Matrici diagonalizzabili ( con esercizio d'esame svolto )
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- เผยแพร่เมื่อ 23 ก.ย. 2018
- Breve descrizione del concetto di matrice diagonalizzabile , con la risoluzione di un semplice esercizio assegnato in una prova di algebra lineare .
Indispensabili i concetti basilari quali : matrici , autovalori , autovettori ecc ecc .
Per chi volesse fare un ripasso sugli autovalori e autovettori vi rimando al seguente video :
• Autovalori ed autovettori
#salvoromeo #algebralineare #matricidiagonalizzabili
Mi dispiace di averla scoperta solo ora, a pochi giorni dall'esame ma cercherò di seguirla il più possibile. Il sistema universitario ha bisogno di persone come lei e non dei soliti svogliati professori.
Sono una studentessa universitaria straniera in Italia. Purtroppo ancora sto avendo problemi con la lingua Italiana, quindi in aula non riesco a capire tutto, e con la DAD, ancora peggio. Seguendo le sue video su TH-cam sono riuscita a capire tutto, Lei spiega molto bene gli argomenti, in modo semplice e comprensibile. Complimenti ! e la ringrazio molto!
Grazie per il Suo apprezzamento .Buona continuazione nel mio canale
Professore, ma quanto spiega bene!! ho capito le cose che non ho capito in un mese, Grazie davvero :)
Professore, lei è uno dei top di youtube italia nello spiegare questi argomenti, cose all'università spiegate in maniera indicibile lei li rende estremamente semplici e comprensibili, grazie davvero
Buongiorno Simone , intanto La ringrazio per l'apprezzamento e ultimamente lo stesso ringraziamento lo sto rivolgendo a molti dei tuoi colleghi , che scrivono post di apprezzamento .
Non entro in merito su come vengono spiegati gli argomenti negli atenei o nelle scuole e non sta a me giudicare Ma Le assicuro che esistono molti colleghi in gamba. Per farLe un esempio concreto più di 25 anni fa quando ho seguito i corsi si Analisi matematica e Algebra , ho avuto Docenti con la D maiuscola che mi hanno trasmesso il "sapere " con amore ,e lo stesso "sapere " lo sto trasmettendo nelle piccole lezioni sul canale e altrove .
In ogni caso a me interessa che i miei contenuti siano chiari e abbordabili a voi studenti .A volte (per non dire spesso ) utilizzo un linguaggio poco matematico (il cosiddetto matematichese ) utilizzandone uno più semplice e magari meno rigoroso , ma fortunatamente comprensibile allo studente , che alla fin fine è quello che interessa .
La cosa importante è non imparare i concetti a memoria e dare una logica a quello che si sta facendo .
Nel ringraziaLa ancora per il bel post nei confronti dei miei contenuti e del mio operato , Le auguro buona permanenza nel mio canale che continuerà sempre ad arricchirsi di decine e decine di contenuti .
@@salvoromeo Grazie tante, tante belle cose
20 minuti di video e ho recuperato tre giorni di lezioni astruse e criptiche del mio professore. Grazie di rendere accessibili questi argomenti.
grazie mille salvo romeo mi hai svoltato la vita ora riesco a fare giusti gli esercizi gggggggg SIUUUUU
Grazie Salvo, tutto chiaro anche per me !!! Utile specialmente per capire i collegamenti tra i "diversi" argomenti.
Complimenti per la spiegazione, molto chiara e si vede come nella spiegazione ci mette la passione per la matematica
Grazie mille utilissimo! Sei riuscito a fugare un dubbio che mi attanagliava ormai da ore :)
Chiarissimo! Complimenti per l'ottima spiegazione!
Grazie Salvo, mi è servito molto, continua così
Le faccio sentiti complimenti prof.Romeo, spiegazioni chiara, lineare e pragmatica come poche ce ne sono!
Grazie a Lei per l'apprezzamento .
Bravissimo! Tutto chiaro! Spiegazione molto utile! Complimenti!
Grazie per il tuo feedback , mi fa molto piacere che la spiegazione (pur limitata nel tempo) ti è stata utile .
complimenti! spiegazione eccezionale!
sto facendo il ripasso generale prima dell'esame di algebra lineare (frequento la facoltà di ingegneria informatica) non ha idea di quanto mi siano utili i suoi video, è sempre molto chiaro ed è un piacere ascoltarla. Grazie mille
Buonasera , grazie per il commento .Da parte mia è sempre un piacere sapere che molti miei contenuti siano utili agli studenti .
Grazie a te per la scelta dei miei contenuti .
Grazie mille!!!
È tutto chiaro!
Grazie a te
Spiegazione impeccabile é bastato guardare il video una volta per capire i concetti alla perfezione. Numero 1 indiscusso sulla geometria.
La ringrazio per l'apprezzamento .Mi fa piacere che il video sia stato esaustivo .
