인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요. 제가 영상에서 소개해 드린 정수의 구성적 정의는 인류역사에서 정수라는 수체계의 시작이 이러했다는 것을 설명하는 것이 아닙니다. 음의 정수는 서양에서는 중세시대부터, 동양에서는 그보다 더 이전부터 쓰여 왔고, 정수의 구성적 정의에 대한 논의가 이뤄진 것은 형식논리로써 수학을 체계화하려는 시도가 일어난 비교적 현대의 일입니다. 정수의 역사적, 관습적 배경이 궁금하신 분은 아래 링크를 눌러 영상을 시청해주세요 ^^ th-cam.com/video/KtZ5ufQFG2s/w-d-xo.html 수의 기하적인 의미와 설명을 보고 싶으신 분은 아래 링크를 눌러 영상을 시청해주세요 ^^ th-cam.com/video/Ko6Ri9zKADY/w-d-xo.html 마이크를 오른쪽 옷깃에 장착했더니 소리가 바로 들어가서 듣기가 좋지 않네요. 다음부터는 왼쪽에 장착하도록 하겠습니다 ^^; 그리고 저를 칭찬해주시는 분들의 마음씨에는 매우 감사드리지만, 감히 앞선 대 수학자분들과 함께 거론하여 제가 존경하는 수학자분들의 위명에 먹칠은 하지 말아주세요 ; 또한 저에 대한 관심을 수학으로 좀 더 기울여주신다면 정말로 감사하겠습니다.
ㅇㄱㄹㅇ.. 초딩 6까진 수학을 잘하다 못해 날라다녔지. 무조건 공식과 규칙을 외우는게 아니라, 모든걸 정확히 '이해'한 다음에 넘어갔었으니까. 근데 중학교 오자마자 도저히 이해를 할 수 없는, 선생님도 정확히 설명을 못하는 그런 규칙들이 나와서 그 때부터 조금씩 이해를 하는게 아니라 외우게 되더라. 난 이해를 하고 싶은데.. 그럴수가 없으니까. 난 그냥 문제를 풀면 되는거지 이걸 이해해야 하는게 아니니까. 그래서 수학에 대한 흥미는 점점 떨어지고 기계처럼 외우게 됐었지 ㅠㅜ 근데 이 영상보니까 조금이나마 그 궁금증이 해결된 것 같아서 좋네영...
중학교에서 처음 음수의 연산을 배우는데 그때는 이런식으로 가르치기 힘들거에요. 수학교육학적으로 중학교 식의 설명방법이 만들어진데에는 그만한 이유가 있습니다. 피아제의 인지발달이론이나 프로이덴탈의 수학화 이론 등 수학 교육학적으로 중학교에서 두리뭉술하게 가르치는데는 그만한 이유가 있어요. 아마 즁학교때 아런식으로 가르치면 그건 그거대로 어려움이 있을거에요. 물론 더 상위 단계 학습에서는 이런 의문과 논의는 매우 바람직한거 같고 설명도 너무 명쾌해서 좋네요..
@@서울촌놈-k6y 모든 좋은 설명을 학교 수업에서 들을 수 있었다면 얼마나 좋을까요? 하지만 현실에는 한계가 있죠.. 수의 연산에 대해 배우는 중학생 대부분은 빈틈없는 정의가 얼마나 중요한지 인지하지 못하고 그런 것에 관심도 없습니다. 몇몇 능력있는 학생들에게는 정의를 설명해 주는게 도움일 수 있겠지만, 평균적인 중학생이라면 오히려 수학은 머리아프다고 생각하게 될 겁니다. 다수를 대상으로하며 시간이 제한적인 수업에서는 그런 방식이 쉽지만은 않겠죠. 그래서 저는 학교수업에서 이런 설명을 반드시 해야 한다고 생각하지는 않아요. 그럴만한 이유가 있다는 위엣분 말씀에 공감하는 바입니다. 이미 관습적으로 정수의 연산은 이렇게 하고 있었고, 영상에 설명해 주신 정수 연산의 체계화는 비교적 최근에서야 이루어 졌습니다. 그렇다는 것은 인간의 인지능력 발달상 직관적 이해를 통해 받아들인 뒤, 정의를 통해 완벽하게 체계화 하는 것이 순서상 자연스럽다고 할 수 있을 겁니다. 님도 저도 이미 정수의 연산이 익숙하기 때문에 영상에서의 상엽쌤의 설명을 쉽게 받아들일 수 있지 않았을까요? 제가 수의 연산을 처음 접하게 되는 중1학생인데 이 설명을 들었다면 쉽지 않았을 거라고 생각합니다.
별 내용 없을 거라 생각하고 기대없이 들어왔는데 엄청난 내용들이 막 쏟아져서 당혹스럽네요;;ㅎㅎ 걍 길 가다가 반짝이는게 있어서 무심코 주웠더니 다이아몬드 덩어리인 기분이에요; 끝까지 몰입해서 잘 봤어요!!ㅎㅎ 진짜로 정말 다이아몬드같은 강의라고 생각해요! 앞으로도 영상 계속 올려주세요ㅎㅎ
몇번씩 보고 해보고 하면서 훈련하고 있습니다. 당연히 관습과 일상과 연관된 수학도 중요하지만, 한정된 도구 안에서 논리적 완결성을 구축하는 것이 결국 현대과학의 초석이 된거라고 보기 때문에, 모르는 상태로 보면 작위적이고, 직관과 멀어진다고 생각되도 여전히 소중하다고 생각합니다. 제 의견을 말씀 드리면, - 표기 즉, 음의 정수를 정의하는 그 단계에서부터 관습은 녹아 있다고 생각합니다. 관습적으로 -1로 간주되는 연산을 관습적으로 1이 되는 연산과 대응하여 1)m과n의 순서쌍을 "뒤집어놓고" 2)그에 대응하여 -를 붙이는 이러한 정의 자체, 그리고 논리적 넘나듬 없이 오로지 자연수 체계 내의 연산과 언급된 - 표기의 정의 만으로도 예제를 풂으로써, 수학의 아름다움 같은걸 느꼈다고 할까요. 결국 연산을 하다보면 ... 정의에 녹아있는 그 부분이 자연스럽게 드러나고, 일상의 언어가 아닌 수학의 언어만으로 충분히 연산이 된다는게 참 묘함이 느껴지는거죠... 항상 좋은 영상 제공 감사하고 있습니다
영상 너무 잘 봤습니다 학생들 가르칠때 항상 기하적으로 가르쳤는데 그때마다 '실제로 이렇게밖에 증명하지 못할까 ' 라는 의문이 있었는데 해결해주셔서 감사합니다!! 근데 제가 조금 옛날 방식에 갇혀있는건지 모르겠는데 이설명이 더 어려워 보여요 학생들에게는 직관적으로 볼수있는 설명과 이런 수학적 설명이 같이 가는게 좋지 않을까 라는 생각이 들어서요..
이렇게 설명하면 더 엄밀하게 파고들긴해서 오류는 없겠지만 받아들이는 사람은 굉장히 어려울 것입니다. 거의 대학교 abstract algebra 처음 배울 때, 기호의 약속부터 시작해서, 연산기호에 대해 잘 정의 되는것, 어떤 약속된 기호들을 다 알려주고 시작하는 거니까요. 그렇지만 선생님한테 정수에 대한 수업을 받는 사람은 중학교 1학년 학생이지 수학관련 학과 학생들이 아닙니다 그렇기 때문에 학생들이 받아들이기 쉽게 하기 위해서는 직관적인 방법이 제일 좋습니다. 수학교육관련 책을 보면 정수의 개념에서 우체국 모델, 셈돌 모델, 수직선 모델, 귀납적 외삽법 등등을 소개하고 있죠 물론 이게 정확한 설명은 아니죠. 그러니 정수에 대한 어떤 느낌을 갖게 해주는 것에는 충분하다고 봅니다.
중학생때 삼촌이 가르쳐주는데 -(1*)(-1)=1 이게 왜 되는건지 이해가 안되서 삼촌이 화났던 기억이 다시 떠오르네요. ㅎㅎ 익숙함을 버렸을 때 새로운 세상을 볼 수 있다는 것을 다시금 느낍니다. 그리고 정수의 곱셈에 대한 것을 이용하면 x*0=0 인 것을 증명할 수 있겠네요. 정수연산에 익숙해지면 도전해볼만 한 과제인 것 같습니다. ㅎㅎ 좋은 강의 올려주셔서 감사합니다!
