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本家が伝えたい数学の面白さを、和訳によって誰でも楽しめるようにするのは素晴らしいことだと思います、本当に感謝
英語ができない日本人にも
私のようながっつり文系人間にもw。
1を10にすることって社会に必要ですよね。
疑問に思ったことを次に説明してくれて、なんの話だっけって思った時に振り返ってくれてめっちゃ僕のこと好きじゃん
ちょうど先週数3の授業でやったばかりだから積分だけの証明じゃなくて図形的な証明加えるだけでめちゃくちゃ内容が頭に入ってくる
素人が「おいまてまてなんでそうなるんだよ」ってことをちゃんとわかっててしっかり戻ってくれるのすごく頭がいい人の動画なんだなって感じましたなおラスト４分で一気に置いていかれた模様
Me too
稀にいる話がとてつもなく上手い先生の講義受けてるみたいだ…「損はないですからね」とか特徴のあるフレーズがあるのも先生っぽいw曖昧だった知識が明確なものになるのは気持ち良いっすね…
本家のサムネを見かけて、これ翻訳版出してくれないかなあと思っていたうちの一つ。やはりとっても面白かった。投稿ありがとうございます。
これ投稿主が作ってるんじゃないんですか？
@@あおあ-t6w 概要欄にもありますが、3blue1brownという海外の方の動画を投稿主が有志で日本語翻訳したものですね
凄く丁寧なつくりだなぁ、作者グループの情熱を感じるわ。使ってる数学アニメーションツールも素晴らしい出来のようだな。
表面積と影の関係の話が楽しみすぎる
動くグラフ、動きと語りのタイミングが合っている、こんな素晴らしい動画はどうやって作れるんだろう。本当に感心します。
日本語の表現も発音もかなり自然で、とてと驚きです。助かります。
東大の人が翻訳して話してるからね
今の高校生って恵まれてるなぁ。こんなに簡単に解説してくれる「教師」がインターネットの中にタダで存在しているんだもんな。
編集が好きすぎる見てて楽しい
小学校の算数の教科書で、円周の長さと円の面積の関係の説明のために細かい三角形に分割する話が載ってたのが面白くて印象的だったんだよねそれは積分の学習の伏線になっていて教科書のエラいポイントでもあるわけだけど球の表面積の話はそんな風に直感的に理解できず10年以上モヤモヤしていたから、この動画に出会えて良かったです
>モヤモヤしていたものが…ものすごく共感します。この快感って、算数、数学を学んだものしか味わえないんでしょうね。しかも、今はこのようなイメージ動画でかっちりと感覚を直感的につかむことができる。良い時代になったものです。私のような、思いっきし文系の人間にも数学の素晴らしさが味わえますから。小中学生では、2:05まででも、十分に楽しめると思います。
>>それは積分の学習の伏線になっていて今の教科書がどうなっているかは知りませんが、私の高校時代の数学の教科書では、積分の最初の説明は、「積分とは微分の逆操作です」というような、少々、強引な導入でした。確かに逆操作であることは間違いないのですが、積分という概念そのものに対する説明ではなかったため、「結局、積分って何なんだ」という本質的な疑問が解消したのは、大学に入ってからでした。私は教育者ではないため、教科書編纂についてあれこれ言う立場にありませんが、積分を教える際、最初はこの動画のように、球の表面積を題材にするのが良いと思っています。ところで、アニメ Fate プリズマ☆イリヤの中で、美遊が円錐の体積を求める際、小学生であるにも関わらず、積分を用いて問題を解いている場面があります。そんな凄い小学生はアニメの世界だけだろうと思っていましたが、現実の世界にも、小学生で既に「大学への数学」を購読している児童もいらっしゃるようです。「小学生には早すぎる」という意見もあるかもしれませんが、発展的な学習として、小学校の算数の教科書の中で積分について取り上げても良いと思います。微積分を本質的に理解すると、数学の面白さ・凄さに気づかされます。しかし、そこまで数学を理解する前に挫折した人、面白さを知る機会を逃してしまった人が大勢います。これはICTがますます重要になり、数学力が重視されるこれからの時代、日本にとって大きな損失です。数学の面白さに、可能な限り早い段階（出来れば、進路選択の重要な分岐点となる高校受験や大学受験の前）で気づくことができるような教育を期待したいです。（それが今回の動画のようにyoutube上でも良いでしょうし、あるいは別のプラットフォームでもいいかもしれませんが）
@@user-dq3ht8st5h😂 0:29
@@user-dq3ht8st5h
内容は私には難しかったけど、アニメーションがとても芸術的で見ているだけで感動しました。内容もわかったような気になりました。すばらしい！
コメント欄のわかる方。↓ 三角関数sin, cosがわかるなら、自分で考えた方が楽しいです。↓↓Q1. リングの内側の円周の長さをRとθで表せ。また、それにRdθを掛けたリングの面積は。円周の半径はRsinθなので円周の長さは2πRsinθ幅Rdθを掛けて、リングの面積は2πR^2 sinθdθこれを、0≦θ≦πで積分すると、球の表面積4πR^2が求まる。Q2. リングの影の面積は何か。Rとθとdθで表せ。影の内側の半径はRsinθリングの幅Rdθを斜辺とするような小さい直角三角形を考えると、左の角がθとなるので、影の幅はRcosθdθ影の面積は円の面積の差から(Rsinθ+Rcosθdθ)^2π - (Rsinθ)^2π = πR^2(2sinθcosθdθ +(cosθdθ)^2)(dθ)^2は微小量の２乗なので無視して、2πR^2 sinθcosθdθQ3. リングの影の面積は、どのリングの面積の1/2倍か。ありがたく倍角公式 sin2θ=2sinθcosθを使わせてもらって(リングの影の面積)=2πR^2 sinθcosθdθ = πR^2 sin2θdθ = 1/2 (2πR^2 sin2dθ) = 1/2(2θに対応するリングの面積)Q4. 