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- เผยแพร่เมื่อ 7 ก.พ. 2025
- 【 難易度：★☆☆☆☆ 】
2015年の桐朋中学の入試問題です。
▼重要な解法ポイント
①面積がわかっている三角形の底辺と高さの関係を考えてみましょう。どことどこの三角形の底辺や高さが共通しているかなどを見ていくと色々分かってくるはずです。
②あとは長方形の中の4つの三角形の関係性を紐解くことができればものの数秒で答えを導くことができるはずです。
とても面白いパズルのような問題でしたね。
知っていたり、気づけば一瞬で解ける問題だったと思います。
中学受験の図形ならではな感じが良いですね！
長方形の中のある点に各頂点から線が引いてあるような問題の典型的な解法だったと思います。
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図形問題が苦手な私にもとても分かりやすい解説でした。もっと挑戦していきたいです。
中学受験の算数って、本当に値打ちのあるものですね。思考力が鍛えられて、磨かれて。ご指導、ありがとうございました。
点Eを通るように垂直（縦）に補助線を引いてあげた方が簡単だと思います。
式だけ簡単に書くと
（13+17）-19＝11
で、すぐに答えが導けます。
詳しく書くとするなら
点Eを通るように垂直に線を引くので、
例えば、ADと交わる点をF、BCと交わる点をGとします。
四角形と三角形の特徴から、□ABGFの面積は19×2になります。
と言う事は、⊿DEFと⊿CEGの合計は（13+17）から19を引いた値になります。（11）
※⊿AEFと⊿BEGの合計は19なので。
そしてこの⊿DEFと⊿CEGの合計11は、⊿CDEと同じ値になるので、11。
計算式は上記に書いた通り13+17-19＝11となります。
点Eから長方形の4辺に垂線を下ろして直角三角形8つのパズルを作る
点A～Dから反時計回りに、分割された辺の長さをa～dと置く
求めるべき面積をxと置く
ab/2+bc/2=19…①
bc/2+cd/2=17…②
cd/2+da/2=x…③
da/2+ab/2=13…④
②+④-①より、
cd/2+da/2=11…⑤
③-⑤より、
x=11
問題を見て、解ける訳がないとすぐに諦めがつきました。
解説を拝見してこんな解き方があるのかと感心させられっぱなしです。
12：30のあたりで△BCE’の辺CE’を固定して 頂点Bを頂点Aまで移動する等積変形で
△ADE’と合体させて△ADC＝30
よって△ABC=△ABE’＝30−19＝11の方がすっきりするのでは？
等積変形分からなくても、三角形は底辺x高さ÷2これは同じ底辺x高さの四角形の半分というで、向かい合う三角形の面積を足して2倍すれば四角形全体の面積が得られますね。
すごいですね！40歳の私てもわかりました。最近の先生は面白くてわかりやすいですね！
嬉しいコメントをありがとうございます！大変励みになります！！
良問ですね！等積変形以外の解き方が目から鱗でした。
上下の２つの三角形は長方形の長辺を底辺とすると高さの合計が長方形の短辺になり、左右の２つの三角形は長方形の短辺を底辺とすると高さの合計が長方形の長辺になる。
よって、どちらの三角形の組の面積の和も長方形の長辺×短辺÷2となり、長方形の半分となる。
従って、求める三角形の面積は上下の三角形の面積の和から左の三角形の面積を引いて11
小学生で勉強を諦めた自分でも理解することができました！
菅藤先生のような天才に教わりたかったです！！
嬉しいコメントありがとうございます！大変励みになります。
ニュースを見てきました。とてもわかりやすすぎたので今度から見ます！