Più avanti in questa playlist può trovare il video su come determinare praticamente la matrice P del cambio di base , ovvero la matrice invertibile che diagonalizza . L'esempio creato da me è addirittura propedeutico per il teorema spettrale .
Buona continuazione nel mio canale .
Buona serata
Ottima per ripassare prima dell'esame, grazie è stata molto utile.
Grazie Gabriele .Ovviamente è un semplice esercizio d'esame assegnato negli ultimi mesi .
Se si conoscono i concetti di base quali : rango , endomorfismi e matrici associate , autovalori e autovettori ; allora sarà semplice capire il concetto di "matrice diagonalizzabile" .
Grazie professore!
Commento davvero pochi video, ma questo merita un grazie di cuore!
Grazie a te Vittorio .
5
Grazie di cuore!
molto chiaro, consiglio di organizzare i video in playlist in modo da rendere più facile ritrovare l'argomento cercato
Grazie Riccardo .Ancora i video sono molto pochi , ma terrò conto del tuo suggerimento per quanto riaguarda la playlist .
Grande prof. tutto molto chiaro. grazie
Grazie a te .
Chiaro e competente
Grazie Salvo.
Grazie mille, meno male che ci sono professori che spiegano bene come fa lei
Molto chiaro e piacevole.
Grazie per il commento .
È un piacere che questo video sia stato utile a tantissimi utenti .
lezione chiarissima, la ringrazio molto!
Termi Grazie per il complimento.Mi fa piacere che la lezione sia stata di tuo gradimento
Grazie, molto chiaro e scritto bene!
Grazie a te
Bravo ho l same e tu sto adorandooo
Spiegazione a dir poco perfetta ed efficace e semplice soprattutto.
Grazie per il feedback .Mi fa piacere che la spiegazione sia stata utile .
Chiaro e preparato
per i non catanesi ascoltarlo in 1,25x , esperienza magnifica, grazie per l'esame passato prof!!
Grazie a te ☺️ ...mi fa piacere che l'esame sia andato bene .
Ti voglio bene ti auguro tutto il bene del mondo♥️🙏
Fantastico
Salve, innanzitutto le volevo fare i complimenti per la chiarezza con cui spiega tali argomenti, poi volevo farle una domanda,
Il fatto di trovare autovalori tutti distinti è già condizione sufficiente per poter dire che una matriche è diagonalizzabile? La molteplicità geometrica si verifica solo nel caso in cui ci sono autovalori uguali? Chiedo perché da un teorema so che oltre ai valori distinti devo avere la somma delle molteplicitá geometriche pari a 3.
Buonasera Salvo , rispondo con molto piacere .Se consideriamo un endomorfismo definito in R³ e se tutti gli autovalori sono distinti , allora può stare certo che la matrice è diagonslizzabili poiché ciascun autovalore associa autovettori indipendenti dagli altri .
Quando invece un dato autovalore compare con una certa molteplicità algebrica (ad esempio autovalore doppio ) in questi casi la matrice sarà diagonslizzabili se anche la molteplicità geometrica è uguale a due , o in altre parole la dimensione dell'autospazio relativo l'autovalore in questione ha dimensione due .
Nella presente playlist (nelle lezioni successive a questa) ho svolto alcuni esercizi e più volte si è presentata tale eventualità.Spero di aver chiarito il dubbio .In caso contrario torni a riscrivere e sarò lieto di aiutarLa
@@salvoromeo dubbio chiarito la ringrazio!
Ciao Salvo al minuto 6:37 se utilizzo Gauss al posto di Laplace quando calcolo il determinante facendo il prodotto della diagonale principale mi esce in (1-t) in più, uscendomene così 5 di polinomi caratteristici e conseguentemente un autovalore doppione...
Una domanda: ridurre la matrice "prima" di iniziare lo studio della diagonalizzabilità è un errore? Semplifica i calcoli ma mi domando se abbiamo a che fare con la "stessa" matrice di partenza o con una simile e se porta agli stessi risultati. Inoltre, sempre prima dello studio, si possono usare le tecniche di scambio di righe invertendo il segno del determinante?
Buonasera Alessandro , grazie per il commento .
Comunque non devi mai fare riduzioni per determinare gli autovalori .Usa sempre l'originale .
Eventuali es utilissime riduzioni sono consigliate per determinare il rango di una matrice , oppure per ridurre un sistema lineare .
Buonasera professore, le matrici P e P^-1 sono matrici cambiamento di base, corretto?
Esatto la matrice P è proprio la matrice del cambio di base nelle cui colonne ci stanno gli autovettori .
