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「ルベーグ積分」や「確率論」を含め，長さや頻度などを考える分野を【測度論】といいます．そのため，「ルベーグ積分」を理解できていれば同じ【測度論】の仲間である「確率論」にも同じ考え方が応用できます．最近は金融などで扱われる「確率微分方程式」の知名度が高まっている印象があります．「確率微分方程式」を理解するためには「確率論」が必要なので，「確率論」を理解するために「ルベーグ積分」に入門する人も多いですね．
高校生の段階でこの動画に出会えて本当に良かったです！おもしろい！
ディリクレ関数の0と1を逆にしたら積分値は1になりますか？
なります！
めっちゃかっこいい
まさにルベーグ積分は頼り甲斐ありすぎてイケメンですわ
食材を切ってから料理するより、料理した後で切った方が、いろんな偶発的アクシデントに対応しながら料理を完成させられるということｗ
今までルベーグ積分について勉強したくても難しくてなかなか手がつけられなかったのですが、とても分かりやすい説明でやっと理解が深まりました。測度についてもざっくり意味が分かってよかったです！
コメントをありがとうございます！それはよかったです！実際に勉強すると細かいところはたくさん詰めないといけないのですが，大雑把な流れを知っていると見通しよく勉強できると思いますお時間がありましたら是非入門してみてください！
分かりやすい！
ありがとうございます！
この春経済学部を卒業したものです。金融工学や数理統計で発展的な内容となる測度論についてのイメージをつかみたくて、この動画にたどり着いたのですが、最後まで具体的でシンプルなイメージを持ちながら動画を見終わることができました！とても分かりやすかったです！！ありがとうございました。イメージをもって、定義を見てみると、全く意味のわからなかった文章が、ふんわりとしたイメージを厳密に定義するものとして頭にすっと入ってくる気がしました。また、最後のルベーグ積分の長さの定義のところの考え方で、改めて不等式の威力に感動しました！
ありがとうございます！このような感想を頂けると，ニッチな動画を作った甲斐があります笑測度論は確率論を扱う上で必須となるので，金融工学の確率微分方程式などをきちんと扱おうとすると外せないものですよね．数学は「やりたいこと」が先にあって，それを表現するために数式を使っているだけなので，「意味が分かる」という感覚を味わって頂けて何よりです．絶妙に不等式を使って様々な性質を示すのは解析学の醍醐味ですよね〜！僕も「εで上から評価して0！」という議論は気持ちよくて好きです笑
ジョルダン測度・・・有限個のブロックからスタートする。ルベーグ測度・・・加算個のブロックからスタートする。ルベーグ積分の本質は、全てそこにあります。
そうですね！ルベーグ測度が完全加法性を満たすことは現代測度論の側面で重要ですね！
(Ω,μ)を測度空間として、非負可測関数 f:Ω→Rを考える時、積測度Ω×Rの中でfのグラフの測度を用いて∫[Ω]fdμを定義することも可能です。か
すばらしい！！
ありがとうございます！！
わかりやすくて助かります。ありがとうございます。
こちらこそご視聴頂きありがとうございます！
パワーポイントでつくってはるんですか？？
動画のスライドはLaTeXという数式に特化した文書作成ソフト（正確には組版処理システム）のBeamerという拡張機能（パッケージ）を用いて作っています．
@@TKT_Yamamoto ありがとうございます😊他の動画も見させて頂きます！
色んなサイトでルベーグ積分を調べたりしたのですが、この動画でようやくイメージ出来るようになりました！ありがとうございます！
それは良かったです！こちらこそ嬉しいコメントをありがとうございます！
ルベーグ積分で定義が出てくる度に俺は何を勉強しているんだ？という気になってたのですがこの動画で全てが繋がった感じがしました！ありがとうございます
よかったです！ルベーグ積分はきちんと道具を揃えるところまでは大変ですが，一度揃えてしまえばとても便利なので，そのうち見られる光景を楽しみにぜひ楽しんでください！
ルベーグ積分やろうか考えていたのですが,お話わかりやすくて面白かったです!!