とても、詳しくありがとうございました🍀
長かったけど、その分、とても分かりやすかったです😄
ご視聴ありがとうございます！！励みになります！
Eを起点に垂直十字の補助線を引く（②の解法）。
補助線と元の図形でできる各三角形の面積は同じになるので△ABE(19平方センチ)は△ADE(13平方センチ)+△BCE(17平方センチ)の一部である。
よって13+17-19＝11。
小学校の解き方だとこれかな。
このレベルの問題でも脳が拒絶しそうな頭の者ですが視覚的で丁寧に説明して理解出来ました、ありがとうございます
この問題、面積しか指定されてないので、自分はこの長方形自体を、問題文の条件に反しない範囲で勝手に変形する方法で解きました
△AEDと△EBCは底辺の長さが共通で、高さだけが違う
そして、「EからADまでの高さ：EからBCまでの高さ＝13：17」であることを利用して、
EからADまでの高さ＝13cm、EからBCまでの高さ＝17cmと勝手に設定すると、
△AEDの面積＝13c㎡＝AD×13÷2 よってAD＝2cm 同様に求めてBC＝2cm
よって、この長方形はAB＝DC＝30cm、AD＝BC＝2cmという、縦に細長い長方形に変形することができます
あとは、この長方形の面積が30×2＝60c㎡なので、△DECの面積＝60－（13＋17＋19）＝11c㎡
これで終了ですね。
閃くまで1～2分かかりましたが、計算自体はすぐ終わりました。
面積だけが指定されていて底辺と高さが指定されていないなら、底辺と高さを都合の良いように設定してしまえば良いと思います。
さらに詳細に計算すると、△ABEの面積＝（30cm×高さ）÷2＝19c㎡
よってEからABまでの高さ＝19/15cm
AD＝2cm、EからABまでの高さ＝19/15cmであることにより、
EからDCまでの高さ＝2－19/15＝11/15cm
CD＝30cm、EからDCまでの高さ＝11/15cmなので、△DECの面積＝30×11/15÷2＝11c㎡
ですので、検算もOKです。
編集したら投稿者からのハートマークが消えることを初めて知りました
せっかくハートマークを付けてくださったのに、編集してしまってすみません💦
こういう問題って、直感で答え出してからちゃんとそうなるか途中の変形とかを考えるのが楽しい
数学の本質を突いた問題ですね。数学はなぜ学ぶのか。何を学び、どう活かすのか？まで見えてくる問題ですね。😮
点Eを辺ADに接触するまで上に移動させたとして
1.三角形ABEの面積19と三角形CDEの面積Xは変わらない
2.三角形BCEの面積は、13+17で30であり
3.三角形BCEの面積は、四角形ABCDの半分である
4.三角形CDEの面積は、X=30-19=11となる って考えたら良いのかね？
おもろー😊論理は日常だからこの考え方自体が役に立つ『等積変化』Eは動かせる、動かせないという思い込みが一つ解消され私の心は救われたのだ、初めはもう駄目かと思った、この世の終わりだと、しかし希望はあったのだ、等積変形さんあなたは希望
嬉しいコメントをいただき有難うございます！
①の解き方を単純化していうと、上下の三角形の高さは合わせるとABになって、常にAB*BC/2になるってことよね。
自然に半分だってわかっちゃってるから丁寧な説明は証明にもなるのでいいですね
交点を通るように水平直線（接線と直角に交わる）を引く。
上半分の長方形の面積は26、下半分の長方形の面積は34。
図形全体の長方形の面積は60。
そこから、面積が分かっている3つの三角形の面積（19＋13＋17）＝49
を引いた値が、問われた三角形の面積になる。
小4で解ける問題。
点Eを通るように十字に補助線を引くと、その線は各三角形の高さを含みます。
