【気づけば一瞬?!】難問だけど面白い整数問題【九州大学 2015】
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- เผยแพร่เมื่อ 25 ก.ค. 2021
- 九州大学の数学は標準的で良問多めです。
今回完答できなかった方はこちらをぜひ！
↓整数問題の全パターン解説↓
• 【整数問題】入試頻出解法を”４時間で”全パタ...
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k ≧ 3の整数のとき、2^k + 1と2^k - 1が互いに素であることを背理法で証明する。
2^k + 1と2^k - 1が互いに素でないと仮定する。このとき、2^k + 1と2^k - 1には2以上の公約数があり、それをgとおく。
2^k + 1 = ga, 2^k - 1 = gb(a, b:自然数)とおける。
2^k = ga - 1 = gb + 1よりg(a - b) = 2 ... (1)
g, a, b:自然数かつg ≧ 2より(1)を満たすg, a, bの組は(g, a - b) = (2, 1)のみ。
このとき2^k - 1 = 2bとなるが、左辺は奇数、右辺は偶数より矛盾。
よって2^k + 1と2^k - 1が互いに素でないと仮定したことが誤りであるから証明終。
「整数問題の３大解法」の例題として、最適な問題ですね❗
この問題を何度も復習するだけでも、実力が付きそうです。
8:00
(2^k+1)(2^k-1)=9p のときの 2^k+1 と 2^k-1 の値の組の絞り方として，
差が2になることから (9p,1)や(3p,3)は排除できるのでk>=3の条件がなくても奇数でさえあれば十分かと思います．
宿題の解答
2^k+1 と 2^k-1の差が2なので最大公約数は2の約数(1か2)であり，kが自然数のときはどちらも奇数なので2は約数に持たないので，互いに素
個人的に素数と見たら2は最初にわけて考えることにしている
自分は、3もです。今年の九大整数でてほしい
@@yasu.....
くそ易化したな
ふざけた問題ばっかだったわ
まさかの定期テストでそのままでて完答出来ました。本当にありがとうございます！
定期テストでこれ出すの驚愕
今日東大模試があって、日頃スバルさんの授業見てたおかげで整数問題完答できました！
これ今日解いたやつだ！問題集に載ってるのは導入付きだったけど、mod3mod4利用は導入なしでも解きたいところ
フェルマーの小定理が浮かんだ
q=3確定させたらグラフ書いて明らかに交点1つ、右辺の大きくなる速度がめちゃくちゃ大きいのでpに小さい順で素数入れていけばp=7で確定
なにそれおもしろい！
ユークリッドの互除法と使うと2^k+1と2^k-1の最大公約数は2^k-1と2の最大公約数になる。2^k-1は奇数なので最大公約数は1になる。つまり互いに素
2^(p-1)-1=pq^2……(☆)
(☆)の左辺は奇数であるから、右辺も奇数となるので、p≠2,q≠2
よって、p-1は偶数となり、p-1=2k(kは自然数)とおける。
したがって、
(☆)⇔2^2k-1=(2k+1)q^2
⇔(2^k+1)(2^k-1)=(2k+1)q^2
ここで、2^k+1>2^k-1であることに注意すると、
(2^k+1,2^k-1)=((2k+1)q^2,1)……①
=((2k+1)q,q)……②
=(2k+1,q^2)……③
=(q^2,2k+1)……④
の4通りの組の可能性が考えられる。
①の時、2^k-1=1より、k=1
このとき、2^k+1=3,(2k+1)q^2=3q^2
となり、これらが等しいので、
3q^2=3 ∴q=1 (∵q>0)
しかし、これはqが素数であるという条件を満たしてないので不適。
②の時、(2^k+1)-(2^k-1)=2であるから、(2k+1)q-q=2kq=2
しかし、q≧3であるから、この等式は成立しない。
③の時、2^k+1=2k+1⇔2^k=2k……❇︎
ここで、関数f(x)=2^x-2xについて、
x≧3のとき、
f'(x)=(2^x/log2)-2>2^x-2≧2^3-2=6>0
より、f(x)はx≧3において単調に増加するので、x≧3の時、f(x)=2^x-2x≧2^3-2×3=2>0
