Замечательное и очень красивое решение. Главное научиться видеть скрытые закономерности, вроде прогрессии. Спасибо автору за труд. Благодаря таким людям у нас ещё осталось математическое образование. Продолжайте и развивайтесь в сфере популяризации математики и математического образования. Надеюсь, что люди снова начнут любить математику и видеть в ней не только страшные цифры и буквы, но и красоту вселенной, которую она передаёт. Всем МатКульт!
Я вспомнил, что при изучении рядов в матане нас почти не обучили находить их сумму. Единственным примером были рациональные дроби, в которых члены ряда хорошо сокращались и получался результат "несколько первых чисел + член, стремящийся к нулю". А вот на теорвере нас научили идее, что такой ряд можно найти через поиск 1й и второй производной от ряда (x/2)^2.
К слову, этот ряд - определение полилогарифма. Я помню, даже находил формулу для частных сумм такого вида, но она также выводилась из производной. Там тоже полилогарифмы как коэффциенты стоят, но ещё и биноминальные присутствуют
Приложу даже ссылку на десмос с этой формулой и графиком: /Calculator/hph3rxntxd Допольните ссылку на desmos сами, надеюсь, разберётесь. Увы, не могу вставлять её, Ютуб ругается :(
Это не определение полилогарифма. В формуле полилогарифма одночлен в степени n находится в числителе, а показательная функция - в знаменателе, а не наоборот, как в видео. В видео представлен ряд Σ((n^2)/(2^n), тогда как полилогарифм определяется как Li_(s)(z)= Σ((z^n)/(n^s). А его частный случай, дилогарифм, имеет следующее определение: Li_(2)(z)= Σ((z^n)/(n^2). Даже если вместо z подставить 2, то получится: Li_(2)(2)= Σ((2^n)/(n^2). Это разные вещи, братан.
Есть видео с доказательством этой формулы, но оно на английском. А так, решение очень красивое th-cam.com/video/6iTdNmDHfV0/w-d-xo.htmlsi=SxJWHQS4YsRdr8LF
Я решал так Для начала распишем первые пару членов ряда 1/2+4/4+9/8+16/16+25/32+... Теперь ращложим их все на лроби вида 1/2^n и запишем в пирамидку 1/2+ 1/4+1/4+1/4+1/4 1/8+1/8+1/8+...+1/8 1/16+1/16+1/16+...+1/16 Легко заметить что у нас есть 1 ряд геом прогрессии где n от 1 до до беск и мы знаем его сумму как 1 3 ряда где n от двух до бесконечности его сумма будет 1-1/2 5 рядов где n от двух до бесконечности и тд тут сцмма 1-1/2-1/4 Тогда мы можем расписать изначальный ряд как 1(1)+3(1-1/2)+5(1-1/2-1/4)+7(1-1/2-1/4-1/8)+... Теперь сложим все дроби 1+3(1/2)+5(1/4)+7(1/8)+9(1/16)+... И перемножим 1+3/2+5/4+7/8+9/16+... И теперь мы имеем ряд вида (2n+1)/2^n, n=0 А этот ряд элементарный и его сумма равна 6 и решается он примерно так же как и мы делали до этого Знвчит и сцмма исходного ряда равна 6 Понимаю что доказательство не очень строгое но для таких де восьмиулассников как я которые в рядах вообще не смыслят будет полезно
Пиздец гинеально. Как же в математике все просто. Можно делать что угодно. До производной кнш я бы не догадался, хз как тогда надо изучать математику. Ну да, если бы до всего пытались догадаться сами, ушли бы десятки лет на её изучение, как в прошлых веках
![Как изобретают/открывают математику? [3Blue1Brown]](/img/n.gif)
В конце видео получили неожиданный результат (6). Большое спасибо за подробное решение.
Замечательное и очень красивое решение. Главное научиться видеть скрытые закономерности, вроде прогрессии. Спасибо автору за труд. Благодаря таким людям у нас ещё осталось математическое образование. Продолжайте и развивайтесь в сфере популяризации математики и математического образования. Надеюсь, что люди снова начнут любить математику и видеть в ней не только страшные цифры и буквы, но и красоту вселенной, которую она передаёт. Всем МатКульт!
Пересматриваю в очередной раз. И заметил, что 9801-как бы намекает, где начнётся и где закончиться красивая последовательность.
Я вспомнил, что при изучении рядов в матане нас почти не обучили находить их сумму. Единственным примером были рациональные дроби, в которых члены ряда хорошо сокращались и получался результат "несколько первых чисел + член, стремящийся к нулю".
А вот на теорвере нас научили идее, что такой ряд можно найти через поиск 1й и второй производной от ряда (x/2)^2.