よかったです！ぜひルベーグ積分に入門してみてください！
質問です。0＜εであることから、有理数の稠密性により0＜q＜εとなるような有理数qが存在できるので、有理数の集合の長さは0だと断定はできないかと思ったのですがどうなんでしょうか？実際の測度は0ではなく、限りなく0に近い、という認識で現在いるのですが、この認識はあっているのでしょうか？
ご質問ありがとうございます！ほとんど理解されているようなのですが，ひとつ認識をはっきりさせておきたい点は「限りなく0に近く0でない実数」というものが定義されないということです．いま「有理数の集合の長さ（測度）」は0以上の実数として定まるものなので，この点がご認識の誤りになっています．（数学の一部，例えば超準解析という分野ではそのような数を「無限小」として扱うこともありますが，この無限小はやはり実数としては扱われません）ご質問の箇所では「A≧0が任意のε>0に対してA
@@TKT_Yamamoto わかりやすい解説ありがとうございました！これからも応援しています！
積分できる関数が増えることは何が嬉しいのでしょうか。二乗可積分の空間が、リーマン積分の意味で可積分だけだったら完備にならないとか、そういうことでしょうか。
コメントをありがとうございます！仰る通り，積分できる関数が増えて「完備性」と相性が良くなるのが，ルベーグ積分の１つの良いところでリーマン積分にはないものとなっています．動画の中の「ディリクレ関数」と絡めるなら，次のように考えても良さを感じられると思います．正の整数m,nに対して関数 cos²ⁿ(m!πx) はリーマン積分可能ですが，この関数で極限n→∞をとり極限m→∞をとると，実はディリクレ関数となりリーマン積分不可能となります．一方，ルベーグ積分においては極限のディリクレ関数も積分可能となります．このように，一般に「(有界閉区間上で)ルベーグ積分可能な関数列の極限が存在して有界ならルベーグ積分可能である」ことを示すことができ，このことはルベーグ積分の扱いやすさの1つとなっています．というのが，1つの答えになると思います．
@@TKT_Yamamoto お返事ありがとうございます！リーマン積分可能な関数列であって、ディリクレ関数に収束するものの具体的な形を知らなかったので、大変勉強になりました！横で切ったか、縦で切ったかの違いでしかないイメージですが、横できるだけで極限とこんなに仲良くなれるのはなんとなく不思議ですが、極限との相性に、ルベーグ積分がちやほやされる理由があるのかなと感じました。ありがとうございます！
関数(写像)fは返す値が1つなので，fの定義域に注目するとy=f(x)のグラフとx=aのグラフの交点は1つしかありません．一方，値域に注目するとfが値yを返すようなxはいくつもあり得ます．これが横に切ることと縦に切ることの大きな違いを生んでいるわけですね〜．
ルベーグ積分で高校の教科書に載っているような積分もやろうと思えばできるんですか？
実は有界閉区間I上でリーマン積分可能な関数は・同じくI上でルベーグ積分可能であり・リーマン積分とルベーグ積分の結果が一致するということが証明できます．つまり，有界閉区間においてはルベーグ積分はリーマン積分の完全な拡張になっています．また，高校数学の積分はリーマン積分の考え方をもとに(ほぼ有界閉区間上の連続関数に対して)定義していると考えられるので，(高校数学の積分)⊂(リーマン積分)⊂(ルベーグ積分)ということで，高校数学の教科書に載っている積分もルベーグ積分ができて結果は一致します．
例えば放物線 y=x2+3 と x 軸および２直線 x=1，x=2 とで囲まれた部分の面積 S をルベーグ積分で解くとどういった感じになるのでしょうか？
ルベーグ積分の横切りの考え方から計算するなら，動画の中で説明しているように y=x²+3 を横切りにして近似和を計算し，(スライス幅)→0の極限を計算することになります．ただ前回の返信でお伝えしたように，この問題は有界閉区間[1,2]での積分なのでルベーグ積分と高校数学の積分(ルベーグ積分)は同じ結果になるので，高校の積分と同じように原始関数Fを求めてF(2)-F(1)を計算するのが普通です．
