인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요. 리우빌상수 대목에서 ppt 오타 있네요; k를 n으로 ! 여러분들 영상보실 때 내용 진행속도가 어떤 것 같나요? "빠르다" "적당하다" "느리다" 등으로 대댓글에 의견 남겨주시면 다음 번 영상 편집 때 고려하여 반영하겠습니다 ^^ 기타 의견들도 얼마든지 환영해요 ~ ^^
선생님 영상 잘 보고 있습니다! 근데 혹시 7분에 린데만-바이어슈트라스 정리를 이용해서 귀류법으로 e가 초월수임을 증명할 때 있어서 정리의 조건은 베타n이 0이 아니라고 했는데 대수방정식의 정의상에서 계수는 0을 포함한 정수이므로 대수적 수 e가 해라고 가정하고 만든 대수방정식의 계수중 일부가 0인 경우에 대한 경우는 증명할 수 없는 것 아닌가요..? 반박보단 단순 궁금증이니 해결 도와주시면 감사드릴게요😀
3진법 반도체의 의의가 큰 이유가 e와 가까운수이기 때문이라는 주장은 어디까지나 뒤에 같다 붙인 말일테고... 3진법 반도체가 만들어진 이유는... 반도체를 작게 만들다 보면 생기는 양자터널효과 때문에 2진법으로 안 되고 차라리 3진법으로 쓰는 것이 낫겠다고 생각했기 때문입니다.
이상엽 선생님 6:50에 e를 곱하시는 과정에서 첨수 b_0를 b_1으로 판서하셨습니다. 설명과 더불어 판서하다가 나온 작은 실수이니 자막처리하시면 될 것 같습니다 언제나 이상엽 선생님의 수학의 열정이 저에게 큰 도움이 됩니다 책도 잘 읽었어요. 앞으로도 많은 영상 올려주세요
@@oooo-vd1ry 우주상에 존재하는 관측가능한 물질들의 질량을 다 합쳐도 현재 우주상의 임계밀도에는 미치지 못한다는데 그럼 현재 우주의 임계밀도가 유지되게 하는 요인이 뭘까요? 인간이 알고 있는 물질 외에 다른 물질들이 있어야하니까 '암흑물질'이나 '암흑에너지' 같은 개념들이 도입된 거 아닌가요?
이상엽 선생님의 멋진 강의 늘 감탄하면서 듣고 있습니다. 그런데, e+pi 또는 e.pi 둘 중의 적어도 하나는 초월수 여야 한다는 간단한 (비구성적) 증명 설명하실 때요. 정수 계수 경우 (결국 같은 말이지만, 또는 유리수 계수)를 갖는 다항식의 해가 대수적인 수라는 정의와 조금 얘기가 달라진 듯 해서 질문드립니다. 저 두 수가 정수 일 경우에 그 방정식의 해가 대수적 수가 되는 거 아닌가요? 다항식의 계수가 대수적 수이기만 하면 되는지요?
질문으로 이상엽Math 채널 처음 댓글 답니다. 이렇게 몇 년 지난 영상의 댓글도 보시지요? 수학의 대중화라는 가치를 적극 응원합니다.^^ 초월수를 '다항방정식의 해가 될 수 없는 수'라 할 때(WiKi류 사이트에서 본 정의임), 더 근본적인 질문으로 '다항 방정식'에 대해 궁금합니다. 다항 방정식의 '항'은 상수항은 제외하는 것이겠지요? x - 1 = 0 은 말하자면 '단항 방정식'이고 '다항 방정식'은 아닌가요?
항상 수학이란 이런 것이다 라는 의미를 깨우치게 잘 전달해 주시는 재미있는 강의 잘 듣고 있습니다. 오늘 영상을 보다가 제가 잘 이해가 안되는 의문이 생겨서 질문 드립니다. e가 대수방정식의 해라고 가정한다면 린데만-바이어슈트라스 정리에는 모순이 된다는 것으로 초월수라는 것을 증명했는데요. 대수방정식의 정의에서는 "임의의 계수가 정수이면 됐고 0 이 아니어야 한다 "라는 가정은 없었는데 린데만정리에서는 "모든 계수가 0이 아니다"라는 가정이 있는데요. 만약 임의의 계수가 0 이라고 가정한다면 린데만 정리와는 다른 식이 되고 이 때는 e를 해로 갖는 대수 방정식이 성립되는 식이 있을 수 도 있지 않는지요? 이것은 증명의 엄밀성에 어긋나는 것 아닌가요? 제가 잘못 생각하는 것이 있는건가요? 궁금합니다. 감사합니다.
틀린 부분이 있을 수 있으나 대신 답변드리자면, 린데만-바이어슈트라스 정리에서 e의 지수부분에 들어가는 수들은 연속한 정수라는 조건이 없습니다. 따라서 일부 계수가 0이라고 한다면 해당 항을 지운 후 정리를 적용하면 될 것 같습니다! Ex> 2e^2 + 0*e^1 + 3 (방정식 형태) => 2e^2 + 3 (정리에서 요구하는 형태)
재업로드 하셨는데 달라진 부분은 없는거 같네요ㅎㅎ. 요번영상에서 평소에 쉽게 접하지 못했던 transcendental number들에 관련된 이야기, 정말 재밌게 봤습니다. 작도가능성에 관련된 얘기를 보니까 추후에 Galois Theory에 관련된 영상을 만드시면 많은 시청자들의 흥미를 끌지 않을까 생각합니다. 물론 많은 이야기를 해야하겠지만... 아무쪼록 또 재밌는 영상 기대하겠습니다.
두 집합의 모든 원소들을 서로 짝지었을 때 갯수가 같으면 두 집합의 서로 크기가 같다고 말합니다 이게 원래 직관적으로 이해하기 어려워요 예컨데 모든 자연수를 원소로 갖는 집합 A와 2의 모든 양의 배수를 원소로 갖는 집합 B는 서로 크기가 같습니다 짝지어 보면 (1,2) (2,4) (3,6) (4,8) etc. 와 같이 짝지어지기 때문이죠 집합 A의 어떤 원소를 가져와도 집합 B의 원소를 짝지어줄 수 있기 때문에 크기가 같다고 말합니다 하지만 집합 B의 모든 원소를 집합 A가 원소로 갖기 때문에 두 집합은 포함관계에 있죠 집합 B는 집합 A의 부분집합 이라고 할 수 있는 거죠 즉 포함관계와 집합의 크기는 따로 생각해야합니다
8:50 단위원 넓이 파이와 같은 정사각형은 작도할수없지만, 시어핀스키 카펫트라고, 멩거스폰지 1차원도형 4개를 정사각형으로 붙여놓은 거, 그건 면적이 파이래요. 그리고 그 카페트의 3D버젼은 구의 부피와 같다네요? 그리고 이건 한변의 길이가 2인 정사각형이 기본꼴이니까 대략 작도할수는 있을걸요!
