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解けました〜😊難しいことは良くわかりませんが、分数の1/6がどう効くかで分類したいのだからnは6で割った余りによる分類でしょう🫏k=0から始めたいのでn=6k+1,6k+2,...,6k+5,6k+6で場合分け。n=6k+1のときy²=(6k+1)(3k+1)(4k+1)n=6k+2のときy²=(3k+1)(2k+1)(12k+5)n=6k+3のときy²=(2k+1)(3k+2)(12k+7)n=6k+4のときy²=(3k+2)(6k+5)(4k+3)n=6k+5のときy²=(6k+5)(k+1)(12k+11)n=6k+6のときy²=(k+1)(6k+7)(12k+13).それぞれの場合で各括弧内はどの2つも互いに素。だから右辺が平方数であるとき、各括弧内はどれも平方数でなければならない。ところが平方剰余をチェックしてみると、n=6k+2,6k+3,6k+4,6k+5の場合は12k+5,3k+2,12k+7,...等の絶対に平方数になれない因数があるのでこれらは考えなくて良い。これで確認すべきはn=6k+1のときy²=(6k+1)(3k+1)(4k+1)n=6k+6のときy²=(k+1)(6k+7)(12k+13)だけ。n=6k+6の場合にk=3（n=24）であっさりとy²=(3+1)(18+7)(36+13)=2²×5²×7²が見つかって、n=6k+1では24より小さいnで平方数にすることができないので、(x,y)=(24,70)が答え✌️🎍🪁
なるほど！
x,x+1,2x+1が互いに素って言えたならxまたはx+1が6と平方数の積でかつ、残りの二つが平方数となるようなxを探せばいい。最初の条件でxを列挙していくと直ぐにx=24がでた。こんな風にやったけど論理的に正しいのかはわからない
x＝2からx＝23までのなかで、どの値を代入なしに却下しましたか？
@自由律俳句とかいう無法地却下した値の方が多いので、代入した値を列挙するとx=5,6,23 だけですね。
昔からこの問題に興味があって大学の図書館でも色々調べたのですが楕円関数やペル方程式を用いた証明方法が紹介されていましたこんな証明の仕方があったのですね勉強になりました来年も興味深い問題を楽しみにしています
ちなみにΣk^2(k=1..m)=Σk(k=1..n)を満たす整数(m,n)の解も有限個しかないです
x,x+1,2x+1のどれかは平方数で、他の2つも平方数の因数を持つことはわかる。平方数を小さなものから考えればよいので、24はすぐでした。これだけかと言われるとわからない。
唯一の解であることの証明は骨が折れます。（正直なところ、動画で挙げるのには心が折れます。）
答えが30以下だと決めつけられるならもっと簡単に絞れる。xの候補は、2×(平方数) = 2, 8, 183×(平方数) = 3, 12, 276×(平方数) = 6, 24(2, 3を含まない平方数) = 25のどれかであることは直ぐにわかる。これらのうち、隣り合っているのは、(2, 3), (24, 25)のみ。足して平方数になるのは、(24, 25)のみ。よって、答えは24
なぜ隣り合っている必要があるかといえば、x+1も条件を満たすはずだから。なぜ足して平方数になるべきかといえば、2x+1も条件を満たすはずだから。
@@イキリスト教教祖 なるほど！
もういっそのこと、リュカのキャノンボール問題を解く動画を作ってもよいのでは。少し長いけど高校数学範囲で証明可能なので。
最後の絞り込みが論理的だけど力業で驚いた。
有難うございます。個人的には、力業は好きです。