△ABEと△DECの高さを足すと長方形の長辺、△AEDと△EBCの高さを足すと長方形の短辺になります。
後は三角形の面積の公式を知っていれば、この関係性に当てはまて行けば、いけました。（代数的になるからダメですかね？）
長方形だからAD=BC、
また、三角形ADEの高さと三角形BCEの高さを足した高さはAB
よって
ADE+BCE=AD×AB÷2
同様にABEとDCEについても考えると
ABE+DCE=AB×AD÷2
になる。式の形を見比べてあげれば
ADE+BCE=ABE+DCE
となることがわかって、
DCE=ADE+BCE-ABE
となる。
これ一瞬で解ける人すごいなあ。僕は時間かかってしまった。そして説明がとても分かりやすいです！
②③の別解釈みたいな感じだけど、
Eに水平線引くと、ADEと切り抜いた同一面積の残り半分X、同様にBCEと残りYで、
X+Yが30でABEの19を引くと11だなと考えました。
△DEÈと△AEÈは共通の底辺EÈを持つ等積変形されたもの。
△CEÈと△BEÈも同様。
△EBCと△ÈBC,
△EADと△ÈADもそれぞれ等積なので
△EDC=△ABÈ-△ABE=13+17-19
自分は縦横に補助線引いて単純に等しい三角形の組み換えで13＋17−19を導いたが、確かに説明に「二分の一」要素はあった方が分かりやすいな。
線分ADをx, 線分ABをy, 点Eと線分AD間の距離h1, 点Eと線分BC間の距離をh2とする
⊿AEDと⊿EBCの面積の和S1=30は
S1=x･h1/2 + x･h2/2=x(h1+h2)/2, h1+h2=yなのでS1=x･y/2は長方形ABCDの面積の1/2となる
したがって⊿ABEと⊿ECED面積の和S2も長方形ABCDの面積の1/2で30となることから
⊿ECDの面積=S2 - ⊿ABEの面積=30-19=11
解けました。
説明がすごく丁寧でわかりやすかったです。
「長方形の面積の半分」を何度も連呼してるのも本当にわからない人にとってはまどろっこしくなくちょうどいいと思いますよ。
向かい合う三角形の「高さの和は常に一定」なのだからEがどこにあろうと
向かい合う三角形の面積の和も変わらない
これさえ分かってれば一瞬ですね
長方形の縦横の長さは決まっていないので自由に動かしてよい、というところから出発して、横の長さを2cmと仮定すると、EBCの三角形の高さは17cm、AEDの高さは13cmで、縦の長さ30cm、よって長方形の面積が60cm2なので、60 - (19 + 17 + 13) = 11と求めた。動画見たら全然違う解き方だったけど、答えだけあっててなんか面白かった。
Eに垂直線を描き、四つの長方形をそれぞれ二分する対角線で作った直角三角形八つから考えた方が、視覚的にわかりやすいのでは？
なるほど、解説を途中まで聞いてやっと分かった。
はじめは解き方が分からなかった。
中学受験していないので等積変更初めてやりました。勉強になりました。
ご視聴ありがとうございます！パズルみたいで面白い問題ですよね
面白いね。サムネイルで何回も出てくるから気になってたけど、解けてようやく答えが見られたよ。解き方あってて良かった。
ABCDは長方形だから中点Eから縦横に垂直線引けば上と下の三角形積が長方形の半分
答えは、長方形積－3つの三角形積計=11c㎡
面白い問題でした！
最初らへんは？でしたが段々解ってきて
スッキリして
めっちゃ分かりやすかったです
ありがとうございます。
嬉しいコメントをありがとうございます！！
昔似たような問題解いた記憶があるけど、改めてからくりを知ると面白いです。
塾講やってますが、毎年どこかの中学か高校かで出題されている有名な問題ですね。説明の仕方が上手で勉強になります。
余談の解き方は中学受験の小学生向け、等積変形を使った解き方は難関高校受験の中学生向けの説明として使い分けています。
