ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 2 ต.ค. 2024
- В этом видео будем решать линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка особого вида: x^2*y''+x*y'+y=0. Уравнение такого вида называется уравнением Коши-Эйлера.
В этом видео подробнее разобран алгоритм решения линейного уравнения с постоянными коэффициентами: • Однородное линейное ди...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath
![ผัวเถื่อน - ยูริ โตเกียวมิวสิค [ OFFICIAL MUSIC VIDEO ]](http://i.ytimg.com/vi/P08ORRVDGl8/mqdefault.jpg)
Я думал, что этот ад у меня кончился много лет назад, а оно выскочило в реках...
Присоединяйтесь :>
Да и не такой уж это ад 😊
Спасибо, очень интересно.
Интересно было бы посмотреть на график такого решения.
Так построить не проблема же сейчас
супер, всегда нравилось решать дифференциальные уравнения
Спасибо Вам Очень Классно Интересно .Удачи Вам
Спасибо за то, что показали сущность преобразования через замену. На инж.спец-тях часто грешат, говоря: "будем искать решение в виде y=x^n". Но что делать при кратных или комплексных корнях - заставляют зубрить. У вас же сразу показана основа.
Еще интересно рассмотреть обобщенное уравнение Эйлера, где надо искать замену через интеграл. Там общее решение запишется в виде линкомбинации степеней некоторой функции
Раньше вроде в тех вузах давали неплохую основу
Отличный ролик. Спасибо за подробное решение дифференциального уравнения Эйлера.
Как всегда.. Все доступно и великолепно изложено. У меня есть небольшое предложение-пожелание для вас. На ютубе есть канал Math505 соответственно математического содержания и там много интересных моментов, но все на импортном языке и писанина не всегда понятная. Посмотрите, может быть чего найдёте
да я видел этот канал: мне бы такие просмотры, как у него, при такой подаче материала... :)
@@Hmath Вот тут абсолютно согласен. Могу только пожелать как можно больше просмотров
Спасибо за видеоролик. Очень интересно
Я пошел немного дальше и из однородного сделал неоднородное. Для начала хотелось что-то простенькое и я сказал пусть исходное выражение равно не 0 а sin(ln|x|), проделал ваши выкладки, в очередной раз убедившись, что в ролике нет ошибок 😅, а потом нашел производные первого и второго порядка, поставил в уравнение и выявил, что независимо от того какая величина бы не стояла в правой части, решений нет, т.к. система произвольных постоянных всегда имеет вид 0= соотв коэффициенту у соотв функции в правой части, а значит для того, чтобы решение было, оно обязано быть однородным. Так что уравнение очень интересное
Сначала не понял почему такая замена а потом как понял
А можно операторным методом найти?
спасибо, выручаеш....
Настолько прекрасно изложено! Красиво и доступно. С удовольствием вспоминаю университетский курс матана. А есть пример применения теоремы Гаусса-Остроградского? Недавно понадобилось при расчете реактора , а все забыл.
поток через замкнутую поверхность по т. Остроградского-Гаусса: th-cam.com/video/RFCg0PyrDCc/w-d-xo.html
Все понятно и здорово. Но, это же сферический конь в вакууме. Не хватает истории. Откуда уравнение и какой физический смысл за ним кроется.
Прошу прощения, но где, в каком месте оно линейное?!
в тех, в которых нужно.
по определению
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
заменой x^t, выписываем характеристическое уравнение
Спасибо!
Дорогой гуру! Помогите в нахождении сумм некоторых расходящихся рядов. В известном смысле, 1+1+1+1..=-1/2, а 1+2+3+4+5...=-1/12. Хорошенько освоив теорию и практику таких рядов, я застрял на суммах, разведенным нулями в арифм. прогрессии (про геометрич. пока даже не говорим). Численно ьыло найдено, что, 1+0+1+0+0+1+0+0+0+1.. равно -1. А 1+0+0+1+0+0+0+0+1.. равно -1/2, ну и вообще -1/d, где d знаменатель арифм. прогрессии. Как теперь эти численные результаты показать через производящие функции, например, которые еще хрен найдешь? Для ряда 1020030004 есть тоже надежные численные результаты, но оставим на потом. Плиз, не оставляйте ьез внимания, решите сами или дайте DOI на статью.
Кстати, я вам както кидал заметные суммы, хотя и не афишировал. Так что плиз отплатите добром на добро.
За суммы - большое спасибо! Но, как можно было заметить, у меня на канале нет никаких подобных видео - это потому, что я никогда этим не интересовался и не знаю.
@@Hmath можно попроще сформулировать. Для последовательности 101010101... генераторная функция будет 1/(1+x²). Как вообще в математике строят генераторные функции для апериодических последовательностей типа 101001000100001... и тому подобное?