有理数の集合の長さの所、離散点の集合を点の位置+εで長さに変換してεを小さく飛ばして結局点に長さもクソもないから0みたいな感じでちょっと気持ち悪かった証明の正しさとかではなく直観的なお話ですが…
コメントをありがとうございます！「2つの集合A,BがA⊂Bを満たしていれば(Aの長さ)≦(Bの長さ)」と「(Bの長さ)はどこまでも小さい正の数とできる」という２つを使っているところですね．実はここは「ルベーグの意味での長さ(測度/外測度)」の性質(というより定義)なのですが，動画では「長さ」がどういうものかほとんど説明していないので，そこからくる曖昧さを気持ち悪く感じられたのかもしれません．ルベーグ積分は「積分」といいつつ，積分の前に「『集合の長さ』とは何ぞや」というところをきちんと考えることが必要となります．もしお時間とご興味があれば，ぜひ勉強してみてください！
@@TKT_Yamamoto 返答ありがとうございます。定義なら余り深入りしない方がいいかも知れないですね…同じように考えるとf(x)=1(x=1),f(x)=0(x≠1)なども積分すれば0と言った所でしょうか。インパルス関数などは上の関数と少し似てますが、値域が±ε/2などのように定義されてるので積分して0にならないというのが理解しやすいですね。
「f(x)=1(x=1),f(x)=0(x≠1)なども積分すれば0」というのは全くその通りで，有理数の集合の測度が0であるように可算無限個の点は無視しても積分の値は変わりません．(この関数はリーマン積分も可能ですが，ルベーグ積分が可能なことは定義からはっきり分かります)一方，お分かりのように，ε>0に対してg(x)=2/ε(-ε
@やまたくの速習大学数学【ソクダイ】 丁寧に回答して下さりありがとうございます。勉強になります。デルタ関数の定義だと1点ですがこれは積分すると1になりますね、先程のf(x)と同じように測度は0になるのでは？という気もしますが0・∞=1というのはよくみる話なので納得出来なくもないですね。
「先程のf(x)と同じように測度は0になるのでは？」というのはその通りで，ルベーグ積分の文脈ではf(0)=∞,f(x)=0(x≠0)のデルタ関数っぽい関数fは積分すると0です．先ほど「デルタ関数として扱うこともできます」というふわっとした表現を用いたのは，実はデルタ関数は(ルベーグ積分の文脈ではなく)「超関数」の文脈で正当化される概念であるためです．つまり，数学においてはf(0)=∞,f(x)=0(x≠0)で定義されるデルタ関数っぽい関数fと，デルタ関数δは全くの別物として扱われます．
とても分かりやすくてようやくルベーグ積分の雰囲気が分かったのですが、無理数の測度を同じように考えられないのだろうかと疑問に思いました。非可算無限集合は{a1, a2, ... ak, ...}と表せないのでしょうか。自然数と対応させることができないという事実がなぜクリティカルな差を生み出すのか、そこのところがなかなか腑に落ちません。有理数の測度を使わずに無理数の測度が評価できればそのあたりも理解できそうです。
まず定義なのですが，「自然数の集合または有限集合と全単射に対応付けられる集合」を可算集合といいます．任意の無限集合は(選択公理を仮定すれば)可算無限集合を部分集合にもつことが証明できるので，可算集合は最も元の個数が少ない無限集合ということができます．さて，無理数の集合ℝ\ℚは非可算集合であることが証明できます(Cantorの対角線論法を用いる証明法が有名)．以上のことから・無理数の集合の測度は有理数の集合の測度と同じように考えることができない・可算集合である有理数の集合ℚの長さより，無理数の集合ℝ\ℚの長さの方が等しいか大きそうだという直感があるということは言えますね．動画の説明のようにすれば可算集合の測度(長さ)がいつでも0であることは証明できますが，非可算集合の場合には測度が0になることもありますし0にならないこともあります．そのため，「自然数と対応させることができない」ことが測度についてクリティカルな差を生み出すわけではありません．例えば，非可算集合で測度が0の集合としてはCantor集合がありますので，興味をお持ちなら調べてみると面白いかもしれません．