프로그램 코딩같아요~잘 봤습니다. 그런데 저 곱셈의 정의는 어떤 합의로 끌어내게 된 것일까요. 1 x (-2) = ?의 결과를 미리 알고 있어서 그것에 맞게 프로세스를 만든 것일까요. . 그렇다면 양수와 음수를 곱해서 마이너스가 되는 "왜"에 대한 근본적 해답이 맞는 것인가요. -를 저렇게 정의했기 때문에? 곱셈에대한 정의에 따르면 자동으로 코딩해둔것처럼 그냥 "-"가 나오는데, 제가 드리고 싶은 말씀은, 이 정의를 만든사람은 곱셈의 정의룰 왜 저렇게 정의하게된 것인지 궁금합니다. 혹시 그냥 분배법칙하듯이 풀어둣 것뿐인가요. 제가 보기엔 저 정의는 마치 답을 미리 알고 있던것처럼. 예를들어, "마이너스와 플러스를 곱하니 마이너스가 되더라." 라는것 알고 정의를 세운것처럼 보인다고 해야할까요. "일단 코딩해뒀으니 대입해보니 값이 저렇다" 이 느낌이지만, 뭔가 야바위를 당하고 있는것 같습니다. 마이너스는 그냥 손가락으로 셀 수 없어서 실체를 잡을 수 없다는 허전함에서 오는 착각의 일종일까요? (저사실 대학에서 퓨리에 변환도 배운 이공계인데 흑..) 실존하는 자연수만 가지고 이리저리 돌리다보니 이상한 친구(=마이너스)가 아무렇지도 않게 튀어나오니깐 마치... 네..야바위를 당한것같아요. 사실 다 제쳐두고 문제점은 이것입니다. 수학적인 음수는 실존하지 않는다고 느껴지거든요. (=실체가 아니다) 그런데, 저 증명에서 자연수만의 곱셈으로 음수가 나왔는데, 저도 당연하게 여겼고 선생님도 당연하게 여기셨는데, 제가 저 곱셈 정의를 듣고나니 별로 당연하게 생각이 안드는겁니다. 곱셉이라는것을 수학을 공부하시는 선생님들은 어떤 직관으로 바라보시는지가 궁금하다는 겁니다. 저한테는 Attribution x Attribution 인 것이지요.. 일반인한테는 그저.. 다시말해 저에게는 존재하지 않는, 실체가 없는 것들(마이너스)을 곱하여 존재하는 것이 된건데, 개념적인 수학에서의 음수 말고는 어떤 학문도 "음"을 다루지 않잖습니까. (뮬리학에서 디렉방정식이 있긴 하지만..) 물리학에서 음수는 방향일 뿐이고 하다못해 음전하와 양전하는 실존하는 물체에 네이밍을 음, 양으로 한 것뿐이고요. 하다못해 직관으로는 이해가 안되는 양자물리 쪽도 사실은 보이지 않을 뿐이지 현상으로 보일 수 있잖아요. 양자터널링현상이나 파동함수 표현 같은것이요. 근데이쪽은.. eh?? 이런느낌인거죠. 장황했지만.. 질문은 한가지입니다.. 수학에서의 개념적인 음수는 실체가 있습니까? 네...그 질문입니다. 형이상학이요. 개념적 음수는 실체입니까? 실체로써 존재할 수 있습니까?
매번 좋은 방송 고마워요. 사랑해요(덜렁) 많은 사람들이 이런 좋은 방송 봤으면 해요. 이런 수학 등의 대중화로 기본적인 산수 가지고도 ~나는 문과라서, 이런 식의 자기변명은 사라졌으면 합니다. 기껏해야 고등학교 1학년까지 공통수학 배우고 고 3까지도 문과도 다 수학 배우는데도 나는 문과니까 모르는 게 당연하다는 건 너무 비겁한 거 같습니다. 사람은 평생 배우고 공부해야 하는 건데 말입니다. 문과 출신 30대 애청자입니다 감사합니다.
뭔가 정수끼리 덧셈하는거는 그렇게 정의가 될거 같다고 이해가 되고 느낌이 오는데 정수끼리 뺄셈이랑 곱셈이 왜 그렇게 정의되는건지는 이해가 잘 안가네요 결과론적으로 받아들이면 되는건가요? 그리고 쌤이 알려주신 정의는 수학자들이 발견한건가요?? 중학생 수학과외하는데 많이 도움이 됐습니다^^
잘 봤습니다. 궁금한 것은 정수에 대한 정의를 하고 그 후에 정수를 사용 한 것인지 마이너스라는 존재를 먼저 알고 예를 들면 -2 라는 것은 2개가 부족하다는 의미로 인지하고 그 증명을 위해 정수 이론이 나온 것인지요? 그리고 몇 까지 예를 들어서 말씀을 해주시만 사칙연산 설명이 모든 경우에 다 맞는지는 어떻게 증명이 가능한지요? ㅎ 어이없는 질문일 수도 있는데 궁금합니다
오늘도 많이 배웠습니다. 그런데 다 보고나니 약간 고민되는것이... 음의 정수에 대해 처음 배우는 학생이 "왜 음수와 음수를 곱하면 양수인가요?"라고 물을 때의 '왜'는 '정의'를 묻는 것이 아니라 공리계로서 체계화하기 전의 '관습적 의미'를 묻는 것에 더 가깝지 않을까요? 즉, 음의 정수를 처음 도입하고 사용했던 사람들이 어떤 의미로 음수를 사용했는지 설명한 다음에서야 '사실은 이걸 더 명쾌하게 정의하기 위해 이런 방법을 쓴다'라는 설명이 의미가 있게 되는거 아닐까요? 물론 영상의 취지는 잘 이해했다고 생각합니다만, 음의 정수를 처음 배우는 사람에게는 음수를 처음 도입하고 사용했던 사람들이 가졌던 '음수에 대한 감각'을 가지게 해주는 것도 중요하지 않을까 싶어서.. 제가 너무 실용적인 관점으로 보고있나 싶기도 하네요. 생각이 많아집니다.
컴퓨터에 로직을 만들어 집어넣을 때 이런 수학적 개념이 중요하다는 생각이 문득 드네요. 반면 물리에서는 그렇게 나온 결과 값이 무엇을 의미하느냐를 생각해야 하니 좌표~, 기학학적 생각을 하는거 같습니다. 인간은 무엇을 보던 간에 의미를 부여하게 되어 있어서 이런 정의에 의한 깔끔한 수학의 아름다움이 낯설게 느껴지네요.
저기서 쓰인 등호는 말 그대로 같다입니다.정의를 저렇게 한다면 위배되는 것이 없지요. 가우스 [1.3]=1이 같고 다름을 논할 수 있느냐와 같은 의미인 것 같아요~ 그리고 정의식이 맞냐 틀리냐는 저 순서쌍을 m1,m2,n1,n2 그대로 전개해보시면 됩니다. 상엽쌤의 설명의 순서대로 가면 모순없이 유도됩니다
저도 학창시절에 -,- 곱이 +가 되는 걸 좌표평면으로 설명을 들었네요. -(-) 가 +라는 거는 그냥 외우라고만 배웠는데 ㅡ.ㅡ... 이렇게 보니 참 깔끔하게 정리되네요. 학교에서 이런 식으로 설명한다면 애들이 더 수학에 관심을 가질텐데말이에요. 제 때는 그냥 외우라고 하거나 틈만나면 패고 벌 주던 시대라 그런 건 기대할 수도 없었네요 ㅡㅡ... 수학도 20대 후반이 되서야 ez 시리즈로 대수학 등을 보고 와. 이래서 이랬구나 그 원리와 배경을 알아갔네요. 학교에서 이런 것들을 가르쳐야 할텐데 그냥 무작정 외우고 풀라 하고 때리고 벌 세우는 게 교육은 아닌 거 같더군요.
@@Zeddy27182 제 생각에는 이런 이론적 배경이나 이유에 대한 설명과 , 그로 인해 빨리 푸는 비결?처럼 애들이 흥미를 가질만한 것을 같이 말해주면 좋을 거 같아요. 십수년 전에 폴수학을 들었는데, 그 강사분이 하시는 게 수학원리로부터 나온 빨리 푸는 비법 이야기였어요...ㅋㅋ 물론 그 분은 저런 설명부분 하나 없이 빨리 푸는 방식만 말했지만...(강사이니 어쩌면 이게 보통이고 그게 맞겠지만..) 그래도 거기에 왜 그렇게 나오는 지 들으면 조금 더 흥미를 갖지 않을까해요... 그래도 ...말씀처럼 그런 건 어쩌면 정말 일부만 관심갖을 수도 있고요...