9:37 이거 이해가 안가네요 ㅠ 루트파이가 초월수라고 해도, 그 수에 해당하는 점을 수직선 어딘 가에 찍을 수 있을테고, 그걸 기준으로 컴퍼스 써서 선분의 양 꼭지점을 원의 중심으로 해서 먼저 정삼각형 작도하듯 일단 그리고 하다보면 (그니까 사실 선분 하나 주어지면 거기 양 끝에 90도 작도하는 방법을 모르겠어서 정사각형 작도하는 방법을 모르겠네요 ㅠ) 정사각형을 작도하면 되는 거 아닌가여? ㅠ...
원적문제는 그리스 플리톤때부터 인류가 고민해왓던 문제입니다 그러나 어느누구도 성공하지 못햇어요(그리스 3대 작도 불가문제중 하나 ) 루트파이는 실수이기때문에 당연히 수직선위의 점임은 자명하지만 그것을 작도할 방법 (즉 그위치를 자와 컴파스만으로 명확하게 찾는것)이 없다는 의미죠 루트파이를 작도할 방법을 플라톤이후 수많은 수학자들이 시도하고 시도햇지만 모두 실패하고 결국은 이 원적문제는 해결이 불가능한 문제라는것임이 증명됩니다 또한 초월수의 등장으로 인해 그 증명이 더 쉽고 빠르게 되엇다는 의미지요 영상에서 설명한대로 칸토어이후 실수의 대부은 초월수로 이루어져있다는 것을 알게되었지만 어떤수가 초월수인지 아닌지는 계속 연구중에 있습니다 간단히 정리하면 실수엔 대수적수들 보다 엄청 더 많은 초월수(파이, 자연대수등등 )가 존재하며 이 초월수는 수직선위의 점이지만 작도는 불가하다 물론 허수에도 당연히 초월수는 존재합니다, 초월수는 복소수의 부분집합이죠
질문 있습니다! 초월수는 대수방정식의 해가 아닌 수라고 오일러가 정의 했다고 하셨는데 제가 이해한 대수방정식의 해는 좌표에서 x축과 방정식의 그래프가 만나는 수 즉, x축에 표현할수 있는 수라고 생각했습니다(허수는.... 모르겠습니다). 그러면 초월수의 정의에 의해 초월수는 x축에 표현할 수 없는 수라고 생각할 수 있는데 우리는 삼각함수를 사용할 때 x축에 초월수인 pi(원주율)을 사용합니다. 제가 초월수에 대한 이해를 잘 못한거 같은데 무엇이 잘못됐나요?
수직선의 점으로 나타낼 수 있는 수는 실수입니다. 실수는 대수적 수와 초월수를 모두 포함하고 있죠. 유리수를 계수로 가지는 다항식(대수다항식)의 그래프와 x축의 교점이 대수적 수인것은 맞지만 y=x-e라는 직선은 x축과 x=e에서 만나죠. 이것은 이 다항식이 대수다항식이 아닐 뿐이지 사실 모든 실수는 x축 위에 표현이 가능합니다. e나 pi외에 말도안되는 초월수도 '근사의 극한'이라는 형식으로 x축에 나타낼 수 있죠. 엄밀히 말하면 e나 pi 등의 초월수는 '유리수' 위에서 초월적인 수입니다. e나 pi는 유리수 계수의 다항식의 해가 될 수 없는 것이지 실수 계수의 다항식의 해가 될 수는 있습니다. 실수 계수 다항식 x-e의 해는 e죠? 이것은 e가 유리수 위에서는 대수적이지 않지만(초월적이지만) 실수 위에서는 대수적이라는 뜻입니다. 위와 같이 사실 대수적이다, 초월적이다 라는 용어는 대수적, 초월적인 대상이 있어야만 되는 것이죠. 초사이언1은 일반적인 인간을 초월한 것이지만 초사이언2에 다다른 인간을 초월한 것은 아닌데 그냥 초사이언1은 초월인이다 라고 정의해버리면 이상하잖아요? 초사이언2라는 반례가 있으니까요.
항상 강의 잘듣고있습니다!! 제가 수학에 대해서 잘 모르긴하지만 궁금해서 ㅠㅠ 질문드립니다 처음에 대수적 수의 정의를 할때 계수 an은 모두 정수라고 되있는데 그다음 e를 초월수임을 증명할때 대수적 수의 정의를 사용하는데 그때 계수가 유리수가 되어서 원래 처음에 알려준 정의는 계수가 정수여서 ㅠㅠ 혼란이 됩니다 ㅠㅠ 이 내용이 그냥 좀더 현대대수?지식이 필요한것이면 그냥 인정하겠습니다! 감사합니다
개인적으로 pi가 초월수라는 뜻은 무엇인가 해석해보면..실제 우리가 사는 시공간상에서 완벽히 둥근원은 존재할 수 없다고 생각하는 1인입니다. 쉽게 비교하면 모니터 픽셀로서는 완벽한 원을 표현 못하듯이 우리가 사는 이세상도 픽셀로 이루어진것이죠. 결론적으로 시공간도 양자화 되어야 한다는 얘기라고 믿습니다ㅎㅎ 어디까지나 제 생각입니다. 시간공간을 양자화 하면 거북이 추월 패러독스도 모두 해결되죠.
만물을 설명하는 진리와 같은 법칙이 발견된다면, 그 땐 이미 과학 수학 철학의 존재 의의가 없어지겠죠. 학문 뿐 아니라 그 진리가 설명하는 모든 만물의 존재 의의가 없어지는 것 아닐까요? 진리라는 게 그런 모순적인 것이기 때문에 이 세상에 만물을 설명하는 진짜 진리라는 건 존재할 수 없다고 봅니다
![[지식in] 정말로 점이 모이면 선이 될까?](http://i.ytimg.com/vi/YZKp8cLS4Fw/mqdefault.jpg)
![[지식in] 정말로 점이 모이면 선이 될까?](/img/tr.png)
![[지식in] 바퀴의 역설](http://i.ytimg.com/vi/uOP-uYUQ8oI/mqdefault.jpg)
![[수학史] 음수의 의미와 수학 정착기](http://i.ytimg.com/vi/KtZ5ufQFG2s/mqdefault.jpg)
인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요.