とてもわかりやすかったです。有理数の集合の長さが0ということは、無理数の集合の長さが1と考えていいのでしょうか？
ルベーグ積分の雰囲気が分かって頂けたようで良かったです！仰る通り「長さ(測度)0の集合を引き抜いても，長さは変わらない」という事実があり， (区間[0,1]の無理数の集合の長さ」 =-(区間[0,1]の長さ)-(区間[0,1]の有理数の集合の長さ) =1-0=1が成り立ちます！
@@TKT_Yamamoto 無理数と有理数の違いはナンバリングできるかどうかということですかね。
εを単に正の数としているなら、逆にいくら大きくとっても良いんですよね？そうするとIkの和もいくら大きくても良いことになりませんか？また、もとの関数の定義を逆にして、f(x)=0（xは有理数）、f(x)=1（xは無理数）とした場合はどうなりますか？
1つ目のご質問は最後の「有理数の集合の長さ(測度)が0」の説明の部分ですね．以下，説明のために「有理数の集合の測度」をXとします．おっしゃる通りεは正の数なので，例えばX
@@TKT_Yamamoto 様ご説明頂き有難うございます。他の動画も見て学ばせて頂きます。
高３の時、受験勉強でかなりマニアックな参考書にルベーグ積分のことがちょっと書いてあって、それ以来興味を持っていましたが、どうもまだ腹落ちしていません。関数を横にスライスするイメージや、変な不連続関数について有効であることは直観的に納得できるんですが、実際の計算にどのように演繹されるのか理解できた気にならないのです。どうしたら理解できるか、と考えてみると、ルベーグ積分は連続関数に対しても適用可能なのだから、連続関数を使って語りつくしたらどうでしょうか。連続関数に対して実際に横にスライスした計算を丁寧実行してみていただくと気持ち悪さが解消するのではないか・・この動画の説明はあと一息でその説明をやり切れるところまで来ているような気もします。
この動画はルベーグ積分の考え方を掴むことを目標としているので，実際のルベーグ積分の計算については説明するつもりはありませんでした（そこまでやると動画が長大になるので）そのため「リーマン積分できない関数もルベーグ積分なら考えられることがある」ということが掴めていらっしゃる時点で，この動画は役目を果たしたと言えます笑続きが気になる場合はぜひご自身で勉強されてみてください
笑）勉強・・数学専門でもないのですが一応３冊程度読んでみました。単関数とか出てきてましたっけね（関係あるかな？？）・・粘り強く取り組まなかったせいか、全然腹落ちしなかったのでした。読めばわかる、説明してもらえばすぐわかるほどの甘いものではないということか・・
めちゃくちゃ理解しやすかったですルベーグ積分が横切りのイメージであることは色々なところで紹介されていますが、実際に具体例を見せて貰えたのは初めてだったので感動しました
それはとても良かったです！リーマン積分が「定義域」に注目した切断，ルベーグ積分が「値域」に注目した切断という気持ちがあると，縦切り，横切りのイメージの違いを考えやすいですね〜
@@TKT_Yamamoto さんまさに、その説明が本質を突いていてためになりました！
こんにちは。高校生です。動画がとてもわかりやすく、まだリーマン積分を知らない私でも、直感的にルベーグ積分を感じることができました。コメントされてる皆さんのように能動的な受け取りはできませんが、これからも動画を拝見させていただきます。
高校生でこの動画を見ようと思う心意気が既に素晴らしく，十分に能動的な姿勢をされているので何も問題ないと思います．これからもどんどん(いろんなところから)吸収していってくださいね！
わかりやすかったです。
このわかりやすさのまま、オプションプライシングまで解説いたはだけるとありがたい笑
Black-Scholes方程式の周辺はやるとしても，かなりかなーり先になりそうです……笑
めちゃくちゃわかりやすい。ありがとうございます。
こちらこそ嬉しいコメントをありがとうございます！
わかりやすい！ありがとうございます。
このようなざっくりとしたところからでもイメージを掴んで頂けたなら嬉しいです〜
