¿Cuánto vale esta RAÍZ INFINITA? Problema de Olimpiada Matemática.
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 3 ต.ค. 2024
- ¡Hola a todos y todas!
En este vídeo se obtiene el valor exacto para una sucesión de raíces encajadas de forma sencilla. ¡Espero que os guste!
Instagram: @mates.mike
Twitter: @mike.mates
*Me:* *Russian speaker who doesn't know Spanish and hates mathematics
*TH-cam:* "Here, get a Spanish math video. How would you rate this recommendation?"
XD sorry
😂😂
LMAOOOOOO
Hfhdiishfbxbx
The spanish speakers are better in math than the english speakers
No sabía de la rigurosidad de este problema. Estuvo muy interesante
Buen video
Me alegro y gracias :)
muy bueno, faltó en el título "final inesperado" jajjajaja nice
totalmente, quién diría que ahí estaba phi
O termina mal/bien
Muy didáctico. Hacen falta más comunicadores de Matemáticas como usted. Gracias por contribuir a la causa.
Yo antes pensaba ingenuamente que obtener un resultado finito era suficiente para justificar que un límite convergía, pero no es así porque si diverge, puedes emplear manipulaciones injustificadas que den algo finito, con lo cual realmente no "obtienes" algo finito.
Un ejemplo es el truco de resolver x^x^x^… = 2, que puede escribirse como x^2 = 2, o bien x=√2. Pero es que si escribimos x^x^x^… = 4, con el mismo truco también nos da x=√2, lo cual no es posible porque entonces 2=4, que no es verdad. Lo que ocurre es que en el segundo caso, esa pila de potencias no converge, con lo cual no la podemos identificar con un valor finito como 4.
Creo que me acabas de dar una idea para una nueva publicación en Instagram :)
@@MatesMike Hola! Con que programa editas?
@@lomi5ups710 geogebra y powerpoint
@@MatesMike Gracias
2:40 ¿¿¿que no es un error decir que (an+1)^2 es an^+1????
No se quien sera el dueño de este canal, pero me imagino a un gato hablándome de matemáticas 😂😂
Es el gato de Erwin Schrödinger que aprendió matemáticas avanzadas y física cuántica de su dueño xd
@The Jar Neel , es un chiste nomas
El gato está vivo o muerto?! VIVO O MUERTO?!?!
@@jeanpierre4344 los dos al mismo tiempo
Pues no es un gato!
Donde estabas hace 7 años cuando entré a la universidad!! Muy buen video
En el minuto 2:44 no está mal? Ya que al elevar el lado izquierdo sería (An+1)² y no An²+1 ?????
Este wey jajajaja
Ni siquiera me gusta matemáticas, y me termine viendo el video completo por la curiosidad, buenísimo xx
Después de ver este vídeo, me siendo mucho más inteligente, lastima que no entendí ni verga.
Jajaja igual no mms pinshe cerebro de mirda xdxd
X2
vuelve a verlo y quizas entiendas un poquito mas. :)
Que canal tan genial. Es como MindYourDecisions pero en español y por supuesto, tiene lo suyo. Espero que subas mucho más contenido de este tipo con problemas interesantes como este.
Hace 15 años me hubiese gustado que existiese éste video. Excelente explicación. Te ganaste un suscriptor
Tu: ya es tarde 15 años tarde
Podrías hacer contenido también explicativo? Por ejemplo de integrales, derivadas, sucesiones, límites ...
Y, por otro lado, más ejercicios de Olimpiadas Matemáticas. Gracias
Toda la matématica parece estar enlazada de alguna manera misteriosa.
Me perdí desde el segundo 10 xd
Buen video, es una excelente iniciativa para los que quieren introducirse a las matemáticas.
Me encanta el formalismo que le imprimes
la otra manera de hacerlo es asi : E=(1+(1+(1...)^1/2)^1/2)^1/2,
E=(1+E)^1/2,
E^2=1+E,
E^2-E-1=0,
aplicando la formula general de x=(+-b+(1-4ab)^1/2)/2a ,
te da el resultado: E=(+-1+5^1/2)/2, pero la resolucion aplicando analisis matematico es correcta de igual manera y explicado a profundidad.