与式よりx(x₊1)(2x₊1)₌6y^2より左辺は2の倍数より(1)x₌3tのとき与式t(3t₊1)(6t₊2)₌18t^3₊9t^2₊2₌2y^2より9t^2(2t₊1)₌2y^2₋2t ① ①式の右辺は因数分解できるのでt₌2p^2とおくと36p^4(4p^2₊1)₌2(y^2₋p^2)より 18p^4(4P^2₊1)₌y^2₋p^2₌(y₊p)(y₋p) ② xの3乗がyの2乗と等しいこと またy₊p₋(y₋p)₌2pと2数の差は接近しているので y₊pとy₋pが接近するように分配する y₊p₌9p^3 ③ y₋p₌2p(4p^2₊1)₌8p^3₊2p ④ ③₋④よりp^3₌4pより p₌2(2)x₌3t₋1のとき与式(3t₋1)t(6t₋1)₌18t^3₋9t^2₊2₌2y^2より①と同様にt₌2p^2とおくと 18p^4(4p^2₋1)₌(y₊p)(y₋p) y₊p₌9p^3 y₋p₌2p(4p^2₋1)とすると p^3₌0より不適(3)x₌3t₊1のとき与式(3t₊1)(3t₊2)(2t₊1)₌2y^2 ⑤ 1)t₌2kのとき⑤式は(6k₊1)(3k₊1)(4k₊1)₌y^2よりk(72k^2₊54k₊13)₌(y₊1)(y₋1) ⑥ ⑥式の( )内は因数分解できないためy₊1とy₋1の差が大きくなり不適 2)t₌2k₊1のとき与式(3k₊2)(6k₊5)(4k₊3)₌72k^3₊162k^2₊121k₊30₌y^2 このときは左辺の3項がすべて2乗となるkは存在しないしy^2₋ℓ^2₌f(k)の 形にならないので条件を満足するk、yは存在しない。 以上よりp₌2のときt₌8よってx₌24のときy^2₌4900となりy₌70となる。
Viva!
x=10まで手計算して諦めました
💪💪💪
X²+X=100000,00
Cavaleiros do Forró aqui nesta Cidade, mas a criança chegou morta.
Evidências.
／(^o^)＼ ﾜｶﾗﾝ
解けました〜😊
難しいことは良くわかりませんが、分数の1/6がどう効くかで分類したいのだからnは6で割った余りによる分類でしょう🫏
k=0から始めたいので
n=6k+1,6k+2,...,6k+5,6k+6で場合分け。
n=6k+1のとき
y²=(6k+1)(3k+1)(4k+1)
n=6k+2のとき
y²=(3k+1)(2k+1)(12k+5)
n=6k+3のとき
y²=(2k+1)(3k+2)(12k+7)
n=6k+4のとき
y²=(3k+2)(6k+5)(4k+3)
n=6k+5のとき
y²=(6k+5)(k+1)(12k+11)
n=6k+6のとき
y²=(k+1)(6k+7)(12k+13).
それぞれの場合で各括弧内はどの2つも互いに素。だから右辺が平方数であるとき、各括弧内はどれも平方数でなければならない。
ところが平方剰余をチェックしてみると、n=6k+2,6k+3,6k+4,6k+5の場合は12k+5,3k+2,12k+7,...等の絶対に平方数になれない因数があるのでこれらは考えなくて良い。
これで確認すべきは
n=6k+1のとき
y²=(6k+1)(3k+1)(4k+1)
n=6k+6のとき
y²=(k+1)(6k+7)(12k+13)
だけ。
n=6k+6の場合にk=3（n=24）であっさりと
y²=(3+1)(18+7)(36+13)=2²×5²×7²
が見つかって、n=6k+1では24より小さいnで平方数にすることができないので、
(x,y)=(24,70)
が答え✌️🎍🪁
なるほど！
x,x+1,2x+1が互いに素って言えたならxまたはx+1が6と平方数の積でかつ、残りの二つが平方数となるようなxを探せばいい。最初の条件でxを列挙していくと直ぐにx=24がでた。
こんな風にやったけど論理的に正しいのかはわからない