❤❤❤❤❤❤
Grazie mille prof
Grazie a te :-)
Una richiesta, vi sono alcuni esercizi i cui dati gli autovettori e rispettivi autovalori bisognava ricavare la matrice dell'endomorfismo, il processo inverso insomma. Potete fare un video su questa tipologia di esercizi? Grazie
+TeXas Bella domanda , ma anche molto banale .Infatti se sono dati gli autovalori e i rispettivi autovettori , hai già l'assegnazione dell'endomorfismo .In questo caso se decidi di scrivere la matrice rispetto la base formata dagli autovettori , la matrice associata è proprio quella diagonale , dal momento che nelle colonne della matrice ci stanno le componenti del vettore immagine rispetto la base considerata .
salve, ottimo video, volevo chiedere come mai dal minuto 19:40 in poi dice che il rango=3? non dovrebbe essere due visto che i pivot sono solo -2 e -2
Buonasera D , grazie per il commento.Se controlla la terza riga vi un altro elemento speciale alla stregua delle prime due .Quindi il rango vale 3 .
Chieda pure per qualsiasi cosa poco convincente.
Professore Romeo, in effetti lo notavo che Lei ha un cognome familiare... (Lo stesso di mia suocera!!!). Adesso che al minuto 4:16 ha detto che ha preso un compito d'esame della facoltà di ingegneria civile di Catania ogni mio dubbio è stato chiarito !
Io comunque frequento il dipartimento di Matematica e Informatica, sezione informatica, di Catania. Che bello sapere che vicino a me c'è un Professore così conosciuto e rispettabile come lei ! Non tutti i professori, purtroppo, hanno la sua stessa umanità. Spero di incontrarla e di scambiare due chiacchiere con Lei...
Cordiali saluti
Grazie per gli apprezzamenti ma diffondo solo contenuti di matematica ordinaria 🙂 .
Si sono originario di Catania .Ottimo corso di laurea quello da te scelto .
Buona giornata e grazie davvero per le belle parole .
@@salvoromeo ahahaha professore quello che è scontato per Lei, per noi alunni è un argomento nuovo che, seppur sia semplice, è una materia che, senza le persone come Lei che hanno a cuore l'apprendimento della persona, sarebbe risultata MOLTO, MOLTO, MOLTO, complessa da apprendere. Infatti, l'unico libro "decente" riguardo l'algebra lineare, quello più vicino agli alunni, e il libro del Professore Ragusa e del Professore Giuffrida di Catania. Un libro studiato per gli alunni ma che comunque non è molto intuitivo. I suoi video stanno aiutando migliaia di alunni !!
Grazie.
Grazie a Lei
La ringrazio, stavo proprio cercando questo tipo di esercizio coi parametri e il video mi è stato utilissimo. Ce ne sono altri che mi sono perso?
Buongiorno Giampiero .Grazie per l'apprezzamento .
Per quanto riguarda le matrici diagonalizzabili , è disponibile il presente video .
Può dare un 'occhiata ai rimanenti video per vedere se ci sono argomenti che possano essere a Lei utili .
Buongiorno Prof. Forse domanda stupida. Si considera l'ordine della matrice A per il calcolo della molteplicità geometrica, ma non il rango giusto? Se al compito d'esame mi danno una matrice A 4x4 ma noto che una riga è per dire uguale ad un'altra, io comunque 4 devo prendere come valore vero?
Buongiorno Fabio , nessuna domanda è stupida , anzi ...
Se la matrice fosse una 6x6 ma il rango della matrice è 4 allora ma molteplicità geometrica è 6-4 = 2 .
ciao, non ho capito solo una cosa, quando si parla di molteplicità algebrica, come facciamo a sapere ad esempio per T=0 o T=1 che è 2 ? comunque playlist perfetta
Buonasera Samuel , applicazione del teorema fondamentale dell'algebra .Risolva l'equazione polinomiale e controllare quante volte di presenta una determinata soluzione .Ad esempio in un 'equazione di secondo grado quando il "delta" è uguale a zero l'equazione smette due soluzioni e la molteplicità è 2 poiché le soluzioni sono uguali .
Buongiorno professore volevo farle una domanda.
Se un autovalore mi viene con m.g diversa da quella algebrica io so che la matrice non è diagonalizzabile, di conseguenza non posso costruire la matrice P. Se in un esercizio ho due matrici A e B, e in questo esercizio mi viene chiesto se le due sono simili, dal momento in cui trovo un autovalore con m.g. diversa dalla m.a., posso dire che le due matrici non sono simili?
La ringrazio, Cordiali saluti!
Buongiorno , volendo dare una risposta molti sintetica , possiamo dire che due matrici sono simili non solo se hanno lo stesso polinomio caratteristico , ma anche lo stesso polinomio minimo (vedi lezione sul polinomio minimo ) .
Se due matrici pur avendo gli stessi autovalori hanno non hanno la stessa molteplicità geometrica non sono simili .
Una cosa del genere è stata pubblicata da me nel mio profilo Tik.Tok .
Va bene prof, la ringranzio.
@@salvoromeo
Salve professore, solo una domanda, perché nel determinante della matrice le viene (h-t) (1-t) [(1-t) (2-t) - 2]? Non ho capito da dove si ricava il - 2 ahah
Grazie!