「ルベーグ積分」や「確率論」を含め，長さや頻度などを考える分野を【測度論】といいます．
そのため，「ルベーグ積分」を理解できていれば同じ【測度論】の仲間である「確率論」にも同じ考え方が応用できます．
最近は金融などで扱われる「確率微分方程式」の知名度が高まっている印象があります．
「確率微分方程式」を理解するためには「確率論」が必要なので，「確率論」を理解するために「ルベーグ積分」に入門する人も多いですね．
高校生の段階でこの動画に出会えて本当に良かったです！おもしろい！
ディリクレ関数の0と1を逆にしたら積分値は1になりますか？
なります！
めっちゃかっこいい
まさに
ルベーグ積分は頼り甲斐ありすぎてイケメンですわ
食材を切ってから料理するより、料理した後で切った方が、いろんな偶発的アクシデントに対応しながら料理を完成させられるということｗ
今までルベーグ積分について勉強したくても難しくてなかなか手がつけられなかったのですが、とても分かりやすい説明でやっと理解が深まりました。
測度についてもざっくり意味が分かってよかったです！
コメントをありがとうございます！それはよかったです！
実際に勉強すると細かいところはたくさん詰めないといけないのですが，大雑把な流れを知っていると見通しよく勉強できると思います
お時間がありましたら是非入門してみてください！
分かりやすい！
ありがとうございます！
この春経済学部を卒業したものです。金融工学や数理統計で発展的な内容となる測度論についてのイメージをつかみたくて、この動画にたどり着いたのですが、最後まで具体的でシンプルなイメージを持ちながら動画を見終わることができました！とても分かりやすかったです！！ありがとうございました。
イメージをもって、定義を見てみると、全く意味のわからなかった文章が、ふんわりとしたイメージを厳密に定義するものとして頭にすっと入ってくる気がしました。また、最後のルベーグ積分の長さの定義のところの考え方で、改めて不等式の威力に感動しました！
ありがとうございます！このような感想を頂けると，ニッチな動画を作った甲斐があります笑
測度論は確率論を扱う上で必須となるので，金融工学の確率微分方程式などをきちんと扱おうとすると外せないものですよね．
数学は「やりたいこと」が先にあって，それを表現するために数式を使っているだけなので，「意味が分かる」という感覚を味わって頂けて何よりです．
絶妙に不等式を使って様々な性質を示すのは解析学の醍醐味ですよね〜！
僕も「εで上から評価して0！」という議論は気持ちよくて好きです笑
ジョルダン測度・・・有限個のブロックからスタートする。
ルベーグ測度・・・加算個のブロックからスタートする。
ルベーグ積分の本質は、全てそこにあります。
そうですね！ルベーグ測度が完全加法性を満たすことは現代測度論の側面で重要ですね！
(Ω,μ)を測度空間として、非負可測関数 f:Ω→Rを考える時、積測度Ω×Rの中でfのグラフの測度を用いて∫[Ω]fdμを定義することも可能です。か
すばらしい！！
ありがとうございます！！
わかりやすくて助かります。ありがとうございます。
こちらこそご視聴頂きありがとうございます！
パワーポイントでつくってはるんですか？？
動画のスライドはLaTeXという数式に特化した文書作成ソフト（正確には組版処理システム）のBeamerという拡張機能（パッケージ）を用いて作っています．
@@TKT_Yamamoto
ありがとうございます😊
他の動画も見させて頂きます！
色んなサイトでルベーグ積分を調べたりしたのですが、この動画でようやくイメージ出来るようになりました！ありがとうございます！
それは良かったです！こちらこそ嬉しいコメントをありがとうございます！
ルベーグ積分で定義が出てくる度に俺は何を勉強しているんだ？という気になってたのですがこの動画で全てが繋がった感じがしました！ありがとうございます
よかったです！
ルベーグ積分はきちんと道具を揃えるところまでは大変ですが，一度揃えてしまえばとても便利なので，そのうち見られる光景を楽しみにぜひ楽しんでください！
ルベーグ積分やろうか考えていたのですが,お話わかりやすくて面白かったです!!