.
Yo también lo hice así, el clásico "E" :3
Hay ocasiones donde se hace eso y sale un valor real, sin embargo esta mal debido a que no se estudio la convergencia de la serie.
no.veo absolutamente nada de diferente a loq hizo en el video... salvo q no demostro que era una sucesion.convergente... o sea no.hizo nada jjajaa
Muy bueno he, aquí si ya tiene su rigor matemático. El análisis matemático o comúnmente llamado el cálculo.
De tus pocos vídeos que ha cumplido 2 años :D parece que fuera ayer
:0
Interesantísimo owo
Cuando vi la fracción resultante me parecía conocido ese número xd
Nuevo sub ;3
Excelente video, me encantó. estuve la mitad del video esperando a que dijeras "es el número de oro" jaja
Excelente y maravilloso vídeo
Podrías hacer uno demostrando
Lim a^x =0
Cuando x tiende a infinito y -1
Me imaginaba que iba a salir el número áureo, yo trabajo haciendo cuadrados portaretratos y de pinturas y a la mayoría de los clientes les gusta esa proporción en las dimensiones de los cuadros.
Si pudieras mostrar alguno de ellos te lo agradecería muchísimo.
@@juniorcandela970 Espero que pronto suba material sobre mi trabajo, saludos.
Te la piden por la "fama" del número áureo y proporción.
Si le dieras algo ligeramente diferente ni lo notarían o incluso algunos quizá les gustara más.
Es lo que habrán oído/aprendido
@@Idiomeme_com Exacto pero las personas que no saben también escojen esa proporción sin saber, está en nuestra naturaleza.
@@nuassul no. Escogen algo parecido. Que la proporción aurea se acerque es otra cosa.
No es que les guste la proporción áurea en si, si no que la proporción áurea se acerca a las proporciones que les gustan.
Sin saberlo no escogerán la proporción áurea.
Escogera una proporción, la p. Áurea se acercará, pero muy difícilmente será la que haya escogido.
Entonces, les gusta la p. Áurea o simplemente la p. Áurea se acerca a sus gustos (que no quiere decir 'SEAN sus gustos'p
Recuerdo que está pregunta estaba en el examen de admisión a la Universidad :v
Me salió la respuesta en 3 minutos pero yo asumí que era el límite superior ya que probé reemplazándolo y no se me hacía sentido que saliera negativo ya que se tienen solo sumas. Tu demostración con límites me permite sustentarlo. Buen vídeo.
diablos no entiendo casi todos tus videos pero ala vez son demasiado entretenidos por como explicas
Hola a todos abarca a todas también, no hace falta decir todas... muy buen video!
La verdad es que era fácil darse cuenta de que era igual a la Proporción Áurea, lo difícil era el "cómo demostrarlo" xd. ¡Buen vídeo! 👌✨
El crecimiento de la cucecion se demuestra con la fórmula que dedujiste, porque de la forma que lo demostraste, ya partes de lo que quieres demostrar
Hola... Que pasa en el caso de raíces infinitas de 2, 3, 4, etc?
Cuál es la aplicación práctica de esto?
Siempre resolví ese problemas simplemente reemplazando parte de la ecuación infinita por el resultado y luego elevando l cuadrado pero nunca puse en duda si efectivamente el limite existía.
No se porque me olía desde el inicio que la respuesta iba a ser el numero aureo jajajaja por lo general en estos casos suele ser
Ya sabía que olía al número aureo. La expansión en fraccion continúa también es muy parecida.
Excelente explicación y desarrollo.
Al crear la ecuación Xcuadrado=1+X estás diciendo que el término a sub ene más 1 es igual al término a sub ene, ya que a ambos los has llamado X...
Si pero funciona :)
La solución, el adorado número áureo. Me recuerda que en la Copa del Mundo de fútbol celebrada en España en 1982, todos los terrenos de juego se limitaron a las mismas dimensiones: 105x65 metros. La proporción corresponde con mucha aproximación al número de oro.