北半球の影つまり、半径Ｒの円と、偶数番目のリングはどのような関係か。角θにあたるリングの影は、角2θにあたるリングの面積の半分。1番目のリングの影は、２番目のリングの面積の半分。n番目のリングの影は、2n番目のリングの面積の半分。北半球の影は、球全体のリングの偶数番目のリングの面積の半分。Q5. なぜこれが、円の面積が球の表面積の1/4であることを示すのか。球全体が偶数個のリングに分割されるとき、上から数えて奇数番目のリングは、下から数えて偶数番目のリング。何が言いたいかというと、偶数番目のリングの面積の合計と、奇数番目のリングの面積の合計は等しい。球の表面積の半分の面積の半分が、円の面積と等しいから、円の面積は球の表面積の1/4であることが示される。とても面白かったです。このチャンネルから3blue1brownのことを知りました。今後の動画も楽しみにしています。
やばすぎ
いったん自分で解いてあとで確認させていただきます。
問2の面積の問題外側の円の面積を求める為に半径を（内側の半径+輪の幅）で求めていますが、この半径の値をRsin(θ+dθ)から求めることって出来ますか？
@@イッヌ-h8d しばらく計算や近似を行ったのですがしっくりする回答は得られませんでした…そもそも小さい数を二乗したら実質0だよね(適当な説明)といった感じで近似しようと思いやってみたのですが。πやRや引くRsinθの部分はカットして、sin^2(θ+dθ)≒(sinθ+cosdθ)^2が言えればいい。左辺を加法定理で分解して(sinθcosdθ+cosθsindθ)^2＝(sinθcosdθ)^2+(cosθsindθ)^2+2sinθcosdθcosθsindθcos^2dθ＝1,sin^2dθ＝0とすると(近似の~2個のやつが表示できないです)sin^2θ+2sinθcosθ(sindθcosdθ)右辺を分解するとsin^2θ+2sinθcosθ(dθ)2つの()の中身は微小角なので実質同じともみてとれるような気がしますが答えを知っていないと無理ですね💦最初に弧を直線とした段階を挟んでいない近似だからでしょうか。ちなみに私の場合だとリングを短い辺Rcosθdθ×長い辺2πRsinθの長方形としてみると計算段階に近似を入れず求められました。あなたの求める回答にはなっていなくてもどかしいですが…長文失礼しました。
[悲報]高1ワイ、何も理解できず脳がショートする
わかった！ っと思ったらすでにコメント欄にとても良く分かる方がいらっしゃったので、厳密ではないけど、直観的にわかりやすい説明をしてみます......。11:39 Q1球面上の◎の面積を求めるためには、円の半径と、◎の幅がわかればよい。内側の円の半径は、球を真横(y軸方向)から見て、Rsinθだから、その円周は半径に2πをかけて、2πRsinθ［外側の円の半径はRsin(θ+dθ)になるけど、dθはとてもとても小さいから、あまり気にしなくてよい。4:13 ］◎の幅はdθ(弧度法による円弧の公式...というか定義)だから、球面上の◎の面積は2πRsinθ×dθ= 2πR²dθsinθ12:08 Q2陰の部分の◎は、内側の円の大きさは球面上の◎と同じだけど、内側の円と外側の円の間の距離が短い。7:12 と同じように相似な△を考えると、小さい△は大きい△のdθ倍になっている。陰の部分の◎の幅、つまり小さい△の横幅は、大きい△の縦幅のdθ倍だから、Rcosθ×dθ=Rdθcosθだから陰の部分の◎の面積は、これにQ1 で求めた円周: 2πRsinθ をかけて、2πRsinθ×Rdθcosθ= 2πR²dθsinθcosθ。12:22 Q3陰の部分の◎の面積は、二倍角の公式を使って2πR²dθsinθcosθ=πR²dθsin2θとかける。これとQ1 で求めた球面上の◎の面積: 2πR²dθsinθ を見比べると、ちょうどθを2θに変えて2倍したものになっている。つまり、陰の部分の◎の面積は、θ(地球で例えると緯度)が2倍になったところの球面上の◎の面積の½ 。12:44 Q4北極(x, y=0, z=R)から緯度dθの間隔で地球をスライスして、たくさんの◎にわける。そして、北極点に一番近い方から1番、2番、...と番号をつける。Q3 から、1番目の球面の陰の◎は、緯度が2倍である2番目の球面の◎の面積の½ 。2番目の球面の陰の◎は、緯度が2倍である4番目の球面の◎の面積の½ 。3番目の球面の陰の◎は、緯度が2倍である6番目の球面の◎の面積の½ 。…というふうに関係づけられる。12:59 Q5すると、北半球の全部の陰を覆う面積は、偶数番目だけの球面の◎の面積の合計の½ になる。つまり、円の面積の2倍は偶数番目だけの球面の◎の面積の合計と等しい。また、偶数番目だけの球面の◎の面積の合計と奇数番目だけのそれは等しい。［◎の幅、つまりRdθはとてもとても小さいから、隣り合う球面上の◎の面積は等しい。……さすがに苦しいかな？］ゆえに、円の面積の4倍は球面全体の面積と等しい。
5:33 「これは本質情報ですが」でニヤッとしてしまった
1.2πR^2*sinθdθ：積分すると2πR^2[(-cosπ)-(-cos0)]2．2πR^2*sinθcosθdθ3.2を2倍角の公式で変形1/2(2πR^2*sin2θdθ)1の影の面積は角度2θの時の帯の面積の1/2(0
↑が正しい解説だけど、2倍角の公式と偶数番目云々が一般の方々にはハードルが高い。動画が謎掛けで終わっているのは、直感的な説明が無理だったためでしょう。むしろ後半はカットして、かわりに前半の円→三角形の等積変形をきちんと説明して完全な証明にしたほうが美しかったかな。。
9ヶ月前のコメントに失礼します。なぜ2番の答えが、1番の答えにcosθをかけた形になるのか教えていただけませんか？いくら解いてもcosθではなくRcosθdθになってしまって...
