[Eng Sub] Reordering from 0 to ∞ | Riemann Rearrangement Theorem
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 20 เม.ย. 2024
- It seems obvious that the result of addition does not change when the order is altered, but this is not the case with infinite sums. When the order of terms in an infinite sum is changed, it can lead to unexpected results.
[BGM]
ほのぼのワルツ【リコーダー】(commons.nicovideo.jp/)
Caravan
[Materials]
VOICEVOX:ずんだもん
VOICEVOX:四国めたん
立ち絵(坂本アヒル様)
効果音ラボ
pixabay
#math - วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
![[Eng Sub] What is a Perfect Number?](http://i.ytimg.com/vi/qAd2WHWIp30/mqdefault.jpg)
![Which is Bigger: Fukasetsu Fukasetsuten or Graham's Number? [English Subtitles]](/img/n.gif)
∞-∞=不定であることがよくわかる定理ですね
無限級数＝無限回の足し算と捉えると違和感あるけれど、実際には無限級数＝部分和の極限であるということからこういった現象が起きるんでしょうね
Σの中にある数列の形が変われば部分和も変わりますから
この世界の裏では光の勢力と闇の勢力がそれぞれ無限の力を持っていて、その均衡が崩れると大変なことになる（中二）
Loved the proof of Riemann Rearrangement theorem! Keep up these excellent videos!
12:40 PID制御の図みたいで好き
当たり前だけど、コンピューターに計算させたらちゃんと結果がln2と1/2ln2に割と早い段階で収束してて、無限の面白さを感じた。
めちゃくちゃ面白いっすね。
高校数学好きな子にこういう話を教えてあげたい。
2-1-1+2-1-1+2-1-1+.....
と
2-1+2-1+2-1+2-1+.....
は+2と-1でそれぞれ１対１対応がつけられるけど極限は全然ちがう、みたいなことか。意外と直感的に当たり前のことなのかもしれない。
Thank you, very informative video
区間(0,1)で定義された実数値関数f(x)で、「どんなに小さい部分区間においても、その区間で0と1の間のすべての値をとる」ような関数が存在する。その例として、各x∈(0,1)に対し、xの二進小数表現（ただし2通りの表現ができる場合は、0が無限個出てくる方をとる）の、小数点以下n桁目までに出てくる1の個数をnで割った値の、n→∞のときの極限値（ただし極限がない場合は上極限で代用）」をf(x)とすればよい、と本に書いてあったのですが、証明が書いてなかったので、自分で証明を考えたことがあります。そのとき、この「再配列定理」と同じ理屈を使いました。
コメントありがとうございます。おもしろい関数ですね！
ちなみに、いたるところ不連続なのに任意区間で「中間値の定理」を満たす関数（ダルブー関数と言うらしい）、というのが定義の動機です。またこの例の場合、（2進小数表示の0と1を無限回硬貨投げの結果に対応させれば直観的に分かるように）、ほとんどいたるところ（つまり零集合を除いて）f(x)=1/2です。
無限-無限はどんな値にもなりうるってことかな？
ある項を並べ替えるときに無限に後ろにずらしていいから、こんな奇妙な結果になるっぽいなぁ～
anとamを入れ替えるときに、m-n < M にする感じで項間の隔たりに制限を加えたら、並べ替えても結果は常に一緒になるんじゃないかな？だれか証明してるのかなこれ
a1 2 3 4 5 6 7 8 9
M=3
3-1,4-2,7-5,8-6
1,2,5-3,6-4,9-7
という風に並べ方に制限加えても…
い、いやこれは並べ方が悪いか…
常に一定だとは限らない気がする
数列a_nは0に収束して無限和もαに収束するとする。
φ:N→Nを全単射であって|φ(n)-n|
並べ替えた後の数列の第k項までを考えると、そこには元の数列における第k₊M項までの値しか入らないので、元の級数の部分和を使って適切に上下から挟めそうな気がする。
As a topic for a lesson, it would be interesting to see how sums invariant of rearranging and absolutely convergent sums don't coincide in infinite-dimensional Banach spaces
これって数列を等間隔のブロックに分けてそのブロック内で入れ替える分には収束値は変わらないよね？
等間隔ですらなくてもいいか。
an±の和が発散するからどこのamから始めてもamからam+Mの和が任意のXを超えるようなMを取れるのと、
逆にan自体は収束するから十分大きなところでは微調整がいくらでも効くという感じなのね
おもしろーい
いつか必ず返す、と言う奴になら、いくら金を貸しても損をしない、ってことになるな。
死後の返済でもよろしければ
図形の描写に使えますかね？
なんかすごいな…w
順番を入れ替えたことで本質的に違う式になっている、という認識なのですが合ってますか？
例えば冒頭の交代調和級数は入れ替えが生じたことによって、有限個の項では式の同値性が確認できなくなっていきます。