Quieres demostrar que a_(n+1) >a_n ... Y eso es lo que usas después de decir eso dices:"supongamos a_n
Gracias por el vídeo, no se me ocurrió como plantear una sumatoria, ni una pitatoria, por eso me causó curiosidad. Podrías traer cosas interesantes con matrices :D?
Muy buena explicación, no lo había visto de esta manera al número Áureo !!! Me encantó ❤😊
Podrias haber llegado al resultado en solo dos lineas: nota que lo que dentro de la raiz externa lo que esta sumando al uno es lo mismo que lo que queremos calcular, asi que A=(1+A)^(1/2), y ahi resolves y encontras A. O esto no es matematicamente riguroso? Un fisico lo resolveria de esta manera que dije.
y=√(1+√(1+....
es equivalente y=√(1+y)
luego despejando y2-y-1=0
y=1.61803.....
Es el número aureo
Te lo resumo así nomas
Es exactamente lo que hizo, pero como se saltó una parte importante de la demostración, después volvió a la parte más interesante: demostrar que el límite (tu y) existe mediante el teorema de series estrictamente crecientes y acotadas.
Cómo probarías que y=√(1+y)?, Tendrías que probarlo para hacer ese gran paso, aunque es lo que comúnmente se hace para resolver este tipo de problemas.
Yo arranqué llamando H a esta ecuación en honor a mi hija Helena. Luego elevé ambos miembros al cuadrado por lo que de un lado me quedó H² y del otro se cancela la raiz con el exponente quedando 1 + la ecuación infinita, o sea 1 + H.
Reorganizando todo de un lado queda H² - H - 1 = 0 y de aquí ya todos sabemos como llegar a ɸ.
2:40 "a(sub n) + 1" al elevarlo al cuadrado debería ser "a(sub n)^2 + 2a(sub n) +1"
Nooo es a(sub (n+1))
n+1 es el subindice de a, está bien hecho en el video
Interesante forma de resolver este ejercicio. Toda la belleza de la matemática expresada en este ejercicio es lo que más me ha encantado. Muchas gracias.
Qué buen vídeo. Me ha recordado al primer año de carrera estudiando Cálculo I y Cálculo II.
Este video me encanta, porque me recuerda a algo que hice hace unos años. Me propuse encontrar una expresión cuyo límite fuese π, pero usando sólo el teorema de Pitágoras.
El resultado fue muy bonito:
lim_(n→∞) 2ⁿ * √(2 - √(2 + √(2 + √(2 + ...)))) = π
Esta expresión viene de calcular la mitad del perímetro de polígonos regulares de 2ⁿ lados, inscritos en una circunferencia de radio 1.
Para n=1 tendríamos un cuadrado de lado √2.
Para n=2 tendríamos un octógono de lado √(2-√2).
Para n=1 tendríamos un hexadecágono (16 lados) de lado √(2-√(2+√2)).
Nota: Dentro de la raíz tiene que haber n doses.
Para n=1, la raíz es √2
Para n=2, la raíz es √(2-√2)
Para n=3, la raíz es √(2-√(2+√2))
Y así sucesivamente.
Buen video!!
Hay un video muy interesante que explica como Newton desarrolló su método para calcular pi. Esta en el canal de Veritasium en español.
Este tipo literalmente nos hizo encontrar el número áureo. Brutal!
_Literalmente._
Wooooooow otra vez el número aureo. Ese número aparece en todo lado.
Pues la raíz infinita se puede expresar como
a = √(1 + a)
Ya que sustituyendo a en el miembro derecho de la ecuación sale la expresión de la raíz infinita.
Lo curioso es que esa ecuación tiene 2 soluciones, dependiendo a si se refiere a la raíz cuadrada principal o a la otra.
Esta solución no requiere de saber límites para poder responderse, sin embargo tiene una especie de confianza ciega en que la pregunta tiene sentido. Debido a que si se quiere usar para conocer la suma infinita
1 + 2 + 4 + 8 + ....
Sale que la suma es -1, lo cual no tiene sentido :P (la ecuación sería a = 1 + 2a)
La confianza ciega de la que hablas es lo que resuelvo yo, ver que la sucesión es convergente jejeje
Disculpen la duda pero porque cuando elevó (a sub n) +1, al cuadrado solo se elevó a sub n?