ほとんどの生徒が問題を見た瞬間に答えを出せますが、なぜそうなのか理解できている生徒は意外と少ないです。
面白いなー
自分は、縦軸をa、横軸をb、三角形DECの面積をAとして、19+13+17+A=abに、b×（17/30）a×(1/2)=17→ab=60を代入して、11って導いたのだけど、なるほど頭柔らかくすればこういう解き方も可能なのか。
コメント見るといろいろな解き方があって、数学って素敵だなあって思う。
最初の真横の補助線を引いた後、三角形の面積が底辺×高さ÷2である、その[÷2]の意味について考え直すと、とても分かりやすい。
17×2＋13×2-(13＋17＋19)
桐朋はやたら難しいとかではなく、こういう良問が多い。生徒思いの学校な気がします。
桐朋、武蔵、巣鴨、桐蔭
あたりは随分進学実績が
落ちた
頭の体操になる問題ですね。
小学生の算数の範囲で解けるのも鮮やかです。
合同、相似、三平方の定理、正弦定理、余弦定理を履修済みの高校生以上の方にとっては盲点に感じて逆に解けない場合もあります。
Eを通るように垂直に補助線を引くとABEを真っ二つにした三角形とDECを真っ二つにした三角形が出てきて簡単
自身が雰囲気で理解出来てもそれを言語化や理解が出来ない子へ「簡潔に」伝える方法や導き方を見られた気がします。
補助線の引く理由やそれを引いてどうすればいいか、が早い段階で解るように学びをしてくれるといいですね
向かい合う三角形の面積合計は同じになる
17＋13=19+【11】
・を何処においても同じ
なるほど、等積変形を活用するのですね。どんどん、活用しよう。
直感で11じゃない？と思ったけど、詳しく説明できなかったので、(簡単には上の三角形と下の三角形を足したら30じゃけん、30-19で11となる。根拠はないｗ)、方法②の説明が、個人的にはとても分かりやすかったです！
各辺から交点Eを通る垂線を引くと向かい合った三角形の面積の和がそれぞれ同じになるから（13+17）-19により11cm^2
等積変形よく分かりました。
またこの問題に限って言うと、算数の苦手な人から見れば余談の解き方の方理解しやすいです。
でも非常に丁寧で分かりやすい解説です。
上下の三角形を合わせて四角形
左右の三角形を合わせて四角形
これはどちらも形は違うけど対角線が同じ長さのたこ形四角形になるから、面積が等しくなって求まる
Eで横線引いて、上の半分が13、下の半分が17だから、全体の半分が30になるので、30-19=11と考えたなあ
詰め将棋みたいでおもろいな
こういう発想の転換ができると、少ない知識でも難しい課題が解決できるようになるから、社会に出てから役に立つんだよな
私は最初の方の上下に長方形作って等積変形使った時点で上の長方形（Ａ？Ｅ’Ｄ）の右上半分で13ｃｍ（ＡＤＥ’）なので下半分（Ａ？Ｅ’）も13ｃｍ
同様に下の長方形の半分（Ｂ？Ｅ’Ｃ）の右下半分（ＢＥ’Ｃ）が17ｃｍなので右上半分（Ｂ？Ｅ’）も17ｃｍ
合わせたら三角形（ＡＢＥ’）は30ｃｍでここから三角形（ＡＥＢ）の19ｃｍ引いて11ｃｍで考えました
自分は中央点Eを真ん中に移動する方法で解きました。
長方形に対角線を2本引いたときにできる三角形はそれぞれ15㎠になる。
ABEが19㎠なら－４して15 CEDは＋4して15 CEDは11ですね
まったく違う解き方したけどあってた
解説みたらすっきりした
ご視聴ありがとうございます！！
2の解は証明も兼ねてて解りやすいですね
単純化するために、中央の点を長方形のど真ん中(対角線の交点)に持っていって、その点を縦横平行に動かして遊んでいると、その内「任意の方向に動かしても同じか(上下の面積の和＝左右の面積の和)」ってなった。
とってもわかりやすかったです!!
