напутали. Все ясно, как божий день. Дело в том, что есть формула объема сегмента шара, но нет формулы площади сегмента круга. Такая вот печалька.
@@GeometriaValeriyKazakov«Плоский вариант: из круга вырезан прямоугольник через ось, найти площадь оставшейся части круга...» ***** Т. е. найти площадь двух равных сегментов? (Судя по вашему рисунку печенька распадётся на два равных сегмента, я правильно понимаю?) По-другому, в окружность вписали прямоугольник со стороной H = 6, нужно найти удвоенную площадь сегмента, "примыкающего" к этой стороне (судя по вашему рисунку). Площадь оставшейся части круга (за исключением "шляпок" - верхней и нижней) зависит от радиуса "печенюшки". H - высота этого прямоугольного "отверстия", R - радиус "печеньки"; S = 2R²arcsin(H/(2R)) - (H√(4R² - H²))/2. Если R = H/2, S = 𝜋H²/4 = 9𝜋 - площадь круга диаметра 6 (прямоугольник вырождается в отрезок); если R = H√2/2, S = 𝜋H²/4 - H²/2 = 9𝜋 - 18 (из круга радиуса 3√2 вырезали квадрат со стороной 6 и две "шляпки") и.т.д. при увеличении R (до бесконечности), S уменьшается (до нуля). *** P.S. Если из круглой печеньки вырезать концентрический круг, так чтобы отрезок касательной к отверстию (хорда печеньки) был равен 6, то площадь кольца (того, что осталось от "печенюшки"), действительно, не зависит от радиуса "печенюшки". Ответ в этом случае 9𝜋. Поправьте, если я ошибаюсь.
@@GeometriaValeriyKazakov «...Дело в том, что есть формула объема сегмента шара, но нет формулы площади сегмента круга...» Площадь сегмента: S = R²arcsin(a/(2R)) - (a√(4R² - a²))/4, где a - хорда, R - радиус круга.
Инженерное решение: Поскольку у задачи решение есть, а иначе ее бы нам не задавали.., то возьмем радиус цилиндра=0, и вычислим заданный объем по формуле объема шара.
Спасибо. Да, так можно рассуждать для выдвижения гипотезы. В письменной работе это придется доказать. А теперь дайте инженерное решение: найти площадь тр-ка по двум сторонам 3 и 4.
По принципу Кавальери объем шара равен объему цилиндра с вырезанными конусами. Боковая проекция такого цилиндра выглядит как квадрат с диагоналями. Высверливание отверстия в шаре эквивалентно обтачиванию цилиндра снаружи. Получившийся цилиндр меньшего размера равен по объему полнотелому шару с диаметром 6 см.
Отличная задача и простое решение! Из детства вспоминается другая задача с цилиндрами! Два цилиндра одинакового радиуса и длиной равной диаметру, пересекаются под прямым углом! Найти объем получившейся фигуры!
А если провести проверку? Скажем, диаметр отверстия устремляем к нулю, тогда высота отверстия в пределе будет равна диаметру шара. Если в формулу объёма шара подставить R=3см, то получим ли тот же ответ?
Если проделать все вычисления в общем виде, подставив вместо 3--> Н/2, то получим V = π∙(H^3)/6. Пусть Н = 2R. Тогда V = 4/3*π∙(R^3), то есть объём шара. Можно и наоборот: объём шара равен V = 4/3*π∙(R^3). Если R = 3, то V = 4/3*π∙(3^3) = 36π .
Ох ты ж боже ж мой, сколько разных формулов, сложно не запутаться. Почему бы не применить формулу Симпсона или хотя бы принцип Кавальери? Эти же формулы покажут, что на плоскости это не сработает, потому что R не сократится так удачно
@@GeometriaValeriyKazakov Ну, вообще-то иногда изучают (я точно в школе изучал). Принцип Кавальери вообще довольно интуитивная штука и как минимум для олимпиад его применение вполне оправдано (пускай строгое доказательство и требует интегрирования)
Отличная задача! Увы, боюсь, большинству 10-классников будет не по зубам. Я выпускник мехмата еще прошлого тысячелетия, решила за 5 минут. Ну, формулу объема сегмента пришлось подсмотреть.