리우빌상수 대목에서 ppt 오타 있네요; k를 n으로 !
여러분들 영상보실 때 내용 진행속도가 어떤 것 같나요?
"빠르다" "적당하다" "느리다" 등으로 대댓글에 의견 남겨주시면 다음 번 영상 편집 때 고려하여 반영하겠습니다 ^^
기타 의견들도 얼마든지 환영해요 ~ ^^
조금 느린 감이 있는것 같긴한데 지금도 괜찮은거 같아용
적당해용
저는 원래 1.25배로 보는데 약간 빠른감이 있지만 살짝살짝 되돌려보고 괜찮았어요.
적당해요
빠르지는 않지만 생각하면서 듣기에는 괜찮은 듯한?
좋은 강의를 초월해서 훌륭한 강의다
초월강의 ㄷㄷ
좋은 댓글을 초월해서 훌륭한 댓글이다
선생님은 전달력이 너무 좋습니다.
재미있고 유익하게 잘 봤습니다.
수의 대부분이 사실은 초월수라니 너무 흥미롭습니다^^
너무 재밌습니다. 깊이 있는 증명과 이해할 수준은 안되지만 영상을 보며 여러 개념들을 머릿속에서 연결시켜나가며 상상해보는 것에 쾌감을 느끼게 해주십니다. 좋은 영상 감사드립니다.
0:39 ...... 선생님?
숨쉬기장인 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅗㄴ나웃ㄱㅌㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋ
안철수
이거 준비했다에 한 표
0:36 ㅋㅋㅋㅋㅋ
일부 학자들은 허수보다 무리수를 더 어려워 한다고 하네요.
처음에 뭔소린가? 싶었는데 지금에서 생각해보니 허수는 실수위에 대수적인 수이지만 무리수는 유리수위에서 초월적인 수 라서 그런가 보네요.
사랑해요 쌤 감삼다😆😆
초월수라는 이름만 들어봤고 정확히 어떤 수인지는 모르고 있었는데 이번 기회에 제대로 알고 가네요.
매번 올 때마다 수학에 대한 재미있는 지식들을 얻고 가는 것 같습니다. 감사합니다.^ ^
세상에..머리털 나고 이런거 처음듣습니다..학생때 이방송을 봤더라면 ...
그래도 진로를 감히 수학으로는 못했겠지만..지금은 보기만해도 즐겁네요..우주 다큐멘터리 보는 그런 재미가 최고입니다
좋은 영상 감사합니다
4년째 도전중입니다.. 추천부탁드려요
너무 좋은 강의 감사합니다♡♡
상엽님 소원대로 도전하고 싶지만.. 일단 이번 생부터 초월해야 할 것 같아요..ㅠ
고등학교 수학만 하다가 이 채널 들어오니까 뭔가 다른 차원의 수학 세계에 들어온 거 같네요
유익하고 재미있는 강의입니다. 학부때는 이 내용이 왜그렇게 재미가 없었던지…
안초월수? 안철수?
AhnLab?
그게 누굽니끄아ㅏㅏㅏ!!!!!!!
초월수일 수도 있고, 안초월수일 수도 있습니다. 자세한 것은 제 책에 나와 있습니다.
실망입니다~
누굽니꽈ㅏㅏㅏㅏ!!!!!
선생님.. 사랑합니다
볼때마다 너무 신기하네요
쌤.. 다음에 증명 하는거 몰아서 찍어줘요.. 궁금함.....
재밌어요 !!!
강연이 매우 훌륭합니다.
초월수 설명하면서 왜 이 내용을 빼놓으실까 ㅋㅋ 했는데
13:24 에 설명을 해놓으셨군요 ㅋㅋㅋ 교수님들이 항상 설명하시는 내용이죠 ㅋㅋ
두 개중 적어도 한 개는 초월수지만 정확하게 뭐가 초월수인지는 모른다
초월수 합과 곱이 초월수인지 아닌지 모른다니 신기해용
선생님 영상 잘 보고 있습니다! 근데 혹시 7분에 린데만-바이어슈트라스 정리를 이용해서 귀류법으로 e가 초월수임을 증명할 때 있어서 정리의 조건은 베타n이 0이 아니라고 했는데 대수방정식의 정의상에서 계수는 0을 포함한 정수이므로 대수적 수 e가 해라고 가정하고 만든 대수방정식의 계수중 일부가 0인 경우에 대한 경우는 증명할 수 없는 것 아닌가요..? 반박보단 단순 궁금증이니 해결 도와주시면 감사드릴게요😀
재밌네요
최근에 3진법 반도체가 개발되었는데
4진법이나 5진법보다 3진법 반도체의 의의가 큰 이유가 e와 제일 가까운 진법이기 때문이라고 하더군요
그렇다면 2.7 진법도 가능할까요?
@0 0 저도 그게 참 궁금해서
3진법 반도체의 의의가 큰 이유가
e와 가까운수이기 때문이라는 주장은 어디까지나 뒤에 같다 붙인 말일테고...
3진법 반도체가 만들어진 이유는...
반도체를 작게 만들다 보면 생기는
양자터널효과 때문에 2진법으로 안 되고
차라리 3진법으로 쓰는 것이
낫겠다고 생각했기 때문입니다.
13:27 쉬...쉬워보이는데 건드렸다가 인생 날아가면...ㅋㅋㅋㅋㅋ 컴퓨터가 풀어줄순 없으려나..
컴퓨터랑 뇌는 처리방식이 아직까진 다른걸로 알고 있습니다
컴퓨터는 단순 계산만 하지 증명같은건 못함.
저거 증명하기 위해서 정의 정리 세워야할지도 모르는데 컴퓨터가 해줄리가 없음...