頭の体操にもなってよかったです！！
脳の活性化になるわけやね😊
上手く言えないんだけど、なんて言えば良いんだろう…
自分にとって分からない仕組みの部分を、分からない人にも分かる解説をしていただいたおかげで、とても楽しく理解を進める事が出来ました。
ありがとうございます！
見た瞬間に解き方は分からなかったですが、
上下を足して30に左三角形の19を引いて11が導きだされたので②の考え方と一致していてよかったですわ
補助線を横に引く時点で面積に対するセンスがない。まず盾に引いて面積のわかっている△EADと△EBCの高さを意識できるようにしてあげるべきでは？△EADと△EBCの高さの和がABになることとAD=BCから面積の和がBC×AD/2＝13+17。
見た瞬間結果的に解法2ですぐに答えがわかったが、なんでそうなのかを説明できなかった
受験や数学から離れて久しいが…とても中途半端な記憶の残り方をしてるんだろう
説明を見て改めて理解して数学の楽しさを再認識できた
図形問題パズル的要素で好きだったことを思い出したわ
なんでこの動画がいきなりおすすめに出たかは全くの謎だ
これも、頭の体操として。。
サムネ画像だけ見て解説及び回答も見ずにコメントします。
故に、間違ってる可能性もありますが💦
赤の三角形部分の面積＝11(cm2)…
のはず…と思います。
なぜならば、、長方形の長辺をa、短辺をbと置き
長方形の内部の任意の点から、長方形の四隅に向けて線を引いて
その長方形を任意の形状の4つの三角形に分割した場合、
常に、その対面し合う2つの三角形の面積＝(a×ｂ)/2となります。
↑
対面する2つの三角形の面積の和は、長方形の面積の半分になる。
上下の2つの三角形の面積の和が 30(cm2)であるから
左右の２つの三角形の面積の和も 30(cm2)となる。
赤色の三角形の面積は
30−19＝11(cm2)…
となる。
7:34
△AE'Bは17+13
△AEBは19
17+13-19=11
図形ABCDはひし形でなくても平行四辺形であればE 点が作るむかえ合う2つの三角形の面積の和は全体の面積の半分になると一般化できますね。
△ADEと△BCEの面積の和が、長方形の面積の二分の一であることに気づけば、後は簡単なのか。
あと等積変形を使うと多角形の角をどんどん減らせるので面白いですよ。
13と17の三角形の交わっている頂点を、19の三角形の底辺（長方形の左の辺）の位置まで平行移動すれば簡単に分かる。
面積17と13の三角形の合体三角形と残りの部分の三角形とは、底辺も高さも同じ。
だからこの長方形の面積は60。
あとは単純計算。
うちの子が中学受験塾で勉強している4年生の算数の範囲ですね。
三角形の底辺を固定して、頂点を底辺と並行した位置にずらしても面積が変わらないというのは中学で習いました。今の小学生は進んでますね。
文系ワイ。
△ABEを取り外して
右(DCのとこ)にくっつけてみ。
△ADEが2つと△BCEが2つになるやろ。
だから長方形の面積は
17×2+13×2＝60
60-13-19-17＝11
11へーホーや。
答えと原理はすぐに分かるんだけど解法は説明できなかったので、すごい
コメントありがとうございます！励みになります！
三角形の面積の出し方を知っていれば、すぐに解ける問題だと思います。中学校の問題なので簡単でした。
面白かったです！😊
初めて5秒で解けました。
確かにご自分でおっしゃるように先生の解説はまどろっこい。でも常識が何故常識なのかを丁寧に解説されているのはすばらしいと思いました。
面白い問題ですね。中学受験したのは半世紀近く前ですが、答えはすぐに分かりました。
E点がどこにあろうと、上下、左右の２の三角形の面積の合計は、それぞれ長方形の半分になると瞬時にわかると、簡単ですね。
大学受験をしたのももう４０年近く前になりますが、大学受験の数学はこれよりはるかに複雑ですが、やはり問われている内容の本質が即時に把握できる力って大事だと思います。
昔秀才、今落ちこぼれ社員のたわ言です。
底辺の長さが同じ三角形は、高さを合計して計算できる
っていう前提を知っていたら、高さXで面積17のものと高さYで面積13のものは
X＋Yが外枠の縦線の長さと等しいので、つまり全体の半分の面積であるっていう解法ができますね