Genialidad! ❤️
Un 10 por la demostración de la convergencia :)
Se que el video es antiguo.
Antes de ver el video lo que yo haria es igualar a x como es infinita termina quedando sqrt(1 + x) = x y solo despejo y me queda el numero aureo.
Hola, como estas mike? tengo una pregunta que me surge viendo tu video. En el minuto 2:42 cuando dices de elevar ambos lados del igual al cuadrado, por qué al lado izquierdo del igual solo elevas el a sub n? si elevas a ambos lados, al lado izquierdo debería quedarte un binomio al cuadrado, es decir an^2 + 2an +1. Corrígeme si estoy pasando algo por alto por favor, y muchas gracias! excelente video!
Hola! En realidad pone a sub(n++). El n+1 es el subíndice. Perdona, en verdad se lee un poco mal
¡Suscrito! Excelente vídeo y explicación. Un abrazo desde Honduras.
Puedes sacar en otro video la comprobacion de 1=2
Me sentí tan realizado cuando, sin pensarlo, pensé que iba a ser el número de oro, simplemente porque ese número sale hasta en la sopa
El video ha estado muy interesante, pero para resolver eso existe una manera mucho mas facil:
Supongamos que N=√(1+√(1+√(1+√(...))))
Entonces le sumo 1 y a todo le saco la raiz cuadrada
√(N+1)=√(1+√(1+√(1+√(1+√(...)))))
Pero le de la derecha sigue siendo N asi que reemplazando
√(N+1)=N
Al elevar al cuadrado:
N²=N+1
N²-N-1=0
Al final despejando se obtiene una cuadratica y usando la formula general obtienes el mismo resultado.
Hizo exactamente eso si no te fijaste bien, el problema es que tú asumes que N es un número, y como bien lo explicaron en el video, hay que demostrar que el N no es infinito, es decir, que el límite existe
Y si simplemente a toda la expresión llamas "x" y la igualas a raiz de (1+x) se formaria una cuadrática
Ses, pero lo que te permite hacer eso es la rigurosidad expuesta aquí :v, es decir, si el límite no existiera, no podrías solo hacer eso:
Ej. (x^x^x^x^...) = 4, se puede notar qu
x^(x^x^x^x^...) = 4, lo que está entre paréntesis también es igual a 4, luego
x^(x^x^x^x^...) = 4, x^4 = 4, x^2 = 2 , x = √2
Eso esta muy bien, pero ahora intenta con
x^x^x^x^.... = 2, usando el mismo truco de que
x^(x^x^x^x^...) = 2, y pues esto significa que
x^2 = 2
x = √2
Emmm.. ¿que paso con llamar a toda la expresión x? ¿Porque ambas dieron el mismo resultado? Por razones como esa hay que ser riguroso. Solo puedes "Reemplazar" si ya sabes que el límite existe
Me gusta ver este tipo d videos aunque no lo entiendo jejeje
por que cuando elevas al cuadrado en ambos miembros no lo haces en todo el miembro izquierdo?
he visto que muchos tienen esta duda. cuando vemos an+1, ese n+1 es un coeficiente. Asi a_(n+1). imaginen como la parte chiquita que esta abajo a la derecha de una variable.
Yo lo solucioné así:
x=sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+…)))
x^2=1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+…)))
Como x ya la habíamos definido como x=sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+…)));
Podemos decir que:
x^2=1+x
x^2-x-1=0 (Aplicamos Fórmula General)
x=(1+-sqrt(5)):2
Descartamos resultado negativo;
x=(1+sqrt(5)):2
x= Φ
Así lo hice yo también.
se podía probar con la definición de convergencia?
No entendi casi nada, pero me ha encantado. Ya lo aprendere en la universidad, o antes de entrar.
