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訂正：答え(4,4)が抜けております。皆さんもご注意ください！(ご指摘いただいた方ありがとうございます)
自分の作ってる動画が正しいかどうかもわかってない人が作ってる、面白いだけの動画にご注意ということですね。
答え(4,4)抜けてる気がします
動画では小さい方の変数を上からおさえていますが、大きい方の変数を上からおさえることも可能です。5以上の自然数nで2ⁿ-n²>1を数学的帰納法等で示しておくと、任意の自然数nで2ⁿ-n²≧-1であることは有限回の代入で示せる。対称性からa≦bとすると、b≧5のとき、2^a-a²+2^b-b²>-1+1=0となって、2^a+2^b>a²+b²より解なしb≦4のとき、a≦b≦4より解の候補は有限個なのでしらみつぶしに調べれば良い。最後に対称性を戻す。
見る前に解くa≧bとしても一般性は失われないのでそうする。mod4で考えると、以下の2通りが考えられる。(ⅰ)a=2m+1(mは自然数),b=1のとき(ⅱ)a=2m,b=2n(m,nは自然数,m≧n)のとき(ⅰ)のとき、計算すると4^m -2m²-2m=0一①f(m)=4^m -2m²-2mと置くとf''(m)=(log4)²4^m -4はm≧1で正であり、f'(2)=16log4 -6>0,f(2)=4>0よりm≧2は①を満たさずf(1)=0よりm=1は①を満たす続きは帰ってきてから
中3やがlog出た瞬間分からなくなった
①5以上がアウトなのを帰納法で示す②左辺が偶数だからaとbの偶奇は一致③対称性でa≦bとしてa＝1、2、3、4を確かめるこのように解いた
動画を見て解くプロセスは理解しましたが、入試の限られた時間の中で、これと同じように論理展開するのは少なくとも私には無理な気がしました。年寄りは頭が固いので（←解くのを諦めた言い訳に過ぎませんが）
難しいですね。
一橋の2016年の整数と考え方一緒！
途中でめんどくさくなって解くのやめちゃった❗
f(x)=2^x-x²と-f(x)の概形を自然数の範囲である程度書いてf(a)=-f(b)=k（kは整数）になる点を数え上げて終わり
ｂは、２の二乗関数と指数関数をグラフで表せれば自明じゃないんですが。
自分最初にMOD 3で場合分けしてごちゃごちゃやっていったら出来た！めちゃくちゃ時間かかるけど無限降下法とかも使えたりするからめっちゃ楽しかったです
以下を帰納法で示してから代入祭り文系の自分でも試験本番で解けそうな解法やから良かった(i)a=ba≧5は存在しない(ii)a
見せ算は受験数学で重要だった！！
これで上位1%は盛りすぎだろ
難問なんでしょうか。点上げます問題に思えるんですが。
a≦4かつb≦4のとき(1,3)(3,1)(2,2),(4,4),(4,2)(2,4)の6つ。また、2^xとx^2は、1≦xの範囲でどちらも単調増加。5≦xのとき2^x＞x^2 を示す。両辺底を2とする対数をとって、x＞2log2 (x)f(x)＝x-2log2 (x) (5≦x )とおくと、df/dx ＝1-(2/xln2)＝((ln2)x-2)/(xln2)分母正より、分子が0以上であることを示す。すなわち、2/5≦ln2⇔lnexp(2/5)≦ln2⇔ exp(2/5)≦2を示す。e＝2.7...より示せるので、fは、(x≦5)で単調増加で正。a,bの少なくともどちらか一方が5以上の時、片方が1〜4だったとしても3のときの1だけ右辺が大きくなるのは、相殺できないので(5以上だと32と25で差が7以上あるから)条件を満たす(a,b)は存在しない。
難問ってほどでもない。一橋あたりで出たら例年よりやや簡単でほどほどに差がつく問題くらい。
これ両辺log2とってab平面上に左辺と右辺のグラフ書いたらめちゃくちゃ簡単に範囲絞れる
奇数の組み合わせはわかったけれど、偶数の方が出せませんでした。
数学のできるせいや
サムネで見た感じ、mod4でa,bの偶奇決定後は(1)解何個か見つけて帰納法でそれ以外ないこと示すor(2)対称性つかって不等式評価
2^xとx^2がx 5以上で同じにならないからabどっちかが1から4だから片方に1から4代入してくだけやないん ab独立だから