Не обязательно знать формулу объема сегмента отверстия, как и формулу объема цилиндра, приложил решение без знания этих формул в комментарии и еще один вариант привел
То есть это решение для бесконечного множества разных шаров и цилиндров? Чем больше ширина, тем больше радиус шара при этом объем шара минус объем цилиндра получается константа. Их размеры растут одинаково при увеличении либо радиуса шара, либо ширины цилиндра. Ну в пределе радиус шара не может быть больше 3 иначе ширина цилиндра станет отрицательной? А так же наверное не может быть меньше определенного размера так чтобы цилиндр высотой 6 в него поместился... Интересно какой минимальный радиус шара может быть чтобы в него поместился цилиндр высотой 6 см...
@@user-gl1uz3er2y а, ну собственно говоря да, раз у нас разница между объёмом шара и цилиндра константа, то можно до бесконечности увеличивать радиус, просто будут расти "шапки" и утоньшаться "оболочка" цилиндра.
я не решил эту задачу... но вообще, немного поразмышлял... вот в чем странность... я взял частный случай, предположив, что цилиндр - это квадрат в сечении... ну вот взяли мы квадрат со стороной 6 и вписали в окружность... и потом все это крутанули - получаем и шар и цилиндр, вписанный в него не правда ли... площадь основания цилиндра 9пи... а его объем 54пи... радиус шара 3√2... тогда площадь шара 72 √2 пи... ответ не сходится... ну буду смотреть решение общего случая... но где моя ошибка в вычислении частного случая...
Все просто: Отрадиуса шара не зависит! Возмите в пределе высоту цилиндра равной диаметру шара, у цилиндра получится нулевой дивметр а оставшийся объем будет равен объему шара, и это тоже не зависит от размера шара.
Да, только доказать это нужно - почему не зависит. Если у треугольника даны только две стороны, то при углах 0 и 180 градусов между ними площадь будет 0. Значит, и всегда 0?
@@GeometriaValeriyKazakov нет, смотрите. дана высота дыры, но не дан её радиус. мы можем в 3д редакторе поставить цилиндр внутри шара и менять его диаметр. он будет занимать разную часть шара, но так как не дано ничего кроме высоты, то не дано пропорций, а значит любой случай можно считать как данный в условии задачи. они же разные все.как это понять?
Не обязательно знать формулу объема сегмента отверстия, как и формулу объема цилиндра, приложил решение без знания этих формул в комментарии, решение ъаодно и является доказательством того что объем не зависит от радиуса отверстия, и еще один вариант решения и доказательства привел.
Но ведь бусина может быть и больше и меньше по объему...Т.е. цилиндр может быть совсем узким, а может быть и очень широким...И вы хотите сказать что всё равно объём бусины будет H^2*Пи, где Н- высота цилиндра?
Цилиндр частный случай отверстия, в данном случае подразумевается что отверстие в форме цилиндра, поэтому высота отверстия подразумевает высоту цилиндра и все нормально.
ДЗ. Легко и просто. Пусть b и a=6 - стороны прямоуг-го отверстия. Тогда S=𝝅(a²+b²)/4 - ab. Замена: b/a=x; 0⩽x⩽ထ. ➡ S=(𝝅a²/4)x² - a²x + 𝝅a²/4. ➡ График функции S(x) - парабола. При x=0 S=9𝝅≈28,3; при x=2/𝝅 Smin=36(𝝅/4-1/𝝅)≈16,8; при x=ထ S=ထ. Всем удачи.
Я поставил. Оцениваю любой позитивный коммент. На плокости прооблема , что нет формулы площади сегмента через h и R. Через интеграл - можно. С функцией - возможно, тоже, еще не разбирался. Поэтому большое спасибо.