Buonasera , ho utilizzato il metodo di Laplace e il -2 e il prodotto della diagonale principale della sottomatrici 2x2 che figura nella posizione centrale .
Sto preparando geometria in 5 giorni, se passo è solo grazie a lei
com'è andata?
@@Karma-jv3ze Preso 12/30, ora sto ristudiando per la sessione estiva, solo che ho 4 esami da dare. Non conviene studiare 5 giorni :(
14:00 trovo l'autospazio di dimensione 1 per lamda=0 se h=0 quindi non dovrebbe essere diagonalizzabile o forse ho sbagliato io un calcolo? Comunque il più importante è capire il metodo esposto in maniera molto chiara e semplice con un sacco di ripassi. Grazie mille.
Buonasera, Le spiego subito :
Per h=0 l'autovalore T=0 ha molteplicità 2 ,e la matrice H ha rango pari a 2 (che in questo caso coincide con la matrice A), quindi la dimensione dell'autospazio è 4-rango(H) = 4-2=2 .Quindi diagonalizzabile .
Spero che sia stato chiaro , in caso contrario non esiti a riscrivere un commento .
Salve professore,
ho un dubbio riguardante la molteplicità geometrica .
Se in una matrice A 3x3 ho un solo autovalore con m.a.=3 la matrice è diagonalizzabile?
Mi spiego meglio: appurato che la matrice è diagonalizzabile solo se m.g.=m.a, la mia domanda riguarda il calcolo della m.g.
M.g.= dim(V)-rank(H)
Per risultare 3 ed essere diagonalizzabile, il rango della matrice dovrebbe essere zero, è possibile?
Oppure in questo caso la matrice non è mai diagonalizzabile?
La ringrazio davvero per la cortese attenzione
Buonasera , consideri la matrice identità(di ordine tre ) che già è diagonale .
Se ci fa caso , gli autovalori sono uguali ad 1 con molteplicità algebrica 3 .La stessa molteplicità geometrica è tre .
Ovviamente siamo in un caso particolare in cui la stessa matrice è già diagonale .
Il rango zero sussiste solo quando la stessa matrice è nulla .Basta un solo elemento di ersi da zero che rende il rango strettamente maggiore di zero .
@@salvoromeo perfetto, adesso è più chiaro.
Grazie mille professore!
prof avrei una domanda: abbiamo detto che la matrice D sarà quella dove nella sua diagonale principale saranno presenti tutti gli autovalorii trovati, ma la matrice diagonale è quella matrice che presenta elementi non nulla sulla diagonale principale, noi abbiamo trovato 1 o 2, nel caso h=0 ,autovalori uguali a 0. Essi andrebbero nella diagonale principale o no ?
Attenzione che in una matrice diagonale la diagonale principale potrebbe avere degli zeri .
@@salvoromeo ah okok grazie mille per la delucidazione e per le sue video lezioni sono perfette ❤️❤️❤️
13:55 ma il rango della matrice non è 3?
Un'altra domanda ,di solito per calcolare gli autovalori non si faceva p(x)= tI-A?
1Salve prof! Per caso mi può dire perché per h=3 la matrice che si forma non può avere mai il rango 4 senza fare i calcoli??? Grazie su tutto !!!!
Buonasera , rispondendo sinteticamente , se avesse rango tre non ci sarebbero incognite libere e il sistema ammetterebbe la quaterna (0,0,0,0) che non è compatibile con la definizione di autovettore .
Grazie Professore. Ho contato finora sulla punta delle dita video sull'argomento con simile chiarezza. Utile è il termine con il quale giudicherei questa lezione ma, riflettevo, è un privilegio studiare con professori di simile levatura. Citava la lista degli argomenti propedeutici; mi domandavo se potesse citare, là dove ha un senso farlo, una lista di libri di testo che lei si sente di consigliare ai suoi studenti. Grazie davvero.
Buongiorno Prof. Romeo, ho un dubbio sui criteri di diagonalizzabilità, in particolare sul secondo. Il secondo criterio dice che la molteplicità geometrica di ciascun autovalore deve coincidere con la molteplicità algebrica dello stesso autovalore. Se non ho capito male dal brillante esercizio che lei ha cortesemente proposto e spiegato che la Matrice è diagonalizzabile perché per h=0 e t=0 le due molteplicità algebrica e geometrica corrispondono, infatti sono uguali a 2. Ma secondo il criterio appena esposto non avrebbe dovuto per h=0 verificare che anche le molteplicità algebriche e geometriche per gli autovalori t=1, t=3 corrispondevano? Ho interpretato male io il secondo criterio? Grazie mille e grazie per il suo lavoro.
Buonasera Stefano.Per h=0 l'autovalore zero ha molteplicità algebrica due e con piacere abbiamo scoperto che la molteplicità geometrica è anche due .Questo significa che all'autovalore zero si associano due distinti (e indipendenti ) autovettori .