이상엽 선생님 6:50에 e를 곱하시는 과정에서 첨수 b_0를 b_1으로 판서하셨습니다. 설명과 더불어 판서하다가 나온 작은 실수이니 자막처리하시면 될 것 같습니다 언제나 이상엽 선생님의 수학의 열정이 저에게 큰 도움이 됩니다 책도 잘 읽었어요. 앞으로도 많은 영상 올려주세요
눈썰미 좋으시네요.
?? 틀린거 없어보이는데요?
0의 폭이 좁아서 그렇지 판서 동작을 보면 0을 의도하고 맞게 쓰신거 같아요
알람보고 호다닥 달려와버렸자나유
메다닥으로 수정해주세요
영상 보고있자니 초월수라는 녁석은 마치 물리학의 암흑물질, 암흑에너지같은 존재네요. 아 그리고 영상 속도는 괜찮아요
분명한건 초월수는 있지만, 암흑물질은 필연적으로 존재하지는 못함.
@@oooo-vd1ry 영상 중간에 말씀하시죠. 존재조차 불분명했던 초월수였다고. 과거에는 불분명했지만 지금은 분명히있다고 알고있기에 암흑물질과 암흑에너지에 비교한거에요. 물리학 주류의견은 암흑에너지랑 암흑물질은 있을 거라고하니까요. 아직 발견은 못했지만
암흑에너지는 있어야 한다 그래야 설명된다 처럼만 논증되어 근거가 살짝 빈약합니다 그래서 최근에는 국내에서 연대의 한 천문학 교수 연구팀에서는 암흑에너지가 없다고 주장하기도 합니다
물론 진실은 아직 모르지만요ㅎ
@@oooo-vd1ry 우주상에 존재하는 관측가능한 물질들의 질량을 다 합쳐도 현재 우주상의 임계밀도에는 미치지 못한다는데 그럼 현재 우주의 임계밀도가 유지되게 하는 요인이 뭘까요? 인간이 알고 있는 물질 외에 다른 물질들이 있어야하니까 '암흑물질'이나 '암흑에너지' 같은 개념들이 도입된 거 아닌가요?
선생님 항상 좋은 영상 감사드립니다 혹시 다음에는 폐곡면과 열린곡면의 차이를 콘텐츠로 해주실 수 있나요
너무 재밌어요~
좀 이상한 주장인긴 한데 어떤 원이든 상관 없다면 반지름의 길이가 루트파이분의 일이면 한변의 길이가 1인 정사각형과 넓이가 같지 않을까요..ㅎ 아마 반지름의 길이는 대수적인 수여야 한다는 조건이 있겠죠?
그 조건대로라면 길이가 1인 선분을 작도하지 못합니다. 컴퍼스로 1을 옮길수 없잖아요
루트 파이를 작도 할 수 없기 때문에 한변의 길이가 루트 파이인 정사각형을 작도할 수 없다고 하셨잖아요~ 루트 파이를 작도할 수 없으니, 루트 파이분의 일인 원 역시 작도할 수 없겠지요~
반지름의 길이가 루트파이분의일인 원이 주어지면 그것을 기초로 1을 작도할 수 없습니다.
@@김정원-s3z2g 아 그렇구나 맞네요 답변 감사합니다ㅎ
@@hyeonsseungsseungi 그렇네요 감사합니다.
0:31 안철수..??
아니 수학 수업이 재밌는 적은 처음인데?
이상엽 선생님의 멋진 강의 늘 감탄하면서 듣고 있습니다.
그런데, e+pi 또는 e.pi 둘 중의 적어도 하나는 초월수 여야 한다는 간단한 (비구성적) 증명 설명하실 때요.
정수 계수 경우 (결국 같은 말이지만, 또는 유리수 계수)를 갖는 다항식의 해가 대수적인 수라는 정의와 조금 얘기가 달라진 듯 해서 질문드립니다.
저 두 수가 정수 일 경우에 그 방정식의 해가 대수적 수가 되는 거 아닌가요?
다항식의 계수가 대수적 수이기만 하면 되는지요?
아마 다항 방정식의 계수와 상수가 대수적수면 반드시 해가 대수적수가 나오나보네요
참 강의 잘해주시네요
며칠전에 발견하였는데 계속 보게 됩니다 ㅎㅎ 감사합니다 ^^
수학이랑 아무 상관없는사람입니다 물리는 참 좋아하는데요 ㅋ
질문으로 이상엽Math 채널 처음 댓글 답니다.
이렇게 몇 년 지난 영상의 댓글도 보시지요? 수학의 대중화라는 가치를 적극 응원합니다.^^
초월수를 '다항방정식의 해가 될 수 없는 수'라 할 때(WiKi류 사이트에서 본 정의임), 더 근본적인 질문으로 '다항 방정식'에 대해 궁금합니다.
다항 방정식의 '항'은 상수항은 제외하는 것이겠지요? x - 1 = 0 은 말하자면 '단항 방정식'이고 '다항 방정식'은 아닌가요?
질문이 있는데 린데만 바이어슈트라스 정리에서 덧셈은 무한번의 덧셈도 포함하나요??
그레이엄 수 같은 큰수들에 대해서도 다뤄주세요 ^^
처음 접했을 때 이름이 되게 멋있어서 인상 깊었던 수 ㅎㅎ
이거 뭐 무슨 암흑물질을 발견한 기분이네요 허ㅓㅎ헝허ㅓㅎㅎ헝..아이구야..
수학계의 암흑물질 ㅋㅋㅋㅋㅋ
와 완전 느낌 비슷하네요 ㅋㅋㅋㅋㅋ
영상 내려가서 무슨 일 있나 했습니다. ㅎㅎ 재미있는 주제에 대해 올려주셔서 감사합니다.
근데 6:00 에 나오는 증명을 이해하는데 3번은 돌려봤네요. 확실히 어려운 주제이긴합니다. 그래도 재미있네요! 앞으로도 재미있고 유익한 영상 기대하겠습니다!
13:27 깔끔하게 증명하였으나 댓글의 글자 수 관계상 자세한 설명은 생략한다......