@@コロまる-b4kほとんど合ってると思いますが…Rcosdθに影のリングの内側の円周である2πRsinθを掛けると影の面積の近似かと思います。私も覚えていなくて動画を見直しましたよ😄
問5は、輪の数を偶数個に分ければ、下から偶数番目の輪の面積を足すのと上から奇数番目の輪の面積を足すのは同じことだと考えれば分かりやすいかもしれませんね。
5:54 ここで使われている映像表現のような、変数の変化による視覚的な変化を自身の頭の中でイメージする能力、つまり何かが変化した時、伴って変化する全てを含めた全体像を連続ししたビジュアルとして捉える能力は、学習の早い段階で獲得しておくことで非常に役に立つと思います。実際、中学受験をするような小学生の一部は、すでにこうした能力を身につけ始めていて、あらゆる問題を解決する際に、問題の裏に隠された「こうなったらこうなる」を見つけだすのが非常にうまいのです。
「ここからが面白いんだよ」というパートが割愛されてしまう解説動画は多いですが、この動画は、わかってますねえ。
中学生に球の面積や体積の公式を教えるときに、微積分を使わずに教える方法に苦慮していたのですが、とても参考になる動画だなと思いました。
いい声だしめっちゃ分かりやすい
素晴らしい 話を聞いていく中で生まれる疑問全てに分かりやすく答えてくれるから置いてけぼりになることがない
我々には積分という便利な道具があるため、表面積を出すことは容易いがその結果を円の面積と繋げて考えるというのは他のことでも大事な姿勢だと思う。
ミラーボール作ろうと思ってたんで助かる。長方形を赤道付近が正方形で端っこほど細長くなるようにカットして９０度傾けて貼っていけばいいわけね。
この人いい…内容理解してながら話してるのめちゃいい…
本家見た時からずっと待ってた。ありがとう
専門的な事しか言ってないのに直感的に分かりやすく動画構成してるの普通に凄い。ただ分かりやすく伝えることだけを考えてるのではなく、数学というエンタメをなるべくそのまま伝えるようにしてるのが個人的にめちゃくちゃ好感持てました。
眠れない日はいつもこの投稿者の動画を見てます
こういう授業がいい
”2Θの球面上の帯の面積と、Θの球面上の帯の面積の投影面積が、伴って変化すること”の感覚的な理解が難しかったので、2パターンのイメージ方法を考えてみました。パターン1（比例による理解）Θの球面上の帯の面積はz軸からの距離に比例するのでsin(Θ)に比例．①その投影面積はさらにcosΘに比例するので、sin(Θ)cos(Θ)に比例，つまりsin(2Θ)に比例．②①から，2Θの球面上の帯の面積はsin(2Θ)に比例．③②と③から、2Θの球面上の帯の面積は，Θの球面上の帯の面積の投影面積に比例する．パターン2（増減による理解）Θの球面上の帯は、Θが0°から180°まで増加するにつれてz軸からの距離が増加してから減少するため、面積も増加してから減少する。Θの球面上の帯の投影面積は、Θが0°から90°まで増加するにつれ、z軸からの距離は増加し続ける(0→R)が幅は減少し続ける(RdΘ→0)ので、かけ合わせるとこちらも増加してから減少する。これらを対応付けると、2Θ(0°≦Θ≦90°)の球面上の帯の面積と、Θ(0°≦Θ≦90°)の球面上の帯の投影面積は、どちらも増加してから減少するといえる。個人的にはパターン1で考えてたら式としてはわかったけどイメージができなくて、パターン2でなんとなく考えてからパターン1の三角関数の考え方を組み込んだら大分感覚的に理解できるようになったと思います。できれば球面上の帯とその投影面積の対応やそれらがどんな増減をするのかをアニメーションやグラフで動画にしたいところですが、残念ながらその技術力がないので誰か作ってください笑。あと、10:16の翻訳バージョン限定(?)のメタツッコミ面白くて好きです。
俺みたいなひん曲がった性格の「それがなんでそうなるの？じゃあなんでそれが？…以下略」を、納得できるまでとことん突き詰めてくれる素晴らしい動画でした。
本家を見て面白い物を小中学生の子供に見てもらっていました。翻訳版、めちゃくちゃ嬉しいです！
本質情報 助かる
まず4πR^2を円の面積の4倍と思わなかった
わかってから式見ると「当たり前じゃん」ってなりますけど最初はそんな気付けないですよね
論理も語り口もグラフィックも、美しいの一言に尽きますね。
超スーパー分かりやすいです。こういう直感的なことも理解できると応用が効くのうみそになりそう。
こうゆう動画見つけると数学やってて良かったって思える楽しい
😅
一応考えてみました。Q1：輪の円周は2RsinθQ2：影の面積は2RsinθcosθQ3：3番目の影だったら6番目の影の半分Q4：2n番目の輪っかの面積は、円のn番目の影の面積の倍(よって偶数番目の面積は円の面性の倍)Q5：非常に細かく分割すると、奇数番目の輪っかの合計と偶数番目の輪っかの合計が等しくなるため、球の面積は4πR2
思ったけどこの翻訳してる人はこの数学を理解するのはもちろん、翻訳するために英語も得意じゃないといけないし、それを分かりやすく伝える為に国語もできないといけない…ハイスペックすぎん？笑
気になって概要欄見たら、納得できる名前があったよ笑笑
中学で、世界地図についての説明を受けた時全然納得できなかったのですが、よく理解できました。
ここ2〜3年の学生って恵まれてるよな。TH-camで検索したら頭のいい人たちがこんなことまで解説してくれるんだから。公式が覚えられなかった人たちって多分何でこの公式になるのか分からないから覚えられなかったのかな？
恵まれてるからこそ、最近上位勢がサイボーグ化してて、それより下の人にとっては辛いんよ...。（例:数オリのハードル上昇）
これで納得できる人はべつにそれでいいと思う語呂合わせみたいな感覚で
ヒャッハー新しい数学だァー！
ご覧のように、数学は人を狂わせる力を持っています。なので数学は危険なのです。
学習意欲高めなゴロツキおるやん
理系はこうでないと
うp主と性格が真逆なコメ残すの草
世紀末《球》世主伝説
表面積を積分したら体積になることに気づいた時の感動は忘れない。
これはすごい。めちゃくちゃ分かりやすい。
こう言ったコンピュータグラフィックスを使った説明は視覚的分かり易さの究極と思います。
この人の動画ってちょうど中３までの知識で理解できるよね
疑問に思っていたが説明が素晴らしい😊✨数学って楽しい🎶💕
数三の習ってようやく証明できるようになった時は勉強してきてよかったって思った
素晴らしすぎる内容で感動しました。
これは凄く爽快感ありますね
昔からアメリカの教科書の方が読んで楽しく、理解しやすいですね。このシリーズは貴重。
自然な日本語の中に時々香る異国詩情
すごい動画だ。翻訳が完璧なんだろうなぁ。それに、元動画をしっかり理解していないとできない芸当だ。