이 영상을 보고 나니 부호의 표기가 수학적으로는 상관 없지만 관습적으로 상관이 있다는 것이 눈에 보이기 시작하네요. 예를 들어 음수를 표기하는 방식이 숫자를 붉게 쓰거나 글자를 뒤집어서 써도 수학적 구성적 정의로는 아무 문제가 없지만 앞에 연산기호로도 헷갈릴 수 있는 - 기호를 붙이는 까닭은 연산법칙을 직관적으로 이해하기 쉽게 하기 위해서가 아닌가 생각해봅니다.
저도 이해가 되지않고 순서쌍이 무엇인지도 몰라서 강의를 제대로 이해할 수 없지만 나름의 생각을 적어 보자면 곱셈에 한해서 -1을 곱한다는 의미는 현재의 수에 0을 기준으로 반대방향으로 1배만큼키운다로 하면 -1*-1은 1이고 1*-1은 1의 0을 기준으로 한 반대방향의 1배는 -1이 되지 않을까 생각해 봅니다.
강의를 보고 양수x음수가 왜 음수가 되는가 등에 대해 왜 기하학적 설명을 하게되는가에 대해 생각해봤습니다. 기하적인 설명은 정수 체계의 연산을 왜 그러한 방식으로 정의(공리) 내렸는가에 대해 의문이 생기기 때문인것 같습니다. 기하학 설명을 들으면 그 정의가 이러한 기하학적인 성질을 설명하는데 도움이 된다는 사실을 은연중에 느끼게 되는거죠.
궁금한게 있어 여쭤봅니다.. 덧샘까지는 이해를 하겠는데, 뺄샘이나 곱셈부터는 n1, n2, m1, m2를 넣는 순서를 바꾸는 이유를 잘 모르겠네요.. 덧샘으로 나타내야하기 때문이라는 말이 이해는가는데 그럼 곱셈은 왜 연산 순서를 바꿔야 하는건가요? 상엽선생님 말씀대로 자연수에서 정수로 확장하는 첫 사람이 연산순서를 바꿨다면 우리 알고있는 답이 아닐수도 있는건가요?
재밌고 자세하게 설명해주셔서 감사합니다.. 듣다보면 이해가 가면서도 되돌아와서 왜 그렇게 정의를 했을까..싶은 장면이 26:26 장면입니다. 곱셈에 대해 설명하기 위한 수식인데, 설명하는 수식안에 이미 곱셈이란 개념이 튀어나와서 약간 아리쏭해서 몇번이고 재감기해서 보면서도 잘 모르겠네요.. (마치 사진을 어떻게 찍지? 라고 물어본 질문에 사진만 보여주고 카메라라는 도구는 안보여주는 듯한 느낌이랄까요 ㅎㅎ;)이 부분은 그런대로 건너뛰고, 들어주신 예를 보면 결국 동치류들끼리 정리(?)되기 때문에 1x(-2)=-2이다.. [(n1 x m2 + m1 x n2 , n1 x n2 + m1 x m2)]이기 때문에 값이 도출된다는게 다행이라는 감정이 들 정도로.. 조금 갈증이 느껴지네요. 제가 맥락을 잘못 짚고 질문을 드린 것이라면 죄송합니다. 좋은 영상 감사합니다(__)
@@신진민-j7r댓글 감사합니다. 제가 궁금한 부분은 댓글중 표현하신 '음수계산을 표현하기 위한 도구'인 부분입니다. 만약 [(n1 x n2 + m1 x m2 , n1 x m2 + m1 x n2)]이었다면 선생님께서 들어주신 예시는 [(5,7)]이 되어 2가 나오게 될 것이어서 1 x (-2) = 2로 되지않겠습니까? 1x(-2) = -2다 라는 값이 도출되기 위해선 반드시 [(n1 x m2 + m1 x n2 , n1 x n2 + m1 x m2)]이어야 한다는 부분에 의구심이 듭니다.. 순서에 따라 값이 완전히 변하게 되는데, 곱셈연산을 저렇게 구성하게 된 배경이 궁금한 점입니다.
음..곱셈은 이미 엄밀한 수학적 정의가 나오기 전에도 존재하고 있었죠. 곱셈의 기초적인 의미는 덧셈을 여러번하는 거잖아요.그런데 이게 자연수만을 다룰 때는 문제가 되지 않지만 음수와 0이라는 새로운 수가 도입되면서 수학적으로 새로운 정의를 해야하는 상황이 생긴거죠. 저 정의의 의미는 기존의 자연수끼리의 곱셈 결과와도 위배되지 않아야합니다.말씀하신 것처럼 저 식의 정의를 순서를 바꿔버리면 기존의 곱셈과 값이 달라지게 되기 때문에 의미가 없어집니다.이상 저의 생각이였습니다.
저 예전에 읽었던 글 중에 가우스의 일화가 떠오릅니다. 가우스가 3살 때 아빠가 계산하는 걸 보더니 암산으로 틀렸다고 고쳐주죠. 또 하나, 가우스가 하도 똑똑하다고 하자. 아빠 친구가 놀러와서 1빼기 2가 뭐냐고 물어봅니다. 그러자 가우스 왈.이게 뭔지는 모르겠지만 1이 부족한 그런 상황이다라고 얘기하죠. 크으.. 나중에 가우스가 농담으로 이런 말을 하죠. "나는 말을 깨우치기 전에 숫자를 먼저 깨우쳤다." 어떻게 보면 저런 정의들은 천재들에겐 누가 가르쳐주지 않아도 자연스럽게 의식의 흐름대로 공통적으로 나올 수 있다는 생각이 들었습니다.
초등학생때 10x0.9는 대체 왜 더 작은 수가 되는건지 기술적으로는 문제없이 하겠는데, 대체 왜 곱하기를 했는데 수가 작아지는건지 직관적으로 이해가 안돼서 선생님한테 물어본적이 있었죠... 그래도 선생님은 화내지 않고 계속계속 반복해서 설명해주셨지요.. 그래도 딱 와닿질 않았지만 이해한척 넘어갔던적이 있네요ㅎㅎ
![[수학史] 음수의 의미와 수학 정착기](http://i.ytimg.com/vi/KtZ5ufQFG2s/mqdefault.jpg)
![[수학史] 음수의 의미와 수학 정착기](/img/tr.png)
![[지식in] 라마누잔 합 Ramanujan Summation](http://i.ytimg.com/vi/uOcGY30gyWo/mqdefault.jpg)
![[지식in] 미분은 누가 왜 만들었을까?](http://i.ytimg.com/vi/hFKm9ga9-yA/mqdefault.jpg)
![[지식in] 정말로 점이 모이면 선이 될까?](/img/n.gif)
인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요.
제가 영상에서 소개해 드린 정수의 구성적 정의는 인류역사에서 정수라는 수체계의 시작이 이러했다는 것을 설명하는 것이 아닙니다. 음의 정수는 서양에서는 중세시대부터, 동양에서는 그보다 더 이전부터 쓰여 왔고, 정수의 구성적 정의에 대한 논의가 이뤄진 것은 형식논리로써 수학을 체계화하려는 시도가 일어난 비교적 현대의 일입니다.
정수의 역사적, 관습적 배경이 궁금하신 분은 아래 링크를 눌러 영상을 시청해주세요 ^^
th-cam.com/video/KtZ5ufQFG2s/w-d-xo.html
수의 기하적인 의미와 설명을 보고 싶으신 분은 아래 링크를 눌러 영상을 시청해주세요 ^^
th-cam.com/video/Ko6Ri9zKADY/w-d-xo.html
마이크를 오른쪽 옷깃에 장착했더니 소리가 바로 들어가서 듣기가 좋지 않네요. 다음부터는 왼쪽에 장착하도록 하겠습니다 ^^;
그리고 저를 칭찬해주시는 분들의 마음씨에는 매우 감사드리지만, 감히 앞선 대 수학자분들과 함께 거론하여 제가 존경하는 수학자분들의 위명에 먹칠은 하지 말아주세요 ; 또한 저에 대한 관심을 수학으로 좀 더 기울여주신다면 정말로 감사하겠습니다.
생각해보니 저에게 "올~ 한국의 페이커~~"라 하면 칭찬이아니라 조롱으로 들리겠군요. 아 페이커는한국인이지.