よかったです！ぜひルベーグ積分に入門してみてください！
質問です。
0＜εであることから、
有理数の稠密性により
0＜q＜ε
となるような有理数qが存在できるので、
有理数の集合の長さは0だと断定はできないかと思ったのですがどうなんでしょうか？
実際の測度は0ではなく、限りなく0に近い、という認識で現在いるのですが、この認識はあっているのでしょうか？
ご質問ありがとうございます！
ほとんど理解されているようなのですが，ひとつ認識をはっきりさせておきたい点は「限りなく0に近く0でない実数」というものが定義されないということです．いま「有理数の集合の長さ（測度）」は0以上の実数として定まるものなので，この点がご認識の誤りになっています．
（数学の一部，例えば超準解析という分野ではそのような数を「無限小」として扱うこともありますが，この無限小はやはり実数としては扱われません）
ご質問の箇所では「A≧0が任意のε>0に対してA
@@TKT_Yamamoto わかりやすい解説ありがとうございました！これからも応援しています！
積分できる関数が増えることは何が嬉しいのでしょうか。二乗可積分の空間が、リーマン積分の意味で可積分だけだったら完備にならないとか、そういうことでしょうか。
コメントをありがとうございます！
仰る通り，積分できる関数が増えて「完備性」と相性が良くなるのが，ルベーグ積分の１つの良いところでリーマン積分にはないものとなっています．
動画の中の「ディリクレ関数」と絡めるなら，次のように考えても良さを感じられると思います．
正の整数m,nに対して関数 cos²ⁿ(m!πx) はリーマン積分可能ですが，この関数で極限n→∞をとり極限m→∞をとると，実はディリクレ関数となりリーマン積分不可能となります．
一方，ルベーグ積分においては極限のディリクレ関数も積分可能となります．
このように，一般に「(有界閉区間上で)ルベーグ積分可能な関数列の極限が存在して有界ならルベーグ積分可能である」ことを示すことができ，このことはルベーグ積分の扱いやすさの1つとなっています．
というのが，1つの答えになると思います．
@@TKT_Yamamoto
お返事ありがとうございます！
リーマン積分可能な関数列であって、ディリクレ関数に収束するものの具体的な形を知らなかったので、大変勉強になりました！
横で切ったか、縦で切ったかの違いでしかないイメージですが、横できるだけで極限とこんなに仲良くなれるのはなんとなく不思議ですが、極限との相性に、ルベーグ積分がちやほやされる理由があるのかなと感じました。
ありがとうございます！
関数(写像)fは返す値が1つなので，fの定義域に注目するとy=f(x)のグラフとx=aのグラフの交点は1つしかありません．一方，値域に注目するとfが値yを返すようなxはいくつもあり得ます．
これが横に切ることと縦に切ることの大きな違いを生んでいるわけですね〜．
ルベーグ積分で高校の教科書に載っているような積分もやろうと思えばできるんですか？
実は有界閉区間I上でリーマン積分可能な関数は
・同じくI上でルベーグ積分可能であり
・リーマン積分とルベーグ積分の結果が一致する
ということが証明できます．
つまり，有界閉区間においてはルベーグ積分はリーマン積分の完全な拡張になっています．
また，高校数学の積分はリーマン積分の考え方をもとに(ほぼ有界閉区間上の連続関数に対して)定義していると考えられるので，
(高校数学の積分)⊂(リーマン積分)⊂(ルベーグ積分)
ということで，高校数学の教科書に載っている積分もルベーグ積分ができて結果は一致します．
例えば放物線 y=x2+3 と x 軸および２直線 x=1，x=2 とで囲まれた部分の面積 S をルベーグ積分で解くとどういった感じになるのでしょうか？
ルベーグ積分の横切りの考え方から計算するなら，動画の中で説明しているように y=x²+3 を横切りにして近似和を計算し，(スライス幅)→0の極限を計算することになります．
ただ前回の返信でお伝えしたように，この問題は有界閉区間[1,2]での積分なのでルベーグ積分と高校数学の積分(ルベーグ積分)は同じ結果になるので，高校の積分と同じように原始関数Fを求めてF(2)-F(1)を計算するのが普通です．