よって、❇︎が成り立つのは、k=1,2の時のみである。
k=1の時、q^2=2^1-1=1、ゆえにq=1となるが、これはqが素数であることに反する。
k=2の時、q^2=2^2-1=3となるが、これを満たすqは存在しないので不適。
④の時、2^k-1=2k+1……❇︎❇︎
k=1,2のとき、この等式は成り立たない。
ここで関数g(x)=2^x-2x-2について、
x≧4の時、
g'(x)=(2^x/log2)-2>2^x-2≧14>0であるから、x≧4において、g(x)は単調に増加するので、g(x)=2^x-2x-2≧16-8-2=6>0
となる。
したがって、k≧4の時、❇︎❇︎は成り立たない。
また、k=3のとき、2^3-1=7
2×3+1=7となり、
❇︎❇︎を満たす。
よって、以上の議論より、k=3
となり、p=2×3+1=7
(これはpが素数であるという条件を満たしている。)
このとき、q^2=2^3+1=9 ∴q=3(∵q>0)
これはqが素数であるという条件を満たしており、さらに、p≠qである。
∴求めるp,qの組は(p,q)=(7,3)………（答）
7:23 (2^k+1)と(2^k-1)差が2だからp≧3であることを考慮してpと9の差が2であることが必要って絞る方が楽じゃないですか？
大学入学して数学科でもないのにまだ見てます、、今となっては数学が趣味になってる
自分も一緒です！数学科入りたいとすら思ってます…
か！ら！み！ざ！か！り！
めっちゃ分かります！！
PASSLABOさんの整数動画がきっかけで今では数学科目指してます…( ⑉¯ ꇴ ¯⑉ )
@@user-hl2or2dt3z 最高傑作ですよね
一年前の自分は歯が立たなかったけど、今はすらすら解けるようになったの嬉しい。
ちなみに自分はmod4でやりました
限界まで自然数を突き詰めると身に付きますね
ユークリッドの互除法で互いに素は示せそうですけどね～
曖昧とか言われたら何も言えねぇ
2^(p-1)-1は、p≧2の自然数の時、必ず奇数になる。したがって、右辺は奇数でなければならない。よって、p,qは奇数である
次に、p≧3の奇数の時、2^(p-1)-1≡0(mod3)なので、pq^2も当然3の倍数でなければならない
以上から、p=3もしくはq=3の少なくとも一方が成り立つ
p=3の時、左辺=3、右辺=3q^2となり、q=1となるが、1は素数ではないため不適
上記からq=3となるから、2^(p-1)-1=9p
p=5の時、左辺=15、右辺=45となり不適
p=7の時、左辺=63、右辺=63となり適す
p=11の時、左辺=1023、右辺=99となり不適
p=n(n≧11)の時、左辺>右辺とする。この時、p=n+1の時は、左辺が1024以上増加するのに対し右辺は9しか増加しないので、左辺>右辺が成り立つ。よって、p≧11ではあり得ない
以上から、(p, q)=(7, 3)が唯一解である
互いに素与えられたらもっと簡単になりますね
おかげで整数問題に抵抗少なくなりました！！
良問ルート2日目
フェルマーの小定理に縛られて何も出来なかった、、、😢
意外と、誘導のせいでわからなくなる場合もあるね。
2^(p-1)-1=9p
まで行った後、p=7で成立してるのは分かってたからそれ以外にないと、数学的帰納法でゴリ押してしまった
どうやって示すんですか？教えてくださいー！
@@user-bj2yr3iq7t今更意味無いかもしれないけど、f(p)=2^p-1 -1-9pを考える。微分すると単調増加だと分かるから、解は1つ。文系だったら申し訳ない
10:08
2^k-1と2^+1との差は2であることと、2数の最大公約数が仮にあるとすれば奇数にしかならないことが矛盾するので、2数は互いに素
初めに互いに素でないことを仮定しなければ矛盾するかなど判断することはできません。
差が2だから、ユークリッドの互除法から最大公約数の候補的に2、1しかないから証明できてるように思うけどなぁ
差が2まで言えたら互いに素であることまで言わなくても、他の組だと明らかに差が2以上になるから 、9とp の差が2であるものだけ考える方が楽だと思う
準備できる時間あれば鉄壁の続きが見たいです🥺
これ本番の時に解いた問題ですが、誘導を使って完答した覚えがあります。誘導無しだとmod3に気づかなくてこんなに難しかったっけってレベルになりますw。