すばらしい・・・・ 試験のない数学はとっても美しいし、好奇心をかき立てる！
ただただこの語り口と声が好きすぎてリピートして聞いてしまいます🥺笑内容は半分もついていけないのですが（おい）、この動画を通して数学って美しいんだなってはじめて感じることが出来ました。素敵な動画ありがとうございます。
数学でいろんなアハ体験が出来る所も数学の面白いと思う所だと思ってます
計算はさっぱりわからんけど、数学は面白いと思う
3:51 この詳細の味付けが全体の議論の遠巻きの構造と同じくらい面白い4:01 数学の問題を解く時は名前を付ける所から始めるのに損は無いです
楽しそうに話してくれるから興味が持てて面白く見てました
理系と文系の頂点みたいな動画やな
数学弱者向けタイトルから繰り出される数学強者向けレクチャー好
数学者の頭の中って、こんなイメージなんでしょうね。柔軟で、滑らかで、整理されたかんじ。CGのクオリティーも高いですね。私もこう言う映像作りたいです。
素晴らしい解説。公式丸暗記じゃなく何故そうなるのか…を理解すれば暗記が知識となる…を実感。だから数学は面白い。
視覚的にわかりやすく説明されているのが素晴らしいです。ナレーションもとても分かりやすいです。こんな教育を受けていれば、数学に興味を持つ人が増えるでしょうね(^_-)-☆
算数の話をしていて「理解できた！」と思ったら、終盤急に高等数学になった感じだけど、面白かった
こんなにわかりやすいのに自分の中の直感と乖離していて混乱します
直感的理解気持ち良すぎだろ！！！
素晴らしい！良い動画を翻訳するのはいい試みだと思います。
神動画やん
編集がすっごい
こういうのを見ると、数学余計に好きになるわ笑
死ぬほど分かりやす過ぎて死んだ
5:39の小さな三角形がゼロでない面積を持つならばその頂点の接線と三角形の斜辺とは一致しませんが、この議論では小さな三角形の斜辺を縮める極限をとる前提があるので、図の半径の極限は”接線を通る半径”に一致します。このとき、後の議論で”直角”としてとる角度も極限で直角に一致するので、この議論においては先に小さな三角形の頂点を通る半径を接線を通る半径扱いできるというわけです。後の演習で恐らく、このファジーさを利用しなければ問題3を解けないと思うんですが、どうなんでしょう...？
概要欄のリンクの掲示板にありましたね。どういう近似を採用して議論するかを考えなきゃならないから、結構難しい問題じゃないっすかｗしゃーないか
「球の表面積：4πR^2 は、 円の面積：πR^2 の4つ分」 …俺「へー、そうなんだ」くらいの低数学力の俺が、最後まで見続けてしまい視覚的に理解した気になれてしまう動画。
これを高校の時に考えに考えて自分の頭で理解した時に、それが受験の助けにもなりました。
中学で覚えた公式が高校の数学で関係付けられた時感動したわ
これ前英語版を見てなんとなくしか分からなかったけど日本語版あったんですね
めっちゃおもろい
どうしても、ラベル状にした時に球体の頂点の部分の面積が球体の時と比べて大きくなってる気がして仕方がない、表面積を求めてるわけだから、球体の状態の面積を拡大も収縮もしないでひっぺがして測る必要があるんじゃないかって思ってしまう
それなんですけど、もと球面だった曲面をどれだけ頑張って切り込むなり刻むなりしても、曲面自体が伸び縮しないと平面にピタッと貼れない事がわかってます。曲率が～と言いながら円盤状の紙を球に張れない映像の場面でさらっと流してたことの系ですね。自分は不勉強なので説明はできませんが、等積変換と曲率で調べたら必要な情報は出てくると思います。
滅茶苦茶面白い
球の中心軸方向に向かって光(点の集まり)を当てたら円柱、球の表面が光の束によって切り取られる部分の当てられた光の点の数が等しいから、これを360°同じことをすれば直感的に球の表面積と円柱の側面積が等しいことが分かる
この公式教えてもらったとき先生が例に出してくれたのが硬式野球のボールだった。縫い目をほどくと円が二つ真ん中でちぎれずに残った状態の図形が二つに分解できて直感的に理解できたわ。
測量屋です、地図編集で見慣れた環境におりました。今は定年退職で現場をはなれましたが、若い時の測量学校の授業で見たかったですね。とても良いものに出会えてありがたいです。学校では円の面積は、顔を指さして「心配アールの２乗」と習った記憶があります（笑い）
結局、小中学校では円に関係する面積なり表面積なりは求められないといけない(義務教育として、国民全体の学でないといけない)という側面があるような感じ。小学生の頃はさっぱり理解できず(そもそも数学センスなかったし)中学で微分の定義式までは勉強したけど独学で、その後は非常に重苦しい内容だった。けれど極限の考え方がしっくりくるようになって、数学好きになったかも。だから先生によっては微積を小学生でも教えていいような気がする。
2:10あたりの表面積が等しい話なんですが、世界地図でよく言われる「極付近は引き伸ばされて大きく見える」と言う話が、実は面積自体は実際のものと変わらないんですかね
この動画の、円筒への投影と、一般的なメルカトル図法は違いますよ。円筒への投影では、同じ経度の変化が同じ大きさで書かれますが、経度が実際の長さのR/dになったぶん、緯度がd/Rになるため、その効果で面積は保たれます。一方で、メルカトル図法では、経度がR/dになった場合に、緯度もR/dに書かれるため、実際には面積は。R/d*R/dに拡大して見えます。経度と一定の角度の航路が直線で書かれるのが、メルカトル図法の利点で、そのためには経度が引き延ばされた分、緯度も引き延ばして書いています。
なにこの最高の役立ち動画、映像もさることながら声も聞き心地よく素晴らしい
二重積分を使った表面積の公式と極座標、ヤコビアンを用いれば導出出来ますよね
電子工学科で無線工学系の問題をやるときによく「球の表面積」が出てきましたね。一様に帯電した球のから離れたところにある点Pにおける電界強度を求める的な奴だったお思います。無線技術士の資格試験の勉強で問題を解いていた頃を思い出しました。積分と言えば、小学生の時に三角形の面積の公式の「底辺×高さ÷２」が、長方形を対角線で切り取ると同じ三角形が二つあるので長方形の面積を「２」で割るというのはビジュアル的には理解できたのですが、なぜか「２」がピンと来ていなくて、その存在にモヤモヤしていたのですが(なぜモヤっていたかは自身でも不明)、その後積分を学ぶ段階で三角形の面積が一次関数Ｙ＝ａＸの定積分(及びＹ＝－ｂＸの定積分との和)の結果と知った時に「この２か！」とこれまた変な所で納得したのも思い出しました。
数学好きじゃないのに、この動画の日本語も聞いてもなかなか聞き取れないの外国人の私が何故このビデオ見てるかわからない