有理数の集合の長さの所、離散点の集合を点の位置+εで長さに変換してεを小さく飛ばして結局点に長さもクソもないから0みたいな感じでちょっと気持ち悪かった
証明の正しさとかではなく直観的なお話ですが…
コメントをありがとうございます！
「2つの集合A,BがA⊂Bを満たしていれば(Aの長さ)≦(Bの長さ)」と「(Bの長さ)はどこまでも小さい正の数とできる」という２つを使っているところですね．
実はここは「ルベーグの意味での長さ(測度/外測度)」の性質(というより定義)なのですが，動画では「長さ」がどういうものかほとんど説明していないので，そこからくる曖昧さを気持ち悪く感じられたのかもしれません．
ルベーグ積分は「積分」といいつつ，積分の前に「『集合の長さ』とは何ぞや」というところをきちんと考えることが必要となります．
もしお時間とご興味があれば，ぜひ勉強してみてください！
@@TKT_Yamamoto
返答ありがとうございます。
定義なら余り深入りしない方がいいかも知れないですね…
同じように考えると
f(x)=1(x=1),f(x)=0(x≠1)なども積分すれば0と言った所でしょうか。
インパルス関数などは上の関数と少し似てますが、値域が±ε/2などのように定義されてるので積分して0にならないというのが理解しやすいですね。
「f(x)=1(x=1),f(x)=0(x≠1)なども積分すれば0」というのは全くその通りで，有理数の集合の測度が0であるように可算無限個の点は無視しても積分の値は変わりません．(この関数はリーマン積分も可能ですが，ルベーグ積分が可能なことは定義からはっきり分かります)
一方，お分かりのように，ε>0に対してg(x)=2/ε(-ε
@やまたくの速習大学数学【ソクダイ】
丁寧に回答して下さりありがとうございます。勉強になります。
デルタ関数の定義だと1点ですがこれは積分すると1になりますね、先程のf(x)と同じように測度は0になるのでは？という気もしますが0・∞=1というのはよくみる話なので納得出来なくもないですね。
「先程のf(x)と同じように測度は0になるのでは？」というのはその通りで，ルベーグ積分の文脈ではf(0)=∞,f(x)=0(x≠0)のデルタ関数っぽい関数fは積分すると0です．
先ほど「デルタ関数として扱うこともできます」というふわっとした表現を用いたのは，実はデルタ関数は(ルベーグ積分の文脈ではなく)「超関数」の文脈で正当化される概念であるためです．
つまり，数学においてはf(0)=∞,f(x)=0(x≠0)で定義されるデルタ関数っぽい関数fと，デルタ関数δは全くの別物として扱われます．
とても分かりやすくてようやくルベーグ積分の雰囲気が分かったのですが、無理数の測度を同じように考えられないのだろうかと疑問に思いました。非可算無限集合は{a1, a2, ... ak, ...}と表せないのでしょうか。自然数と対応させることができないという事実がなぜクリティカルな差を生み出すのか、そこのところがなかなか腑に落ちません。有理数の測度を使わずに無理数の測度が評価できればそのあたりも理解できそうです。
まず定義なのですが，「自然数の集合または有限集合と全単射に対応付けられる集合」を可算集合といいます．
任意の無限集合は(選択公理を仮定すれば)可算無限集合を部分集合にもつことが証明できるので，可算集合は最も元の個数が少ない無限集合ということができます．
さて，無理数の集合ℝ\ℚは非可算集合であることが証明できます(Cantorの対角線論法を用いる証明法が有名)．
以上のことから
・無理数の集合の測度は有理数の集合の測度と同じように考えることができない
・可算集合である有理数の集合ℚの長さより，無理数の集合ℝ\ℚの長さの方が等しいか大きそうだという直感がある
ということは言えますね．
動画の説明のようにすれば可算集合の測度(長さ)がいつでも0であることは証明できますが，非可算集合の場合には測度が0になることもありますし0にならないこともあります．そのため，「自然数と対応させることができない」ことが測度についてクリティカルな差を生み出すわけではありません．
例えば，非可算集合で測度が0の集合としてはCantor集合がありますので，興味をお持ちなら調べてみると面白いかもしれません．