상엽쌤의 이 설명을 핀댓으로 하셔야 될 거 같아요~이 설명을 듣지 않아서 아마 혼동이 생기시는 분들이 계시는 듯 합니다.
왜 답글이 없지?
(정리)
#자연수의 구성: 1부터 그 다음 수를 하나씩 세 나간다
☞ 1, 2, 3, •••
☞ 덧셈(m+n), 대수 비교(m
고딩 때 이거 정말 궁금했는데 누구도 알려주지않고, 학원쌤한테 물어봤는데 그게 왜 궁금하냐며 핀잔먹어서 마음속에 묻어둔건데 설명해쥬셔서 너무 감동...ㅠㅠ
줮같음 그런거 필요없다고 답주시는 선생님들 진짜 마음에 안듬. 수업때면 다같이 듣고있고 공식적인거니까 답안주는거 이해를 하겠는데 개인적으로 찾아가도 그렇게 답하는 학교쌤이나 학원쌤은 시름
ㅇㄱㄹㅇ.. 초딩 6까진 수학을 잘하다 못해 날라다녔지. 무조건 공식과 규칙을 외우는게 아니라, 모든걸 정확히 '이해'한 다음에 넘어갔었으니까. 근데 중학교 오자마자 도저히 이해를 할 수 없는, 선생님도 정확히 설명을 못하는 그런 규칙들이 나와서 그 때부터 조금씩 이해를 하는게 아니라 외우게 되더라. 난 이해를 하고 싶은데.. 그럴수가 없으니까. 난 그냥 문제를 풀면 되는거지 이걸 이해해야 하는게 아니니까. 그래서 수학에 대한 흥미는 점점 떨어지고 기계처럼 외우게 됐었지 ㅠㅜ 근데 이 영상보니까 조금이나마 그 궁금증이 해결된 것 같아서 좋네영...
암묵적으로 우리나라의 수학교육은 당연해보이는 사실에 의문을 갖는 것이 바보같다고 보는 시선이 지배적이었습니다. 수학을 사랑하는 사람들도 과연 그러했을까요? 무언가를 사랑한다는 것은 당연해보이는 것에도 항상 의심하고 깊이 들여다보려는 노력으로 깊어지는데 말이죠
수학은 입시이고, 수학이 아니니까요.
그 선생도 몰라서 그럼 ㅋ
진짜 화려한 편집이나 말빨하나 없이 지식과 내용만으로 매 영상 압도하시는 분....
썸네일의 여학생이 귀엽군요
32:00 ㄹㅇ 소름ㄷㄷㄷ
이분 영상들을보면 왜 교수들이 중고등수학은 수학이아니라 산수다라고 하는지알것같음. 예전엔 난이도때문에 그런가싶었는데 그게아니라 애초에 방향?근간?부터가 다르네.
맞음. 대학교1학년때도 수학교양이나 전공 들어보면 고딩때 했던거 겹치는거 많아서 답찾는건 쉬울것같은데 배우는내용은 완전다름 ㅋㅋㅋ
진짜 공부 많이하신게 티가 난다... 학문적 소견이 보통이 아니십니다.
진작 학창시절에 이렇게 배우면 좋았을 것을...
전혀 어렵지도 않고 오히려 기존의 억지스럽다고 느꼈던 설명 방식인 좌표평면에 기하적인 설명보다
훨씬 더 명쾌하고 간단하네요. 감탄했어요;;;
중학교에서 처음 음수의 연산을 배우는데 그때는 이런식으로 가르치기 힘들거에요. 수학교육학적으로 중학교 식의 설명방법이 만들어진데에는 그만한 이유가 있습니다. 피아제의 인지발달이론이나 프로이덴탈의 수학화 이론 등 수학 교육학적으로 중학교에서 두리뭉술하게 가르치는데는 그만한 이유가 있어요. 아마 즁학교때 아런식으로 가르치면 그건 그거대로 어려움이 있을거에요. 물론 더 상위 단계 학습에서는 이런 의문과 논의는 매우 바람직한거 같고 설명도 너무 명쾌해서 좋네요..
@@kevinkim3211 물론 영상의 내용만을 가르쳐도 문제는 있을거라 생각해요. 그런데 제가 학창시절 배웠던 것처럼 좌표평면 기하설명만 하는 것도 문제라는 겁니다.
@@서울촌놈-k6y 모든 좋은 설명을 학교 수업에서 들을 수 있었다면 얼마나 좋을까요? 하지만 현실에는 한계가 있죠..
수의 연산에 대해 배우는 중학생 대부분은 빈틈없는 정의가 얼마나 중요한지 인지하지 못하고 그런 것에 관심도 없습니다. 몇몇 능력있는 학생들에게는 정의를 설명해 주는게 도움일 수 있겠지만, 평균적인 중학생이라면 오히려 수학은 머리아프다고 생각하게 될 겁니다. 다수를 대상으로하며 시간이 제한적인 수업에서는 그런 방식이 쉽지만은 않겠죠. 그래서 저는 학교수업에서 이런 설명을 반드시 해야 한다고 생각하지는 않아요. 그럴만한 이유가 있다는 위엣분 말씀에 공감하는 바입니다.
이미 관습적으로 정수의 연산은 이렇게 하고 있었고, 영상에 설명해 주신 정수 연산의 체계화는 비교적 최근에서야 이루어 졌습니다. 그렇다는 것은 인간의 인지능력 발달상 직관적 이해를 통해 받아들인 뒤, 정의를 통해 완벽하게 체계화 하는 것이 순서상 자연스럽다고 할 수 있을 겁니다. 님도 저도 이미 정수의 연산이 익숙하기 때문에 영상에서의 상엽쌤의 설명을 쉽게 받아들일 수 있지 않았을까요? 제가 수의 연산을 처음 접하게 되는 중1학생인데 이 설명을 들었다면 쉽지 않았을 거라고 생각합니다.
@@MeanValue 인지하지 못하는건 어찌보면 당연한건데 이런 원리를 알려줬으면 더 재미를 느낄 수 있었을텐데요 흠.
@@학수-r5m 슬프지만 우리만이 그렇게 생각하죠..
정말 충격적인 강의네요. 그리고 정말 아름다운 강의네요. 강의를 보면서 행복하다는 기분이 들었을 정도 ㅠ 수학의 그 아름다움에 감명받았습니다 ㅠ
저두 충격적, +
수학의 아룸다움이란 ^^
별 내용 없을 거라 생각하고 기대없이 들어왔는데 엄청난 내용들이 막 쏟아져서 당혹스럽네요;;ㅎㅎ 걍 길 가다가 반짝이는게 있어서 무심코 주웠더니 다이아몬드 덩어리인 기분이에요;
끝까지 몰입해서 잘 봤어요!!ㅎㅎ 진짜로 정말 다이아몬드같은 강의라고 생각해요! 앞으로도 영상 계속 올려주세요ㅎㅎ
Me gustó este video ... soy de Colombia
이 영상이 좋았어요 ... 콜롬비아에서 왔어요
매번 훌륭한 영상 감사합니다. 궁금했던거였는데 진짜 감사해요
6:00 새로운 수의 표기 방법은?
어떠한 수를 가리키고 정의할 것인지
새로운 수를 어떠한 혼동 여지없이 예쁘게 잘 정의했다.
사람들은 그렇게 쓰기로 약속했다.는 거지
알고리즘에 떠서 늦게나마 보게 되었는데 감탄이 나오네요 와...
48년만에 제대로 정의를 알게됐네요 감사합니다
ㅜㅜ 보는 제가 다 가슴이 뜨거워지네요
헐...기가 막힌다 ㄷㄷㄷ정말 잘봤습니다!!
짝짝짝!
와우! 한겨울에 시~~~~원하네요!
많이 궁금했어서 학창시절 여기저기 찾아봤던기억이.. 결국 납득못하고
그냥 문제를 풀기위해 받아들여야했던
내용이었는데..
매번 정수의 연산을 정의대로 하진 않겠지만
이젠 맘편히(?) 연산할 수 있겠네요!
감사해요!!!!
시청할때마다 매우 만족중입니다^^ 얼른 선생님 채널이 십만 구독자를 찍는 날이 왔으면 좋겠네요.
어머나, 너무 재미있게 잘 보았습니다. 감사합니다.
