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サムネだけ見て以下のように考えました。210＝21･10＝2･3･5･7 より 2,3,5,7 を法とした場合の 𝑛 の性質を考える。𝑛⁴＝1＋210𝑚²≡1（mod 2,3,5 or 7）であるから ①：𝑛 は奇数 ②：𝑛 は 3 の倍数ではない ③：𝑛 は 5 の倍数ではない ④：𝑛 は 7 で割ると 1 or 6 が余る自然数④より 𝑛＝7𝑘 ± 1 とおけ、①より 𝑘 は偶数であるから、𝑛 の候補は 14 ± 1, 28 ± 1, 42 ± 1, 56 ± 1, 70 ± 1, 84 ± 1,・・・すなわち 13, 15, 27, 29, 41, 43, 55, 57, 69, 71, 83, 85,・・・と絞れ、さらに②, ③より、𝑛 の候補は 13, 29, 41, 43, 71, 83,・・・と絞り込めます。これらを、与式を変形した (𝑛＋1)(𝑛－1){(𝑛＋1)(𝑛－1)＋2}＝(2･3･5･7)𝑚²の式中の 𝑛 に代入して、適当な 𝑚 を見つけることにしました。𝑛＝13 の場合 左辺＝14･12･(14･12＋2)＝(2･3･5･7)･2³･17となり、適当な 𝑚 はない。𝑛＝29 の場合 左辺＝30･28･(30･28＋2)＝(2･3･5･7)･2³･421となり、適当な 𝑚 はない。𝑛＝41 の場合 左辺＝42･40･(42･40＋2)＝(2･3･5･7)･4²･29²となり、𝑚＝4･29＝116 とすれば与式を満たすので (𝑚, 𝑛)＝(116, 41)という解が一つ見つかりました。
まったく、同じやり方でした。計算力がないので、ほんときつかったです。
これは、ラマヌジャンなら10秒で暗算で解けるやつですね。210を2x105にしてpell方程式の連立にすると、ルート105の連分数展開とルート2の連分数展開の分子に41が出てくるからそれが解です。ルート105を41/4、ルート2を41/29で近似するわけですね。
整数に対する熱意が物凄く伝わってくる動画でした！！！受け持っている生徒にもこの動画をチャンネルを進めていますが、今回は特にmustで見なさい！と言いたい。笑 本当にいつも動画投稿ありがとうございます！いつも刺激にさせてもらっています！
(3)折角8l(84l+1)=5m²まで書いたのなら、mが4の倍数⇒lが偶数ってわかるからl=6からスタートしてよい。しいて言うなら、84l+1は3の倍数ではないので、lに3の素因数を1個だけ含む6も除外できる。あまり説明がごちゃつくようなら、計算して違うことを示してもいいけどね。旧帝大の今年の問題、全部解くつもりがまだ解いてない...九大は全部解いたけど...
このような最終的に代入を繰り返して解を1つ探すような整数問題は、結局幾つかのmod n で考えた時に候補がn分のいくつに絞られるかだよなー (この問題では小問に従えば、mod3→mod7→mod5で考えることが暗に示唆されてるけど)
サムネだけで解いてみた(1)(2)の誘導とは違う考え方でも解けるんだ与式からnは奇数と分かるのでn=2k+1(k≧0)と置く与式に代入して整理すると4k(k+1)(2k^2+2k+1)=3*5*7*m^2左辺は4の倍数なのでmは偶数m=2t(t≧1)と置いて再度整理するとk(k+1)(2k^2+2k+1)=3*5*7*t^2右辺は3,5,7の倍数なのでmod3,5,7でkの必要条件を絞るk,k+1,2k^2+2k+1の各因数のいずれかが3,5,7の倍数になる条件を整理するとmod3でk≡0,2mod5でk≡0,1,3,4mod7でk≡0,6あとは条件に合うkを小さい方から代入して整数範囲でtが求まるかどうか検証していく小さい順で6,14,20と入れるとk=20でt=2*29=58が成立よって、n=21,m=116
難しい問題ですよね。誘導のおかげで助かりました。