Ma sempre per h=0 gli altri due autovalori hanno molteplicità algebrica =1 e quindi qui abbiamo le spalle al muro e non ci possono essere equivoci in quanto se la molteplicità algebrica di un autovalore è =1 allora al 100% la molteplicità geometrica vale 1 (si ricordi anche che la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale alla molteplicità algebrica )
Quindi in definitiva per gli altri due autovalori non ci sono problemi e non bisogna fare ulteriori indagini .
@@salvoromeo Benissimo, grazie Prof. Romeo. La relazione è: 1 =< mg(T0) =< ma(T0) =< N (ordine della matrice). Quindi se la Molteplicità Algebrica è = 1 allora per forza la Molteplicità geometrica deve essere = 1. Grazie ancora e complimenti!
Faresti anche dei video su analisi 1 ?
Salve Massimiliano .Farò certamente video di analisi matematica 1 , benchè non segua un programma ben preciso .Spesso svolgo esercizi (previa selezione) che mi inviate voi utenti in privato tramite la "mail" indicata in descrizione .
Purtroppo per mancanza di tempo non riesco a girare un video al giorno e spesso le riprese avvengono in tardissima serata .
Mi piacerebbe creare una playlist con tutti gli argomenti di analisi 1/2/3 , ma il lavoro mi.occupa troppo tempo .Considera che 15/20 minuti di video non si possono mai sostituire ad una lezione completa .Per certi argomenti sarebbero necessari diversi video di parecchia durata , ma per adesso mi è impossibile fare ciò.
Quel poco che faccio cerco di diffonderlo in maniera più chiara possibile .Ovviamente mai sostituire le mie videolezioni con quello che fate in aula con i vostri docenti .
Prof. ma lei dove insegna?
come ordine della matrice intende il numero di righe o colonne? Grazie in anticipo
Il termine matrice di ordine n si riferisce a Matrici quadrate nxn , quindi dire che una matrice è di ordine 5 vuol dire che ha 5 righe e 5 colonne .
Nel caso in cui la molteplicità geometrica venisse 0 e non coincide con quella algebrica possiamo comunque dire che non è semplice per un determinato valore di h?
Buonasera la molteplicità algebrica mai può essere uguale a zero .Infatti se la matrice è una nxn , ma matrice H non potrà mai avere rango "n" ...in nessun caso .nel peggiore dei casi la molteplicità geometrica può essere 1 .
professore il coniugio tra matrici?
Bravo; ma mi dici per piacere come fai tu a scrivere sul vetro e noi a vedere lo scritto dritto dall'altra parte del vetro?
Si chiama video editing...
@@hermannbarbato Nessun video editing,lo conosco personalmente...scrive proprio al contrario per permettere a chi guarda di leggere dritto...
@@danieletringale5852 ah. Devo dire che non me l'aspettavo ahah
6:21 non dovrebbe essere -h+T per la "griglia" dei segni? Ottimo video comunque, molto utile :)
Grazie per il commento Diego .
In questo caso il segno è giusto in quanto h-T si trova nella posizione 4-4 e quindi essendo 4+4=8 l'elemento è di classe pari e quindi non cambia segno .
@@salvoromeo Aaah hai ragione, errore mio. Grazie per risposta :)
prof in una matrice 2x2 devo verificare se è diagonalizzabile ma facendo mi esce un solo autovalore cioè lambda=-1 la matrice quindi non è diagonalizzabile?
la matrice in questine é a= ( -1 1 )
0 -1
In effetti non può essere diagonalizzabile in questo caso 🙂
Scusi ma a 19:00, quando lei decide di fare la riduzione della matrice 4x4 per poi calcolarne il rango, perché non ha subito sviluppato il determinante della sottomatrice 3x3? Cioè io ho svolto l'esercizio passo passo col video, però ho saltato questo suo passaggio, volevo capire se è un possibile errore oppure si può fare
Buongiorno Gioacchino , per calcolare il rango (lo scopo principale è questo ) puoi utilizzare qualsiasi metodo .
Calcolare il determinante della 4x4 in questa tipologia di esercizi è inutile e perderesti tanto tempo inutile , infatti per un discorso che non sto a spiegare qui tale matrice avrà al 100% il determinante uguale a zero e quindi il rango non potrà mai essere 4 .
Semmai sarebbe più utile calcolare i minori di ordine tre (di cui non si sa nulla al contrario del caso precedente della 4x4) .
Da matematico però non amo svolgere tanti calcoli , sicchè per stabilire il rango di una matrice preferisco utilizzare (quasi) sempre il metodo di riduzione che mi porta al risultato in tempi molto brevi .
Salve professore, lei nel video ha detto che "se un endomorfismo è semplice allora la matrice associata ad esso è diagonalizzabile", invece leggendo su internet ho visto una definzione diversa ovvero "un endomorfismo è semplice se esiste una base B di V^n(K) in cui la matrice associata è diagonale". Per caso riesce a risolvermi questo dubbio? grazie in anticipo
Buongiorno , La ringrazio per il commento molto costruttivo a cui rispondo con molto piacere .