No entiendo nada de los videos pero soy feliz viéndolos
Aún más rigoroso sería considerar el caso en donde a(0) es un número real arbitrario en el dominio de la función f : {x : x = -1 o x > -1, x en R} -> R con f(x) = raíz(1 + x), & demostrando que el conjunto de valores de a(0) para el cual a(n) diverge tiene mesura Lebesgue 0. En este caso, hay que tomar en cuenta que f(x) = x implica x^2 = x + 1, & por ende, x = φ o x = -1/φ. Ya que f(x) > 0 o f(x) = 0, x = φ es el único punto fijo. Ahora vale considerar el caso x > φ. Esto implica que f(x) > f(φ) = φ, puesto que f es monotónicamente creciente en x. Por otra parte, esto también nos dice que x < φ implica f(x) < φ bajo el mismo argumento.
Estos argumentos nos indican que si a(0) < φ, entonces a(n) < φ implica a(n + 1) < φ, por lo que se puede concluir que a(n) < φ es cierto para todo n natural. El mismo argumento implica que si a(0) > φ, entonces a(n) > φ para todo n natural. Ahora lo único que hay que demostrar es que si a(0) < φ, entonces a(n) < a(n + 1) para todo n natural, & a(0) > φ, entonces a(n) > a(n + 1) para todo n natural.
Considera g(x) = x - f(x). Entonces g'(x) = 0 implica 1 - 1/[2·raíz(x + 1)] = 0, implicando 2·raíz(x + 1) = 1, equivalente a x + 1 = 1/4, equivalente a x = -3/4. Si x < -3/4, entonces 2·raíz(x + 1) < 1, así que g'(x) < 0. Si x > -3/4, entonces g'(x) > 0. Así que g(x) < 0 para x < φ, & g(x) > 0 para x > φ, equivalente a que x < f(x) para x < φ, & x > f(x) para x > φ. Directamente, esto implica que si a(0) < φ, entonces a(n) < a(n + 1) para todo n natural, & en combinación con que a(n) < φ para todo n natural, esto implica que lim a(n) (n -> ♾) existe si a(0) < φ. Adicionalmente, si a(0) > φ, entonces a(n) > a(n + 1) para todo n natural, & combinado con que a(n) > φ para todo n natural, esto significa que lim a(n) (n -> ♾) existe si a(0) > φ. Por ende, lim a(n) (n -> ♾) para todo valor de a(0) en dom(f).
Entonces, ya que lim a(n + 1) (n -> ♾) = lim f[a(n)] (n -> ♾) = lim a(n) (n -> ♾), & ya que f es una función contínua para todo x en su dominio, se puede concluir que lim f[a(n)] (n -> ♾) = f[lim a(n) (n -> ♾)] = lim a(n) (n -> ♾). Ya que el punto fijo de f es x = φ, esto implica que lim a(n) (n -> ♾) = φ.
Te falta mas rigurosidad, no definiste la sigma álgebra adecuada para definir la medida de Lebesgue 😆
2:42 y la identidad notable (An+1)²?
Y si An=x como es posible que An²+1=x²?
Pero porsupuesto que debes hacer un video de el número de oro!
Me gustó mucho tú vídeo ¡Sigue así!
Para eso están los límites
hace casi 50 años participé en la oloimpiada matemática. No me fue mal del todo, pero al final me decidí por una Ingenieria. Hoy, aun jubilado, sigo jugando con matemáticas. Yo hubiera hecho E = SQR(1+ Sqr (1+...) etc. Con elevar al cuadrado tenemos E2 =1+E, ecuacíon de segundo grado cuya raiz positiva es, precisamente (1+sqr(5))/2
Sería incorrecta esta resolución?
Saludos
Incorrecta no, incompleta. Te faltaría demostrar la convergencia de la serie infinita!
Si definimos S como la sumatoria, cuando tiende a infinito la forma más simple probablemente es plantear el problema como (1+S)^0,5 = S, cuya solución en los reales es S = (1+5^0,5)/2. Menos elegante pero funciona igual.
que ocurre si agarro y escribo raiz de 1 + el numero de oro. ¿en ese caso no estaria generando un valor superior y por ende haciendo que la suma dejara de converger?
Mike, el platear que (a(n+1))^2=x^2 y a(n)=x se lo hace porque cuando se toma el límite al infinito los subíndices pierden importancia??