@@GeometriaValeriyKazakov Да, готовой формулы нет, но её несложно вывести, в том числе и через интеграл. При решении этой задачи сразу бегло рассмотрела несколько вариантов: и с 2, и с 4 сегментами в "остатке" (сначала не совсем ясно было как сделано прямоугольное отверстие: перпендикулярно плоскости эскиза или так, как в шаре). После анализа эскиза (с учётом правил черчения и начертательной геометрии, Вашего устного пояснения к нему в ролике и Вашего ответа тов. @true7781) решила показать решение только для варианта с 4 сегментами в остатке, как наиболее соответствующего эскизу. К тому же этот вариант мне показался более интересным. За лайк ещё раз спасибо. С уважением, ЛП.
@@user-jk2tz2ry3q Вот первоисточник Вашей ошибки : "...площадь остатка равна разности площадей круга и прямоугольника.??". Это неверно. Смотрится симпатично, но ответ ошибочный. Не все так просто в формуле. Она гораздо сложней. Странно, что никто не обратил внимания на эту ошибку. Никакого минимума у ИСКОМОЙ площади нет! При заданном Н с ростом радиуса искомая площадь стремится к нулю! Вы исследовали совершенно другую, не относящуюся к задаче, функцию.
@@GeometriaValeriyKazakov Площадь круга πr^2, площадь вырезаемого прямоугольника ab, где a и b его стороны, тогда площадь остатка равна πr^2-ab. Cтороны могут изменяться от нуля до 2r. Рассмотрим 2 предельных случая, а=0 и b=0, тогда площадь пр-ка равна нулю и отсюда делаем вывод, площадь остатка эквивалентна площади круга с неким радиусом r. Но из предельных случав видно что если одна из сторон равна нулю то другая равна 2r. Это и есть радиус эквивалентного круга, находим его из данной в задаче стороны, r=3, площадь эквивалентного круга равна πr^2=9π. Это и есть искомая площадь. А вот чтобы найти радиус начального круга надо знать вторую сторону пр-ка.
@@GeometriaValeriyKazakov Особенной проблемы нет! Площадь оставшейся части ЗАВИСИТ не только от Н, но и от радиуса!! Нет проблем получить формулу. Главное, что при заданном Н площадь оставшейся части уменьшается с ростом радиуса. Так что мелькающее в ответах 9π - это ни о чем. Более того, при Н=6 площадь оставшейся части может быть равна 9π только при полном круге, без выреза. Понятно, что R>=H/2.
@@SB-7423 Площадь оставшейся части может быть равна 9𝝅 ещё и при b=4H/𝝅, где b и Н=6 - стороны прямоугольника. "При заданном Н, площадь оставшейся части" с ростом радиуса сначала уменьшается, а затем растёт. С уважением, ЛП.
@@GeometriaValeriyKazakov Зачем доказывать то что напрямую следует из условия задачи? И по ДЗ аналогично: из условия следует, что площадь зависит только от высоты прямоугольника - делаем его ширину и площадь нулевыми и искомая площадь получается равной площади круга с диаметром равным высоте прямоугольника, т.е. (36/4)×π = 9π.
Вот давайте я спрошу такое. Допустим, для того чтобы не было таких решений Вы задаёте так же радиус. Решая, ученик замечает, что радиус не нужен, но не отмечает это в своем решении. Зачтется ли решение правильным?
Очень хорошая задача простое решение спасибо🎉
Волшебно! :)
Спасибо.
Добрый вечер, Отличная задача! Не смотрел видео, решил по своему без знания объемов сегмента и сектора шара. Обозначил R как радиус шара а r как радиус цилиндра. Найдем площадь сечения полученной плоскостью перпендикулярной оси цилиндра и параллельной нижней и верхней граням цилиндра. Сечение будет в виде кольца с наружным радиусом Rсеч и внутренним r - радиусом цилиндра. Рассмотрим нижнюю половину цилиндра, а верхняя будет зеркальным отображением нижней и обозначим как l расстояние от точки пересечения сечения с осью цилиндра до центра этой оси, угол & как острый угол между лучом из центра оси цилиндра к точке расположенной на наружной окружности цилиндра с наружным радиусом сечения цилиндра Rсеч, и осью цилиндра. По т. Пифагора R^2 = 3^2 + r^2 = 9 + r^2. Тогда Rсеч^2 = R^2 - l^2 по т. Пифагора. Площадь кольца сечения равна П*(Rсеч^2 - r^2) = П*(R^2 - l^2 - r^2) = П*(r^2 + 9 - l^2 - r^2) = П(9 - l^2).