I concetti sono equivalenti .Quando un endomorfismo è "semplice" vuol dire che esiste una base di autovettori , quindi se ad esempio siamo in R³ vuol dire che esistono tre autovettori tutti indipendenti tra loro .
Ma quando un endomorfismo è semplice vuol dire anche che la matrice di partenza è diagonalizzabile ovvero è "simile " a una matrice diagonale D nella cui diagonale principale ci stanno gli autovalori e le cui colonne sono dei vettori indipendenti e quindi la base a cui si riferiva Lei .
Quindi sono tutte condizioni equivalenti .
Rispondere e chiarire i concetti per messaggio a volte è difficile ma spero di essere riuscito a chiarire quest'aspetto .
Grazie per la domanda .
Buona giornata .
@@salvoromeo la ringrazio
qualcuno potrebbe spiegarmi che metodo e in che modo viene calcolato il determinante di H.
Grazie in anticipo
Buonasera , ho determinato il determinante utilizzando il metodo spiegato in uno dei video precedenti a questa playlist .Quando ometto diversi passaggi è dovuto al fatto che sono concerti spiegati in qualche lezione precedente alla playlist in questione .
Ecco il link che lo riporta alla lezione .
Ovviamente in base alla colonna o alla riga che sceglierà (veda il video che sto per linkare ) otterrà comunque lo stesso risultato .
m.th-cam.com/video/yW0DTDxl5sI/w-d-xo.html
6:00 Ma il polinomio caratteristico ha formula det( tI - A). È invertito no?
È A -tI , in ogni caso viene posto uguale a zero al fine di determinare le soluzioni e l'ordine non è importante .
@@salvoromeo aah okay. Grazie mille
Ma in che caso una matrice è diagonalizzabile su un campo per esempio su R , però allo stesso tempo non è diagonalizzabile su Q?
Buongiorno Scida .Considera una matrice o un endomorfismo con autovalori irrazionali (es T=✓2 , pigreco, e ) in questo caso se vengono soddisfatte le condizioni per essere diagonalizzabile , lo è su R , ma non su Q poiché i numeri menzionato sopra sono irrazionali )che fanno parte dei reali .
Salve professore al minuto 14 abbiamo calcolato la matrice solo per h=0, T=0, cioè la dove avevamo molteplicità algebrica pari a 2. Volevo chiederle per quanto riguarda h=0, T=1 ed h=0, T=3 cosa succede? perché non siamo andati a calcolarli?
La ringrazio in anticipo, cordiali saluti!
Buonasera , quando h=0 il destino degli autovalori è stabilito (vada al tempo 09:45 ) e si hanno sempre 4 autovalori .Solo che l'autovalore T=0 ha molteplicità algebrica 2 mentre gli altri due autovalori hanno molteplicità algebrica 1 .
Tale caso è stato studiato .
Non so se ho capito bene la domanda fatta .In ogni caso si senta libero di lasciare altri commenti e con piacere Le risponderò .
@@salvoromeo quindi quando mi trovo dinanzi una molteplicità algebrica pari ad 1 non si studia? o non devo preoccuparmi di tale molteplicità?
Buonasera volevo chiederle perché alla fine scrive “per tutti i valori di k”? Perché k intende appartenente ai numeri reali ?
Buonasera Elisa .Si esattamente .Mi riferivo a tutti i valori k del campo dei numeri reali ad eccezione di alcuni valori che non rendono la matrice diagonalizzabile .
Buongiorno professore, non capisco come ha fatto a trovare gli autovalori con il metodo di LaPlace al minuto 6:53... In ogni caso, io il determinante di una matrice lo so trovare ma non mi entra proprio in testa come devo fare a trovarlo quando ho delle incognite (gli autovalori)
ok professore credo di aver capito, ma quando andiamo a calcolare il determinante della sottomatrice di (h-t), il determinante della sottomatrice lei lo calcola calcolando il determinante della sottomatrice della sottomatrice. Quindi calcola (h - t) (1 - t) [ (1 - t) (2 - t) - 2]. Ma quest'ultima sottomatrice è la sottomatrice di (1 - t). E le sottomatrici degli altri 1? Ovvero gli 1 della sottomatrice di (h - t) ?
Buongiorno il determinante si calcola come se ci fossero dei numeri .In questo caso interviene il calcolo letterale ovvero semplici prodotti tra polinomi in cui figurano numeri e lettere In questo caso h , T .
ma la 1^a parentesi del det |H| non dovrebbe venire negativa ?
Buonasera Francesco è un elemento di classe pari quindi rimane con il suo segno positivo .In caso di ulteriori dubbi , non esiti a rilasciare un commento .
non mi trovo con il determinante? qualcuno che me lo spieghi?