(1) すばる先生と同じなので省略。(2) n＝2k-1とすると，n^2-1＝(n+1)(n-1)＝4k(k-1)…①で，①はkとk-1の偶奇が異なるので8の倍数になる。さて，与式より，nは3の倍数でも7の倍数でも無い。n ≡ ±1 (mod 3)より，n+1及びn-1のいずれが法3において0に合同となるので，①は3の倍数。また与式より，n^4 ≡ 1 (mod 7)…②。ただし，7の倍数で無い整数tが法7においてそれぞれ±1，±2，±3と合同な場合，t^2はそれぞれ1，4 ≡ -3，9 ≡ -2に合同となり，t^2が-1と合同とはならない上，逆を言えばt^2 ≡ -1 (mod 7)となる整数tは存在しない。その上で②の場合，n^2 ≡ 1 (mod 7) ∴ n^2-1は7の倍数となる。以上より，n^2-1は8*3*7＝168の倍数となる。◾︎(3) (2)より，n^2 ≡ 1 ≡ 169 ≡ 841 ≡ 1681 ≡ 1849 ≡ …(mod 168)。(以下略)(3)は上で出てきた合同値から探す形で，m＝116が最小値である以上，計算がかなり面倒ですね…。
(3)において，場合分けをしないやり方を取る場合：(2)より，自然数Nにおいてn^2-1＝168Nと置くと，n^2+1＝168N+2より，方程式は，168N(168N+2)＝210m^2⇔ 8N(84N+1)＝5m^2…①となる。この左辺が8の倍数なので，m^2も8の倍数だが，そうなるにはmは4の倍数，つまりm^2は16の倍数である必要があるので，左辺も16の倍数である。∴ Nは偶数なので，自然数MにおいてN＝2Mとおくと，①は，16M(168M+1)＝5m^2となる。これが5の倍数であることを考えると，例えばM＝5のとき，5m^2＝16*5*841 ⇔ m＝4*29＝116 (∵ mは自然数)であり，mは題意を満たす。この時，n^2＝168N+1＝336M+1＝1681⇔ n＝41 (∵ nは自然数)であり，nも題意を満たす。代入ぎりぎりまで帰納的なやり方をせず，式変形ですべて演繹的に解き，偶然とは言え一発で出せるやり方が以上。すばる先生，合ってはいますが，ここで言うN(動画で言うl)が偶数だからって2から順にやるのは闇雲です。
3者(すばる・貫太郎・たてぃこ三氏)の比較：(1)は背理法を飛ばすか念のため証明するかどうか位の違い位しか無いので割愛するとして，(3)は貫太郎先生のみが異なるアプローチで解いております。そもそも(2)において，3人とも本題では無くn^2+1に拘っていますが，このときの大問の方程式はnが何の倍数で無いかがはっきり分かる程度で十分。(3)もすばる先生とたてぃこ氏はアプローチが同じ。ただしたてぃこ氏はこの解き方で言うl＝6の可能性を片っ端から捨てており，すばる先生が一番闇雲な解き方で，整数の性質を応用していません。整数の性質を考えた場合は，貫太郎先生のやり方が一番合っているかも。
これ以外の問題も難しすぎた手がでない問題が多かったので時間かけて適当に数字を当てはめてたら答え出ました
強運も実力のうちですね
この問題白紙でしたが合格できました。
おなじく
おめ
mが偶数であることから m=2kとして、(1)を利用して与式を （1）の互いに素な二つの整数の積 とし 右辺＝210ｍ＾2＝3×5×7×4×ｋ＾2 として互いに素数 しかも差が1 の積として表せるように Ａ（Ａ＋１）＝ 3×5×7×4×ｋ＾2 として素因数を振り分けられないか？と思いましたが場合けが大変そうで諦めました。積の因数のどちらかが 絶対に3 7という素因数を持ちえない ということをmodで示して 他方の因数になる ことを示す という考え方は条件式が与えられている状況では重要な手法だと思いました。
本番のとき（2）まで気合で解いて終わりにした
個人的に、今年の九大の中ではこの問題が最難問でしたね。僕自身も初見で解き切るのに40分以上かかりました。
29^2=28*30+1と思えば案外楽かもしれないです。サムネを見て、末尾3,7で3・7の倍数じゃない数を虱潰しにやればいけるんじゃない？と思って53まで試しましたがダメでした(笑)
平面上の３つのベクトルaベクトル、bベクトル、cベクトルが|aベクトル|,|bベクトル|,|cベクトル|=√p+q,aベクトル×cベクトル=p,bベクトル×cベクトル=qを満たしている。ただし、p,qは正の数でp≠qとする。⑴aベクトルとbベクトルは平行ではないことを示せ。⑵cベクトルをaベクトル、bベクトル、p、qを用いて表せ。
(1)ってnが奇数ってわかったらn=2k-1とでも置いて2つの数が連続する数だから互いに素と言えば良さそう。
それを証明しないといけないんじゃないんですか？
連続2整数が互いに素なことを自明として良いのか悩みどころですよね。本番なら、証明は簡単なので一応書いておくでしょうね。
@@teenmom630 ユークリッドの互除法の原理で1行