교수님 진짜 소중한 영상입니다
음수 곱하기 음수가 양수인 것을 궁금해해서, 주변의 지인에게 욕먹었는데 선생님의 격려의 말씀이 정말 힘이 되었습니다.
감사합니다.
몇번씩 보고 해보고 하면서 훈련하고 있습니다.
당연히 관습과 일상과 연관된 수학도 중요하지만,
한정된 도구 안에서 논리적 완결성을 구축하는 것이 결국 현대과학의 초석이 된거라고 보기 때문에,
모르는 상태로 보면 작위적이고,
직관과 멀어진다고 생각되도 여전히 소중하다고 생각합니다.
제 의견을 말씀 드리면,
- 표기 즉, 음의 정수를 정의하는 그 단계에서부터 관습은 녹아 있다고 생각합니다.
관습적으로 -1로 간주되는 연산을
관습적으로 1이 되는 연산과 대응하여
1)m과n의 순서쌍을 "뒤집어놓고"
2)그에 대응하여 -를 붙이는
이러한 정의 자체,
그리고 논리적 넘나듬 없이 오로지
자연수 체계 내의 연산과
언급된 - 표기의 정의 만으로도
예제를 풂으로써,
수학의 아름다움 같은걸 느꼈다고 할까요.
결국 연산을 하다보면 ...
정의에 녹아있는 그 부분이 자연스럽게 드러나고,
일상의 언어가 아닌 수학의 언어만으로
충분히 연산이 된다는게 참 묘함이 느껴지는거죠...
항상 좋은 영상 제공 감사하고 있습니다
영상 너무 잘 봤습니다 학생들 가르칠때 항상 기하적으로 가르쳤는데 그때마다 '실제로 이렇게밖에 증명하지 못할까 ' 라는 의문이 있었는데 해결해주셔서 감사합니다!!
근데 제가 조금 옛날 방식에 갇혀있는건지 모르겠는데 이설명이 더 어려워 보여요
학생들에게는 직관적으로 볼수있는 설명과 이런 수학적 설명이 같이 가는게 좋지 않을까 라는 생각이 들어서요..
아 생각해보니 원래 이렇게 가르쳤었어야 했구나 라는 생각도 드네요 중학교1학기 처음에 자연수 라는것을 설명할때부터 이렇게 설명하면 아이들이 받아들이기가 더 쉽겠네요
이렇게 설명하면 더 엄밀하게 파고들긴해서 오류는 없겠지만 받아들이는 사람은 굉장히 어려울 것입니다.
거의 대학교 abstract algebra 처음 배울 때, 기호의 약속부터 시작해서, 연산기호에 대해 잘 정의 되는것, 어떤 약속된 기호들을 다 알려주고 시작하는 거니까요.
그렇지만 선생님한테 정수에 대한 수업을 받는 사람은 중학교 1학년 학생이지 수학관련 학과 학생들이 아닙니다
그렇기 때문에 학생들이 받아들이기 쉽게 하기 위해서는 직관적인 방법이 제일 좋습니다.
수학교육관련 책을 보면 정수의 개념에서 우체국 모델, 셈돌 모델, 수직선 모델, 귀납적 외삽법 등등을 소개하고 있죠
물론 이게 정확한 설명은 아니죠. 그러니 정수에 대한 어떤 느낌을 갖게 해주는 것에는 충분하다고 봅니다.
궁금해하는 학생들이 생기면 그 친구들에게만 알려주시는 것도 좋을 것 같네요!
결론 : by definition
항상 잘 듣고있습니다 선생님 ㅎㅎ
이샘 최고.
드디어 정보유튜버의 최고단계 사람들이 원래 궁금했어서 보게 하는 것이 아닌 썸네일로 궁금중을 유발하여 보게하는 경지에 이르셨네요. 유튜브 마스터 축하드립니다ㅋㅋ.
페아노 공리계를 이용해서 정수를 구성할 수 있군요. 오늘도 머리가 즐거워지는 영상이었습니다.😄
문돌이에 수능본지 10년 넘은 내가 이걸 정주행할 줄이야....진심 분필 한 자루 들고 학원가 폭격하러 온 재야고수 같음
영상 정말 잘보고있습니다. 선생님!!
감사합니다
그렇다면 m-n에서 사용하신 -기호와 -(n-m)에서 가장 앞에 사용하신 -기호는 다른 의미인 건가요...?
수학이 소름끼치게 아릅다다는것을 다시한번 느끼고갑니다~~ 멋진 강의 잘봤습니다!!!
중학생때 삼촌이 가르쳐주는데 -(1*)(-1)=1 이게 왜 되는건지 이해가 안되서 삼촌이 화났던 기억이 다시 떠오르네요. ㅎㅎ
익숙함을 버렸을 때 새로운 세상을 볼 수 있다는 것을 다시금 느낍니다. 그리고 정수의 곱셈에 대한 것을 이용하면 x*0=0 인 것을 증명할 수 있겠네요.
정수연산에 익숙해지면 도전해볼만 한 과제인 것 같습니다. ㅎㅎ 좋은 강의 올려주셔서 감사합니다!
평소에 의문없이 당연히 받아들였던거란걸
깨닫게되었네요, 근본에대해 생각해볼 기회를 주셔서 감사해욤
프로그램 코딩같아요~잘 봤습니다.
그런데 저 곱셈의 정의는 어떤 합의로 끌어내게 된 것일까요.
1 x (-2) = ?의 결과를 미리 알고 있어서 그것에 맞게 프로세스를 만든 것일까요. .
그렇다면 양수와 음수를 곱해서 마이너스가 되는 "왜"에 대한 근본적 해답이 맞는 것인가요. -를 저렇게 정의했기 때문에?
곱셈에대한 정의에 따르면 자동으로 코딩해둔것처럼 그냥 "-"가 나오는데, 제가 드리고 싶은 말씀은, 이 정의를 만든사람은 곱셈의 정의룰 왜 저렇게 정의하게된 것인지 궁금합니다.
혹시 그냥 분배법칙하듯이 풀어둣 것뿐인가요.
제가 보기엔 저 정의는 마치 답을 미리 알고 있던것처럼. 예를들어, "마이너스와 플러스를 곱하니 마이너스가 되더라."
라는것 알고 정의를 세운것처럼 보인다고 해야할까요.
"일단 코딩해뒀으니 대입해보니 값이 저렇다" 이 느낌이지만,
뭔가 야바위를 당하고 있는것 같습니다.
마이너스는 그냥 손가락으로 셀 수 없어서 실체를 잡을 수 없다는 허전함에서 오는 착각의 일종일까요? (저사실 대학에서 퓨리에 변환도 배운 이공계인데 흑..) 실존하는 자연수만 가지고 이리저리 돌리다보니 이상한 친구(=마이너스)가 아무렇지도 않게 튀어나오니깐 마치... 네..야바위를 당한것같아요.
사실 다 제쳐두고 문제점은 이것입니다.
수학적인 음수는 실존하지 않는다고 느껴지거든요. (=실체가 아니다) 그런데, 저 증명에서 자연수만의 곱셈으로 음수가 나왔는데, 저도 당연하게 여겼고 선생님도 당연하게 여기셨는데, 제가 저 곱셈 정의를 듣고나니 별로 당연하게 생각이 안드는겁니다.
곱셉이라는것을 수학을 공부하시는 선생님들은 어떤 직관으로 바라보시는지가 궁금하다는 겁니다.
저한테는 Attribution x Attribution 인 것이지요..
일반인한테는 그저.. 다시말해 저에게는 존재하지 않는, 실체가 없는 것들(마이너스)을 곱하여 존재하는 것이 된건데, 개념적인 수학에서의 음수 말고는 어떤 학문도 "음"을 다루지 않잖습니까. (뮬리학에서 디렉방정식이 있긴 하지만..)
물리학에서 음수는 방향일 뿐이고 하다못해 음전하와 양전하는 실존하는 물체에 네이밍을 음, 양으로 한 것뿐이고요.
하다못해 직관으로는 이해가 안되는 양자물리 쪽도 사실은 보이지 않을 뿐이지 현상으로 보일 수 있잖아요. 양자터널링현상이나 파동함수 표현 같은것이요.
근데이쪽은.. eh?? 이런느낌인거죠.
장황했지만.. 질문은 한가지입니다..
수학에서의 개념적인 음수는 실체가 있습니까?
네...그 질문입니다. 형이상학이요.
개념적 음수는 실체입니까? 실체로써 존재할 수 있습니까?