Как видно площадь сечения не зависит от длины радиуса цилиндра отверстия, поэтому приняв r=0 находим искомый объем и он равен объему шара с радиусом 3, равен 4/3 ПR^3 при r=0 и R = 3 и равен 36П. Можно также вычислить через интеграл по площади кольца сечения, но нет смысла.
Хотел написать 3 дня назад, интернет пропал)
Спасибо.
Классная задача, получил удовольствие от решения приведеного вами, самостоятельно решить не смог...
Спасибо.
Отличный алгоритм для мгновенного определения объёма бусины.
Да, интересно.
Если проделать все вычисления в общем виде, подставив вместо 3--> Н/2, то получим V = π∙(H^3)/6. V = π∙(6^3)/6 = 36π , что и отметил @user-dd1qp8hl8t .
С домашним заданием вы что-то напутали.
Что именно? Плоский вариант: из круга вырезан прямоугольник через ось, найти площадь оставшейся части круга. Думаю, вы что-то напутали. Все ясно, как божий день. Дело в том, что есть формула объема сегмента шара, но нет формулы площади сегмента круга. Такая вот печалька.
@@GeometriaValeriyKazakov формула то есть для сегмента, но в ней больше неизвестных, и получается, что задача имеет бесконечное множество ответов)
@@GeometriaValeriyKazakov«Плоский вариант: из круга вырезан прямоугольник через ось, найти площадь оставшейся части круга...»
*****
Т. е. найти площадь двух равных сегментов?
(Судя по вашему рисунку печенька распадётся на два равных сегмента, я правильно понимаю?)
По-другому, в окружность вписали прямоугольник со стороной H = 6,
нужно найти удвоенную площадь сегмента, "примыкающего" к этой стороне (судя по вашему рисунку).
Площадь оставшейся части круга (за исключением "шляпок" - верхней и нижней) зависит от радиуса "печенюшки".
H - высота этого прямоугольного "отверстия", R - радиус "печеньки";
S = 2R²arcsin(H/(2R)) - (H√(4R² - H²))/2.
Если R = H/2, S = 𝜋H²/4 = 9𝜋 - площадь круга диаметра 6 (прямоугольник вырождается в отрезок);
если R = H√2/2, S = 𝜋H²/4 - H²/2 = 9𝜋 - 18 (из круга радиуса 3√2 вырезали квадрат со стороной 6 и две "шляпки")
и.т.д. при увеличении R (до бесконечности), S уменьшается (до нуля).
***
P.S. Если из круглой печеньки вырезать концентрический круг,
так чтобы отрезок касательной к отверстию (хорда печеньки) был равен 6, то площадь кольца
(того, что осталось от "печенюшки"), действительно, не зависит от радиуса "печенюшки".
Ответ в этом случае 9𝜋.
Поправьте, если я ошибаюсь.
@@GeometriaValeriyKazakov «...Дело в том, что есть формула объема сегмента шара, но нет формулы площади сегмента круга...»
Площадь сегмента: S = R²arcsin(a/(2R)) - (a√(4R² - a²))/4, где a - хорда, R - радиус круга.
Инженерное решение: Поскольку у задачи решение есть, а иначе ее бы нам не задавали.., то возьмем радиус цилиндра=0, и вычислим заданный объем по формуле объема шара.
Спасибо. Да, так можно рассуждать для выдвижения гипотезы. В письменной работе это придется доказать. А теперь дайте инженерное решение: найти площадь тр-ка по двум сторонам 3 и 4.