最後はこんな感じ〜😊(nn-1)(nn+1)=210mm ..(△)nn-1は168の倍数、つまり8の倍数。nn+1も偶数だから、(1)の左辺は少なくとも16の倍数。右辺を見ると、210がもつ素因数2は一つ。mは偶数確定なのですが、左辺から16で割り切れなければならないので、mは4の倍数でなければならない。このようにして、結局両辺は32の倍数とわかる。mod32でn^4≡1であるのはn≡1,7,9,15,17,23,25,31の場合だけ ..(※)mは4の倍数で右辺≧210×4×4=3360から、nは9以上の奇数。さらに設問(2)からnは3の倍数でもなく5の倍数でもなくmod7でnn≡1であることがわかっているから、(※)とあわせて解の候補はn=41,71,97,...と絞られる。これでn=41を代入すると、ビンゴでございま〜す！✌️
マジでこのチャンネルサムネだけで解いたら全く解けんw
これは類題を経験したことあるから解けた。経験してなかったら無理だろうな。有名問題だけど類題を経験したことない人の方が多いのかな
良い問題だな。最後、代入繰り返して解かせるのが出題者の想定解法だとしても、たいした計算じゃないからいいんじゃないかな？計算力も学力のうちだもんな。
(1)って連続する2整数だから互いに素で大丈夫ですよね？
大丈夫ですよ〜（nが奇数であることは言わなきゃダメですが）
@@_siivaa8624 解答ありがとうございます!!
今年の九州大学の微積分の問題を解説して欲しいです。
実際解いた時841知らな無理やんってなってこれだけ難しいなとは思った
849＜30²は直ぐに分かるから割と簡単じゃね
18:46 ここの筆算どういうやり方でやってるの？
おはようございますです。これは有名問題ですねぇ答は6つ出る(偶数乗なので±込み)のですが、自然数限定なので負の値は全部×で 自明な(m,n)=(0,1)もボツということで1つ求めよと出てきたら1つしかないの法則が発動しました。確かこれ、誘導問題があったはずで これが無いと結構気付きにくい代物だったような気が(n+1)(n-1)(n^2+1)=210 から進めていくんだっけで、動画視聴誘導問題が付いててよかったよかった
難易度表記は、Aが低くてCが高いんですね。Aが高くてCが低いのかと勘違いしてました。
nが奇数なので、n^2-1が7の倍数か調べるときはn≡1,3,5のときだけ調べればいいですか？
違います。0に合同を除いてすべて調べる必要があります。例えば，(3)の答えでのnは，n ≡ -1 (mod 7)であり，3値どれとも合同にはなりません。ある程度まとめても±を使うしかございません。
85ℓのところが何言ってるかわからんℓ（ℓ-1）ってなに？
modを使わなかったら難問。modを高校の教育課程に下ろした効果は大きい。
29×29をちゃっかりインド式計算してる 笑
n＝411だとmod3においてn≡1or2mod7においてn≡1or6を満たしていないと思うのですが、大丈夫なのですか？(追記)見間違えでした()
n＝41ですよ
ごめんなさい。見間違えてました。ありがとうございます！
29×29=(30-1)^2が計算は早いかな？
問題には関係ないですがいつも流れてるこのBGM大好きです笑 曲名は何というのでしょう？
40²まで暗記してたから余裕だったわ
とある男が授業をした
難しいというより面倒い
これサムネだけ見てやってみたのですが, 上手いやり方が全くわかりませんでした. 結局私は以下のようにペル方程式の形から着想を得て解きました.mは偶数なのはすぐわかるので, あるl∈lNがあってm=2lとかけ, (n²)²-840l²=1となる.29²-840=841-840=1に着目して(29+√840)(29-√840)=1(29+2√210)(29-2√210)=1辺々k乗して(29+2√210)^k(29-2√210)^k=1よって, (29+2√210)^kの有理部, 無理部をそれぞれa_k, b_k∈lNとおくと(29+2√210)^k=a_k+b_k√210(29-2√210)^k=a_k-b_k√210となって(a_k)²-210(b_k)²=1が従う.よって, このような(a_k, b_k)のうち特にa_kが平方数となるようなものを与えれば(m, n)=(b_k, √a_k)が求めたい自然数の組の1つであるが, 実際k=2で(a_2, b_2)=(1681, 116)となり, 1681=41²ゆえ(m, n)=(116, 41)は求めたいものの1つであることがわかる. ■しかし, 実際に誘導を見てみるとやはりそちらの方が圧倒的に楽に解けました.