우리는 처음에 숫자가 아니라 손가락과 사과의 대응을 배웠습니다. 다음엔 손가락을 떠나 나뭇가지에 대응시켰습니다. 이윽고 숫자에 대응시키고, 사과는 던져버렸습니다. 실체(=대응하는 실재)는 없습니다.
고딩때 대충 예시로 증명하고, 질문해도 전혀 납득가지 않는 답변을 듣기 일쑤였는데 아주 좋습니다
매번 좋은 방송 고마워요. 사랑해요(덜렁)
많은 사람들이 이런 좋은 방송 봤으면 해요.
이런 수학 등의 대중화로 기본적인 산수 가지고도 ~나는 문과라서, 이런 식의 자기변명은 사라졌으면 합니다. 기껏해야 고등학교 1학년까지 공통수학 배우고 고 3까지도 문과도 다 수학 배우는데도 나는 문과니까 모르는 게 당연하다는 건 너무 비겁한 거 같습니다.
사람은 평생 배우고 공부해야 하는 건데 말입니다.
문과 출신 30대 애청자입니다 감사합니다.
지렸다...... 이런 양질의 강의 올려주셔서 감사합니다
와 진짜 궁금했었는데 감사합니다.
수학 교사를 꿈꾸고 있는데 꼭 쌤 같은 분이 되고 싶어요! 정말 존경스럽습니다!!!
저도 중학생때 수학교사가 꿈이였었는데...
파이팅입니다!!
선생님 만학도 70세할머니가 들어와 구독함니다 구체적인 설명 감사합니다
갓상엽센세 오늘도 감사합니다
유익한 영상 감사합니다^^
난 이게 정말 궁금했는데 드뎌 찿았다!ㅎㅎㅎㅎㅎ
양자역학의 미시세계에서의 현상들이 인간의 직관을 벗어나지만 실재하듯이, 음수적인 현상도 자연에 존재하나 우리 인간의 오감으로는 인식하지 못하는 건 아닐까요?
하지만 음수라는 수의 관념을 통해 그 현상을 표현해낸거구요.
선생님이 학창시절에 계셨다면 수학을 더 재밌어하고 즐겁게 공부했을거 같아요ㅠㅠ
뭔가 정수끼리 덧셈하는거는 그렇게 정의가 될거 같다고 이해가 되고 느낌이 오는데 정수끼리 뺄셈이랑 곱셈이 왜 그렇게 정의되는건지는 이해가 잘 안가네요 결과론적으로 받아들이면 되는건가요?
그리고 쌤이 알려주신 정의는 수학자들이 발견한건가요??
중학생 수학과외하는데 많이 도움이 됐습니다^^
좋은 영상 잘 봤습니다. 그런데 기존에 설명하던 방식인 수직선에 어떤 오류가 있는 건가요? 제가 영상을 잘 이해를 못 한 것일지도 모르지만 '문제가 뭐지?' 라고 생각했네요.
지금 초등 6학년 학생입니다. 정말 이해가 되지 않는 내용들도 있지만 거의 대부분은 이해가 되는 거 같네요. 감사합니다.
잘 봤습니다. 궁금한 것은 정수에 대한 정의를 하고 그 후에 정수를 사용 한 것인지 마이너스라는 존재를 먼저 알고 예를 들면 -2 라는 것은 2개가 부족하다는 의미로 인지하고 그 증명을 위해 정수 이론이 나온 것인지요? 그리고 몇 까지 예를 들어서 말씀을 해주시만 사칙연산 설명이 모든 경우에 다 맞는지는 어떻게 증명이 가능한지요? ㅎ 어이없는 질문일 수도 있는데 궁금합니다
저런 구성적인 설명은 수학이 엄밀하게 하기위해 모든걸 공리화하면서 수 체계도 집합론을 이용해 공리화를 한건데 당연히 기존에 쓰던거와 호환되게 집합론적으로 구성한거죠...저런식으로 정의하는건 역사가 길지 않죠
페아노 공리계로는 자연수에 대해 덧셈과 곱셈에 대해 정의만 되던가...
닫혀있음까지 증명이 가능하던가는 흐음...
정말 궁금했어요...넘 감사해요...미국에서도 잘 보고 있어요..아들이 수학자를 꿈꾸고 있어요^^
선생님 abc 난제(abc conjecture)에 대해 영상 찍어주실 수 있나요? 한국어로 된게 하나도 없네요..
덧셈, 뺄셈, 곱셈의 구성을 강의하신 규칙으로 구성한 자연수적인 이유가 있을까요? 예를들어, 영상 17:45 부터 내용에서 뺄셈은 왜 바깥쪽끼리 그리고 안쪽끼리 묶어서 연산을 하나요?
이상엽 선생특 : 안궁금한거 궁금하게 만들어줌
앜ㅋㅋㅋㅋㅋ
근데 이제 재미를 곁들인
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅇㅈ
오늘도 많이 배웠습니다. 그런데 다 보고나니 약간 고민되는것이...
음의 정수에 대해 처음 배우는 학생이 "왜 음수와 음수를 곱하면 양수인가요?"라고 물을 때의 '왜'는 '정의'를 묻는 것이 아니라 공리계로서 체계화하기 전의 '관습적 의미'를 묻는 것에 더 가깝지 않을까요? 즉, 음의 정수를 처음 도입하고 사용했던 사람들이 어떤 의미로 음수를 사용했는지 설명한 다음에서야 '사실은 이걸 더 명쾌하게 정의하기 위해 이런 방법을 쓴다'라는 설명이 의미가 있게 되는거 아닐까요?
물론 영상의 취지는 잘 이해했다고 생각합니다만, 음의 정수를 처음 배우는 사람에게는 음수를 처음 도입하고 사용했던 사람들이 가졌던 '음수에 대한 감각'을 가지게 해주는 것도 중요하지 않을까 싶어서..
제가 너무 실용적인 관점으로 보고있나 싶기도 하네요. 생각이 많아집니다.
그런 사람들에게 필요한 강의는 아니라고 생각합니다.. 음수×음수를 현재 배우는 사람이라면 기껏해야 초등학생~중학생 정도일 것 같은데 제 생각엔 이 동영상은 그 때 음.. 그렇구나.. 하고 넘어갔지만 확실히 하고픈 사람들을 위해 찍으셨다고 생각이 드네요
댓글 읽고 공감합니다. 저희 어머니께 -1×-1이 1이되는 이유를 알기쉽고 직관적으로 알려드리고 싶은데... 이번 영상에 방법은 별로 도움이안될거같네요...
영상중에 의문을 가질부분이 아니라는 이야기를 하시는데 공감하지 못하겠네요.
@@유소민 수학을 정의로증명하지 그럼넌 뭘로증명하냐? 대단하지않다고? 정수의정의를 저렇게 기초부터알려주는영상이 그동안있었냐? 모두들 불명확한 직관적설명만으로 내용을설명하고있을 때 이 영상은 유일하게 정수의 명확한정의와 논리를설명해준 영상이다.
왜그렇게 정의했냐고? 그게 합리적이고 자연스러운거니까. 영상에서 계속그걸 말해주고 있는데 넌 대체 뭘본거냐?
컴퓨터에 로직을 만들어 집어넣을 때 이런 수학적 개념이 중요하다는 생각이 문득 드네요. 반면 물리에서는 그렇게 나온 결과 값이 무엇을 의미하느냐를 생각해야 하니 좌표~, 기학학적 생각을 하는거 같습니다. 인간은 무엇을 보던 간에 의미를 부여하게 되어 있어서 이런 정의에 의한 깔끔한 수학의 아름다움이 낯설게 느껴지네요.
진정한 선생님
감사합니다!
저도 수학 참 좋아하는데 상엽샘 존경합니다.
주입식교육 때문에 음수 × 음수 는 양수인게 당연하다고 느꼈었는데
상엽쌤 영상보고 많은걸 보고가네요ㅎㅎ
선생님 항상 감사합니다!!
썸네일보고 "어? 생각해보니 그러네?" 이러고 들어옴 ㅋㅋ
아름답네요. 감사합니다.
이제서야봤네 크 센세 멋지십니다.
재미있어요~! 굿굿
예전에 진짜 이해안됬었다가 나중에는 그냥 외우듯이 고민안하게됬던 기억이 나네요...