항상 수학이란 이런 것이다 라는 의미를 깨우치게 잘 전달해 주시는 재미있는 강의 잘 듣고 있습니다. 오늘 영상을 보다가 제가 잘 이해가 안되는 의문이 생겨서 질문 드립니다. e가 대수방정식의 해라고 가정한다면 린데만-바이어슈트라스 정리에는 모순이 된다는 것으로 초월수라는 것을 증명했는데요. 대수방정식의 정의에서는 "임의의 계수가 정수이면 됐고 0 이 아니어야 한다 "라는 가정은 없었는데 린데만정리에서는 "모든 계수가 0이 아니다"라는 가정이 있는데요. 만약 임의의 계수가 0 이라고 가정한다면 린데만 정리와는 다른 식이 되고 이 때는 e를 해로 갖는 대수 방정식이 성립되는 식이 있을 수 도 있지 않는지요? 이것은 증명의 엄밀성에 어긋나는 것 아닌가요? 제가 잘못 생각하는 것이 있는건가요? 궁금합니다. 감사합니다.
틀린 부분이 있을 수 있으나 대신 답변드리자면, 린데만-바이어슈트라스 정리에서 e의 지수부분에 들어가는 수들은 연속한 정수라는 조건이 없습니다. 따라서 일부 계수가 0이라고 한다면 해당 항을 지운 후 정리를 적용하면 될 것 같습니다!
Ex> 2e^2 + 0*e^1 + 3 (방정식 형태) => 2e^2 + 3 (정리에서 요구하는 형태)
재업로드 하셨는데 달라진 부분은 없는거 같네요ㅎㅎ. 요번영상에서 평소에 쉽게 접하지 못했던 transcendental number들에 관련된 이야기, 정말 재밌게 봤습니다. 작도가능성에 관련된 얘기를 보니까 추후에 Galois Theory에 관련된 영상을 만드시면 많은 시청자들의 흥미를 끌지 않을까 생각합니다. 물론 많은 이야기를 해야하겠지만... 아무쪼록 또 재밌는 영상 기대하겠습니다.
transcendental 이라 하는 이ㅠ가 머임 ㅋㅋㅋㄱㅋ
@@강냉이-u8s 영어가 편해서요. 무슨 문제라도 있을까요?
e^pi 가 초월수임이 증명되었다고 하던데, 혹시 증명은 어떻게 하는지 알려주실 수 있을까요? 있다면 PDF파일도..
많이 늦었지만..
i^i = e^(-π/2)
즉, e^(π) = i^(-2i)
i, -2i는 대수적 수이며
i≠0, logi≠0이고 2i는 유리수가 아니므로
겔폰트-슈나이더 정리에 의해
i^(-2i)는 초월수입니다.
3:18 대수적 수 집합에 실수 복소수 다 들어가는데 왜 유리수 집합이랑 대수적 수 집합의 크기가 같죠?
두 집합의 모든 원소들을 서로 짝지었을 때 갯수가 같으면 두 집합의 서로 크기가 같다고 말합니다
이게 원래 직관적으로 이해하기 어려워요
예컨데
모든 자연수를 원소로 갖는 집합 A와 2의 모든 양의 배수를 원소로 갖는 집합 B는 서로 크기가 같습니다
짝지어 보면 (1,2) (2,4) (3,6) (4,8) etc. 와 같이 짝지어지기 때문이죠
집합 A의 어떤 원소를 가져와도 집합 B의 원소를 짝지어줄 수 있기 때문에 크기가 같다고 말합니다
하지만 집합 B의 모든 원소를 집합 A가 원소로 갖기 때문에 두 집합은 포함관계에 있죠 집합 B는 집합 A의 부분집합 이라고 할 수 있는 거죠
즉 포함관계와 집합의 크기는 따로 생각해야합니다
집합 간의 일대일 대응이 존재하면 크기가 같다고 합니다
무한 개념이 들어가면 직관이 깨져요
당장만 해도 구간 [0, 1]이 유리수 집합 Q보다 커요
대수적 수 집합에 실수 복소수 다 들어가는게 아니라 대수적 수 집합은 복소수 집합 의 부분집합입니다
조회수 1에 보는 따끈한 영상이네요!
8:50 단위원 넓이 파이와 같은 정사각형은 작도할수없지만, 시어핀스키 카펫트라고, 멩거스폰지 1차원도형 4개를 정사각형으로 붙여놓은 거, 그건 면적이 파이래요.
그리고 그 카페트의 3D버젼은 구의 부피와 같다네요?
그리고 이건 한변의 길이가 2인 정사각형이 기본꼴이니까 대략 작도할수는 있을걸요!
그리고 넓이가 파이인 원을 밀가루반죽처럼 잘 정사각형으로 만들면 루트파이가 한 변인 정사각형 만들수있는거 아닌가요? 작도는 아니긴해도, 만들수는 있잖아요.
못만든다고 한적 없습니다. 작도가 불가능하다고 했지요
@@Snowflake_tv 글쎄 밀가루 반죽은 유동적이라 변형시 넓이가 변할 텐데요. 이론적으로도 넓이를 유지하며 변형을 시킬 수 있는 물질이 있다면 가능하겠지만 그런 게 없으니까.
기생수도 설명해주세용
9:38 이해가 안가요 ㅠㅠ 초월수는 작도가 안되나요?;; 그럼 반지름이 1/2인 원은 둘레가 '파이' 니까 작도 못하나요?
어 이거 나도 궁금하네 반지름의 길이가 1인 원의 둘레는 2파이이고 이것을 만들 수 있는 둥근 모양의 실의 한쪽을 잘라서 붙이면 길이가 2파이(초월수임은 자명) 인 정사각형 만들어지는뎅
자와 컴퍼스만으로 만드는것을 작도라는 거니까 그런건가 자와 컴퍼스 만으로는 위의 방식대로 못만들니깐
뒷북이긴 하지만 초월수가 작도가 안된다는 얘기는 길이가 1인 선분이 주어졌을때 '길이가 초월수인 선분'을 작도할 수 없다는 뜻입니다. 즉 반지름이 1/2인 원의 둘레와 길이가 같은 직선은 작도할 수 없는 거죠//
@응응 원을 그리고 끝을 잘라서 피면요???
@@goodandtak1331 그건 '작도'가 아니라 '잘라서 피기'라 부릅니다.
9:37 이거 이해가 안가네요 ㅠ 루트파이가 초월수라고 해도, 그 수에 해당하는 점을 수직선 어딘 가에 찍을 수 있을테고,
그걸 기준으로 컴퍼스 써서 선분의 양 꼭지점을 원의 중심으로 해서 먼저 정삼각형 작도하듯 일단 그리고 하다보면 (그니까 사실 선분 하나 주어지면 거기 양 끝에 90도 작도하는 방법을 모르겠어서 정사각형 작도하는 방법을 모르겠네요 ㅠ) 정사각형을 작도하면 되는 거 아닌가여? ㅠ...