15:22
(3)は作問上仕方ないといえど、九州らしい問題の汚さですね😅
女の声が聞こえてきてあせって巻き戻しした。(1)の証明でm,nを使うのはすばるさんらしくないなあ。
えっとこれは九医合格者の人でも解けてない。
おいこれ高一の入塾テストで出たぞwwwwwふざけるなwwwww でも、解きたかったなー。
これクソ問
mod祭りやん
これは愚問
うーん、数学的背景が何にもないかと思いきや、一応楕円曲線の有理点求める問題ではあるのか九大は楕円曲線の研究者おられますからねぇしかし楕円曲線の有理点求めるのは手計算でできるような一般的アルゴリズムは見つかってない(おそらくない)からなぁ
![[MV] A leap of faith...ความเชื่อใจครั้งสุดท้าย (From "Petrichor the series")](http://i.ytimg.com/vi/U1piZH2CNXA/mqdefault.jpg)
サムネだけ見て以下のように考えました。
210＝21･10＝2･3･5･7 より 2,3,5,7 を法とした場合の 𝑛 の性質を考える。
𝑛⁴＝1＋210𝑚²≡1（mod 2,3,5 or 7）であるから
①：𝑛 は奇数
②：𝑛 は 3 の倍数ではない
③：𝑛 は 5 の倍数ではない
④：𝑛 は 7 で割ると 1 or 6 が余る自然数
④より 𝑛＝7𝑘 ± 1 とおけ、①より 𝑘 は偶数であるから、𝑛 の候補は
14 ± 1, 28 ± 1, 42 ± 1, 56 ± 1, 70 ± 1, 84 ± 1,・・・
すなわち
13, 15, 27, 29, 41, 43, 55, 57, 69, 71, 83, 85,・・・
と絞れ、さらに②, ③より、𝑛 の候補は
13, 29, 41, 43, 71, 83,・・・
と絞り込めます。これらを、与式を変形した
(𝑛＋1)(𝑛－1){(𝑛＋1)(𝑛－1)＋2}＝(2･3･5･7)𝑚²
の式中の 𝑛 に代入して、適当な 𝑚 を見つけることにしました。
𝑛＝13 の場合
左辺＝14･12･(14･12＋2)＝(2･3･5･7)･2³･17
となり、適当な 𝑚 はない。
𝑛＝29 の場合
左辺＝30･28･(30･28＋2)＝(2･3･5･7)･2³･421
となり、適当な 𝑚 はない。
𝑛＝41 の場合
左辺＝42･40･(42･40＋2)＝(2･3･5･7)･4²･29²
となり、𝑚＝4･29＝116 とすれば与式を満たすので
(𝑚, 𝑛)＝(116, 41)
という解が一つ見つかりました。
まったく、同じやり方でした。計算力がないので、ほんときつかったです。
これは、ラマヌジャンなら10秒で暗算で解けるやつですね。210を2x105にしてpell方程式の連立にすると、ルート105の連分数展開とルート2の連分数展開の分子に41が出てくるからそれが解です。ルート105を41/4、ルート
2を41/29で近似するわけですね。
整数に対する熱意が物凄く伝わってくる動画でした！！！
受け持っている生徒にもこの動画をチャンネルを進めていますが、今回は特にmustで見なさい！と言いたい。笑
本当にいつも動画投稿ありがとうございます！いつも刺激にさせてもらっています！
(3)折角8l(84l+1)=5m²まで書いたのなら、mが4の倍数⇒lが偶数ってわかるからl=6からスタートしてよい。
しいて言うなら、84l+1は3の倍数ではないので、lに3の素因数を1個だけ含む6も除外できる。
あまり説明がごちゃつくようなら、計算して違うことを示してもいいけどね。
旧帝大の今年の問題、全部解くつもりがまだ解いてない...