По принципу Кавальери объем шара равен объему цилиндра с вырезанными конусами. Боковая проекция такого цилиндра выглядит как квадрат с диагоналями. Высверливание отверстия в шаре эквивалентно обтачиванию цилиндра снаружи. Получившийся цилиндр меньшего размера равен по объему полнотелому шару с диаметром 6 см.
Конечно очень инетресно, но многовато постулатов "эквивалентно", "равен". Но идея замечательная. Что у вас с плоским вариантом?
Отличная задача и простое решение! Из детства вспоминается другая задача с цилиндрами! Два цилиндра одинакового радиуса и длиной равной диаметру, пересекаются под прямым углом! Найти объем получившейся фигуры!
Спасибо. Отличная вещь. У нас она была в инженерных задачах чуть раньше (см.)
По имени этой задачи ( прочел у М Гарднера) я и называю решение через предельное значение "ненужного" параметра -- американским
а-а... блин... я не учел арктику и антарктику шара... их же тоже срезало.... понятно
А если провести проверку? Скажем, диаметр отверстия устремляем к нулю, тогда высота отверстия в пределе будет равна диаметру шара. Если в формулу объёма шара подставить R=3см, то получим ли тот же ответ?
Если проделать все вычисления в общем виде, подставив вместо 3--> Н/2, то получим V = π∙(H^3)/6. Пусть Н = 2R. Тогда V = 4/3*π∙(R^3), то есть объём шара.
Можно и наоборот: объём шара равен V = 4/3*π∙(R^3). Если R = 3, то V = 4/3*π∙(3^3) = 36π .
Парни, решайте плоский вариант.
Ох ты ж боже ж мой, сколько разных формулов, сложно не запутаться. Почему бы не применить формулу Симпсона или хотя бы принцип Кавальери?
Эти же формулы покажут, что на плоскости это не сработает, потому что R не сократится так удачно
Потому что в школе их не изучают, можно было просто проитегрировать, ведь мы получим тело вращения. Приведитте меньше БУКОВОВ для ДЗ? Ждем-с!
@@GeometriaValeriyKazakov Ну, вообще-то иногда изучают (я точно в школе изучал). Принцип Кавальери вообще довольно интуитивная штука и как минимум для олимпиад его применение вполне оправдано (пускай строгое доказательство и требует интегрирования)
Отличная задача! Увы, боюсь, большинству 10-классников будет не по зубам. Я выпускник мехмата еще прошлого тысячелетия, решила за 5 минут. Ну, формулу объема сегмента пришлось подсмотреть.
Спасибо.
Не обязательно знать формулу объема сегмента отверстия, как и формулу объема цилиндра, приложил решение без знания этих формул в комментарии и еще один вариант привел
То есть это решение для бесконечного множества разных шаров и цилиндров?
Чем больше ширина, тем больше радиус шара при этом объем шара минус объем цилиндра получается константа. Их размеры растут одинаково при увеличении либо радиуса шара, либо ширины цилиндра.
Ну в пределе радиус шара не может быть больше 3 иначе ширина цилиндра станет отрицательной? А так же наверное не может быть меньше определенного размера так чтобы цилиндр высотой 6 в него поместился...
Интересно какой минимальный радиус шара может быть чтобы в него поместился цилиндр высотой 6 см...
Да-да-да! В этом и фокус.
Радиус может быть больше 3, а вот меньше трех быть не может.
А, ну да, обратное. Какой максимальный радиус может быть при цилиндре высотой 6.
@@user-rk5eh2sh9v Мое мнение, что предела нет. Из ооочень большого шара всегда (теоретически) получится кольцо высотой 6 см.
@@user-gl1uz3er2y а, ну собственно говоря да, раз у нас разница между объёмом шара и цилиндра константа, то можно до бесконечности увеличивать радиус, просто будут расти "шапки" и утоньшаться "оболочка" цилиндра.
Хм. Через интеграл же решается на раз
Всё понятно кроме одного: куда делась размерность
написано см3
в ответе да, лучше дописать. 6 см в условии дал так, для ощущения реальности. но вы правы, что для школьников лучше указать. мой косячок.