Nick quale passaggio non hai capito sul determinante ?
Essendo matrici di ordine 4 i determinanti li ho calcolati con il teorema di Laplace che è il metodo (a mio parere ) più elegante anche per matrici di ordine inferiore (non per la 2x2 ovviamente ) .
Salvo Romeo grazie mille per la risposta, non mi trovo con il segno di (h-T), non dovrebbe avere il meno davanti?
No il segno è corretto in quanto si tratta di un elemento di classe pari e quindi il segno rimane quello originale .
Per 0 in teoria non si dovrebbe stare sempre tranquilli? Esistono infiniti vettori per cui f(v) = 0v
Buongiorno non è detto .Se l'applicazione lineare (endomorfismo in questo caso ) è iniettiva allora esiste un unico vettore tale che f(v)=0v .Tale vettore v è proprio 0v .
Svolgendo il calcolo del determinante H, l'antidiagonale non è zero? Non riesco a capire perchè ha messo "-2" che moltiplica la diagonale
Buonasera Luca , ho utilizzato il teorema di Laplace considerando il complemento algebrico dell'elemento a4-4 ,e a sua volta ho applicato il teorema di Laplace anche per la sottomatrice 3x3 .
Ricontrolla i calcoli vedrai che si deve sottrarre il 2 .
@@salvoromeo anche a me non viene questo -2; io metto il pivot nella 4,4; poi cancello l'ultima riga e l'ultima colonna e dalla sotto matrice 3x3 eseguo Laplace; infatti la prima parte è ok ma dopo il meno ottengo 0 che deriva dalla diagonale: [ 1 * 1-t * 0 ]
@@phoenixtiger101tube grazie per il tuo intervento .Mi dice esattamente il "minuto e il secondo " dove si nomina il -2 .
Saró lieto di chiarire tutto senza problemi .
@@salvoromeo dal minuto 6; gentilissimo anche ad agosto.
@@phoenixtiger101tube buongiorno , segua attentamente tutto quello che sto per dire :
- Applicando Laplace scelgo la quarta riga ed isolo l'elemento in posizione 4-4 ovvero (h-T) che moltiplica il determinante costituito dalle prime tre righe e prime tre colonne
- Per calcolare questo determinante (Matrice 3x3) applico ancora Laplace selezionando la prima colonna visto che ha molti zeri , e quindi ottengo il primo elemento (1-T) che moltiplica il determinante di una matrice 2x2 costituita dagli elementi [(1-T) ,1 , 2, (2-T) ]
-Non ti resta che calcolare il determinante di questa sottomatrice quadrata 2x2 che risulta (1-T)(2-T)-2= T²-3T+2-2=T(T-3) .
Il -2 è il prodotto della diagonale secondaria della matrice 2x2 .
-Quindi il determinante della matrice H risulta essere (h-T) (1-T) (T) (T-3) .
Spero che quanto detto qui sia esaustivo cercando di spiegare passo passo tale determinante .Se dovessero persistere ancora dubbi , non esitare a scrivere ulteriormente .
Anche se siamo ad Agosto per me non è un problema , anzi vi ringrazio quando segnalate eventuali dubbi o imprecisioni su qualcosa che potrei dire.
come viene determinata esattamente la molteplicità algebrica per ogni T?
Dal numero di soluzioni di una "stessa soluzione " se hai un'equazione di secondo grado con ∆=0 hai due soluzioni uguali e quindi molteplicità algebrica due .
Da lì ti calcoli la molteplicità geometrica che coincide con la dimensione dell':autospazio .
@salvoromeo grazie mille👍🏻😉
è vecchio il video, ma vorrei proporre qui un esercizio che non riesco a risolvere: siano e1(1,0), e2(0,1),
allora (2 1)^10 (0)
(1 2) (2) = ?
Purtroppo non so come si scrivono le matrici e le matrici riga dalla tastiera. Comunque non so come usare le nozioni di autovalori e autovettori per calcolare questo prodotto. Avevo intuito che ci volesse il concetto di matrice simile, ma non capisco come trovare la matrice P invertibile. Potrebbe spiegarmi come svolgerlo, per cortesia?
Buongiorno , il presente video fa parte di una playlist di circa 40 (o meno lezione ) .
La invito a guardare tutti i video e troverá quello in cui spiego passo passo come determinare la matrice P del cambio di base .
Potrei spiegarlo suo , ma con il video sarà tutto più chiaro .Ha fatto bene a scrivere .
@@salvoromeo grazie mille, proverò a guardare e vedere se capisco come svolgerlo
@@alessiodaini7907 nella playlist vai più avanti e troverai un titolo del tipo
Matrice DIAGONALIZZANTE .
È ovvio che devi conoscere i concetti di autovalori e autovettori , che in ogni caso c'è il relativo video (solita playlist)
@@salvoromeo ho appena guardato come diagonalizzare la matrice e ora mi è tutto chiaro. Quindi P è la base di autovettori
ma affinnchè la matrice sia diagonalizzabile non bastava avere 4 autovalori reali e distinti?