とてもわかりやすかったです。
有理数の集合の長さが0ということは、無理数の集合の長さが1と考えていいのでしょうか？
ルベーグ積分の雰囲気が分かって頂けたようで良かったです！
仰る通り「長さ(測度)0の集合を引き抜いても，長さは変わらない」という事実があり，
(区間[0,1]の無理数の集合の長さ」
=-(区間[0,1]の長さ)-(区間[0,1]の有理数の集合の長さ)
=1-0=1
が成り立ちます！
@@TKT_Yamamoto 無理数と有理数の違いはナンバリングできるかどうかということですかね。
εを単に正の数としているなら、逆にいくら大きくとっても良いんですよね？そうするとIkの和もいくら大きくても良いことになりませんか？
また、もとの関数の定義を逆にして、f(x)=0（xは有理数）、f(x)=1（xは無理数）とした場合はどうなりますか？
1つ目のご質問は最後の「有理数の集合の長さ(測度)が0」の説明の部分ですね．以下，説明のために「有理数の集合の測度」をXとします．
おっしゃる通りεは正の数なので，例えばX
@@TKT_Yamamoto 様
ご説明頂き有難うございます。他の動画も見て学ばせて頂きます。
高３の時、受験勉強でかなりマニアックな参考書にルベーグ積分のことがちょっと書いてあって、それ以来興味を持っていましたが、どうもまだ腹落ちしていません。関数を横にスライスするイメージや、変な不連続関数について有効であることは直観的に納得できるんですが、実際の計算にどのように演繹されるのか理解できた気にならないのです。
どうしたら理解できるか、と考えてみると、ルベーグ積分は連続関数に対しても適用可能なのだから、連続関数を使って語りつくしたらどうでしょうか。連続関数に対して実際に横にスライスした計算を丁寧実行してみていただくと気持ち悪さが解消するのではないか・・この動画の説明はあと一息でその説明をやり切れるところまで来ているような気もします。
この動画はルベーグ積分の考え方を掴むことを目標としているので，実際のルベーグ積分の計算については説明するつもりはありませんでした（そこまでやると動画が長大になるので）
そのため「リーマン積分できない関数もルベーグ積分なら考えられることがある」ということが掴めていらっしゃる時点で，この動画は役目を果たしたと言えます笑
続きが気になる場合はぜひご自身で勉強されてみてください
笑）勉強・・数学専門でもないのですが一応３冊程度読んでみました。単関数とか出てきてましたっけね（関係あるかな？？）・・粘り強く取り組まなかったせいか、全然腹落ちしなかったのでした。読めばわかる、説明してもらえばすぐわかるほどの甘いものではないということか・・
めちゃくちゃ理解しやすかったです
ルベーグ積分が横切りのイメージであることは色々なところで紹介されていますが、実際に具体例を見せて貰えたのは初めてだったので感動しました
それはとても良かったです！
リーマン積分が「定義域」に注目した切断，ルベーグ積分が「値域」に注目した切断という気持ちがあると，縦切り，横切りのイメージの違いを考えやすいですね〜
@@TKT_Yamamoto さん
まさに、その説明が本質を突いていてためになりました！
こんにちは。高校生です。動画がとてもわかりやすく、まだリーマン積分を知らない私でも、直感的にルベーグ積分を感じることができました。コメントされてる皆さんのように能動的な受け取りはできませんが、これからも動画を拝見させていただきます。
高校生でこの動画を見ようと思う心意気が既に素晴らしく，十分に能動的な姿勢をされているので何も問題ないと思います．
これからもどんどん(いろんなところから)吸収していってくださいね！
わかりやすかったです。
このわかりやすさのまま、オプションプライシングまで解説いたはだけるとありがたい笑
Black-Scholes方程式の周辺はやるとしても，かなりかなーり先になりそうです……笑
めちゃくちゃわかりやすい。
ありがとうございます。
こちらこそ嬉しいコメントをありがとうございます！
わかりやすい！ありがとうございます。
このようなざっくりとしたところからでもイメージを掴んで頂けたなら嬉しいです〜