九大は全部解いたけど...
このような最終的に代入を繰り返して解を1つ探すような整数問題は、結局幾つかのmod n で考えた時に候補がn分のいくつに絞られるかだよなー (この問題では小問に従えば、mod3→mod7→mod5で考えることが暗に示唆されてるけど)
サムネだけで解いてみた
(1)(2)の誘導とは違う考え方でも解けるんだ
与式からnは奇数と分かるので
n=2k+1(k≧0)と置く
与式に代入して整理すると
4k(k+1)(2k^2+2k+1)=3*5*7*m^2
左辺は4の倍数なのでmは偶数
m=2t(t≧1)と置いて再度整理すると
k(k+1)(2k^2+2k+1)=3*5*7*t^2
右辺は3,5,7の倍数なので
mod3,5,7でkの必要条件を絞る
k,k+1,2k^2+2k+1の各因数のいずれかが
3,5,7の倍数になる条件を整理すると
mod3でk≡0,2
mod5でk≡0,1,3,4
mod7でk≡0,6
あとは条件に合うkを小さい方から代入して
整数範囲でtが求まるかどうか検証していく
小さい順で6,14,20と入れると
k=20でt=2*29=58が成立
よって、n=21,m=116
難しい問題ですよね。
誘導のおかげで助かりました。
(1) すばる先生と同じなので省略。
(2) n＝2k-1とすると，
n^2-1＝(n+1)(n-1)＝4k(k-1)…①で，①はkとk-1の偶奇が異なるので8の倍数になる。
さて，与式より，nは3の倍数でも7の倍数でも無い。
n ≡ ±1 (mod 3)より，n+1及びn-1のいずれが法3において0に合同となるので，①は3の倍数。
また与式より，
n^4 ≡ 1 (mod 7)…②。
ただし，7の倍数で無い整数tが法7においてそれぞれ±1，±2，±3と合同な場合，t^2はそれぞれ1，4 ≡ -3，9 ≡ -2に合同となり，t^2が-1と合同とはならない上，逆を言えばt^2 ≡ -1 (mod 7)となる整数tは存在しない。
その上で②の場合，n^2 ≡ 1 (mod 7) ∴ n^2-1は7の倍数となる。
以上より，n^2-1は8*3*7＝168の倍数となる。◾︎
(3) (2)より，n^2 ≡ 1 ≡ 169 ≡ 841 ≡ 1681 ≡ 1849 ≡ …(mod 168)。
(以下略)
(3)は上で出てきた合同値から探す形で，m＝116が最小値である以上，計算がかなり面倒ですね…。
(3)において，場合分けをしないやり方を取る場合：
(2)より，自然数Nにおいてn^2-1＝168Nと置くと，n^2+1＝168N+2より，方程式は，
168N(168N+2)＝210m^2
⇔ 8N(84N+1)＝5m^2…①となる。
この左辺が8の倍数なので，m^2も8の倍数だが，そうなるにはmは4の倍数，つまりm^2は16の倍数である必要があるので，左辺も16の倍数である。
∴ Nは偶数なので，自然数MにおいてN＝2Mとおくと，①は，
16M(168M+1)＝5m^2となる。
これが5の倍数であることを考えると，例えばM＝5のとき，
5m^2＝16*5*841 ⇔ m＝4*29＝116 (∵ mは自然数)であり，mは題意を満たす。
この時，n^2＝168N+1＝336M+1＝1681
⇔ n＝41 (∵ nは自然数)であり，nも題意を満たす。
代入ぎりぎりまで帰納的なやり方をせず，式変形ですべて演繹的に解き，偶然とは言え一発で出せるやり方が以上。
すばる先生，合ってはいますが，ここで言うN(動画で言うl)が偶数だからって2から順にやるのは闇雲です。
3者(すばる・貫太郎・たてぃこ三氏)の比較：
(1)は背理法を飛ばすか念のため証明するかどうか位の違い位しか無いので割愛するとして，(3)は貫太郎先生のみが異なるアプローチで解いております。
そもそも(2)において，3人とも本題では無くn^2+1に拘っていますが，このときの大問の方程式はnが何の倍数で無いかがはっきり分かる程度で十分。