отличное видео!!!!!!!!!!!!! спасибо!!!
Спасибо большое
К слову, этот ряд - определение полилогарифма.
Я помню, даже находил формулу для частных сумм такого вида, но она также выводилась из производной. Там тоже полилогарифмы как коэффциенты стоят, но ещё и биноминальные присутствуют
Приложу даже ссылку на десмос с этой формулой и графиком:
/Calculator/hph3rxntxd
Допольните ссылку на desmos сами, надеюсь, разберётесь. Увы, не могу вставлять её, Ютуб ругается :(
Я надеюсь, мой комменатрий на десмос будет виден... Я не могу так, не понимаю, почему ютуб душит любой нестандарнтый текст😢
Видимо нет... Хз, если кому-то будет интересно, то... Не знаю, попробую лично скинуть как-нибудь
Это не определение полилогарифма. В формуле полилогарифма одночлен в степени n находится в числителе, а показательная функция - в знаменателе, а не наоборот, как в видео.
В видео представлен ряд Σ((n^2)/(2^n), тогда как полилогарифм определяется как Li_(s)(z)= Σ((z^n)/(n^s). А его частный случай, дилогарифм, имеет следующее определение: Li_(2)(z)= Σ((z^n)/(n^2). Даже если вместо z подставить 2, то получится: Li_(2)(2)= Σ((2^n)/(n^2). Это разные вещи, братан.
@@AnarAnarov567, Σn²/2ⁿ = Li₋₂(½)
спасибо!
Вот бы ещё формулы Рамануджана получить. Особенно та, где сумма равна корню из пи умножить на е пополам.
Есть видео с доказательством этой формулы, но оно на английском. А так, решение очень красивое
th-cam.com/video/6iTdNmDHfV0/w-d-xo.htmlsi=SxJWHQS4YsRdr8LF
Очень красиво
А куда девается минус при дифференцировании 1/(1-х) ?
www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F%281-x%29%29%27
по правилам дифференцирования.
не забывайте умножать на производную "внутренней" функции.
@@Hmath точно!
В начале видео поставил на паузу и сам догадался до решения, тоже 6 вышло
Или эту формулу th-cam.com/users/shortsQH4XA9TKMH8?si=DeO2jSZBbUMjTg91
Я решал так
Для начала распишем первые пару членов ряда
1/2+4/4+9/8+16/16+25/32+...
Теперь ращложим их все на лроби вида 1/2^n и запишем в пирамидку
1/2+
1/4+1/4+1/4+1/4
1/8+1/8+1/8+...+1/8
1/16+1/16+1/16+...+1/16
Легко заметить что у нас есть 1 ряд геом прогрессии где n от 1 до до беск и мы знаем его сумму как 1
3 ряда где n от двух до бесконечности его сумма будет 1-1/2
5 рядов где n от двух до бесконечности и тд тут сцмма 1-1/2-1/4
Тогда мы можем расписать изначальный ряд как 1(1)+3(1-1/2)+5(1-1/2-1/4)+7(1-1/2-1/4-1/8)+...
Теперь сложим все дроби
1+3(1/2)+5(1/4)+7(1/8)+9(1/16)+...
И перемножим
1+3/2+5/4+7/8+9/16+...
И теперь мы имеем ряд вида (2n+1)/2^n, n=0
А этот ряд элементарный и его сумма равна 6 и решается он примерно так же как и мы делали до этого
Знвчит и сцмма исходного ряда равна 6
Понимаю что доказательство не очень строгое но для таких де восьмиулассников как я которые в рядах вообще не смыслят будет полезно
У меня есть уневирсальное решение для суммы Σ(1 до 10¹⁰⁰)(x^2÷n^x)=(n²+n)÷(n-1)³. Я лично проверал
@@vovamarmaluk8220
А если x^n/n^x?
Я пытался для n=3 такое вывести но не особо получилось
Это формула, который я написал. Сумма (n^2÷x^n)=(x²+x)÷(x-1)³. Роботает когда n в чеслителе в степени два . Больше двух не роботает
Настоящая формул для n-ой степени. 1÷(k-1)×(1+Σ(1 до бесконечность) (((n+1)^k-n^k)÷kⁿ )). Ты хорошие вопросы задаешь
Уточнение. K это R(n)>1 n≠отрицательное число.
Пиздец гинеально. Как же в математике все просто. Можно делать что угодно. До производной кнш я бы не догадался, хз как тогда надо изучать математику. Ну да, если бы до всего пытались догадаться сами, ушли бы десятки лет на её изучение, как в прошлых веках
Гинетально! Какой ты умный!
@@Alex-5231-qt Конечно. Жаль у некоторых десятки лет не уходят на матешу, поэтому глупенькими остаются.