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訂正：答え(4,4)が抜けております。皆さんもご注意ください！
(ご指摘いただいた方ありがとうございます)
自分の作ってる動画が正しいかどうかもわかってない人が作ってる、面白いだけの動画にご注意ということですね。
答え(4,4)抜けてる気がします
動画では小さい方の変数を上からおさえていますが、大きい方の変数を上からおさえることも可能です。
5以上の自然数nで2ⁿ-n²>1を数学的帰納法等で示しておくと、任意の自然数nで2ⁿ-n²≧-1であることは有限回の代入で示せる。
対称性からa≦bとすると、b≧5のとき、
2^a-a²+2^b-b²>-1+1=0
となって、2^a+2^b>a²+b²より解なし
b≦4のとき、a≦b≦4より解の候補は有限個なのでしらみつぶしに調べれば良い。最後に対称性を戻す。
見る前に解く
a≧bとしても一般性は失われないのでそうする。mod4で考えると、以下の2通りが考えられる。
(ⅰ)a=2m+1(mは自然数),b=1のとき
(ⅱ)a=2m,b=2n(m,nは自然数,m≧n)のとき
(ⅰ)のとき、計算すると
4^m -2m²-2m=0一①
f(m)=4^m -2m²-2mと置くと
f''(m)=(log4)²4^m -4はm≧1で正であり、f'(2)=16log4 -6>0,f(2)=4>0よりm≧2は①を満たさずf(1)=0よりm=1は①を満たす
続きは帰ってきてから
中3やがlog出た瞬間分からなくなった
①5以上がアウトなのを帰納法で示す
②左辺が偶数だからaとbの偶奇は一致
③対称性でa≦bとしてa＝1、2、3、4を確かめる
このように解いた
動画を見て解くプロセスは理解しましたが、入試の限られた時間の中で、これと同じように論理展開するのは少なくとも私には無理な気がしました。
年寄りは頭が固いので（←解くのを諦めた言い訳に過ぎませんが）
難しいですね。
一橋の2016年の整数と考え方一緒！
途中でめんどくさくなって解くのやめちゃった❗
f(x)=2^x-x²と-f(x)の概形を自然数の範囲である程度書いてf(a)=-f(b)=k（kは整数）になる点を数え上げて終わり
ｂは、２の二乗関数と指数関数をグラフで表せれば自明じゃないんですが。
自分最初にMOD 3で場合分けしてごちゃごちゃやっていったら出来た！めちゃくちゃ時間かかるけど無限降下法とかも使えたりするからめっちゃ楽しかったです
以下を帰納法で示してから代入祭り
文系の自分でも試験本番で解けそうな解法やから良かった
(i)a=b
a≧5は存在しない
(ii)a
見せ算は受験数学で重要だった！！
これで上位1%は盛りすぎだろ
難問なんでしょうか。点上げます問題に思えるんですが。
a≦4かつb≦4のとき
(1,3)(3,1)(2,2),(4,4),(4,2)(2,4)の6つ。
また、2^xとx^2は、1≦xの範囲でどちらも単調増加。
5≦xのとき2^x＞x^2 を示す。
両辺底を2とする対数をとって、
x＞2log2 (x)
f(x)＝x-2log2 (x) (5≦x )とおくと、
df/dx ＝1-(2/xln2)＝((ln2)x-2)/(xln2)
分母正より、分子が0以上であることを示す。すなわち、2/5≦ln2⇔lnexp(2/5)≦ln2
⇔ exp(2/5)≦2を示す。
e＝2.7...より示せるので、fは、(x≦5)で単調増加で正。
a,bの少なくともどちらか一方が5以上の時、片方が1〜4だったとしても3のときの1だけ右辺が大きくなるのは、相殺できないので(5以上だと32と25で差が7以上あるから)条件を満たす(a,b)は存在しない。
難問ってほどでもない。一橋あたりで出たら例年よりやや簡単でほどほどに差がつく問題くらい。
これ両辺log2とってab平面上に左辺と右辺のグラフ書いたらめちゃくちゃ簡単に範囲絞れる
奇数の組み合わせはわかったけれど、偶数の方が出せませんでした。
数学のできるせいや
サムネで見た感じ、mod4でa,bの偶奇決定
後は(1)解何個か見つけて帰納法でそれ以外ないこと示すor(2)対称性つかって不等式評価
2^xとx^2がx 5以上で同じにならないからabどっちかが1から4だから片方に1から4代入してくだけやないん ab独立だから