я не решил эту задачу... но вообще, немного поразмышлял... вот в чем странность... я взял частный случай, предположив, что цилиндр - это квадрат в сечении... ну вот взяли мы квадрат со стороной 6 и вписали в окружность... и потом все это крутанули - получаем и шар и цилиндр, вписанный в него не правда ли... площадь основания цилиндра 9пи... а его объем 54пи... радиус шара 3√2... тогда площадь шара 72 √2 пи... ответ не сходится... ну буду смотреть решение общего случая... но где моя ошибка в вычислении частного случая...
"но где моя ошибка в вычислении частного случая..."
Вы забыли посчитать объёмы двух "шапочек" (сегментов шара).
не понимаю, как можно найти объём, если не дан радиус. есть бесконечность вариантов такой фигуры
Все просто: Отрадиуса шара не зависит! Возмите в пределе высоту цилиндра равной диаметру шара, у цилиндра получится нулевой дивметр а оставшийся объем будет равен объему шара, и это тоже не зависит от размера шара.
Да, только доказать это нужно - почему не зависит. Если у треугольника даны только две стороны, то при углах 0 и 180 градусов между ними площадь будет 0. Значит, и всегда 0?
@@GeometriaValeriyKazakov нет, смотрите. дана высота дыры, но не дан её радиус. мы можем в 3д редакторе поставить цилиндр внутри шара и менять его диаметр. он будет занимать разную часть шара, но так как не дано ничего кроме высоты, то не дано пропорций, а значит любой случай можно считать как данный в условии задачи. они же разные все.как это понять?
Не обязательно знать формулу объема сегмента отверстия, как и формулу объема цилиндра, приложил решение без знания этих формул в комментарии, решение ъаодно и является доказательством того что объем не зависит от радиуса отверстия, и еще один вариант решения и доказательства привел.
Но ведь бусина может быть и больше и меньше по объему...Т.е. цилиндр может быть совсем узким, а может быть и очень широким...И вы хотите сказать что всё равно объём бусины будет H^2*Пи, где Н- высота цилиндра?
У Вас размерность площади! На самом деле V = π∙(H^3)/6, так будет для любого цилиндра. И это не объём бусины , а объём её оставшейся части.
V=(4/3)•π•(h/2)^3
объем шара
шок контент
Ок
Не высота отверстия (это абсурд), в высота цилиндра, образованного...и т.д.
Я прочитал, т.е.е процитировал из всемирно известной книжки. Можете написать Гарднеру.
нормально звучит) как дырочная проводимость, где дырки имеют положительный заряд)
Цилиндр частный случай отверстия, в данном случае подразумевается что отверстие в форме цилиндра, поэтому высота отверстия подразумевает высоту цилиндра и все нормально.
ДЗ. Легко и просто.
Пусть b и a=6 - стороны прямоуг-го отверстия.
Тогда S=𝝅(a²+b²)/4 - ab.
Замена: b/a=x; 0⩽x⩽ထ. ➡
S=(𝝅a²/4)x² - a²x + 𝝅a²/4. ➡
График функции S(x) - парабола.
При x=0 S=9𝝅≈28,3;
при x=2/𝝅 Smin=36(𝝅/4-1/𝝅)≈16,8;
при x=ထ S=ထ.
Всем удачи.
Интересно: кто поставил лайки?
Приятно, что Вам понравилось.
Спасибо.
Я поставил. Оцениваю любой позитивный коммент. На плокости прооблема , что нет формулы площади сегмента через h и R. Через интеграл - можно. С функцией - возможно, тоже, еще не разбирался. Поэтому большое спасибо.
@@GeometriaValeriyKazakov Да, готовой формулы нет, но её несложно вывести, в том числе и через интеграл.
При решении этой задачи сразу бегло рассмотрела несколько вариантов: и с 2, и с 4 сегментами в "остатке" (сначала не совсем ясно было как сделано прямоугольное отверстие: перпендикулярно плоскости эскиза или так, как в шаре).