x＝2からx＝23までのなかで、どの値を代入なしに却下しましたか？
@自由律俳句とかいう無法地
却下した値の方が多いので、代入した値を列挙するとx=5,6,23 だけですね。
昔からこの問題に興味があって大学の図書館でも色々調べたのですが
楕円関数やペル方程式を用いた証明方法が紹介されていました
こんな証明の仕方があったのですね
勉強になりました
来年も興味深い問題を楽しみにしています
ちなみに
Σk^2(k=1..m)=Σk(k=1..n)を満たす整数(m,n)の解も有限個しかないです
x,x+1,2x+1のどれかは平方数で、他の2つも平方数の因数を持つことはわかる。
平方数を小さなものから考えればよいので、24はすぐでした。
これだけかと言われるとわからない。
唯一の解であることの証明は骨が折れます。（正直なところ、動画で挙げるのには心が折れます。）
答えが30以下だと決めつけられるならもっと簡単に絞れる。
xの候補は、
2×(平方数) = 2, 8, 18
3×(平方数) = 3, 12, 27
6×(平方数) = 6, 24
(2, 3を含まない平方数) = 25
のどれかであることは直ぐにわかる。
これらのうち、隣り合っているのは、(2, 3), (24, 25)のみ。
足して平方数になるのは、(24, 25)のみ。よって、答えは24
なぜ隣り合っている必要があるかといえば、x+1も条件を満たすはずだから。
なぜ足して平方数になるべきかといえば、2x+1も条件を満たすはずだから。
@@イキリスト教教祖 なるほど！
もういっそのこと、リュカのキャノンボール問題を解く動画を作ってもよいのでは。少し長いけど高校数学範囲で証明可能なので。
最後の絞り込みが論理的だけど力業で驚いた。
有難うございます。個人的には、力業は好きです。
与式よりx(x₊1)(2x₊1)₌6y^2より左辺は2の倍数より
(1)x₌3tのとき与式t(3t₊1)(6t₊2)₌18t^3₊9t^2₊2₌2y^2より9t^2(2t₊1)₌2y^2₋2t ①
①式の右辺は因数分解できるのでt₌2p^2とおくと36p^4(4p^2₊1)₌2(y^2₋p^2)より
18p^4(4P^2₊1)₌y^2₋p^2₌(y₊p)(y₋p) ②
xの3乗がyの2乗と等しいこと またy₊p₋(y₋p)₌2pと2数の差は接近しているので
y₊pとy₋pが接近するように分配する
y₊p₌9p^3 ③ y₋p₌2p(4p^2₊1)₌8p^3₊2p ④ ③₋④よりp^3₌4pより p₌2
(2)x₌3t₋1のとき与式(3t₋1)t(6t₋1)₌18t^3₋9t^2₊2₌2y^2より①と同様にt₌2p^2とおくと
18p^4(4p^2₋1)₌(y₊p)(y₋p) y₊p₌9p^3 y₋p₌2p(4p^2₋1)とすると p^3₌0より不適
(3)x₌3t₊1のとき与式(3t₊1)(3t₊2)(2t₊1)₌2y^2 ⑤
1)t₌2kのとき⑤式は(6k₊1)(3k₊1)(4k₊1)₌y^2よりk(72k^2₊54k₊13)₌(y₊1)(y₋1) ⑥
⑥式の( )内は因数分解できないためy₊1とy₋1の差が大きくなり不適
2)t₌2k₊1のとき与式(3k₊2)(6k₊5)(4k₊3)₌72k^3₊162k^2₊121k₊30₌y^2
このときは左辺の3項がすべて2乗となるkは存在しないしy^2₋ℓ^2₌f(k)の
形にならないので条件を満足するk、yは存在しない。
以上よりp₌2のときt₌8よってx₌24のときy^2₌4900となりy₌70となる。
Viva!
x=10まで手計算して諦めました
💪💪💪
X²+X=100000,00
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Evidências.
／(^o^)＼ ﾜｶﾗﾝ