この時浪人してたのですが
整数(mod等)、複素数平面はこの年から導入、行列が削除って時で、modを扱う問題は過去問に無く(誘導つきでmodを知らなくても解ける問題はありましたが)何を出されるか分からないって状態だった覚えがあります。
二項定理で2の偶数乗が3を法として1になることがわかるから、両辺は3の倍数になるがPが3の倍数
つまり、P＝3のとき式は成り立たない。
2^P-1－1＝9P
これを満たすものをP＝2.5.7と確認すると P＝7は満たすから、
あとはP≧11のときに
2^P-1－1＞9P を帰納法で示す
っていうのを考えてました
細かいことをいうと左辺が2の因数をもっていないので、p=2は調べなくても良いですね😃
6:33 私はここから関数で攻めました。f(x)=2^x-1,g(x)=9x+1を考えて、かたや指数関数かたや直線なのでpがある数値を越えると等号になることはないということでp>7でf(x)>g(x)を数学的帰納法で証明しました。いかがですか！？
その方が自然でしょう。なぜ指数と多項式が等号で結ばれている違和感を無視して因数分解しようとしたのか、むしろ疑問。(元の問題の誘導に流されたか？)
最初の方も、とつぜん偶奇で場合分け考え始める解説は謎すぎる。(mod 3で考えた末で、なら分かる。)
さすがです。自分は高校で数学教えていますので参考にします。記述模試や大学の過去問の解説の時にかなり参考になります。
美しい
mod、絞り込みなど使わずに完答できた。
分かりやすい！ｗｗ
pが5以上なら左辺が3の倍数なのでqが3の倍数→q=3
で解きました
指数→a^2-b^2
平方数→mod3,mod4
って感じでまとめていいですか
実験の段階で合同式は考えれるようになったらいいかもですね。思わぬ解法がみちびきだされることもちらほらあります。
でもやっぱり圧倒的にmod3,4がおおいですけどねw
平方数はmod4よりmod8の方が美味しいことが屢々あるから知っておくと得
なるほどありがとうございます
宿題：xとx+1が互いに素であるってのと同じですよね。
合同式はいちいち証明しないと減点の可能性が大なので、使わない方法で解く方法を知っておかないと1点に泣くんですよね。
ユークリッドの互除法により2^k+1と2^k-1の最大公約数は2^k-1と2の最大公約数と等しいので互いに素と示せます！
良問ルート2日目
なんか感動しましたw
実験で使った数字で条件絞るのか〜なるほど〜🧐
共通テスト模試の前に河合とかZ会の共通テスト対策の本はやった方がいいのでしょうか？
この問題ってmod無しで解けますかね？
nじょう ひく nじょう の因数分解使えばいけると思います
mod知らないけど理系大学いけたな。運が良かった
駿台の夏期講習！
解けたけど30分もかかってしまった
高一現在、完答しました！
この前の数検の整数問題でmod使えたから一瞬で倒せたの嬉しかった(大学生)
この問題、S塾のH大数学にあったなぁ
行きの電車の10分間で解けたからうれしい
九大は良問が多い
風呂場で解いた
去年10月の東進北大模試で同じようなやつやってまったく手でなかったな〜
初見でp=2k+1っておけるか？
@てるてる そういうことか！
整数の問題の知識少ないでもっと入れなあかん
誰か詳しい方添削お願いします！
(与式)⇔2^p-1=pq^2+1より
左辺が偶数より右辺が偶数が必要。したがってp≠2、q≠2
ここで(右辺)≧5*3^2+1=46
よって2^p-1≧46 ∴p≧7
pは奇数よりp-1は偶数だから
(与式)⇔{2^(p-1)/2 -1}{2^(p-1)/2 +1}=pq^2
よって{2^(p-1)/2 -1,2^(p-1)/2 +1}=(1,pq^2)(q,pq)(p,q^2)(q^2,p)(∵2^(p-1)/2 -1
@仮面rider受験 2以外の素数で最小値をとるのはこの組だからね。このやり方で範囲で絞る時には最大値か最小値しかいらない。
フェルマーの小定理じゃいけん？
九大！！
岡山大学みたいです
7と3かなってやったら当たった
オイラーの小定理使えそうと思ったけどどうだろう
フェルマーじゃないですか？自分もそれで出来ないかなぁと直感的に思ったんですが…