演習、イメージを得るために積分はやめようねといいつつ三角関数の公式必須（だよね多分）なの、こんちくしょうという気分だZE
シンプルでとてもきれいですね。 円周 円面積 球表面積 球体積 2πr πr^2 4πr^2 4/3πr^3 は rで積分した様な関係になってる
微積学んだとき1時間くらいかけて導き出せてめっちゃ気持ちよかった
円周率は無限であるから、それが数学の面白さでもあるし、このCG作った人も天才。
空間的4次元を虚数軸の１つと仮定して考えると円筒は4次元目の軸が最大の長さを持つときに3次元スクリーンに投影された形。球は4次元目の軸が最小値になったときに3次元スクリーンに投影された形とも取れますね。距離の2乗に反比例して互いに影響度が少なるのは、重力や磁気学で表現されますがそれは4次元目の空間軸の性質の結果だとも思うのです。まるで4次元目は実体化したくない意志を持っているように閉じる方向で安定するのです。その辺球やπが表す秘密と美しさがあると思うのです。
非ユークリッド幾何学にも通ずる話で非常に面白かったです
声が良い
同じことだけど、コンピュータグラフィックスで確認しても同じ結果が出ると思う。円のシワの面積を性格に計算する必要があるけど。なんとなく
正弦の倍角の定理がきれいに使えて感動した！↓解答の要点↓計算していくと、θにおける影の面積が、2θにおける球表面のリングの面積の半分になっている。そして0→π/2において、前者を積分すると円の面積になって、後者を積分すると球の面積の半分になる。
本家が伝えたい数学の面白さを、和訳によって誰でも楽しめるようにするのは素晴らしいことだと思います、本当に感謝
英語ができない日本人にも
私のようながっつり文系人間にもw。
1を10にすることって社会に必要ですよね。
疑問に思ったことを次に説明してくれて、
なんの話だっけって思った時に振り返ってくれて
めっちゃ僕のこと好きじゃん
ちょうど先週数3の授業でやったばかりだから積分だけの証明じゃなくて図形的な証明加えるだけでめちゃくちゃ内容が頭に入ってくる
素人が「おいまてまてなんでそうなるんだよ」ってことをちゃんとわかっててしっかり戻ってくれるのすごく頭がいい人の動画なんだなって感じました
なおラスト４分で一気に置いていかれた模様
Me too
稀にいる話がとてつもなく上手い先生の講義受けてるみたいだ…
「損はないですからね」とか特徴のあるフレーズがあるのも先生っぽいw
曖昧だった知識が明確なものになるのは気持ち良いっすね…
本家のサムネを見かけて、これ翻訳版出してくれないかなあと思っていたうちの一つ。やはりとっても面白かった。投稿ありがとうございます。
これ投稿主が作ってるんじゃないんですか？
@@あおあ-t6w 概要欄にもありますが、3blue1brownという海外の方の動画を投稿主が有志で日本語翻訳したものですね
凄く丁寧なつくりだなぁ、作者グループの情熱を感じるわ。使ってる数学アニメーションツールも素晴らしい出来のようだな。
表面積と影の関係の話が楽しみすぎる
動くグラフ、動きと語りのタイミングが合っている、こんな素晴らしい動画はどうやって作れるんだろう。本当に感心します。
日本語の表現も発音もかなり自然で、とてと驚きです。助かります。
東大の人が翻訳して話してるからね
今の高校生って恵まれてるなぁ。
こんなに簡単に解説してくれる「教師」がインターネットの中にタダで存在しているんだもんな。
編集が好きすぎる見てて楽しい
小学校の算数の教科書で、円周の長さと円の面積の関係の説明のために細かい三角形に分割する話が載ってたのが面白くて印象的だったんだよね
それは積分の学習の伏線になっていて教科書のエラいポイントでもあるわけだけど
球の表面積の話はそんな風に直感的に理解できず10年以上モヤモヤしていたから、この動画に出会えて良かったです
>モヤモヤしていたものが…
ものすごく共感します。この快感って、算数、数学を学んだものしか味わえないんでしょうね。しかも、今はこのようなイメージ動画でかっちりと感覚を直感的につかむことができる。良い時代になったものです。私のような、思いっきし文系の人間にも数学の素晴らしさが味わえますから。小中学生では、2:05まででも、十分に楽しめると思います。
>>それは積分の学習の伏線になっていて
今の教科書がどうなっているかは知りませんが、私の高校時代の数学の教科書では、積分の最初の説明は、「積分とは微分の逆操作です」というような、少々、強引な導入でした。確かに逆操作であることは間違いないのですが、積分という概念そのものに対する説明ではなかったため、「結局、積分って何なんだ」という本質的な疑問が解消したのは、大学に入ってからでした。
私は教育者ではないため、教科書編纂についてあれこれ言う立場にありませんが、積分を教える際、最初はこの動画のように、球の表面積を題材にするのが良いと思っています。
ところで、アニメ Fate プリズマ☆イリヤの中で、美遊が円錐の体積を求める際、小学生であるにも関わらず、積分を用いて問題を解いている場面があります。
そんな凄い小学生はアニメの世界だけだろうと思っていましたが、現実の世界にも、小学生で既に「大学への数学」を購読している児童もいらっしゃるようです。
「小学生には早すぎる」という意見もあるかもしれませんが、発展的な学習として、小学校の算数の教科書の中で積分について取り上げても良いと思います。
微積分を本質的に理解すると、数学の面白さ・凄さに気づかされます。しかし、そこまで数学を理解する前に挫折した人、面白さを知る機会を逃してしまった人が大勢います。これはICTがますます重要になり、数学力が重視されるこれからの時代、日本にとって大きな損失です。
数学の面白さに、可能な限り早い段階（出来れば、進路選択の重要な分岐点となる高校受験や大学受験の前）で気づくことができるような教育を期待したいです。（それが今回の動画のようにyoutube上でも良いでしょうし、あるいは別のプラットフォームでもいいかもしれませんが）
@@user-dq3ht8st5h😂 0:29
@@user-dq3ht8st5h
内容は私には難しかったけど、アニメーションがとても芸術的で見ているだけで感動しました。内容もわかったような気になりました。すばらしい！
コメント欄のわかる方。
↓ 三角関数sin, cosがわかるなら、自分で考えた方が楽しいです。
↓
↓
Q1. リングの内側の円周の長さをRとθで表せ。また、それにRdθを掛けたリングの面積は。
円周の半径はRsinθなので円周の長さは2πRsinθ
幅Rdθを掛けて、リングの面積は2πR^2 sinθdθ
これを、0≦θ≦πで積分すると、球の表面積4πR^2が求まる。
Q2. リングの影の面積は何か。Rとθとdθで表せ。
影の内側の半径はRsinθ