Me gustó mucho el video, siempre me preguntaba cómo se hallaba el resultado de una sucesión ;)
Claro que no, al decir que x al cuadrado sea 1 mas x es falso, porque estas diciendo que a sub n +1 es igual a a sub n de que claramente es falso.
se puede resolver haciendo un cambio de variable
De los pocos canales que dicen cosas interesantes
ese fue un problema que venia en la guia de estudio del fermat de secundaria del 2016
recuerdo que en su momento me tarde 3 dias en resolver
Excelente explicación!
Hay un paso q no queda claro. Para resolver la ecuación cuadrática supuso que an y an+1 es la misma x, pero an+1 es la raíz encajada más un término adicional a an. Puedes Mike justificar esto en el infinito?
El segundo es a sub (n+1)
Prueba con la calculadora
Tu voz se parece a la de quantum fracture
Hola, con que programa realizas los ejercicios?? Esta muy bueno 👍
Uno cree que sabe mucho de matemáticas hasta que ve está clase de videos 🙁
Una pregunta, por qué en el 2:39 en la expresion de la izquierda solo se eleva al cuadrado el "a sub n" y no junto con el 1? O es que hay algo que se me está escapando? Llevo bastante sin dar matematicas y suelo pasarme por tus videos de vez en cuando porque me parecen entretenidos, pero no puedo parar de preguntarmelo 😅
El 1 que mencionas solo representa la posición del término. O sea, el primer término es a sub 1, el segundo es a sub 2, el que está en la posición 30, es a sub 30... El que está en la posición n, es a sub n, por lo tanto el que está en la posición n+1, es a sub n+1, y ese el el término del lado izquierdo. Entonces al elevar, estás elevando el término que está en la posición a sub n+1 al cuadrado. Por eso queda el término de la izquierda sólo al cuadrado y en la derecha se eleva toda la expresión.
@@franciscoalegria5375 Ahora entiendoo, no preste suficiente atencion, muchas graciaas 👌👌
Good channel, I hope that you have more suscriptors
Estuvo correcto el Análisis Matemático del Problema, aunque para la pregunta "Cuánto Vale √(1+(√1+(√1+....)))" fue Interesante pero muy Innecesario.
Mejor se hubiera formado la Ecuación Cuadratica y aplicacion de la Fórmula General.
Buen Ejercicio para aplicar el Razonamiento Crítico.
Espero que te pases por mi Canal, también resuelvo Ejercicios Interesantes de Matemáticas y Física. 🇵🇪📚👍
Por qué. O aplica la fórmula para raíces infinitas?
Genial!
Muchas gracias
y es posible solo hacer: x = raiz(1+raiz(1+raiz(1+ ...))) y hacer x = raiz(1 + x), y despejar x?
Pregunta. ¿Es posible obtener una fórmula para el término general "n" de esta sucesión sin recurrencia, es decir, sin que dependa del término "n-1"? Gracias por la respuesta
Claro, la fórmula son las propias raíces. N de ellas
Está mal. No puedes hacer distributiva cuando hay una suma en el radicando.
Hola soy profesor de olimpiadas de matemáticas y tambien se pudo hacer un cambio de variable.
De pronto el señor TH-cam me recomendó esto. ¿Qué me sabe?
Como que el limite cuando n infinito de an+1 al cuadrado igual a limite cuando n infinito de 1+an es igual a x al cuadrado igual a 1+x???? Si el limite de n infinito de an es x. No entiendo.
La raiz infinitaaa (infinitaaa) no se acaba (no se acabaa) y te gusta porque dice así
Buen video👍
Capaz que alguien ya comento esto, pero da igual:
sqrt(1+sqrt(1+...))=x
sqrt(1+x)=x
1+x=x^2
x^2-x-1=0
x=phi, phi positivo ya que una raiz de numero positivos no es negativa(el valor principal).
(NOTA:siempre que veas x^2-x-1=0 sabe que x=(1+-sqrt(5))/2, por la formula espantosa esa que tanto hablan(mentira 😗), ya que en muchos de estos problemas aparece la ecuacion esa).
Por lo poco que se, debería ser la proporción aurea