После анализа эскиза (с учётом правил черчения и начертательной геометрии, Вашего устного пояснения к нему в ролике и Вашего ответа тов. @true7781) решила показать решение только для варианта с 4 сегментами в остатке, как наиболее соответствующего эскизу. К тому же этот вариант мне показался более интересным.
За лайк ещё раз спасибо.
С уважением, ЛП.
@@user-jk2tz2ry3q Вот первоисточник Вашей ошибки : "...площадь остатка равна разности площадей круга и прямоугольника.??". Это неверно. Смотрится
симпатично, но ответ ошибочный. Не все так просто в формуле. Она гораздо сложней. Странно, что никто не обратил внимания на эту ошибку. Никакого минимума у
ИСКОМОЙ площади нет! При заданном Н с ростом радиуса искомая площадь стремится к нулю! Вы исследовали совершенно другую, не относящуюся к задаче, функцию.
Лень было печатать конечную формулу, но для подтверждения своих выводов приходится : S(ост) = 2∙[(R^2)∙arcsin(H/(2R)) - H/4∙√(4R^2 - H^2)].
ДЗ: 9π см².
ДЗ? Не, нужно решение. Гипотетически понятно, что r=0. Нужно вывести как мы.
@@GeometriaValeriyKazakov Площадь круга πr^2, площадь вырезаемого прямоугольника ab, где a и b его стороны, тогда площадь остатка равна πr^2-ab. Cтороны могут изменяться от нуля до 2r. Рассмотрим 2 предельных случая, а=0 и b=0, тогда площадь пр-ка равна нулю и отсюда делаем вывод, площадь остатка эквивалентна площади круга с неким радиусом r. Но из предельных случав видно что если одна из сторон равна нулю то другая равна 2r. Это и есть радиус эквивалентного круга, находим его из данной в задаче стороны, r=3, площадь эквивалентного круга равна πr^2=9π. Это и есть искомая площадь.
А вот чтобы найти радиус начального круга надо знать вторую сторону пр-ка.
@@user-pb2sx9xq5g да, это проблема.
@@GeometriaValeriyKazakov Особенной проблемы нет! Площадь оставшейся части ЗАВИСИТ не только от Н, но и от радиуса!! Нет проблем получить формулу.
Главное, что при заданном Н площадь оставшейся части уменьшается с ростом радиуса. Так что мелькающее в ответах 9π - это ни о чем. Более того, при Н=6 площадь
оставшейся части может быть равна 9π только при полном круге, без выреза. Понятно, что R>=H/2.
@@SB-7423 Площадь оставшейся части может быть равна 9𝝅 ещё и при b=4H/𝝅, где b и Н=6 - стороны прямоугольника.
"При заданном Н, площадь оставшейся части" с ростом радиуса сначала уменьшается, а затем растёт.
С уважением, ЛП.
Если ответ зависит только от высоты отверстия, устремив ширину отверстия к нулю, получим объём шара R=3, по формуле V=4/3×пи×RRR, V=4/3×пи×3×9=36пи.
Да, это отличное рассуждение. Правда, после жоказанного, что не зависит. Как и площадь кольца через хорду. Вот, что по ДЗ можно сказать?
Отлично!!!)))) Я решил как автор.
Тут пишут, что Д.З. 9pi. Я не решал Получается, что и здесь это верно
@@GeometriaValeriyKazakov Зачем доказывать то что напрямую следует из условия задачи? И по ДЗ аналогично: из условия следует, что площадь зависит только от высоты прямоугольника - делаем его ширину и площадь нулевыми и искомая площадь получается равной площади круга с диаметром равным высоте прямоугольника, т.е. (36/4)×π = 9π.
Вот давайте я спрошу такое. Допустим, для того чтобы не было таких решений Вы задаёте так же радиус. Решая, ученик замечает, что радиус не нужен, но не отмечает это в своем решении. Зачтется ли решение правильным?
@@capitaineserge_9747в ДЗ, при увеличении радиуса ширина сегмента уменьшается. Площадь зависит от радиуса.