작도라는건 '눈금없는'자와 컴퍼스만을 가지고 그리는 겁니다. 애초에 루트파이에 해당하는 점을 수직선 어딘가에 찍을 수 없어요. 그렇게 할 수 있다면 세상에 작도 못할 도형은 없겠죠.
그렇게 따지면 "한변이 루트파이의 길이를가지는 정사각형을 그리면 된다"
랑 머가다른거죠
원적문제는 그리스 플리톤때부터 인류가 고민해왓던 문제입니다
그러나 어느누구도 성공하지 못햇어요(그리스 3대 작도 불가문제중 하나 )
루트파이는 실수이기때문에 당연히 수직선위의 점임은 자명하지만
그것을 작도할 방법 (즉 그위치를 자와 컴파스만으로 명확하게 찾는것)이 없다는 의미죠
루트파이를 작도할 방법을 플라톤이후 수많은 수학자들이 시도하고 시도햇지만 모두 실패하고
결국은 이 원적문제는 해결이 불가능한 문제라는것임이 증명됩니다
또한 초월수의 등장으로 인해 그 증명이 더 쉽고 빠르게 되엇다는 의미지요
영상에서 설명한대로 칸토어이후 실수의 대부은 초월수로 이루어져있다는 것을 알게되었지만
어떤수가 초월수인지 아닌지는 계속 연구중에 있습니다
간단히 정리하면 실수엔 대수적수들 보다 엄청 더 많은 초월수(파이, 자연대수등등 )가 존재하며
이 초월수는 수직선위의 점이지만 작도는 불가하다
물론 허수에도 당연히 초월수는 존재합니다, 초월수는 복소수의 부분집합이죠
@@cubejj7152초월수는 실수와 허수 양 쪽에 존재하는거고 파이는 무리수이면서 초월수인가요?
정말 존경스럽네요 부럽습니다
버츠와 스위너톤 다이어 추측에 관해서 동영상 올리실수 없으십니까? 꼭 보고 싶습니다.
감사합니다!
질문 있습니다. 초월수는 무리수에 포함되나요?
모든 초월수는 무리수입니다.
초월수는 실수의 부분집합이 아니라 복소수의 부분집합입니다. 허수인 초월수도 존재한다는 겁니다.
@@토폴로지-s2r 허수 초월수도 있습니다
헉 내가 모르는 수도 있었어.. 또 실수중에 어디 숨어 있는 또다른 수가 있을까..
실수중엔없음
@@lllllllllllIIl 있을수도
@@lllllllllllIIl ?
13:10 대수적 수는 대수방정식의 계수가 '정수'라고 했는데, e+pi와 e×pi는 적어도 유리수는 아니니 계수가 정수인 대수방정식으로 바꾸는게 불가능하지 않나요..?
넵.그래서 귀류법인거죠😁
대수적 수를 계수로 가지는 방정식의 해들은 대수적 수가 됩니다.
아 저도 이거 궁금했어요
네. 그래서 귀류법인 거고 e, ㅠ가 초월수라서 e+ㅠ와 eㅠ가 모두 대수적 수일 수는 없다는 겁니다. 즉, 둘 다 대수적 수일 수 없으니, 적어도 하나는 초월수죠.
대수방정식으로 바꾸는게 불가능하므로 e+π나 eπ중 최소 하나는 초월수란거죠
10:45에서 질문이 있습니다! 겔폰트슈나이더 정리에서 a,b가 대수적 수라고 한정해 놓았는데 a가 허수가 될 수 있는건가요?? 그리고 초월수와 허수의 관계도 궁금합니다
이차방정식만 갖고와도 여러 허수가 대수적 수라는걸 쉽게 증명할 수 있으니 a에 허수가 들어갈 수 있죠.
강의 앞에서 i도 대수적 수라고 설명해주셨고요.
x^2=-1이라는 식으로 허수가 유도되기 때문에 허수는 대수적 수입니다. 1:13에 보시면 설명이 나옵니다.
짝짝짝
감사합니다
수학에서 사용되는 고차원에 대한 설명을 해주실수 있나요? 푸앵카레의 추측을 증명한 사람이 그레고리 페렐만인데 페렐만은 3차원을 증명했고 4차원과 5차원 이상을 증명한사람은 각각 다르다고 하더라고요. 여기서 말하는 4차원과 5차원 이상의 개념이 잘 이해가 가지 않습니다.
질문 있습니다! 초월수는 대수방정식의 해가 아닌 수라고 오일러가 정의 했다고 하셨는데 제가 이해한 대수방정식의 해는 좌표에서 x축과 방정식의 그래프가 만나는 수 즉, x축에 표현할수 있는 수라고 생각했습니다(허수는.... 모르겠습니다). 그러면 초월수의 정의에 의해 초월수는 x축에 표현할 수 없는 수라고 생각할 수 있는데 우리는 삼각함수를 사용할 때 x축에 초월수인 pi(원주율)을 사용합니다. 제가 초월수에 대한 이해를 잘 못한거 같은데 무엇이 잘못됐나요?
수직선의 점으로 나타낼 수 있는 수는 실수입니다. 실수는 대수적 수와 초월수를 모두 포함하고 있죠. 유리수를 계수로 가지는 다항식(대수다항식)의 그래프와 x축의 교점이 대수적 수인것은 맞지만 y=x-e라는 직선은 x축과 x=e에서 만나죠. 이것은 이 다항식이 대수다항식이 아닐 뿐이지 사실 모든 실수는 x축 위에 표현이 가능합니다. e나 pi외에 말도안되는 초월수도 '근사의 극한'이라는 형식으로 x축에 나타낼 수 있죠.
엄밀히 말하면 e나 pi 등의 초월수는 '유리수' 위에서 초월적인 수입니다. e나 pi는 유리수 계수의 다항식의 해가 될 수 없는 것이지 실수 계수의 다항식의 해가 될 수는 있습니다. 실수 계수 다항식 x-e의 해는 e죠? 이것은 e가 유리수 위에서는 대수적이지 않지만(초월적이지만) 실수 위에서는 대수적이라는 뜻입니다.