Σanを入れ替えてΣbnが生じる(一般項がaからbになった)という書き方もそれを表していると思います。
「足し算の順番を入れ替えると結果が変わるかもしれない、無限の場合は」というより
「項を入れ替えた風に見せて違う式を作ることができるかもよ、そう無限ならね」という風に思いますがいかがでしょうか？
また、これは現実世界にどれだけ適応できるのでしょうか？
例えば解析接続でよく見る「1+2+3+4+5+...=-1/12」は量子力学の世界において価値がありますが、同じ無限の足し算として何かに使えたりするのでしょうか？
「項を入れ替えた風に見せて違う式を作ることができるかもよ、そう無限ならね」
同感ですね。
動画の入れ替え後の式を見ればマイナスの項の方が多いから同じ数列でないはずだが無限で有耶無耶になる。
でも、「項を入れ替えた風に見せて違う式を作ることができる」トリックだということを計算結果が示している。
個人的には何ら不思議でないと思います。
素敵な動画有難うございます。
一方、絶対級数はの方は、並べ替え関係なくいつも同じ値に収束する。これは解析学の基礎となっています。
Just a note: reordering only a finite number of terms preserves the limit. I'll provide a rigorous proof.
Let sum(an)=c, let the partial sums of (an) be called (pn), and let (bn) be the sequence (an)with a finite number of reordered terms and partial sums called (qn). That is, there are a finite number of indices where (an) doesn't equal (bn). Thus there is a maximum index k-1 where (an) and (bn) differ, so an=bn for all n>=k. Since finite sums stay the same after reordering, and the set of the first k terms of both sequences are the same, the sum of the first k terms of (an) equals the sum of the first k terms of (bn). So, pk=qk and, by induction,
qN=q(N-1)+bN=p(N-1)+a(N-1)=pN for all N>k too.
It should be obvious from here, but I always enjoy showing the limit definition. Since sum(an) converges to c, we have that (pn) converges c. By the limit definition, this is equivalent to saying that for all r>0 there exists an index h such that |pn-c|=h. Of course, max(k,h) is greater than or equal to both h and k, so |pn-c|=max(k,h). That is, |qn-c|max(k,h). Since such an h exists for each r>0, (qn) converges to c by the limit definition and sum(bn)=c.
「並べ替え」の定義がこれなら確かにこの結果になるのは分かります。
定義に対する結果には問題ないけど、そもそもその定義を「並べ替え」と呼ぶ事が直感に反する結果を生む原因だと思います。
なんかズルくね？
プラスとマイナスが交互に現れるものを用意します。
1-1+1-1+1-1+1-1+1-1……
並び替えて、プラスだけとマイナスだけで計算しようとします。
1+1+1+…………
-1-1-1-…………
でもプラスの計算は無限なのでマイナスのターンはきません。つまりプラス無限に発散します。みたいな？
According to results I found on the Internet, the sum of alternating harmonic series is ln(2), but it is said to be log(2) here, Which one is correct?
log2とln2は、記法が異なるだけで同じものです。
底がeである事を省略した記法です。
ln(logarithm nature)とかの略かな？
in japan, we sometimes use log instead of ln as natural logarithm
常用対数をLog、2を底とする対数をlog、自然対数をlnと区別する界隈もあるようです
純粋数学では対数はほとんど自然対数なので、基本的にlogと書いて自然対数を意味します
たまにlnと書いてるのを見ますね
これって選択公理なしでも証明できるのだ…？
具体的に再配列の方法が与えられるから選択公理は要らない
納得できない！「有限回の和算ではマイナスの項を後回しにしても、最後に全部返済することになる」「無限級数ではマイナスの項を後回しにしても、和算は無限回行えるので返済の必要はなくマイナスの項を自由に踏み倒せるため収束する値は無限に大きくできる」という話なのだろうけど、本当に全く感覚的に納得できない😭
😮
自民党の裏金問題も円安問題もこれで解決できるのでは？
結果的に級数の収束性を確定するにはやりコーシーの収束条件にしか頼れませんね
級数じゃなくて数列、誤字