リングの幅Rdθを斜辺とするような小さい直角三角形を考えると、左の角がθとなるので、影の幅はRcosθdθ
影の面積は円の面積の差から(Rsinθ+Rcosθdθ)^2π - (Rsinθ)^2π = πR^2(2sinθcosθdθ +(cosθdθ)^2)
(dθ)^2は微小量の２乗なので無視して、2πR^2 sinθcosθdθ
Q3. リングの影の面積は、どのリングの面積の1/2倍か。
ありがたく倍角公式 sin2θ=2sinθcosθを使わせてもらって
(リングの影の面積)=2πR^2 sinθcosθdθ = πR^2 sin2θdθ = 1/2 (2πR^2 sin2dθ) = 1/2(2θに対応するリングの面積)
Q4. 北半球の影つまり、半径Ｒの円と、偶数番目のリングはどのような関係か。
角θにあたるリングの影は、角2θにあたるリングの面積の半分。1番目のリングの影は、２番目のリングの面積の半分。
n番目のリングの影は、2n番目のリングの面積の半分。
北半球の影は、球全体のリングの偶数番目のリングの面積の半分。
Q5. なぜこれが、円の面積が球の表面積の1/4であることを示すのか。
球全体が偶数個のリングに分割されるとき、上から数えて奇数番目のリングは、下から数えて偶数番目のリング。
何が言いたいかというと、偶数番目のリングの面積の合計と、奇数番目のリングの面積の合計は等しい。
球の表面積の半分の面積の半分が、円の面積と等しいから、円の面積は球の表面積の1/4であることが示される。
とても面白かったです。
このチャンネルから3blue1brownのことを知りました。今後の動画も楽しみにしています。
やばすぎ
いったん自分で解いてあとで確認させていただきます。
問2の面積の問題
外側の円の面積を求める為に半径を（内側の半径+輪の幅）で求めていますが、
この半径の値をRsin(θ+dθ)から求めることって出来ますか？
@@イッヌ-h8d しばらく計算や近似を行ったのですがしっくりする回答は得られませんでした…
そもそも小さい数を二乗したら実質0だよね(適当な説明)といった感じで近似しようと思いやってみたのですが。
πやRや引くRsinθの部分はカットして、sin^2(θ+dθ)≒(sinθ+cosdθ)^2が言えればいい。左辺を加法定理で分解して
(sinθcosdθ+cosθsindθ)^2
＝(sinθcosdθ)^2+(cosθsindθ)^2
+2sinθcosdθcosθsindθ
cos^2dθ＝1,sin^2dθ＝0とすると
(近似の~2個のやつが表示できないです)
sin^2θ+2sinθcosθ(sindθcosdθ)
右辺を分解すると
sin^2θ+2sinθcosθ(dθ)
2つの()の中身は微小角なので実質同じともみてとれるような気がしますが答えを知っていないと無理ですね💦
最初に弧を直線とした段階を挟んでいない近似だからでしょうか。
ちなみに私の場合だとリングを
短い辺Rcosθdθ×長い辺2πRsinθの長方形としてみると計算段階に近似を入れず求められました。あなたの求める回答にはなっていなくてもどかしいですが…
長文失礼しました。
[悲報]高1ワイ、何も理解できず脳がショートする
わかった！ っと思ったらすでにコメント欄にとても良く分かる方がいらっしゃったので、
厳密ではないけど、直観的にわかりやすい説明をしてみます......。
11:39 Q1
球面上の◎の面積を求めるためには、円の半径と、◎の幅がわかればよい。
内側の円の半径は、球を真横(y軸方向)から見て、Rsinθ
だから、その円周は半径に2πをかけて、2πRsinθ
［外側の円の半径はRsin(θ+dθ)になるけど、dθはとてもとても小さいから、あまり気にしなくてよい。4:13 ］
◎の幅はdθ(弧度法による円弧の公式...というか定義)だから、
球面上の◎の面積は
2πRsinθ×dθ= 2πR²dθsinθ
12:08 Q2
陰の部分の◎は、内側の円の大きさは球面上の◎と同じだけど、内側の円と外側の円の間の距離が短い。
7:12 と同じように相似な△を考えると、小さい△は大きい△のdθ倍になっている。
陰の部分の◎の幅、つまり小さい△の横幅は、大きい△の縦幅のdθ倍だから、
Rcosθ×dθ=Rdθcosθ
だから陰の部分の◎の面積は、これにQ1 で求めた円周: 2πRsinθ をかけて、
2πRsinθ×Rdθcosθ= 2πR²dθsinθcosθ。
12:22 Q3
陰の部分の◎の面積は、二倍角の公式を使って
2πR²dθsinθcosθ=πR²dθsin2θ
とかける。
これとQ1 で求めた球面上の◎の面積: 2πR²dθsinθ を見比べると、
ちょうどθを2θに変えて2倍したものになっている。
つまり、陰の部分の◎の面積は、θ(地球で例えると緯度)が2倍になったところの球面上の◎の面積の½ 。
12:44 Q4
北極(x, y=0, z=R)から緯度dθの間隔で地球をスライスして、たくさんの◎にわける。
そして、北極点に一番近い方から1番、2番、...と番号をつける。
Q3 から、
1番目の球面の陰の◎は、緯度が2倍である2番目の球面の◎の面積の½ 。
2番目の球面の陰の◎は、緯度が2倍である4番目の球面の◎の面積の½ 。
3番目の球面の陰の◎は、緯度が2倍である6番目の球面の◎の面積の½ 。
…というふうに関係づけられる。
12:59 Q5
すると、北半球の全部の陰を覆う面積は、偶数番目だけの球面の◎の面積の合計の½ になる。
つまり、円の面積の2倍は偶数番目だけの球面の◎の面積の合計と等しい。
また、偶数番目だけの球面の◎の面積の合計と奇数番目だけのそれは等しい。
［◎の幅、つまりRdθはとてもとても小さいから、隣り合う球面上の◎の面積は等しい。
……さすがに苦しいかな？］
ゆえに、円の面積の4倍は球面全体の面積と等しい。
5:33 「これは本質情報ですが」でニヤッとしてしまった
1.
2πR^2*sinθdθ：積分すると2πR^2[(-cosπ)-(-cos0)]
2．
2πR^2*sinθcosθdθ
3.
2を2倍角の公式で変形
1/2(2πR^2*sin2θdθ)
1の影の面積は角度2θの時の帯の面積の1/2(0
↑が正しい解説だけど、2倍角の公式と偶数番目云々が一般の方々にはハードルが高い。動画が謎掛けで終わっているのは、直感的な説明が無理だったためでしょう。むしろ後半はカットして、かわりに前半の円→三角形の等積変形をきちんと説明して完全な証明にしたほうが美しかったかな。。
9ヶ月前のコメントに失礼します。なぜ2番の答えが、1番の答えにcosθをかけた形になるのか教えていただけませんか？
いくら解いてもcosθではなくRcosθdθになってしまって...