위와 같이 사실 대수적이다, 초월적이다 라는 용어는 대수적, 초월적인 대상이 있어야만 되는 것이죠. 초사이언1은 일반적인 인간을 초월한 것이지만 초사이언2에 다다른 인간을 초월한 것은 아닌데 그냥 초사이언1은 초월인이다 라고 정의해버리면 이상하잖아요? 초사이언2라는 반례가 있으니까요.
tmi지만 실수와 허수의 합의 꼴로 나타내는 복소수는 x축을 실수계수, y축을 허수계수로 하는 좌표평면으로 표현할 수 있습니다.
@@패대기-w9z 너무 감사합니다ㅠ😭👍😣
쉽게 생각하면 대수방정식의 함수만으로는 좌표평면이 초월수만 빼고 덮인다고 생각하시면 되죠😁
님의 말대로 x축 위에 표현할 수 있는 수라고 생각했다는 건 허수라는 반례를 통해서 간단하게 반박되는 의견입니다. 그러니 님께서 잘못 이해하신 겁니다.
파이가 초월수이고.. 루트 파이도 초월수...
그럼 혹시 2의 루트2 승이 초월수였으니까... 루트 (2의 루트 2승) 이거도 초월수 인거임니까?!!
10:40 log 밑이 뭔가요?
10이요
밑이 표시되지 않고 그냥 쓰는 log a는 밑을 10으로 갖는 '상용로그'입니다.
Wallsu?
항상 강의 잘듣고있습니다!!
제가 수학에 대해서 잘 모르긴하지만 궁금해서 ㅠㅠ 질문드립니다
처음에 대수적 수의 정의를 할때 계수 an은 모두 정수라고 되있는데
그다음 e를 초월수임을 증명할때 대수적 수의 정의를 사용하는데 그때 계수가 유리수가 되어서
원래 처음에 알려준 정의는 계수가 정수여서 ㅠㅠ 혼란이 됩니다 ㅠㅠ
이 내용이 그냥 좀더 현대대수?지식이 필요한것이면 그냥 인정하겠습니다! 감사합니다
네. 교양영상으로 다루기에는 꽤 깊은 대수학 지식을 얘기해야하는 부분입니다 ^^
감사합니다 항상 좋은 강의 감사합니다
너무 재밌어요 상엽쌤~~ ㅎㅎ
두 초월수의 합이 초월수가아니게되는 예시가있나요?
파이랑 -파이가 있겠네요
9:20에서 root pi가 초월수인 걸 밝힌 게 아니라 pi^2이 초월수임을 밝힌 것 아닌가요?
대수방정식에 x=sqrt(pi)를 대입해보세요
그리고 그 식의 모든 지수를 짝수로 바꿔주세요
그러면 pi의 대수방정식이 나오는데 이는 모순이라는 겁니다
따라서 귀류법에 의해 증명됩니다
초월수에 특정수를 제곱 처리 해줄때 대수적 수가 나올수있지 않나요? e^파이i -1=0처럼
그 특정 수가 초월수이니까 대수적 방법이라고 할 수 없죠
대수적 수의 "정의"에 위배되죠.
그리고 e^i파이+1=0입니다.🙂
안춸수?ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
^^.
0.01 은 초월수인가요?
진짜 궁금해요... 허허...
참고로 0.01의 표기 위에 붙은 쉼표는 순환마디의 표기입니다.
물론 바리스타도 아닌 사람이 커피를 만들어도 이슬람의 와인의 축에도 못 낀다는 생각은 저도 합니다. 수학도 마찬가지죠 ^^ 근데 수학에 엄청 신기한 일이 많죠. 그래서 저도 ...99999의 값을 생각하듯 한 건 아니지만 그냥 그럭저럭 할 때 끄적여 봤는데요... ㅎㅎ
초월수* ( ㅡ수의 문자와 숫자의 표기를 구분하자 ) -
. .
10 × 0.9 - 9 = 0.9,
.
만일 0.9 = 1 인게 이해가 안 된다. 그렇다면,
_
. . . .
0.9 - 0.01 = 1 - 0.01 = 0.9 ,
.
그런데 0과 0.01은
.
표기로서는 같은 값이 아니다. 0.98 =
. .
0.9 - 0.01,
. . .
9 × 0.1 = 1 = 0.00 + 0.9,
. . . .
9 × 0.1 + 0.01 = 1 = 0.01 + 0.9,
.
0.01은 고로 고유한 값.
_
. . .
0.3 = 1/3. 즉, 0.3의 표기에서, 는 순환마디를 의미한다.
_
초월수라는 개념은 유리계수의 항등식을 성립시키지 않는 항등식의 문자에 들어간 값인데... 아마 초월수의 신비가 이런걸까.
_
* 그러나 점은 부분이 없는 것이다.
.
고로 0.0은 따로 없고. 0만이 거기 있다.**
** 이상엽 수학 선생님께서, 유튜브에 개설하신 수학 채널, 이상엽Math. 에서, "[지식in] 정말로 점이 모이면 선이 될까?".
복습
베일에 싸인이라고 해서
베일에 sin인줄ㅋㅋ
log2(3)같은 수들은 초월수인가요?
그 수들도 초월수입니다...
@@hyeonsseungsseungi 정말루~~~~
@@hyeonsseungsseungi 무리수 인 건 맞는데 초월 수 일까요? 어떻게 알 수 있지요? (증명)
어렵다...
e+pi 가 초월수는 커녕 무리수인지도 증명되지 않았죠
와우............. 미쳤다
싫어요 한 개도 없는 거 편-안하네요
e 가 초월수라는 것을 증명하셨는데요. e를 곱한 식에서 베타0, 베타1,....,베타n 이 모두 0 이 아니라는 것을 어떻게 확인하지요?
그게 확실해야만 그 간단한 증명이 성립하는 거잖아요.
린데만-바이어슈트라스 정리의 전제조건이 '베타 0부터 베타 n은 0이 아닌 대수적 수'라고 했기 때문이죠.
언제나 응원합니다 다만 중간중간 전공자기준으론 넘어갈수있는 설명을 너무 구두적으로만 설명하시는것 같아, 비전공자의 이해를 높이기 어려움이 보입니다. 화이팅입니다.
x제곱-(e+파이)x=-e파이
e와 파이는 실수인 무리수 이다.