(3)もすばる先生とたてぃこ氏はアプローチが同じ。
ただしたてぃこ氏はこの解き方で言うl＝6の可能性を片っ端から捨てており，すばる先生が一番闇雲な解き方で，整数の性質を応用していません。
整数の性質を考えた場合は，貫太郎先生のやり方が一番合っているかも。
これ以外の問題も難しすぎた
手がでない問題が多かったので時間かけて適当に数字を当てはめてたら答え出ました
強運も実力のうちですね
この問題白紙でしたが合格できました。
おなじく
おめ
mが偶数であることから m=2kとして、(1)を利用して与式を （1）の互いに素な二つの整数の積 とし 右辺＝210ｍ＾2＝3×5×7×4×ｋ＾2 として互いに素数 しかも差が1 の積として表せるように Ａ（Ａ＋１）＝ 3×5×7×4×ｋ＾2 として素因数を振り分けられないか？と思いましたが場合けが大変そうで諦めました。積の因数のどちらかが 絶対に3 7という素因数を持ちえない ということをmodで示して 他方の因数になる ことを示す という考え方は条件式が与えられている状況では重要な手法だと思いました。
本番のとき（2）まで気合で解いて終わりにした
個人的に、今年の九大の中ではこの問題が最難問でしたね。僕自身も初見で解き切るのに40分以上かかりました。
29^2=28*30+1と思えば案外楽かもしれないです。
サムネを見て、末尾3,7で3・7の倍数じゃない数を虱潰しにやればいけるんじゃない？と思って53まで試しましたがダメでした(笑)
平面上の３つのベクトルaベクトル、bベクトル、cベクトルが|aベクトル|,|bベクトル|,|cベクトル|=√p+q,aベクトル×cベクトル=p,bベクトル×cベクトル=qを満たしている。ただし、p,qは正の数でp≠qとする。⑴aベクトルとbベクトルは平行ではないことを示せ。⑵cベクトルをaベクトル、bベクトル、p、qを用いて表せ。
(1)ってnが奇数ってわかったらn=2k-1とでも置いて2つの数が連続する数だから互いに素と言えば良さそう。
それを証明しないといけないんじゃないんですか？
連続2整数が互いに素なことを自明として良いのか悩みどころですよね。本番なら、証明は簡単なので一応書いておくでしょうね。
@@teenmom630 ユークリッドの互除法の原理で1行
最後はこんな感じ〜😊
(nn-1)(nn+1)=210mm ..(△)
nn-1は168の倍数、つまり8の倍数。
nn+1も偶数だから、(1)の左辺は少なくとも16の倍数。
右辺を見ると、210がもつ素因数2は一つ。mは偶数確定なのですが、左辺から16で割り切れなければならないので、mは4の倍数でなければならない。
このようにして、結局両辺は32の倍数とわかる。
mod32でn^4≡1であるのは
n≡1,7,9,15,17,23,25,31の場合だけ ..(※)
mは4の倍数で
右辺≧210×4×4=3360
から、nは9以上の奇数。
さらに設問(2)からnは3の倍数でもなく5の倍数でもなくmod7でnn≡1であることがわかっているから、(※)とあわせて解の候補は
n=41,71,97,...
と絞られる。
これでn=41を代入すると、ビンゴでございま〜す！✌️
マジでこのチャンネルサムネだけで解いたら全く解けんw
これは類題を経験したことあるから解けた。
経験してなかったら無理だろうな。
有名問題だけど類題を経験したことない人の方が多いのかな
良い問題だな。
最後、代入繰り返して解かせるのが出題者の想定解法だとしても、たいした計算じゃないからいいんじゃないかな？
計算力も学力のうちだもんな。
(1)って連続する2整数だから互いに素
で大丈夫ですよね？
大丈夫ですよ〜（nが奇数であることは言わなきゃダメですが）
@@_siivaa8624 解答ありがとうございます!!