영상 시청 도중 떠오른 생각들을 감히 올려봅니다.
n
저기서 쓰인 등호는 말 그대로 같다입니다.정의를 저렇게 한다면 위배되는 것이 없지요. 가우스 [1.3]=1이 같고 다름을 논할 수 있느냐와 같은 의미인 것 같아요~
그리고 정의식이 맞냐 틀리냐는 저 순서쌍을 m1,m2,n1,n2 그대로 전개해보시면 됩니다. 상엽쌤의 설명의 순서대로 가면 모순없이 유도됩니다
제가 말하고 싶은 바는 다음과 같습니다.
1. (m-n)은 이미 자연수로서의 정의가 있는데, 그 정의와 제시된 동치류가 집합으로서 같은 것이 가능한가?
2. 정의된 연산의 결과가 n1,n2,m1,m2의 선택과 무관하게 항상 유일하게 결정되는가?
@@서명인-y3w
if n < m ,
m - n
[(4,5)] = 1
1 -> [(1,2)]
n' = n+1
1' ' ' = 4
2 ' ' ' = 5
저도 학창시절에 -,- 곱이 +가 되는 걸 좌표평면으로 설명을 들었네요.
-(-) 가 +라는 거는 그냥 외우라고만 배웠는데 ㅡ.ㅡ... 이렇게 보니 참 깔끔하게 정리되네요.
학교에서 이런 식으로 설명한다면 애들이 더 수학에 관심을 가질텐데말이에요. 제 때는 그냥 외우라고 하거나 틈만나면 패고 벌 주던 시대라 그런 건 기대할 수도 없었네요 ㅡㅡ...
수학도 20대 후반이 되서야 ez 시리즈로 대수학 등을 보고 와. 이래서 이랬구나 그 원리와 배경을 알아갔네요. 학교에서 이런 것들을 가르쳐야 할텐데 그냥 무작정 외우고 풀라 하고 때리고 벌 세우는 게 교육은 아닌 거 같더군요.
ㅋㅋㅋㅋ음..저도 애들 가르쳐봤지만 과연 저렇게 설명하면 좋아할까요?
정말 수학을 좋아하는 상위권만 흥미를 가진다고 생각해요..ㅠㅠ슬픈 현실입니다
@@Zeddy27182 제 생각에는 이런 이론적 배경이나 이유에 대한 설명과 , 그로 인해 빨리 푸는 비결?처럼 애들이 흥미를 가질만한 것을 같이 말해주면 좋을 거 같아요. 십수년 전에 폴수학을 들었는데, 그 강사분이 하시는 게 수학원리로부터 나온 빨리 푸는 비법 이야기였어요...ㅋㅋ 물론 그 분은 저런 설명부분 하나 없이 빨리 푸는 방식만 말했지만...(강사이니 어쩌면 이게 보통이고 그게 맞겠지만..)
그래도 거기에 왜 그렇게 나오는 지 들으면 조금 더 흥미를 갖지 않을까해요...
그래도 ...말씀처럼 그런 건 어쩌면 정말 일부만 관심갖을 수도 있고요...
최고에요 쌤👍👍👍👍
하...선생님 제가 무슨 질문만 하면 수업의 질을 흐린다고 가르치는 사람까지 헷갈리게 한다고 매번 혼나고 질문도 못했는데....
정말 감사합니다. 😭😭 꾸준히 강의 듣고싶어요
항상 이 문제가 궁금해질때마다 그렇게하기로 약속한 것일까 아니면 머리 띵하게 만드는 이유가 있는걸까 궁금했는데
결국 둘 다 아닌 머리 띵하게 만드는 정의에 의해 도출되는 결론이었네요
미친 강의 감사합니다
수학의 대중화기여에 여념이 없으신 선생님께 늘 감사드립니다. 까몬!
수학 너무 흥미롭네요. ^^
저희 아이(중1)너무나도 궁금해하던 내용입니다.
이 영상을 보고 나니 부호의 표기가 수학적으로는 상관 없지만 관습적으로 상관이 있다는 것이 눈에 보이기 시작하네요. 예를 들어 음수를 표기하는 방식이 숫자를 붉게 쓰거나 글자를 뒤집어서 써도 수학적 구성적 정의로는 아무 문제가 없지만 앞에 연산기호로도 헷갈릴 수 있는 - 기호를 붙이는 까닭은 연산법칙을 직관적으로 이해하기 쉽게 하기 위해서가 아닌가 생각해봅니다.
평소에 궁금했던 건데 30분안에 해결해주시다니 감사합니다
근데 + - x 의 정의를 왜 굳이 저렇게 놓으셨는지 설명해 주실 수 있을까요?
솔직히 저는 3B1B 채널보다 이 채널이 훨씬 수준이 높으면 높았지 결코 낮다고 생각이 안듭니다.. 한국 수학채널 원탑인건 이미 당연하고 세계적으로도 이런 채널은 찾기 매우 힘들어요..
3B1B는 수학적 직관을 중요하게 여겨서 이상엽쌤이랑 추구하는 방향이 달라요
그사람 영상 재밋던데 설명할때 나오는 그래프 그림이 개오짐
너무 당연하게 배워서 여지껏 의심조차 해본적없는데 충격받았네요ㅎ
정수는 정수기에서 나옵니다
출생의 비밀
유리수는 모래에서 나옵니다
@@happy2space 유리수가 아니라 유비수입니다
실수는 서두름에서 나옵니다.
정상수는 테이저건을 맞습니다
선생님의 좋은 강의 감사합니다~~
질문이 있는데 제가 전에 인터넷에서 봤던 (-1)*(-1)=1 증명은 덧셈의 항등원과 역원, 곱셈의 항등원, 분배법칙을 이용해 증명을 했는데 이 증명이 맞는 증명인가요? 아니면 그냥 이해를 돕기위한 설명 과정인가요?
1. 일반적인 ring theory로 생각하면 말씀하신 것이 맞습니다.
2. 그러나 정수가 무엇인지 모르는 상태에서는 정수가 환인지 아닌지도 확신이 없으므로... 순서쌍을 사용하는 방식으로 하는 것이 맞습니다.
모찌모찌태하 답변 감사합니다~
재밌다진짜..
교환법칙 결합법칙 분배법칙등도 이걸 백그라운드로서 증명되는건가요??
질문있습니다. (3,5) 와 (5,3)이 둘다 2를 의미해서는 안되므로 (5,3)에는 -를 단다고 하셨는데 (3,5)와 (5,3)을 동치류로 정의하면 되지 않나요? 결국 자연수 체계에서 머무는 상태를 억지로 가짜로 정의하는 거 같다는 생각이 듭니다
물론 강사 선생님을 비방하고자 하는 생각은 없습니다. 강의도 잘하시고 내용도 심도있게 잘 짜여있는 거 같아요. 다만 질문이 있을 뿐입니다. 오해하지 말아주세요
그러게요... 선생님께서 분명히 수많은 동치류가 있다고 하셨음에도 (3,5)와 (5,3)은 동치류로 두지 않으시고 ‘다른 수’로 정의해버리신 이유가 궁금해요
@@발렌타인-d6w 그러게요..ㅠㅠ 찾아볼려고 해도 어떻게 찾아봐야할지 감도 안잡히네요..
그런 수 체계가 가능하고, 아닌 수 체계도 가능할 겁니다. 영상에선 아닌 수 체계를 보여준 걸로 저는 이해합니다.
아이가 질문했는데 얼버무리고 핀잔 준 제가 부끄럽네요 아이에게 수학을 지도할때 근본적인 질문을 할때마다 당황스러운데 많은 도움이 됩니다 좋은 영상 감사합니다
미지수란 무엇인가요? 저도 계속 생각해보았는데 상엽쌤의 생각을 들어보고 싶네요~~~~
미지수는 그냥 한자 뜻 그래도 알지못하는 수 정도로 직관적으로 보면 되는 거죠 뭐
이형 계속보면 목소리도 부드럽고 점점 잘생겨보임
저도 이해가 되지않고 순서쌍이 무엇인지도 몰라서 강의를 제대로 이해할 수 없지만 나름의 생각을 적어 보자면 곱셈에 한해서 -1을 곱한다는 의미는 현재의 수에 0을 기준으로 반대방향으로 1배만큼키운다로 하면 -1*-1은 1이고 1*-1은 1의 0을 기준으로 한 반대방향의 1배는 -1이 되지 않을까 생각해 봅니다.