파이가 초월수인건 오일러식에서 바로 나오지 않나여? 왜 맨첨에 나왔어야할 초월수가 나중에 나왔네요
초월수라고 증명된 순서대로 나오다보니 그런 것 같네요. 자연상수 e는 1813년, 원주율 pi는 1882년에 초월수라고 증명됐다고 하니까요
13:28 누가 보더라도 초월수인데... 증명되지 않았다니... 수학의 갈 길은 멀군요
(좌뇌 버퍼링)
뭐야 찐이었네 ㄷㄷ
13:38 이거 아예 x가 해가 없는 그냥 무의미한 식 아닌가요? 그래서 식 자체가 성립 안해서 이파이나 이플러스파이 중 적어도 하나는 초월수다란 명제 자체가 틀린 거 아닌지 싶은데요..?
수학을 열심히 안해서 잘 모르긴한데... 방정식에서 x의 해가 없을 수가 있나요...??
(x-e)(x-파이)=0의 해는 e와 파이입니다. 잘 성립하는 이차방정식입니다
(x-e)와 (x-pi)의 곱으로 나타낸 문제없는 이차방정식인데 왜 해가 없다는 거죠? e와 pi가 해인 방정식인데요?
안.초얼.수?
린데만 바이어슈트라스 정리를 듣고 슈바르실트 반지름이 생각난 저는 뭐죠......;;
안춸수
근데 둘중 초월수가 뭔지 증명해낸다면 그게 실생활 어디쓰이는거져?
초월수가 있다라는걸 앎으로써 수학사에 뭐가달라지는거에여?
??? 曰 : 수학은 어딘가에 쓰여지기 위함이 아니라, 그 자체의 탐구에 의미가 있다. // 실생활에 쓰이는 지와는 별개로 수학사에 이름을 남길 수 있다잖아요~ 이름이 아깝다~
애초에 수학은 실생활에만 유용하게 쓰이도록 만들어진게 아니잖아요.
물론 실생활에 유용하게 쓰인다면 좋겠지만 수학은 지적인 호기심을 충족하기위해 만들어진거라고 배웠습니다
그놈의 실생활에 왤케들 집착하는거여
@@lovetooyoutomorrow 그럼 수학사에 머가 달라지는건가여?
@@Iastking8 이렇게 영상이 만들어지고 관심이 끌어지고 또 누가 이걸 가지고 연구하고 이걸 인용해서 다른 걸 만들고 다 그러는 거임. 꼭 와 씨발 개쩐다 와 부랄 떨려;: 하는 것만 역사에 남는 게 아님 과장이겠지만 역사에 남는 99%는 전세계 99%가 모름
반대말 안철수
개인적으로 pi가 초월수라는 뜻은 무엇인가 해석해보면..실제 우리가 사는 시공간상에서 완벽히 둥근원은 존재할 수 없다고 생각하는 1인입니다. 쉽게 비교하면 모니터 픽셀로서는 완벽한 원을 표현 못하듯이 우리가 사는 이세상도 픽셀로 이루어진것이죠. 결론적으로 시공간도 양자화 되어야 한다는 얘기라고 믿습니다ㅎㅎ 어디까지나 제 생각입니다. 시간공간을 양자화 하면 거북이 추월 패러독스도 모두 해결되죠.
저도 비슷한 생각이에요.복소지수함수도 근이 여러 개 라는게 양자 중첩을 얘기하는 듯 하고, 자연수의 소수라는 것도 어찌보면 자연의 진법이라는 느낌이 드네요😄
원뿐 아니라 점 선 면 다 실제 세계엔 없는 추상적 개념이죠
e+파이=5.85987... e파이=8.53973... 이게 힌트
{자연수}U{0}U{음의정수}={정수}
{정수}U{정수가아닌유리수}={유리수}
{초월수}U{초월수가아닌무리수}={무리수}
{유리수}U{무리수}={실수}
{실수}U{허수}={복소수}
{복소수}U{사원수}U{십육원수}U...={수}
맞나요??
맞습니다.
모든 무리수는 대수적 무리수이거나 초월수입니다.
모든 초월수는 무리수입니다
허수 중에서도 초월수는 있습니다.
또 허수 중에서 대수적 수도 있습니다...
허수인 초월수는 없나요? 있다면 , {초월수}U{초월수 아닌 무리수} =/= {무리수} 왜냐 허수도 있으니까.
안초월수=안추얼수=안철수
샘 저 좀 어린데 기하좀 보이게 해주세요..
?뭔뜻인지
@@user-rb9qd2ui2b 기하는 감과 경험이 중요하잖아요
그 감을 얻고 싶다는것 같아요
초월수는 작도 불가능하다는 것이 왜 자명하다는 것인지 이해가 가지 않습니다.
눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용해서 만들 수 있는 직선은 그 길이가 모두 대수적인 수일 수밖에 없다는 데에서 그렇게 말씀하신 것 같네요
작도가 가능한 수들은 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈과 제곱근들로만 나타낼 수 있는 수들로 한정됩니다.
따라서 대수적 수들 중 일부만 작도할 수 있습니다.
2의 세제곱근은 대수적인 수이지만 작도가 불가능합니다.
눈금 없는 자 = 일차함수
컴퍼스 = (일부)이차함수
라서,
이것만으로 좌표평면상에 표현할 수 있는 점은 일부에 불과하다고 하더군요
세상에서 진실이라고 정의된거 치곤
제대로 정의된건 별로 없는듯
딱딱한 과학의 정의를 무시하고 새로운 법칙을 발견해주는 천재가 태어나줘야 될탠데
과학적 정의가 딱딱해보인다면 과학을 별로 공부하지 않았다는 것이죠..
과학에서의 정의는 살아 움직이는 건데요 지금도 세계 각지의 수많은 수학자들과 과학자들 사이에서 수많은 정의들을 바꿀지 말지 논의하고 있고 실제로 바뀌고 있어요
만물을 설명하는 진리와 같은 법칙이 발견된다면, 그 땐 이미 과학 수학 철학의 존재 의의가 없어지겠죠. 학문 뿐 아니라 그 진리가 설명하는 모든 만물의 존재 의의가 없어지는 것 아닐까요? 진리라는 게 그런 모순적인 것이기 때문에 이 세상에 만물을 설명하는 진짜 진리라는 건 존재할 수 없다고 봅니다
딱딱하다는 말의 의미는요?
이러다가 각성수, 강림수, 부활수, 예수 까지 정의하겠네
ㅉ