@@Hmath вот тема, которая будет вам по силам. Можно даже в одном видео снять. Показать, что формальный ряд (-1)^n n! тождественет несобственному интегралу от exp(-x)/(1+x). A формальный ряд (-n)^n интегралу exp(-x)/(1+W(x)). Первое совсем просто, а второе вроде на поверхности, но я не смог. Ьыл ьы благодарен. Сами ряды, понятно расходятся, и это создает для Вас значительный психологич. барьер чтоб ими заняться. Можно ввести их как формальные решения несложных дифф. уравнений, которые точно никто уж не запретит. У них есть и хорошие численные значения, 0.596 и 0.704.
посмотрим... но на ближайшее время уже сделаны видео :)
А мы просто учили способ как сразу записать хар. уравнение для поиска решения в виде y = x^k.
Добрый день.Прошу рассмотреть сию задачу
Сумма от n=o по r (сумма m =o по r (a с индексом m умножить на a с индексом n и вс это делить на m+n)) доказать что этот ряд всегда больше либо равен 0. a с нейким индексом это любое числа(кроме мнимых)
Помню в курсе ммф такое уравнение выскакивало. Перед просмотром видео сам попытался решить. Решил! 😂даже модуль учел 😅
Вырвимозг эти вторые производные по разным переменным.
А ведь в школе и универе они мне нравились...
1 семестр по диффурам и данное уравнение становится элементарным
Знаешь, а это затягивает)
Спасибо
Спасибо за ролик!
Но у меня есть вопрос, будет ли считаться линейным дифференциальным уравнением Эйлера, допустим, x*y’’’+y’’=0 ?
Нет. Это уравнение с заменой переменных и далее решаем как уравнение с разделяющимися переменными
@@nikko2505 понятно, спасибо большое!
очень уж формально. После замены функции получим x*u'+u=0, которое куда проще решить через разделение, чем через замену аргумента
Будет, если домножите на x^2. Характеристическое уравнение для него k(k-1)(k-2) +k(k-1) =0. Корни видны сразу:0, 1,1. И тут же ответ: y=A+Bx+Cxln|x| (учитывалось, что x=+-e^t). Так что как Эйлера здесь быстрее, ибо вообще выходит чистая алгебра, чем как вам предлагают с заменой, где ещё придëтся по частям интегрировать (хотя понятно, что это немногим дольше) . Просто надо знать теорию для уравнения Эйлера в общем виде.
@@ІгорСапуновxu' + u = (xu)' ...
При приравнивании x = 0 из исходного ДУ следует y(0) = 0.
Но похоже это так не работает.
Потому что это особое решение уравнения
я подумал, что действительно про ноль зря сказал. В данном случае, если y=0 (при всех х), то эта функция будет решением уравнения. А если бы в уравнении были чуть другие числовые коэффициенты, то можно было бы найти и не полностью нулевую функцию, которая бы была частным решением уравнения и при этом определена при х=0
например, для уравнения x^2*y''+x*y'-y=0 такая функция: у=х
@@Hmath У меня не укладывается в голове, как получается, что из ДУ следует y(0) = 0, но общее решение не удовлетворяет этому условию. Наверно можно сказать, то общее решение удовлетворяет ДУ на всей числовой прямой с выколотой точкой 0. И не продолжается на точку 0.
общее решение: y=c1*sin(lnx)+c2*cos(lnx) с1 и c2 - произвольные константы.
при c1=c2=0: y=0 - является решением и удовлетворяет условию в данном случае
@@danielmilyutin9914 В точке x=0 нарушается единственность решения, поэтому ее нужно особо рассматривать
Метод интересный, но не самый практичный. Практичнее было бы сделать подстановку y(x) = Const * x^k. Так можно сразу найти характеристическое уравнение и соответственно решить.
такая подстановка хороша, если потом получатся в характеристическом уравнении различные действительные корни. А если корни кратные? или комплексные? то как составить общее решение? требуется ещё какая-то информация, кроме знания этой подстановки :) кроме того, в видео решалось однородное уравнение, но этот же алгоритм можно применить и в том случае, когда в правой части и не ноль, а какая-то функция. В этом случае, после замены переменной получится неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами, а для них уже больше алгоритмов решения.
@@Hmath Раз так, то можете ли вы сделать пример решения уравнения с кратными корнями и дополнительной функции вместо нуля, мне было бы интересно на это глянуть, так как видел подобные уравнения где-то 2 или 3 раза за всё время обучения в универе на Физ-Техе. =)
когда-нибудь сделаю, но не сейчас :) подряд 2 похожих нет смысла делать. Сначала выбрал самый простой пример :) но уже в этом же примере комплексные корни у характеристического уравнения
@@Hmath, с кратными действительно нужно вспоминать, что получается.
Для обычного линейного уравнения решение будет
C1*exp{lambda*x} + C2*x*exp(lambda*x}.
это для уравнения с постоянными коэффициентами, а тут как?
это я всё к тому, что делаешь подстановку: x^k, получается, например, 2 корня: k1=k2=1. И как из этого записать общее решение?
Получится только одно частное решение, а нужно откуда-то получить еще одно линейно независимое. В этом алгоритме нет никакого ответа, откуда его взять.
можете помочь с задачей?