@@xiang0519 ｱｯ ｽﾐﾏｾﾝﾃﾞｼﾀ
なんか例えがでんがんのやつみたいだなぁ
mod3の匂いがする
mod3
で瞬殺した
4:31 「もっど」
これ誘導
互いに素の証明って言ったら、ねぇ、あの方法しか
どれ
こういう数学系の動画おもろいんだけどコメ欄がなぁ
小学生、中学生ならできた事喜んでコメ欄に書き込んじゃうのは分かるけど
まあまあ、可愛いもんじゃない
平方数で察した
フェルマーの小定理見えた
次のように解いてみました．
2^(p-1)-1≡1(mod 2)であるから、pq^2≡1(mod 2)ゆえpもqもともに奇素数である．
p-1は偶数であるから、
2^(p-1)-1=pq^2
↔︎[ 2^{ ( p-1 )/2 }+1 ][ 2^{ ( p-1 )/2 }-1 ]=pq^2 …(＊)
2^{ ( p-1 )/2 }+1 > 2^{ ( p-1 )/2 }-1≧1 より、(＊)から
( 2^{ ( p-1 )/2 }+1 , 2^{ ( p-1 )/2 }-1 ) = ( pq^2 , 1) or ( pq , q ) or ( p ,q^2 ) or ( q^2 , p )
ⅰ) ( 2^{ ( p-1 )/2 }+1 , 2^{ ( p-1 )/2 }-1 ) = ( pq^2 , 1) のとき
2^{ ( p-1 )/2 }-1=1 ↔︎p=3
このときq=1となり、不適である．
ⅱ) ( 2^{ ( p-1 )/2 }+1 , 2^{ ( p-1 )/2 }-1 ) = (pq , q ) のとき
2^{ ( p-1 )/2 }+1=pq…① ，2^{ ( p-1 )/2 }-1=q…② とする．①-②より
2=(p-1)q となり、p-1=2 (∵p,qは奇素数)となるが、q=1 となり不適である．
ⅲ) ( 2^{ ( p-1 )/2 }+1 , 2^{ ( p-1 )/2 }-1 ) = ( p ,q^2 ) のとき
2^{ ( p-1 )/2 }+1=p…(ア) ，2^{ ( p-1 )/2 }-1=q^2…(イ) とする．
(ア)を満たすpを求める．ここで、f(x)=2^{ ( x-1 )/2 }-x+1 とすると f‘(x)=2{ (x-3)/2 }log2-1 である．
f’(x)≧0とすると 2{ (x-3)/2 }log2 ≧ 1
2{ (x-3)/2 } ≧ 1/( log2 ) (∵log2>0)
log[2] 2{ (x-3)/2 } ≧ log[2] 1/( log2 ) = - log[2](log2)
(x-3)/2 ≧ - log[2](log2)
∴ x≧ - 2log[2](log2)+3
となる．ここで、log(√e)=1/2であり、√e ( p であるから、
(ア)を満たす奇素数pがあるならばそれはp=3 or 5 である．p=3 のときも p=5 のときも(ア)は成り立つが、p=3,5 のとき(イ)を満たす奇素数qは存在しない．
ⅳ) ( 2^{ ( p-1 )/2 }+1 , 2^{ ( p-1 )/2 }-1 ) = ( q^2 , p ) のとき
2^{ ( p-1 )/2 }+1=q^2…(あ) ，2^{ ( p-1 )/2 }-1=p…(い) とする．
(い)を満たす奇素数pを求める．ここでg(x)=2^{ ( x-1 )/2 }-x-1 とおくと g(x)=f(x)-2となるから、g(x)もf(x)同様 x≧6 で
単調増加である．これにより、p≧9 のとき g(p) ≧ g(9) ↔︎ 2^{ ( p-1 )/2 }-p-1≧6>0 ．
よってp≧9 ならば 2^{ ( p-1 )/2 }-1> p であるから、(い)を満たす奇素数pがあるならばそれは p= 3 or 5 or 7 である．
このうち(い)を満たすのは p=7 のみであり、このとき(あ)から奇素数qを求めると q=3 である．
以上 ⅰ)~ⅳ) より、求める素数の組 ( p , q ) は ( 7 , 3 ) である．…(答)
自慢させてください、暗算で解けました
すごいです！
えっぐ
暖かい世界だった(੭ु ˃̶͈̀ д ˂̶͈́)੭ु⁾⁾
答えが分かっても全て、っていう証明がいるのが数学の難しさだよね。
逆に言えば答え分かっちゃえばそれになるように何とか持っていけばいいから楽になる。