@@コロまる-b4k
ほとんど合ってると思いますが…
Rcosdθに影のリングの内側の円周である2πRsinθを掛けると影の面積の近似かと思います。
私も覚えていなくて動画を見直しましたよ😄
問5は、輪の数を偶数個に分ければ、下から偶数番目の輪の面積を足すのと上か
ら奇数番目の輪の面積を足すのは同じことだと考えれば分かりやすいかもしれま
せんね。
5:54 ここで使われている映像表現のような、変数の変化による視覚的な変化を自身の頭の中でイメージする能力、つまり何かが変化した時、伴って変化する全てを含めた全体像を連続ししたビジュアルとして捉える能力は、学習の早い段階で獲得しておくことで非常に役に立つと思います。
実際、中学受験をするような小学生の一部は、すでにこうした能力を身につけ始めていて、あらゆる問題を解決する際に、問題の裏に隠された「こうなったらこうなる」を見つけだすのが非常にうまいのです。
「ここからが面白いんだよ」というパートが割愛されてしまう解説動画は多いですが、
この動画は、わかってますねえ。
中学生に球の面積や体積の公式を教えるときに、微積分を使わずに教える方法に苦慮していたのですが、とても参考になる動画だなと思いました。
いい声だしめっちゃ分かりやすい
素晴らしい 話を聞いていく中で生まれる疑問全てに分かりやすく答えてくれるから置いてけぼりになることがない
我々には積分という便利な道具があるため、表面積を出すことは容易いが
その結果を円の面積と繋げて考えるというのは他のことでも大事な姿勢だと思う。
ミラーボール作ろうと思ってたんで助かる。
長方形を赤道付近が正方形で端っこほど細長くなるようにカットして９０度傾けて貼っていけばいいわけね。
この人いい…
内容理解してながら話してるのめちゃいい…
本家見た時からずっと待ってた。ありがとう
専門的な事しか言ってないのに直感的に分かりやすく動画構成してるの普通に凄い。
ただ分かりやすく伝えることだけを考えてるのではなく、数学というエンタメをなるべくそのまま伝えるようにしてるのが個人的にめちゃくちゃ好感持てました。
眠れない日はいつもこの投稿者の動画を見てます
こういう授業がいい
”2Θの球面上の帯の面積と、Θの球面上の帯の面積の投影面積が、伴って変化すること”の感覚的な理解が難しかったので、2パターンのイメージ方法を考えてみました。
パターン1（比例による理解）
Θの球面上の帯の面積はz軸からの距離に比例するのでsin(Θ)に比例．①
その投影面積はさらにcosΘに比例するので、sin(Θ)cos(Θ)に比例，つまりsin(2Θ)に比例．②
①から，2Θの球面上の帯の面積はsin(2Θ)に比例．③
②と③から、2Θの球面上の帯の面積は，Θの球面上の帯の面積の投影面積に比例する．
パターン2（増減による理解）
Θの球面上の帯は、Θが0°から180°まで増加するにつれてz軸からの距離が増加してから減少するため、面積も増加してから減少する。
Θの球面上の帯の投影面積は、Θが0°から90°まで増加するにつれ、z軸からの距離は増加し続ける(0→R)が幅は減少し続ける(RdΘ→0)ので、かけ合わせるとこちらも増加してから減少する。
これらを対応付けると、2Θ(0°≦Θ≦90°)の球面上の帯の面積と、Θ(0°≦Θ≦90°)の球面上の帯の投影面積は、どちらも増加してから減少するといえる。
個人的にはパターン1で考えてたら式としてはわかったけどイメージができなくて、パターン2でなんとなく考えてからパターン1の三角関数の考え方を組み込んだら大分感覚的に理解できるようになったと思います。
できれば球面上の帯とその投影面積の対応やそれらがどんな増減をするのかをアニメーションやグラフで動画にしたいところですが、残念ながらその技術力がないので誰か作ってください笑。
あと、10:16の翻訳バージョン限定(?)のメタツッコミ面白くて好きです。
俺みたいなひん曲がった性格の「それがなんでそうなるの？じゃあなんでそれが？…以下略」を、納得できるまでとことん突き詰めてくれる素晴らしい動画でした。
本家を見て面白い物を小中学生の子供に見てもらっていました。
翻訳版、めちゃくちゃ嬉しいです！
本質情報 助かる
まず4πR^2を円の面積の4倍と思わなかった
わかってから式見ると「当たり前じゃん」
ってなりますけど最初はそんな気付けないですよね
論理も語り口もグラフィックも、美しいの一言に尽きますね。
超スーパー分かりやすいです。こういう直感的なことも理解できると応用が効くのうみそになりそう。
こうゆう動画見つけると数学やってて良かったって思える
楽しい
😅
一応考えてみました。
Q1：輪の円周は2Rsinθ
Q2：影の面積は2Rsinθcosθ
Q3：3番目の影だったら6番目の影の半分
Q4：2n番目の輪っかの面積は、円のn番目の影の面積の倍(よって偶数番目の面積は円の面性の倍)
Q5：非常に細かく分割すると、奇数番目の輪っかの合計と偶数番目の輪っかの合計が等しくなるため、球の面積は4πR2
思ったけどこの翻訳してる人はこの数学を理解するのはもちろん、翻訳するために英語も得意じゃないといけないし、それを分かりやすく伝える為に国語もできないといけない…
ハイスペックすぎん？笑
気になって概要欄見たら、納得できる名前があったよ笑笑
中学で、世界地図についての説明を受けた時全然納得できなかったのですが、よく理解できました。
ここ2〜3年の学生って恵まれてるよな。TH-camで検索したら頭のいい人たちがこんなことまで解説してくれるんだから。公式が覚えられなかった人たちって多分何でこの公式になるのか分からないから覚えられなかったのかな？
恵まれてるからこそ、最近上位勢がサイボーグ化してて、それより下の人にとっては辛いんよ...。（例:数オリのハードル上昇）
これで納得できる人はべつにそれでいいと思う
語呂合わせみたいな感覚で
ヒャッハー新しい数学だァー！
ご覧のように、数学は人を狂わせる力を持っています。なので数学は危険なのです。
学習意欲高めなゴロツキおるやん
理系はこうでないと
うp主と性格が真逆なコメ残すの草
世紀末《球》世主伝説
表面積を積分したら体積になることに気づいた時の感動は忘れない。
これはすごい。めちゃくちゃ分かりやすい。
こう言ったコンピュータグラフィックスを使った説明は視覚的分かり易さの究極と思います。
この人の動画ってちょうど中３までの知識で理解できるよね
疑問に思っていたが
説明が素晴らしい😊✨
数学って楽しい🎶💕
数三の習ってようやく証明できるようになった時は勉強してきてよかったって思った
素晴らしすぎる内容で感動しました。
これは凄く爽快感ありますね
昔からアメリカの教科書の方が読んで楽しく、理解しやすいですね。このシリーズは貴重。
自然な日本語の中に時々香る異国詩情
すごい動画だ。
翻訳が完璧なんだろうなぁ。
それに、元動画をしっかり理解していないとできない芸当だ。
すばらしい・・・・ 試験のない数学はとっても美しいし、好奇心をかき立てる！
ただただこの語り口と声が好きすぎてリピートして聞いてしまいます🥺笑
内容は半分もついていけないのですが（おい）、この動画を通して数学って美しいんだなってはじめて感じることが出来ました。素敵な動画ありがとうございます。
数学でいろんなアハ体験が出来る所も数学の面白いと思う所だと思ってます
計算はさっぱりわからんけど、数学は面白いと思う
3:51 この詳細の味付けが全体の議論の遠巻きの構造と同じくらい面白い
4:01 数学の問題を解く時は名前を付ける所から始めるのに損は無いです
楽しそうに話してくれるから興味が持てて面白く見てました