学校で習うことは基本で、そこから応用を思いついていくことが学習なのでしょう
等積変形をつかうってのは中学数学を勉強してる中学生の受験生が一番答えにたどり着けそう。逆に大学受験をしてる高校は文字置いたりして逆に泥沼にハマりそう。
三角形の面積は底辺×高さ÷2だから、上下の向かい合っている三角形の面積をそれぞれ倍にする
34＋26＝60で、長方形の面積が60c㎡
60-19-17-13＝11なので、答えは11c㎡
受験ってなるとそういうことじゃなくて、答えを導く方法を身につけることが大事？
補助線を書くのは同じだけど、点EをACを直線で結んだ交点上に移動した方が簡単では？
当然点EはBDを結ぶ直線上でもあるわけだから、向かい合わせの二つの三角形の面積の合計は長方形の半分になるわけだから19㎠の三角形の向かい側は（17+13）-19＝11とこちらの方が簡単だと思いますが。
余談が一番わかりやすかった
小学生に教えるなら余談の解法が一番わかってもらえるかも
（数字じゃなくて記号で見れるから）
このレベルで誰かに解説するのは
正解解るだけじゃ難しいですね。
対面にある三角形二つを足す
17+13=30
残りの二つの三角形は、足して30
なので、30-19=11
答え11㎠
あっててよかった
中学の頃こういう問題で、式の所に60㎡の図形と19：17：13：11の割合図を書いて11㎡って答え書いてたら、△だった。
中学の全国模試数学60/60なのに、うちの教師のせいで学内テストは92/100くらいだった。通知表もいつも4だった。
後、勝手に公式とか組み合わせて式1本にしていても△だった。
最後は面倒になって答えしか書かなくなった。
数学は高校でも偏差75くらいだったし、あの教師は何だったんだろうと今でも疑問に持ってる。まぁー勉強してなかったから仕方ない。
自分なりに計算して答えは導き出せたけど、なるほど等積変形の考え方を使えばスマートですね〜
ネットの記事から来た。これ、三角形が四角形(菱、正、長)の半分だってわかると簡単よね。
上下2つの三角が同じ底辺長、頂点が接触しているから、尚且つ同じ長方形の中にあるから、二つの三角を四角形にした面積、つまり60平方cmが長方形の面積となる。
つまり60平方cmから上下の三角形が占める30平方cmと19平方cmを引いた数字11平方cmが答えよね。
これが長方形であるから、この中であれば、Eの位置は関係なく答えは出る。
15:05あたりの『正六角形』のくだりでクスッときました👍先生かわいい😁
勉強になりました。
E‘に移動させるところが目からウロコですね。①の説明では、ABEの三角形の代わりに、E’から真左のAB線との交点をE“として、BCE‘とBE”E’が同じ面積になる、と言う説明がさらに簡単になりますね。
これが小学生に解かせる問題というのがすごい。
実は中学受験したことあるけど、解答にたどり着くまでの過程も書かなきゃいけなくてそれが面倒だった
とても解りやすい
とっても良いい問題ですね。 解説もまた分かりやすく面白かったです。 入試の問題は高等数学を使わなくても解けるところがミソで、純粋な数学の面白さを感じさせてくれます。 等積変形という概念はここで知りましたが、解法はいくつもあり、うまく問題が理解できれば解けるところがとても良いです。 ありがとうございます。
はあぁ、解けると気持ちいいですね！
ありがとうございました
これみて瞬間的に『面積半分かな？補助線引いて確かめよ』って頭になって、まだまだ衰えてなくてよかったって思える動画でした。ありがとうございます。
「ものの5秒で解ける」ってのが大きなヒントだった。
その言葉がなかったら俺には解けなかったかも。
線引いてみたりとか色々しちゃいそう。
これ分かるけど中学受験で出るってのがなかなかすごいな
瞬間的に分かってしまうのと理屈を考えて分かる差はいったいどこでうまれるのかわかんないぃぃーーー
辺AD、BCを底辺にした三角形が2個あって、それぞれの高さを合計すると辺AB（CD）になる。
三角形の面積は正方形の面積÷2だから正方形ABCDの面積の半分になる。
フィーリングで11
合ってた。
こういうなんとなくで当たるのも数学好きなところのひとつ