Buongiorno .Certamente ma questa è una condizione sufficiente e non necessaria .Posso avere anche autovalori non distinti e la matrice potrebbe essere comunque diagonalizzabile . diagonalizzabile
Per questa matrice ho provato ad usare h
Certamente , in questi casi funziona sicuro poiché l'endomorfismo è diagonalizzabile .
I problemi di potrebbero avere quando gli autovalori hanno molteplicità algebrica maggiore o uguale a due , ma non è detto in quanto se la molteplicità geometrica coincide con quella algebrica la matrice sarà comunque diagonalizzabile .
2000€ all'anno di università e finisco a studiare su TH-cam ahahaha
Prof potrebbe fare il teorema spettrale e le basi
Salve la lezione sul teorema spettrale è stata realizzata e caricata .Ma l'uscita è prevista per una data successiva .Tutti i video che rilascio su TH-cam sono già caricati 2 mesi prima come programmati .Questo vuol dire che programmo l'uscita dei video secondo date ed orari che decido io e youtube pubblica in sutomatico .Purtroppo (o per fortuna ) rilascio anche videolezioni su analisi matematica e geometria e a turno ogni tanto devo trascurare una disciplina a vantaggio di un altra al fine di accontentare un po' tutti gli utenti .Il teorema spettrale sarà rilasciato a gennaio anche perché prima di tale concetto bisogna fare delle introduzioni importanti che spiegherò nelle videolezioni che ho caricato e propedeutiche al teorema Spettrale .
Abbia la pazienza di attendere il rilascio dei video e La ringrazio per il gradimento verso i miei contenuti.
@@salvoromeo ok grazie mille prof per la disponibilità e la gentilezza. È il migliore 🔝
ma scrive al contrario sul vetro? per permettere poi a noi di vedere
Ma per svolgere la matrice T=3 ha usato gauss? Se sì perché ?
Scusa per la risposta data in ritardo .Ho usato il metodo degli elementi speciali al fine di trovare il rango della matrice .Per coincidenza si è creata una matrice a "scala" ...ma poco importa .
@@salvoromeo grazie mille per i video mi sono stati molto utili per l'esame
E la forma canonica di Jordan e le matrici nilpotenti
Berny Saudino , grazie per il commento , non mancherà un video sulle forme canoniche di Jordan che generalizza il concetto di matrice diagonalizzabile .
prendono in giro dicendo, che le università migliori sono al nord, io sono del nord e vorrei scendere al sud solo per averla come professore
Buonasera Marphy , la ringrazio per il suo punto di vista e per l'apprezzamento della mia didattica che su TH-cam non rende mai giustizia .Preferisco sempre le lezioni guardando negli occhi gli studenti .
Per il resto pur essendo del Sud , ho molta stima di parecchi atenei situati lungo tutto lo stivale e in particolare ad una situata nel Nord Est (relativamente ai dipartimenti di matematica ) senza voler disprezzare le altre .
A fare la differenza non è il Nord o il Sud, ma le persone che insegnano e la passione che trasmettono agli studenti .
Se oggi amo la matematica devo ringraziare i miei docenti universitari ( tre sono quelli che ricordo con ammirazione nonostante siano passati 25 anni ) e mi riferisco a docenti che senza lavagne luminose e lucidi (che non condivido per spiegare matematica) impugnavano gesso e spugna davanti la classica lavagna .
In ogni caso mi fa piacere che abbia gradito i miei semplici contenuti benché ricevo molti apprezzamenti mi definisco un semplice docente appassionato di matematica e Le assicuro che esisto molti matematici davanti ai quali personalmente mi inchino e dai quali ho sempre tanto da imparare ..
La ringrazio ancora per il commento .
Buona serata .
Qualcuno saprebbe spiegarmi perché la matrice diagonalizzante P deve avere gli autovettori come colonne?esiste una qualche dimostrazione?
DocMartin leFoll grazie ma ho risolto chiedendo al prof:)
Ma solo io mi stupisco e penso che lei sappia scrivere la contrario?
non si capisce un cazzo, troppe cose date per scontato...
Grazie per il commento (potevi evitare la parolaccia ) ,ma se ascoltavi tutta la lezione ho specificato che per poter capire tale lezione è necessario avere una base sui concetti fondamentali .
Questa è solo una risoluzione di un compito d'esame che mi è stata richiesta, adatta a chi ha già studiato dai libri ..come si faceva ai miei tempi :-)
In 20 minuti non puoi pretendere di avere tutti i concetti dati per scontato .
Il mio canale non è per i principianti ....per quello ci sono altri canali molto validi .
@@salvoromeo se ci credi tu...
@@poli2730 studia, capra
@@edoardo9623 ok...
Bravo
La ringrazio 🙂