理系と文系の頂点みたいな動画やな
数学弱者向けタイトルから繰り出される数学強者向けレクチャー好
数学者の頭の中って、こんなイメージなんでしょうね。柔軟で、滑らかで、整理されたかんじ。
CGのクオリティーも高いですね。私もこう言う映像作りたいです。
素晴らしい解説。公式丸暗記じゃなく何故そうなるのか…を理解すれば暗記が知識となる…を実感。だから数学は面白い。
視覚的にわかりやすく説明されているのが素晴らしいです。ナレーションもとても分かりやすいです。こんな教育を受けていれば、数学に興味を持つ人が増えるでしょうね(^_-)-☆
算数の話をしていて「理解できた！」と思ったら、終盤急に高等数学になった感じだけど、面白かった
こんなにわかりやすいのに自分の中の直感と乖離していて混乱します
直感的理解気持ち良すぎだろ！！！
素晴らしい！良い動画を翻訳するのはいい試みだと思います。
神動画やん
編集がすっごい
こういうのを見ると、
数学余計に好きになるわ笑
死ぬほど分かりやす過ぎて死んだ
5:39の小さな三角形がゼロでない面積を持つならばその頂点の接線と三角形の斜辺とは一致しませんが、この議論では小さな三角形の斜辺を縮める極限をとる前提があるので、図の半径の極限は”接線を通る半径”に一致します。このとき、後の議論で”直角”としてとる角度も極限で直角に一致するので、この議論においては先に小さな三角形の頂点を通る半径を接線を通る半径扱いできるというわけです。
後の演習で恐らく、このファジーさを利用しなければ問題3を解けないと思うんですが、どうなんでしょう...？
概要欄のリンクの掲示板にありましたね。どういう近似を採用して議論するかを考えなきゃならないから、結構難しい問題じゃないっすかｗ
しゃーないか
「球の表面積：4πR^2 は、 円の面積：πR^2 の4つ分」 …俺「へー、そうなんだ」
くらいの低数学力の俺が、最後まで見続けてしまい視覚的に理解した気になれてしまう動画。
これを高校の時に考えに考えて自分の頭で理解した時に、それが受験の助けにもなりました。
中学で覚えた公式が高校の数学で関係付けられた時感動したわ
これ前英語版を見てなんとなくしか分からなかったけど日本語版あったんですね
めっちゃおもろい
どうしても、ラベル状にした時に球体の頂点の部分の面積が球体の時と比べて大きくなってる気がして仕方がない、表面積を求めてるわけだから、球体の状態の面積を拡大も収縮もしないでひっぺがして測る必要があるんじゃないかって思ってしまう
それなんですけど、もと球面だった曲面をどれだけ頑張って切り込むなり刻むなりしても、曲面自体が伸び縮しないと平面にピタッと貼れない事がわかってます。
曲率が～と言いながら円盤状の紙を球に張れない映像の場面でさらっと流してたことの系ですね。
自分は不勉強なので説明はできませんが、等積変換と曲率で調べたら必要な情報は出てくると思います。
滅茶苦茶面白い
球の中心軸方向に向かって光(点の集まり)を当てたら円柱、球の表面が光の束によって切り取られる部分の当てられた光の点の数が等しいから、これを360°同じことをすれば直感的に球の表面積と円柱の側面積が等しいことが分かる
この公式教えてもらったとき先生が例に出してくれたのが硬式野球のボールだった。縫い目をほどくと円が二つ真ん中でちぎれずに残った状態の図形が二つに分解できて直感的に理解できたわ。
測量屋です、地図編集で見慣れた環境におりました。今は定年退職で現場をはなれましたが、若い時の測量学校の授業で見たかったですね。とても良いものに出会えてありがたいです。学校では円の面積は、顔を指さして「心配アールの２乗」と習った記憶があります（笑い）
結局、小中学校では円に関係する面積なり表面積なりは求められないといけない(義務教育として、国民全体の学でないといけない)という側面があるような感じ。小学生の頃はさっぱり理解できず(そもそも数学センスなかったし)中学で微分の定義式までは勉強したけど独学で、その後は非常に重苦しい内容だった。けれど極限の考え方がしっくりくるようになって、数学好きになったかも。だから先生によっては微積を小学生でも教えていいような気がする。
2:10あたりの表面積が等しい話なんですが、世界地図でよく言われる「極付近は引き伸ばされて大きく見える」と言う話が、実は面積自体は実際のものと変わらないんですかね
この動画の、円筒への投影と、一般的なメルカトル図法は違いますよ。
円筒への投影では、同じ経度の変化が同じ大きさで書かれますが、経度が実際の長さのR/dになったぶん、緯度がd/Rになるため、その効果で面積は保たれます。
一方で、メルカトル図法では、経度がR/dになった場合に、緯度もR/dに書かれるため、実際には面積は。R/d*R/dに拡大して見えます。経度と一定の角度の航路が直線で書かれるのが、メルカトル図法の利点で、そのためには経度が引き延ばされた分、緯度も引き延ばして書いています。
なにこの最高の役立ち動画、映像もさることながら声も聞き心地よく素晴らしい
二重積分を使った表面積の公式と極座標、ヤコビアンを用いれば導出出来ますよね
電子工学科で無線工学系の問題をやるときによく「球の表面積」が出てきましたね。
一様に帯電した球のから離れたところにある点Pにおける電界強度を求める的な奴だったお思います。
無線技術士の資格試験の勉強で問題を解いていた頃を思い出しました。
積分と言えば、小学生の時に三角形の面積の公式の「底辺×高さ÷２」が、長方形を対角線で切り取ると同じ三角形が二つあるので長方形の面積を「２」で割るというのはビジュアル的には理解できたのですが、なぜか「２」がピンと来ていなくて、その存在にモヤモヤしていたのですが(なぜモヤっていたかは自身でも不明)、その後積分を学ぶ段階で三角形の面積が一次関数Ｙ＝ａＸの定積分(及びＹ＝－ｂＸの定積分との和)の結果と知った時に「この２か！」とこれまた変な所で納得したのも思い出しました。
数学好きじゃないのに、この動画の日本語も聞いてもなかなか聞き取れないの外国人の私が何故このビデオ見てるかわからない
演習、イメージを得るために積分はやめようねといいつつ三角関数の公式必須（だよね多分）なの、こんちくしょうという気分だZE
シンプルでとてもきれいですね。
円周 円面積 球表面積 球体積 2πr πr^2 4πr^2 4/3πr^3 は rで積分した様な関係になってる
微積学んだとき1時間くらいかけて導き出せてめっちゃ気持ちよかった
円周率は無限であるから、それが数学の面白さでもあるし、
このCG作った人も天才。
空間的4次元を虚数軸の１つと仮定して考えると円筒は4次元目の軸が最大の長さを持つときに3次元スクリーンに投影された形。球は4次元目の軸が最小値になったときに3次元スクリーンに投影された形とも取れますね。
距離の2乗に反比例して互いに影響度が少なるのは、重力や磁気学で表現されますがそれは4次元目の空間軸の性質の結果だとも思うのです。まるで4次元目は実体化したくない意志を持っているように閉じる方向で安定するのです。その辺球やπが表す秘密と美しさがあると思うのです。
非ユークリッド幾何学にも通ずる話で非常に面白かったです
声が良い
同じことだけど、コンピュータグラフィックスで確認しても同じ結果が出ると思う。円のシワの面積を性格に計算する必要があるけど。なんとなく
正弦の倍角の定理がきれいに使えて感動した！
↓解答の要点↓
計算していくと、θにおける影の面積が、2θにおける球表面のリングの面積の半分になっている。
そして0→π/2において、前者を積分すると円の面積になって、後者を積分すると球の面積の半分になる。