강의를 보고 양수x음수가 왜 음수가 되는가 등에 대해 왜 기하학적 설명을 하게되는가에 대해 생각해봤습니다. 기하적인 설명은 정수 체계의 연산을 왜 그러한 방식으로 정의(공리) 내렸는가에 대해 의문이 생기기 때문인것 같습니다. 기하학 설명을 들으면 그 정의가 이러한 기하학적인 성질을 설명하는데 도움이 된다는 사실을 은연중에 느끼게 되는거죠.
그러게 말입니다. 문제는 영상의 내용은 전혀 모른채로 기하적인 설명으로만, 그리고 마치 그것이 수학적인 정의인 것 마냥 가르치는 것이 문제라고 생각돼요.
영상처럼 자연수로부터 그 정의를 알려주고 거기에 곁들여서 기하적인 의미 해석을 해 주었다면 완벽할 거 같습니다.
역사적으로, 즉 시간순서대로 생각하면 정의로써 사칙연산이 도출된 것인가요 아니면 연산이 등장 후 그것을 정의한 것인가요? 다른건 몰라도 덧셈은 정의 전 등장했을 것 같아요.
이상엽 선생님께서 우리나라 모든 학생들을 싹 다 가르치셨으면 좋겠다 ㅠㅠ
그럼 우리나라가 수학 선진국 되는 것도 결코 꿈이 아닐 듯 ㅠㅠㅠ
저는 처음 보는 내용이 아니지만
이렇게 차근차근 설명해 주시니
감사합니다.
궁금한게 있어 여쭤봅니다..
덧샘까지는 이해를 하겠는데, 뺄샘이나 곱셈부터는 n1, n2, m1, m2를 넣는 순서를 바꾸는 이유를 잘 모르겠네요..
덧샘으로 나타내야하기 때문이라는 말이 이해는가는데 그럼 곱셈은 왜 연산 순서를 바꿔야 하는건가요?
상엽선생님 말씀대로 자연수에서 정수로 확장하는 첫 사람이 연산순서를 바꿨다면 우리 알고있는 답이 아닐수도 있는건가요?
제 생각에는 (n1,n2)의 정의가 n2-n1이라 그런거 같아요.
정수 연산에서 예를 들어, [(m,n)]-[(p,q)]=[(m+q,n+p)]을 도출할 때 필연적으로 -1*-1=1 임을 알아야지 도출되는 것이 아닌가요?
아님 모르더라도 그 식을 도출할 수 있는 방법이 있나요?
영상을 다시 보시는걸 추천드립니다
재밌고 자세하게 설명해주셔서 감사합니다.. 듣다보면 이해가 가면서도 되돌아와서 왜 그렇게 정의를 했을까..싶은 장면이 26:26 장면입니다. 곱셈에 대해 설명하기 위한 수식인데, 설명하는 수식안에 이미 곱셈이란 개념이 튀어나와서 약간 아리쏭해서 몇번이고 재감기해서 보면서도 잘 모르겠네요.. (마치 사진을 어떻게 찍지? 라고 물어본 질문에 사진만 보여주고 카메라라는 도구는 안보여주는 듯한 느낌이랄까요 ㅎㅎ;)이 부분은 그런대로 건너뛰고, 들어주신 예를 보면 결국 동치류들끼리 정리(?)되기 때문에 1x(-2)=-2이다.. [(n1 x m2 + m1 x n2 , n1 x n2 + m1 x m2)]이기 때문에 값이 도출된다는게 다행이라는 감정이 들 정도로.. 조금 갈증이 느껴지네요. 제가 맥락을 잘못 짚고 질문을 드린 것이라면 죄송합니다. 좋은 영상 감사합니다(__)
어차피 자연수의 덧셈과 곱셈음 항상 자연수가 나오기 때문에 자연수만을 가지고 음수계산을 표현하기 위한 도구로 사용된것 같습니다. 어차피 자연수체계에서의 덧셈과 곱셈은 항상 자연수가 나오니까요.
@@신진민-j7r댓글 감사합니다. 제가 궁금한 부분은 댓글중 표현하신 '음수계산을 표현하기 위한 도구'인 부분입니다. 만약 [(n1 x n2 + m1 x m2 , n1 x m2 + m1 x n2)]이었다면 선생님께서 들어주신 예시는 [(5,7)]이 되어 2가 나오게 될 것이어서 1 x (-2) = 2로 되지않겠습니까? 1x(-2) = -2다 라는 값이 도출되기 위해선 반드시 [(n1 x m2 + m1 x n2 , n1 x n2 + m1 x m2)]이어야 한다는 부분에 의구심이 듭니다.. 순서에 따라 값이 완전히 변하게 되는데, 곱셈연산을 저렇게 구성하게 된 배경이 궁금한 점입니다.
저도 이 내용이 궁금합니다! ㅠㅠ 수학적 지식이 전무해서 그런지 -연산이랑 x연산 정의되는 부분부터 이해가 잘 안 되네요 어째서 [(n1, m1)]x[(n2, m2)]=[n1xm2+m1xn2, n1xn2+m1xm2]가 되는지 알고 싶어요
음..곱셈은 이미 엄밀한 수학적 정의가 나오기 전에도 존재하고 있었죠. 곱셈의 기초적인 의미는 덧셈을 여러번하는 거잖아요.그런데 이게 자연수만을 다룰 때는 문제가 되지 않지만 음수와 0이라는 새로운 수가 도입되면서 수학적으로 새로운 정의를 해야하는 상황이 생긴거죠.
저 정의의 의미는 기존의 자연수끼리의 곱셈 결과와도 위배되지 않아야합니다.말씀하신 것처럼 저 식의 정의를 순서를 바꿔버리면 기존의 곱셈과 값이 달라지게 되기 때문에 의미가 없어집니다.이상 저의 생각이였습니다.
@@user--user 당연히 결과가 달라지죠~이미 큰 수에서 작은 수를 빼는 차는 정의 되었고, 음수도 정의되었기에. 저 정의의 식을 전개해보시면 당연히 저렇게 정의된다는게 이해되실 겁니다~
정의로운 수학~♡
8:08 부터 나오는 순서쌍의 정의체계는 선생님이 그 뒤에 증명을 위해서 설정(?) 하신 상황인가요 아니면 오랜 시간을 걸쳐 그렇게 하기로 해서 그런건가요?
우와 구독이다
저 예전에 읽었던 글 중에 가우스의 일화가 떠오릅니다.
가우스가 3살 때 아빠가 계산하는 걸 보더니 암산으로 틀렸다고 고쳐주죠. 또 하나, 가우스가 하도 똑똑하다고 하자. 아빠 친구가 놀러와서 1빼기 2가 뭐냐고 물어봅니다. 그러자 가우스 왈.이게 뭔지는 모르겠지만 1이 부족한 그런 상황이다라고 얘기하죠. 크으..
나중에 가우스가 농담으로 이런 말을 하죠.
"나는 말을 깨우치기 전에 숫자를 먼저 깨우쳤다."
어떻게 보면 저런 정의들은 천재들에겐 누가 가르쳐주지 않아도 자연스럽게 의식의 흐름대로 공통적으로 나올 수 있다는 생각이 들었습니다.
형님 혹시 구독자 10만 기념으로 , 양자역학-소수-원주율 상관관계 한번 알려주실수있나요.....? 유튜브에 검색하면 수학 알못들 영상만 있어서요 ㅠㅠㅠㅠㅠ
이거 중1거 배울 때는 물론이고
고등과정 할 때도 갑자기 문득 궁금할 때가 있었는데. 감사합니다
제가 좀 간단하게 이를 증명?을 해보도록 하겠습니다.
a=1, b=2 라고 한다면
a-b=-1일 것입니다.
이를 (a-b)² 으로 즉, 제곱을 한다면
(-1)²=a²-2ab+b²
(-1)²=1²-2×1×2+2²
(-1)²=1-4+4
(-1)²=1
...
@@fcte6464 증명과정에 -b*-b=+b^2이 포함되어있어요 순환논증의 오류입니다.
동치류 연산같은 같은값이 나와도 가본값량 이다르지 않나요 2빼기1은 1 3빼기2는 1지만 기본량이 다른데 같다고 할수 잇을까요?
초등학생때 10x0.9는 대체 왜 더 작은 수가 되는건지 기술적으로는 문제없이 하겠는데, 대체 왜 곱하기를 했는데 수가 작아지는건지 직관적으로 이해가 안돼서 선생님한테 물어본적이 있었죠... 그래도 선생님은 화내지 않고 계속계속 반복해서 설명해주셨지요.. 그래도 딱 와닿질 않았지만 이해한척 넘어갔던적이 있네요ㅎㅎ