今年の九州大学の微積分の問題を解説して欲しいです。
実際解いた時841知らな無理やんってなってこれだけ難しいなとは思った
849＜30²は直ぐに分かるから割と簡単じゃね
18:46 ここの筆算どういうやり方でやってるの？
おはようございますです。
これは有名問題ですねぇ
答は6つ出る(偶数乗なので±込み)のですが、自然数限定なので負の値は全部×で 自明な(m,n)=(0,1)もボツ
ということで1つ求めよと出てきたら1つしかないの法則が発動しました。
確かこれ、誘導問題があったはずで これが無いと結構気付きにくい代物だったような気が
(n+1)(n-1)(n^2+1)=210 から進めていくんだっけ
で、動画視聴
誘導問題が付いててよかったよかった
難易度表記は、Aが低くてCが高いんですね。
Aが高くてCが低いのかと勘違いしてました。
nが奇数なので、n^2-1が7の倍数か調べるときはn≡1,3,5のときだけ調べればいいですか？
違います。
0に合同を除いてすべて調べる必要があります。
例えば，(3)の答えでのnは，n ≡ -1 (mod 7)であり，3値どれとも合同にはなりません。
ある程度まとめても±を使うしかございません。
85ℓのところが何言ってるかわからん
ℓ（ℓ-1）ってなに？
modを使わなかったら難問。modを高校の教育課程に下ろした効果は大きい。
29×29をちゃっかりインド式計算してる 笑
n＝411だと
mod3においてn≡1or2
mod7においてn≡1or6
を満たしていないと思うのですが、大丈夫なのですか？
(追記)見間違えでした()
n＝41ですよ
ごめんなさい。見間違えてました。
ありがとうございます！
29×29=(30-1)^2が計算は早いかな？
問題には関係ないですがいつも流れてるこのBGM大好きです笑 曲名は何というのでしょう？
40²まで暗記してたから余裕だったわ
とある男が授業をした
難しいというより面倒い
これサムネだけ見てやってみたのですが, 上手いやり方が全くわかりませんでした. 結局私は以下のようにペル方程式の形から着想を得て解きました.
mは偶数なのはすぐわかるので, あるl∈lNがあってm=2lとかけ,
(n²)²-840l²=1
となる.
29²-840=841-840=1に着目して
(29+√840)(29-√840)=1
(29+2√210)(29-2√210)=1
辺々k乗して
(29+2√210)^k(29-2√210)^k=1
よって, (29+2√210)^kの有理部, 無理部をそれぞれa_k, b_k∈lNとおくと
(29+2√210)^k=a_k+b_k√210
(29-2√210)^k=a_k-b_k√210
となって
(a_k)²-210(b_k)²=1
が従う.
よって, このような(a_k, b_k)のうち特にa_kが平方数となるようなものを与えれば(m, n)=(b_k, √a_k)が求めたい自然数の組の1つであるが, 実際k=2で(a_2, b_2)=(1681, 116)となり, 1681=41²ゆえ(m, n)=(116, 41)は求めたいものの1つであることがわかる. ■
しかし, 実際に誘導を見てみるとやはりそちらの方が圧倒的に楽に解けました.
15:22
(3)は作問上仕方ないといえど、九州らしい問題の汚さですね😅
女の声が聞こえてきてあせって巻き戻しした。
(1)の証明でm,nを使うのはすばるさんらしくないなあ。
えっとこれは九医合格者の人でも解けてない。
おいこれ高一の入塾テストで出たぞwwwwwふざけるなwwwww でも、解きたかったなー。
これクソ問
mod祭りやん
これは愚問
うーん、数学的背景が何にもないかと思いきや、一応楕円曲線の有理点求める問題ではあるのか
九大は楕円曲線の研究者おられますからねぇ
しかし楕円曲線の有理点求めるのは手計算でできるような一般的アルゴリズムは見つかってない(おそらくない)からなぁ